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目标规划数学模型与图解法

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数学建模8-动态规划和目标规划

数学建模8-动态规划和目标规划

数学建模8-动态规划和目标规划一、动态规划1.动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。

但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

2.基本概念、基本方程：（1）阶段（2）状态（3）决策（4）策略（5）状态转移方程：（6）指标函数和最优值函数：（7）最优策略和最优轨线（8）递归方程：3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看）4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4）5．若干典型问题的动态规划模型：（1）最短路线问题：（2）生产计划问题:状态定义为每阶段开始时的储存量x k，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为d k，则状态转移方程为（3）资源分配问题：详见例5状态转移方程：最优值函数：自有终端条件：（4）具体应用实例：详见例6、例7。

二、目标规划1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。

其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。

2．基本概念：（1）正负偏差变量：（2）绝对（刚性）约束和目标约束，次位赋（3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子P1……以此类推。

予P2（4）目标规划的目标函数：（5）一般数学模型：3．求解目标规划的解法：（1）序贯式算法（用LINGO软件求解，有编程模板可以使用，下面以书中例3说明，具体还可以参考书中例6-例8）：model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=? ? 0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;wplus=0 1 3 1;wminus=1 1 3 0;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));end（2）多目标规划的MATLAB解法：以书中例5详细说明如下：a=[-1 -1 0 00 0 -1 -13 0 2 00 3 0 2];b=[-30 -30 120 48]';c1=[-100 -90 -80 -70];c2=[0 3 0 2];[x1,g1]=linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1)) %求第一个目标函数的目标值[x2,g2]=linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1)) %求第二个目标函数的目标值g3=[g1;g2]; %目标goal的值[x,fval]=fgoalattain('Fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4,1))。

数学建模目标规划方法

数学建模目标规划方法

30
x1
2x1

12x2 x2

d1 d2

d1 d2

2500 140

x1

d
3

d3

60

a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l

kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2

x d d 250
生产甲、乙两种产品，

运筹学(第5章 目标规划)

运筹学(第5章 目标规划)

解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：

运筹学目标规划

运筹学目标规划

目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 产品II 拥有量 1 11 原材料(kg) 2 1 2 10 设备(hr) 10 利润(元/件) 8
• • • • •
实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： (1) 产品I的产量不大于产品II； (2)原材料超过时，采购成本增加； (3) 设备台时尽量用完； (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
第 5章
目标规划
(Goal programming)
第1节 目标规划的数学模型
第2节 目标规划的图解法
第3节 目标规划的单纯形法
第1节 目标规划的数学模型 一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。 目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
解: 分析 第一目标：min z1= P 1d1
设备(台时) 单件利润
1 8
2 10
10
第二目标：min z2= P (d d )
第三目标：min z3= P d
2 2 3 3
2
规划模型：
min Z P d P2 (d d ) P3d 2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x1, 2 0, d , d 0 ( j 1 , 2 , 3 ) j j

目标规划的数学模型

目标规划的数学模型
❖ LP只能处理单目标优化问题。因此，线性规划模型中人为地 将一些次要目标转化为约束。
❖ LP要求问题的解必须满足全部约束条件，但实际中并非所有 约束都必须严格满足。
❖ LP中各个约束都处于同等重要地位，但实际问题中各个目标 既有层次上的差别，又有权重上的区分。
❖ LP寻求最优解，但很多问题只要找到满意解即可。
4. 目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是由各目标约束的正、负偏差变量及 其相应的优先因子、权系数构成的函数，目标函数应该是 求极小
minz=f(d-, d＋)
1. 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量尽可能地小, 即 minz=f(d-+d＋); 2.要求不超过目标值，即允许达不到目标值，但正偏差 变量尽可能地小，即minz=f(d＋); 3.要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差变量尽可
5x1 2.5x2 d3 d3 2500
（4）原材料的消耗量不超过库存量，即
2x1 2x2 d4 d4 1600
根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，得到目标规划 模型：
min
Z
=
P1
d1
P2
d
2
P3
(d3
d3
)
P4
d4
4x1000dx21
3000x2 d1
d
2
300
d1
目标规划（Goal Programming）
在线性规划的基础上发展起来的解决多目标规划问题的 最有效的方法之一。
1961年，美国经济学家查恩斯(A.Charnes)和库柏 (W.W.Cooper)在《管理模型及线性规划的工业应用》一书中 首先提出目标规划。
1976年伊格尼齐奥发表了《目标规划及其扩展》一书， 系统归纳总结了目标规划的理论和方法。

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。

第一节 目标规划的数学模型

第一节 目标规划的数学模型

kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。

建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4

目标规划图解法

目标规划图解法
决策变量与偏差变量决策变量与偏差变量决策变量也称控制变量用x表示第i个目标的实际值超出超出目标值表示第i个目标的实际值恰好等于恰好等于目表示第i个目标的实际值未达到未达到目标值通过确定各目标的目标值目标值引入偏差变量把目目标函数转化成约束方程标函数转化成约束方程从而并入原约束条件中我们称这类具有机动余地的约束具有机动余地的约束为目标约束目标约束
( 可取一确定的非负实数)，
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每1月2×258天×25=2400 7台，每天16h，每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现 次月的生产与销售目标，试确定A、B药生产多少，使目标达到最好。 P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3

运筹学第五章 目标规划

运筹学第五章 目标规划

第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。

当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。

无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。

目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。

在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。

（2）模型特征。

目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。

1）正、负偏差变量,i i d d +-。

正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。

因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。

2）硬约束和软约束。

硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。

我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。

3）优先因子与权系数。

一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。

目标规划和线性规划的区别]

目标规划和线性规划的区别]
目标规划
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型

《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。

运筹学第五章

运筹学第五章

A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16

例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章

目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1

资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：

管理运筹学 第四章 目标规划

管理运筹学 第四章 目标规划

再来考虑风险约束： 总风险不能超过700， 投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2 引入两个变量d1+和d1-，建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1根据要求有
min ｛d1+｝
0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
3x1+4x2
引入变量 d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于 10000 的数量。于是，第2个目标可以表示为 min ｛d2-｝ 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
x1 2 x2 40 3x2 24
(3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通 过目标约束来表达。 （1）力求使利润指标不低于250元：
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要 的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先 权P1，分配给第二个目标较低的优先权P2。
Minz= P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
现假定： 第1优先级P1——企业利润；
第2优先级P2——Ｉ、II产品的产量保持1:2的比例
第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。

运筹学第4章

运筹学第4章

3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；

目标规划数学模型与图解法

目标规划数学模型与图解法

12
第2节 解目标规划的图解法

对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
6

第1节 目标规划的数学模型

2.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
5
第1节 目标规划的数学模型

这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
18

13
第2节 解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。

线性目标规划

线性目标规划
在一个规划问题中，决策者在要求达到这些目标时， 是有轻重缓急的，称这些目标是属于不同层次的优先等 级。优先等级层次的高低可分别通过优先因子P1，P2，… 表示，并规定Pk ＞＞Pk＋1，符号“＞＞”表示“远大 于”，表示Pk与Pk＋1，不是同一各级别的量，即Pk与Pk＋1 有更大的优先权。
对属于同一层次优先等级的不同目标，按其重要程度 可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字， 乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
规划模型：
max Z 6 x1 8 x 2
5 x1 10 x 2 60 s.t. 4 x1 4 x 2 40
x1
,
x2
0
解得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，
利润为 zmax 64元。
PPT学习交流
5
如果工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实 际情况，考虑其它问题，如： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，原料数量只有60； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元。
负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，是
软约束。
PPT学习交流
9
①目标函数变为目标约束
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和偏差 变量后可变换为目标约束。
比如：计划利润不少于48元。
6x1 8x2
6x18x2dd48
这样就将目标函数则转化为目标约束。
PPT学习交流
10
②绝对约束变为目标约束
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况 之一，对应每种要求，可分别构造目标函数：
PPT学习交流
13
构造目标函数的方法
x1x2dd0
• 如希望产品Ⅰ 产量恰好等于产品Ⅱ的产量 ，即正、 负偏变量都要尽可能地小，这时目标函数是：

目标规划模型的求解(NO17)

目标规划模型的求解(NO17)

工序
产品 A 工时定额
B
生产能力
加工
10
9
210
装配
5
6
120
毛利（元/件）
400
500
23
工厂领导提出下列目标：
（1）每个作业班的毛利不少于9800元；
（2）充分利用两个工序的工时，且已知加工工时费是装配 工时费的二倍；
（3） 尽量减少加班。
问：该工厂应如何生产，才能使这些目标依序实现？试建
立其数学模型。
8
初始单纯形表
min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
(d
3
d
3
)
s.t.
3x1 x2
d1 d1 60
x1
x2
2x3
d
2
d
2
10
x1
x2
x3
d
3
d
3
20
xi
0;
d
i
0;
d
i
0(i
1,2,3)
min z1 d1 60 3x1 x2 d1 min z2 d2 min z3 d3 d3 20 x1 x2 x3 2d3
建立模型的电 子表格模型
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
20
优化 目标1
P1： minZ1=d1-
优化 目标2
minZ2= d2++d2-
21
优化 目标3
P3： minZ3=d3-
此表也即为最优表，最优解为 x1 4.8, x2 4.8, d2 2, d3 3.6 ：
目标的达到情况：
Z
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3
第1节 目标规划的数学模型

用图解法求得最优决策方案为：x1*=4, x2*=3, z*=62(元)。
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
第5章 线性目标规划
第1节 第2节
目标规划的数学模型
解目标规划的图解法 第3节 解目标规划的单纯形法 第4节 应用举例
1
第1节 目标规划的数学模型

为了说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区 别，先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模 型。
2
第1节 目标规划的数学模型

例1 某工厂生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，已知有关数据见下 表。试求获利最大的生产方案。
原材料(kg) 设备(hr) 利润(元/件) Ⅰ 2 1 8 Ⅱ 1 2 10 拥有量 11 10

解：这是求获利最大的单目标的规划问题，用x1，x2分 别表示Ⅰ，Ⅱ产品的产量，其线性规划模型表述为：
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2

实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素 在内等一系列条件。例如: (1)根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋 势，因而希望产品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。 (2) 当超过计划供应原材料时，需用高价采购， 会使成本大幅度增加。 (3) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (4)应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
8
第1节 目标规划的数学模型
3.优先因子(优先等级)与权系数 一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到 这些目标时，会赋予不同的优先因子，并规定 Pk>>Pk+1 k=1,2,…，K 表示Pk比Pk+1有更大的优先权。 即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标； 而P2级目标仅在实现P1级目标的基础上才会考虑；依此 类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 可分别赋予它们不同的权系数wj，这些都由决策者按具 体情况而定。
5
第1节 目标规划的数学模型

这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题， 目标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面 引入与目标规划模型有关的概念。 1.正、负偏差变量d+，d− 设 x 1 ， x 2 为决策变量，正偏差变量 d ＋ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量 d−表示决策值未达到目标 值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又未达 到目标值，即恒有 d+×d− = 0。
12
第2节 解目标规划的图解法

对只有两个决策变量的目标规划问题，可以用图解法来 求解，以例2说明之（图5-1）。
min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i

9

第1节 目标规划的数学模型

4.目标规划的目标函数

目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约 束的正、负偏差变量和赋予的优先因子及权系 数而构造的。当每一目标值确定后，决策者的 要求是尽可能缩小和目标值的偏差。因此目标 规划的目标函数的形式通常是 min z=f(d+,d−)
10
第1节 目标规划的数学模型
7

第1节 目标规划的数学模型
线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、 负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要 将绝对约束变换为目标约束，如可将例1的 目标函数 变换为目标约束 约束条件 变换为目标约束 z=8x1+10x 8x1+10x2+d1−−d1+=56 2x1+x2≤11 2x1+x2+d2−−d2+=11
6

第1节 目标规划的数学模型

2.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式 约束，如线性规划问题的所有约束条件，不能满 足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生 正或负偏差。因此在这些约束中加入正、负偏差 变量，它们是软约束。
16
第2节 解目标规划的图解法

用图解法求解，见图5.2。
17
第2节 解目标规划的图解法
从图5.2可看出：


在考虑具有优先因子P1、P2的目标实现后，x1、x2的 取值范围为ABCD。

当考虑P3级目标时，因d3−的权系数大于d4 − ，故先考 虑min d3 − 。这时x1、x2的取值范围缩小为区域ABEF。 然后考虑d4 − 。在区域ABEF中无法满足d4 − =0，因此 只能在ABEF中取一点，使d4 − 尽可能小，这就是E点。 故E点为满意解，其坐标为(24，26)。 即该厂每周应装配彩色电视机24台，黑白电视机26 台。

例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装 配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划 开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24 台，每台可获利80元；黑白电视机的销量是30台， 每台可获利40元。该厂确定的目标为：



第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不 超过10小时； 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。因 彩色电视机的利润高，取其权系数为2。 试建立本问题的目标规划模型，并求解黑白和彩色电视 15 机的产量。
18

第2节 解目标规划的图解法

Hale Waihona Puke 解：设x1，x2分别表示黑白和彩色电视机的产量，
本问题的目标规划模型为：
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 3 3 4) 2 2
x1 x2 d1 d1 40 d2 50 x1 x2 d 2 满足约束条件： x1 d3 d3 24 x d d 2 4 4 30 x , x , d , d 0, i 1,2,3,4 1 2 i i
11
第1节 目标规划的数学模型

例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先 是产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；其次是充分利用设备有 效台时，不加班；再次是利润额不小于56元。求最佳决策方案 。 解：按决策者所的要求，分别赋予这三个目标优先因子P1，P2， P3，得到本问题的数学模型为：
目标函数： min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
其具体形式大致有三种： (1) 若要求恰好达到目标值，则应要求正、负偏差 变量均尽可能地小，这时，目标函数的形式为 min z=f(d++d−) (2) 若要求不超过目标值，即允许达不到目标值， 但正偏差变量要尽可能地小，这时目标函数的 形式为 min z=f(d+) (3) 若要求超过目标值，即超过量不限，但负偏差 变量要尽可能地小，这时目标函数的形式为 min z=f(d−)
13
第2节 解目标规划的图解法

注意：求解目标规划问题时，把绝对约束作为最 高优先级考虑。在本例中，能依先后次序都满足 d1+=0，d2++d2−=0，d3−=0，因而z*=0。但在大多 数问题中并非如此，会出现某些约束得不到满足， 故将目标规划问题的最优解称为满意解。
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第2节 解目标规划的图解法