2020年中考专题复习 第五讲：类比探究综合 讲义

类比探究（讲义）➢ 知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问； （2）整体类比上一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．类比探究问题中常见几何结构举例旋转结构（手拉手模型）：等线段共端点，考虑旋转，借助全等整合条件．EDC B AEDC B A如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构．连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，△ACE 可看作是由△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到的．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC ，△CDE 中，∠ACB =∠ECD =90°，CA =CB ，CD =CE ，点D在AB 边上．若AD =5，BD =12，则AE =______，DE =_______．EDCA2.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE．以下五个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=ED2+EC2；⑤BE2=2(AD2+AB2)，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5A BD E3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC 于F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD=3，CF=4，则DF=_________．EFDBA4.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD．（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？请说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，则BE的长为___________．图1DBACE图2CBEADGF图35. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，直接写出DA 2，DB 2，DE 2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程． （3）若点D 满足14AD AB ，直接写出DEDB的值：___________．图1EDCB A图2ECAABC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1）， 求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD <BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．小明在解决此题时，是在BD 上截取BN =CD ，连接AN ．你知道小明是怎么解决的吗？请写出过程．（3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD C BA图1ODBA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB AN+=．小聪在解决此题时，过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P．你知道小聪是怎么解决的吗？请写出过程．AEB D FC图1ANDB CM图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132. C3.（1）略；（2）5，证明略；（3）4.（1）略；（2）BE CD5.（1）222DA DB DE；（2）成立，证明略；（3+=6.（1）略；（2）略；（3）27.（1）略；（2）略。

类比探究（一）——平行、直角（讲义）知识点1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：①平行结构②直角结构③旋转结构G F EDC BA④中点结构DA BMCABC E MNMA平行夹中点 (类)倍长中线 中位线精讲精练1. 如图，△ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE =BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F ，Q ，记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3． （1）①若EP =2AE ，则EF :PQ :BC =__________； ②求证：EF +PQ =BC ．（2）若S 1+S 3=S 2，求PEAE的值．（3）若S 3-S 1=S 2，直接写出PEAE的值．QPFE CB AFEDCG (B )AAB=ACDBCD'A2. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE =nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）如图1，当∠BAC =90°，∠B =30°，DE =EA 时，求FBFA的值； （2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE =EA 时，求FBFA 的值； （3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE =nEA 时，求FBFA的值．3. 在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN =90°． （1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，分 别交AD ，AB 于点E ，F ，请直接写出PE 与PF 的数量关系． （2）将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，旋转后，若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O ，B 重合），当BD =3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明． ③当BD =m ·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM =15°时，连接EF，若正方形的边长为，请直接写出线段EF 的长．图1MN F E O (P )DCBA 图2A BDO (P )E FNM4. 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，图3PA BDO E FNM图3A D NPECBM ∠BDE =90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD =DP ． （1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD =DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．类比探究（二）——旋转、中点（讲义）知识点1. 若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题． ① 根据题干条件，结合支干条件先解决第一问． ② 类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征、不变结构．③ 结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证． 2. 不变结构既是类比迁移的前提，也是类比迁移过程中发现的结果．① 对比连续两问特征，考虑类比的前提条件是否存在；② 对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合；③ 对比结论，往往先从图上验证上一问结论；或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．精讲精练1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ． （1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？图1AD NPECBM 图2M BCE PNDA图2QP FCBEA图3QP F CBEA2. 如图1，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．3. 已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m ，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．图1Q P FCBE A图2NQFE P D CB A图1N QPF E DCBA 图3ABCD（1）操作发现：直线l ⊥m ，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时（如图1所示），连接PB ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向上平移到如图2的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB =90°（如图3所示），已知两平行线m ，n 之间的距离为2k ．求证：PA PB k AB ⋅=⋅．图1lmn A (C )BD P 图2PDBCA n m l l m n ACB DP图34. 在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB =∠AEF =90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE ．特殊发现：如图1，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC =PE 成立（不要求证明）． 问题探究：把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转．（1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACk BC=，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形（请直接写出k 的值，不必说明理由）？图1PFEC BAP A BCEF图2图3PCBAF类比探究（三）——探究应用（讲义）知识点A CB1. 类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题．此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征．在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题．备注：图形不完整时，往往会有多种情形．精讲精练1. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC =b ，AB =c ． 特例探索（1）如图1，当∠ABE =45°，c=a =_____，b =_____； 如图2，当∠ABE =30°，c =4时，a =________，b =________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论．拓展应用（3）如图4，在□ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，BE ⊥AC 于点H ，若AD=AB =3，求AF 的长．CFPECFP ECF BPE图1图2图32. BC D A3. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于EFBCD A HF E DCB A图4点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，ABC S =△BE =_________，CD =________．图1N MF EDCB A DCABFEN图24. 已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°．探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC=1PA则：①PB =___________，PC =____________； ②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为____________．（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P 满足13PA PB =，求PCAC的值． 图1AB PCQ图2QACP B【参考答案】图3ACBD CABFEN图32.（1）证明略（2）2（3）n2+n；n2-n；-n2+n3.（1）证明略（2）BE=CD+CF；CF=BE+CD（3）8；4或84.（1，2；②222PA PB PQ+=（2）证明略（3）42【参考答案】1.（1）EF⊥AB（2）成立（3）∠QPE=∠CPF=∠B2.（1）DE+DF=AD（2）证明略（3）当点E落在AD上时，DE+DF12AD =；当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=12 AD3.（1）PA=PB（2）成立，证明略（3）证明略4.（1）成立，证明略（2）成立，证明略（3）k=【参考答案】1.（1）①1:3:4 ②证明略（2）2（32.（1）2（2）2（3）2n3.（1）PE=PF（2）①成立，证明略；②PE=2PF，证明略；③PE=(m-1)PF（3）4.（1）成立，证明略（2）相等。

G F E D C B A D A B M C N M C B A A B C E FM AB=AC D B C D'A 中考数学类比探究专题复习一：知识点睛1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构④中点结构 平行夹中点 (类)倍长中线 中位线二：真题演练 （2015?潜江1.24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转． （1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.（2015?贵港26．（10分））已知：△ABC 是等腰三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰三角形PCQ ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P 在线段AB 上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB= ，PC= 2 ；②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为 ；（2）如图②，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P 满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）3、（2015?齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，点B 、C 、G 在同一条直线上，M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，易证：DM=FM ，DM ⊥FM （无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．4、（2015?黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．5、（2015?牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M 在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．6、（2015?哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=，求线段AH的长．7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．8、（2015?宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA?EC=EB?ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD?AC=2BD?BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．9、（2015?锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．10、（2015?本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD=∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13、（2015?葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．15、（2015?营口25．（14分））【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．。

类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问题解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB＋AC＝CE＋BD；(2)如解图①，过点D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ，第1题解图①易证△ABC ≌△DEA ， ∴DE ＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4， ∴BE ＝AB ＋AE ＝6，在Rt △BED 中，由勾股定理得BD ＝62＋22＝210； (3)BD 的长为3 2.【解法提示】如解图②，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AB 交BA 的延长线于点F ，则四边形BEDF 为矩形．第1题解图②易证△CED ≌△AFD ， ∴CE ＝AF ，ED ＝DF ， ∴四边形BEDF 为正方形， ∴BE ＝DF ＝BF ＝DE . 设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝42＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3， ∴BF ＝2＋1＝3，DF ＝3，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝3 2.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作▱OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，∴AH＝32BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，32BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH∥EF，AH＝12EF，∴EF⊥BC，12BC＝12EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，∴AH＝AB2－BH2＝7 2，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，∴EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等边△ADE，过点F作AB的平行线FG，交AE于点G.【特例发现】(1)如图①，当点D 与点F 重合时，直线CE 和AB 的位置关系是________；DG 与AE 的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D 移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝BC ，∠ADB ＝60°，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F ，若AD ＝5，CD ＝32，请直接写出线段EF 的长度．第3题图解：(1)CE ∥AB ；DG ⊥AE .【解法提示】∵△ABC 与△ADE 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠BAC ＝∠F AE ＝∠ABF ＝60°， ∵∠BAC ＝∠BAF ＋∠F AC ，∠F AE ＝∠F AC ＋∠CAE ， ∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴CE ∥AB ， ∵AB ∥FG ，∴CE ∥FG ∥AB ，∵点F 为BC 的中点，∴点G 为AE 的中点， ∵△AEF 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC 和△DAE 均为等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE ＝∠ABF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BAC ，∴AB ∥CE . ∵FG ∥AB ，∴AB ∥FG ∥CE ，∵点F 是BC 的中点，∴点G 是AE 的中点， ∵△ADE 为等边三角形，∴DG ⊥AE . (3)线段EF 的长为74.【解法提示】如解图，过点A 作AG ＝AD ，交BD 于点G ，延长EF 交AD 于点H ，第3题解图∵∠ADB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ， ∴△ABC 和△ADG 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAG ＝∠AGD ＝60°，AG ＝AD ＝5， ∴∠BAG ＝∠CAD ，∠AGB ＝120°，∴△ABG ≌△ACD ，∴∠AGB ＝∠ADC ＝120°，∴∠CDE ＝120°－60°＝60°. 又∵∠AGD ＝60°，∴CD ∥AG . ∵EF ∥CD ，∴EF ∥CD ∥AG . 在等边△ADG 中，∵AE ⊥GD ，∴点E 是DG 的中点，∴点H 是AD 的中点， ∴EH 是△ADG 的中位线，∴EH ＝12AG ＝52. 在△ACD 中，∵FH ∥CD ，∴FH 是△ACD 的中位线，∴FH ＝12CD ＝34， ∴EF ＝EH －FH ＝52－34＝74. 4．【问题发现】(1)如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，连接EF ，则线段BE 、EF 、DF 之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC 中，AD ＝2，CD ＝4，∠ADC 是一个不固定的角，以AC 为边向△ADC 的另一侧作等边△ABC ，连接BD ，则BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】(3)如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，BC ＝42，若BD ⊥CD ，垂足为点D ，则对角线AC 的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，∵DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋2 6.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴AC ＝DE ，∵在等边△BCE 中，EF ⊥BC ， ∴BF ＝12BC ＝12×42＝22， ∴EF ＝3BF ＝3×22＝26，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ， ∴DF ＝12BC ＝22，∴AC ＝DE ≤DF ＋EF ＝22＋26， 即AC 的最大值为22＋2 6. 5.【问题发现】(1)如图①，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ；填空：①∠AEB 的度数为________；②线段AD 、BE 之间的数量关系为________． 【拓展探究】(2)如图②，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE .请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD 中，CD ＝2，若点P 满足PD ＝1，且∠BPD ＝90°，请直接写出．．．．点A 到BP 的距离．第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)3－12或3＋12.【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，∴BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，∴PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，∴BD＝2，∵PD＝1，∴PB＝3，∴AM＝12PP′＝12(PB－P′B)＝3－12.第5题解图第二种情况：如解图②，同理可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12. 综上所述，点A 到BP 的距离为3－12或3＋12.6．如图①，以▱ABCD 的较短边CD 为一边作菱形CDEF ，使点F 落在边AD 上，连接BE ，交AF 于点G .(1)猜想BG 与EG 的数量关系，并说明理由； (2)延长DE ，BA 交于点H ，其他条件不变， ①如图②，若∠ADC ＝60°，求 DGBH 的值；②如图③，若∠ADC ＝α(0°<α<90°)，直接写出．．．．DG BH 的值．(用含α的三角函数表示)第6题图解：(1)BG ＝EG ； 理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，∴EF＝CD，EF∥CD，∴AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，∴DGBH＝a＋b2a＋2b＝12；②DGBH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，第6题解图∵△ABG ≌△FEG ，∴AG ＝FG ， 设CD ＝a ，FG ＝b ，则AB ＝a ，AG ＝b ， ∵四边形CDEF 是菱形，∠ADC ＝α， ∴∠ADH ＝α，∴DF ＝2DO ＝2a cos α， ∴AD ＝DF ＋FG ＋AG ＝2a cos α＋2b ， ∵AB ∥CD ，∴∠HAD ＝∠ADC ＝α， ∴AN ＝12AD ＝a cos α＋b ， ∴AH ＝ANcos ∠HAD ＝a cos α＋b cos α，∴BH ＝AB ＋AH ＝a ＋a cos α＋b cos α＝2a cos α＋bcos α，∵DG ＝DF ＋FG ＝2a cos α＋b ， ∴DG BH ＝2a cos α＋b2a cos α＋b cos α＝cos α.7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 顺时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，线段BQ 与CP 的数量关系为________； (2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①∵PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，∵CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，∴PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，∴BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，∴BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，∴BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E 在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE 的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE, △ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，∵DA＝EA，BA＝AC，∴△DAB ≌△EAC ，∴BD ＝CE ，∠DBA ＝∠ECA ，∴∠DBA ＋∠ABE ＝∠ECA ＋∠ABE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2.∵△ADE 是等边三角形，∴DE ＝AE ，∴BD 2＋BE 2＝AE 2即EC 2＋EB 2＝EA 2.(2)12CE 2＋BE 2＝12AE 2；理由如下：∵∠ADE ＝∠ABC ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAC ＝45°，AE ＝2AD ，AC ＝2AB ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∴△DAB ∽△EAC ，∴∠DBA ＝∠ECA ，BD CE ＝AD AE ＝12， ∴∠DBE ＝90°，∴BD 2＋BE 2＝DE 2，即(22CE )2＋BE 2＝(22AE )2，则12CE 2＋BE 2＝12AE 2；(3)2.【解法提示】如解图，第8题解图∵∠EBC ＋∠EBA ＝90°，∴∠EBC ＝∠ECA ，∴∠EBC ＋∠ECB ＝∠ECA ＋∠ECB ＝∠BCA ＝45°，∵点D ，E ，C 在一条直线上，∴∠BED ＝45°，∵∠DBE ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴BD ＝BE ，设BD ＝x ，则DE ＝CE ＝AD ＝2x ，在Rt △ADC 中，AC ＝2BC ＝210，AD 2＋CD 2＝AC 2，即(2x )2＋(22x )2＝(210)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍)．则S △BDE ＝12BD ·BE ＝12×2×2＝2.9．已知四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .(1)如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF .求证：DE ·CD ＝CF ·AD ；(2)如图②，若四边形ABCD 是平行四边形．试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得DE ·CD ＝CF ·AD 成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA ＝BC ＝3，DA ＝DC ＝4，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出DE CF 的值．第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DECF＝ADCD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴DFDG＝DEDA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DFDG＝CFCD，∵DFDG＝DEDA，DFDG＝CFCD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；(3)解：DECF＝2524.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝CDAB＝BCBD＝BD，∴△BAD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD ＝∠A ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∵∠ABC ＋∠CBM ＝180°，∴∠MBC ＝∠ADC ，∵∠CND ＝∠M ＝90°，∴△BCM ∽△DCN ，∴CM CN ＝BC CD ，∴CM x ＝34，∴CM ＝34x ，在Rt △CMB 中，CM ＝34x ，BM ＝AM －AB ＝x －3，由勾股定理得：BM 2＋CM 2＝BC 2，∴(x －3)2＋(34x )2＝32，解得x ＝0(舍去)，x ＝9625， ∴CN ＝9625，∵∠A ＝∠FGD ＝90°，∴∠AED ＋∠AFG ＝180°，∵∠AFG ＋∠NFC ＝180°，∴∠AED ＝∠CFN ，∵∠A ＝∠CNF ＝90°，∴△AED ∽△NFC ，∴DECF＝ADCN＝49625＝2524.10. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，第10题解图①∴∠FBE ＝∠APE ，∠F AC ＝∠C ＝90°，四边形ADBF 是平行四边形． 由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝AF ，∴AC AF ＝CD AE ＝3，又∵∠F AC ＝∠C ＝90°，∴△F AE ∽△ACD ，∴AC AF ＝AD EF ＝BF EF ＝3，∠FEA ＝∠ADC ，又∵∠ADC ＋∠CAD ＝90°，∴∠FEA ＋∠CAD ＝90°＝∠EHD ，∵AD ∥BF ，∴∠EFB ＝90°，在Rt △EFB 中，tan ∠FBE ＝EF BF ＝33，∴∠FBE ＝30°，∴∠APE ＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，DH 、EH 相交于点H ，连接AH ，第10题解图②∵EH ∥CD ，DH ∥BE ，∴∠APE ＝∠ADH ，∠HEC ＝∠C ＝90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE ＝DH ，EH ＝BD ，由题意知AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，∴AC BD ＝CD AE ＝3，又∵BD ＝EH ，∴AC EH ＝CD AE ＝3，又∵∠HEA ＝∠C ＝90°，∴△ACD ∽△HEA ，∴AD AH ＝AC EH ＝3，∠ADC ＝∠HAE ，∠CAD ＋∠ADC ＝90°，∴∠HAE ＋∠CAD ＝90°，∴∠HAD ＝90°，在Rt △DAH 中，tan ∠ADH ＝AH AD ＝33，∴∠ADH ＝30°，∴∠APE ＝30°.。

专题五类比探索型问题备考演练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE。

设∠BAC＝α，∠BCE＝β。

(1)求证：△DAB≌△EAC;（2)当点D在线段BC上运动时，①若α＝50°,则β＝ __130__度；②猜想α与β之间的数量关系？并对你的结论给出证明；(3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论是否仍然成立？若成立，试加以证明;若不成立，请你给出正确的数量关系，并说明理由．［解］（1）∵∠BAC＝∠DAE＝α,∴∠BAD＝∠CAE＝α－∠DAC.又AB＝AC,AD＝AE，∴△ABD≌△ACE.(2)②∵△ABD≌△ACE，∠BAC＝α。

∴∠B＝∠ACE.∴∠B＋∠ACB＝β.∵∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，∴α＋β＝180°。

(3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时，上题②中的结论不能成立,此时α＝β成立．其理由如下：类似(1）可证△DAB≌△EAC，∴∠DBA＝∠ECA.又由三角形外角性质有∠DBA＝α＋∠DCA，∴∠ACE＝α＋∠DCA，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝α＋∠ACB－∠ACB＝β。

∴α＝β。

2．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象过点A(2，0）和B(4，3）,l 为过点（0,－2）且与x轴平行的直线，P(m,n)是该二次函数图象上的任意一点,过P作PH⊥l,H为垂足．(1)求二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0)的解析式；【特例探究】(2)填空：当m＝0时,OP＝__1__，PH＝__1__ ;当m＝4时,OP＝ __5__，PH＝__5__；【证明】(3）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．[解] （1）∵二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象过点A(2，0）和B(4，3）,∴错误!解得错误!∴二次函数的解析式为y＝14x2－1。

1图3A BCEFPABC OEF图2图1FE OC B A 中考数学类比探究实战演练（一）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日 三、解答题 22. （10分）在Rt △ABC 中，AB =BC =5，∠ABC =90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转．（1）如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于点E ，F ，此时，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？请直接写出．（2）如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 的延长线于点E ， F ，此时，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）如图3，若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处，当 AP :AC =1:4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．中考数学类比探究实战演练（二）做题时间：_______至_______ 自我评价：☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 共__________分钟 日 期：_____月_____日三、解答题22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ； ②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变， 请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．图2图1图3FCAB DEOFC A BDEED B ACF22.（10分）图3A BCEFPABC OEF图2图1FE OCB A以下为非选择题答题区，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。

类比探究（讲义）二、精讲精练1. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD BE ． （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，猜想DE ，AD ，BE 具有怎样的数量关系？并加以证明．2.（1）如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ， ∠ABC =∠ADC =90°，则能得到如下两个结论： ①DC =BC ；②AD +AB =AC ．请你证明结论②． （2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC +∠ADC =180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC =∠ADC ”，其他条件不 变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若 不成立，你又能得出什么结论，请直接写出你的结论．图1N E CD M 图2A CDE M N B 图1N M DC B A B CD M N图2A B CD M N 图3图3A B C DE MN3.图1，四边形ABCD 是正方形，AB =BC ，∠B =∠BCD =90°， 点E 是边BC 的中点，∠AEF =90°，EF 交正方形外角∠DCG 的 平分线CF 于点F ．（1）AE 与EF 相等吗？小聪同学的思路是：在AB 上截取BH =BE ， 连接HE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． （2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论 “AE =EF ”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点， 其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？说明理由．4. 以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，AB =AE ，AC =AD ， ∠BAE =∠CAD =90°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ． （1）如图1，在△ABC 中，当∠BAC =90°时，求AM 与DE 的数 量关系和位置关系．（2）如图2，当△ABC 为一般三角形时，（1）中的结论是否 成立，并说明理由． （3）如图3，若以△ABC 的边AB ，AC 为直角边向内作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACD ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由．G A B C DF E 图1图1M ADCE E DA M 图2B MC E AD图3E FD C B A G 图2FD A G 图3【参考答案】 1.∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =CE +DC=AD +BE （2）如图， ∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90°∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠CBE +∠2=90° ∴∠1=∠CBE 在△ADC 和△CEB 中1ADC CEB CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS)21B NM EDCA如图， ∵∠ACB =90° ∴∠1+∠2=90° ∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ∴∠ADC =∠CEB =90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3在△ADC 和△CEB 中13ADC CEB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB (AAS) ∴AD =CE ，DC =EB ∴DE =DC -CE=BE -AD2. （1）证明：如图，在BN 上截取BE=AD ． ∵AC 平分∠DAB ，∠MAN =120°∴△CDA ≌△CBA (AAS) ∴DC =BC ，AD =AB 在△CDA 和△CBE 中DC BC CDA CBE AD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDA ≌△CBE (SAS) ∴AC =EC ，AD =EB ∵∠2=60°∴AC=AE=BE+AB =AD+AB（2）成立，证明如下：如图，过C 作CG ⊥AM 于G ，CF ⊥AN 于F ，在BN 上截取BE=AD ．∵CG ⊥AM ，CF ⊥AN ∴CGD CFB ∠=∠∠CDG +∠ADC =180°∠ABC +∠EBC =180°∴∠CDG =∠CBF ，∠ADC =∠EBC 在△CGD 和△CFB 中CDG CBFCGD CFB CG CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CGD ≌△CFB (AAS) ∴CD =CB在△CDA 和△CBE 中CD CB ADC EBC AD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=BE +AB =AD +AB（3）不成立，AC=AB -AD3. 解：（1）AE =EF ，理由如下：如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90°∴∠1=∠2=45° ∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90°4321H GA BCD FE图2∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF（2）AE =EF 仍成立，理由如下： 如图，在AB 上截取BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠1=∠2=45°∴∠AHE =135° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠GCF =45° ∴∠ECF =135° ∴∠AHE =∠ECF ∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠4=90° ∴∠3=∠4在△AHE 和△ECF 中43AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA)H 4123FDBA G∴AE =EF（3）AE =EF 仍成立，理由如下：如图，延长BA 到H ，使BH =BE ，连接HE ． ∵AB =BC ∴AH =EC ∵∠B =90° ∴∠H =45° ∵∠BCD =90° ∴∠DCG =90° ∵CF 平分∠DCG ∴∠1=45° ∴∠H =∠1∵∠AEF =90°，∠B =90°∴∠AEB +∠3=90°，∠AEB +∠2=90° ∴∠2=∠3∵∠HAE +∠2=180°，∠CEF +∠3=180° ∴∠HAE =∠CEF 在△AHE 和△ECF 中1H AH ECHAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AHE ≌△ECF (ASA) ∴AE =EF4. 解：（1）DE =2AM ，AM ⊥DE ，理由如下：∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4H 123FDAG∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，连接BF ，延长MA 交DE 于G ． ∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠3=∠4 ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAED∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中BF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠5=∠6 ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠5+∠7=90° ∴∠6+∠7=90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE（3）（1）中的结论成立，理由如下：如图，延长AM 到F ，使MF =AM ，交DE 于G ，连接BF ． 在△BMF 和△CMA 中 BM CM BMF CMA MF MA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CMA (SAS) ∴FB =AC ，∠FBM =∠ACM ∴BF ∥AC∴∠FBA +∠BAC =180° ∵∠BAE =∠CAD =90° ∴∠DAE +∠BAC =180° ∴∠FBA =∠DAE ∵AC =AD ∴BF =AD在△FBA 和△DAE 中ABF AD FBA DAE AB EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FBA ≌△DAE (SAS) ∴AF =ED ，∠BAF =∠AED ∴DE =2AM ∵∠BAE =90° ∴∠BAF +∠EAF =90° ∴∠AED +∠EAF =90° ∴∠EGA =90° 即AM ⊥DE类比探究每日一题1.（5月5日）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，且 直线CD 经过∠BCA 的内部，点E ，F 在直线CD 上，已知CA =CB 且∠BEC =∠CF A =∠α． （1）如图1，若∠BCA =90°，∠α=90°，问EF =BE -AF 成立吗？说明理由．（2）如图2，若0°<∠BCA <90°，请你添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件，使结论EF =BE -AF 仍然成立．你添加的条件是___________________，并给出证明．（3）如图3，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA ， 请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并给出 证明．AB CD EF 图3F A BCD E FE DCBA 图2图12. （5月6日）如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF (CG >BC )中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接 DM ，FM ．（1）探究线段MD ，MF 的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ，C ，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条M图2图1AB CDEFG ABC DEFMG GM FED C B A直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论 是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．3. （5月7日）（1）方法感悟：如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ． 求证：DE+BF=EF ．321ED A（2）方法迁移：如图2，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF =12∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，E ，FECF D AB图2分别为DC ，BC 上的点，满足∠EAF =12∠DAB ，试猜想当 ∠ABC 与∠D 满足什么关系时，可使得DE +BF =EF ．请直接写出你的猜想．（4）延伸：如图4，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，CB 延长线上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ．求证：DE BF=EF ．图3BF ED A图4C FB A DE【参考答案】1. 解：（1）EF =BE -AF 成立．理由如下： 如图1： ∵∠BEC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵∠BCA =90° ∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中=13BEC CFABC CA ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ∴EF =CF -CE=BE -AF（2）增加条件是∠α+∠BCA=180°，理由如下： 如图2：∵∠1+∠2+∠α=180°∴∠1=180°-∠α-∠2 ∵∠BCA =∠2+∠3 ∠α+∠BCA =180° ∴∠3=180°-∠α-∠2 ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中13BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF ∴EF =CF -CE图1A B CDEF123图2F ED CB A123ECB A123=BE -AF（3）EF =BE +AF ，理由如下： 如图3：∵∠α+∠1+∠2=180° ∴∠1=180°-∠α-∠2 ∵∠BCA =∠α ∴∠2+∠α+∠3=180° ∴∠3=180°-∠α-∠2 ∴∠1=∠3∴在△BCE 和△CAF 中13BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCE ≌△CAF （AAS ） ∴BE =CF ，CE =AF∴EF =FC +CE=BE +AF 2. 解：（1）MD =MF 且MD ⊥MF ，理由如下： 如图1：延长DM 交EF 于点N ．在正方形ABCD 和正方形CGEF 中， AD =CD ，FC =FE ，∠ADC =∠CFE =90° ∴∠ADF =∠CFE =90° ∴AD ∥EF ∴∠1=∠2∵M 是AE 的中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中12=3=4AM EM ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CDN 4321图1GM FE DC BA∴CD =EN ∴FC -CD =FE -EN 即FD =FN ∵DM =NM∴MD ⊥MF ，∠DFM =12∠DFN =45° ∴∠DFM =∠FDM =45° ∴MD =MF（2）MD ⊥MF 且MD =MF ．理由如下： 如图2：延长DM 交GE 于点N ，连接FD ，FN ． 在正方形ABCD 和正方形CGEF 中，AD =CD ，FC =FE ∠ADC =∠G =∠CFE =∠NEF =90°∴AD ∥GE ，∠DCF =∠NEF =90°∴∠1=∠2 ∵M 是AE 中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中1234AM EM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CD ∴CD =EN在△FCD 和△FEN 中===FC FEDCF NEF CD EN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FCD ≌△FEN （SAS ） ∴FD =FN ，∠5=∠6 ∵∠CFE =90° ∴∠6+∠CFN =90° ∴∠5+∠CFN =90°N654321图2BAC DEFMG即∠DFN =90° ∵DM =NM∴MD ⊥MF ，∠DFM=12∠DFN=45° ∴∠MDF =∠DFM =45° ∴MD =MF（3）（1）中的两个结论不变．理由如下： 如图3：延长DM 交CE 于N ，连接FD ，FN ． 在正方形ABCD 中，AD =CD ，AD ∥BC ，∠DCB =90°∴∠DCE =90°，∠1=∠2 在正方形CGEF 中， ∠CFE =90°，∠FCE =∠FEC =45°，FC =FE∴∠DCF=∠NEF =45° ∵M 为AE 中点 ∴AM =EM在△ADM 和△ENM 中1234AM EM =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠∴△ADM ≌△ENM （ASA ） ∴AD =EN ，DM =NM ∵AD =CD ∴CD =EN在△FDC 和△FNE 中CD EN DCF NEF FC FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FDC ≌△FNE （SAS ） ∴∠5=∠6 ∵∠CFE =90° ∴∠6+∠CFN =90° ∴∠5+∠CFN=90° 即∠DFN=90°N 654321图3AC DEF MG B∵DM =NM∴FM ⊥DM ，∠DFM=12∠DFN=45° ∴∠MDF =∠DFM =45° ∴MD =MF3. （1）观察到所求为DE +BF =EF ，是线段和的形式，所以考虑截长补短，根据图中提示，辅助线描述为： 延长CB 至点G ，使得BG =DE ，连接AG ． 在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC =∠ABG =∠BAD =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG ADE BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠1=∠2，AG =AE ∵∠EAF =45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF =∠EAF 在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GAF ≌△EAF （SAS ） ∴GF =EF ∴DE +BF =EF（2）照搬第一问的辅助线、字母、解题方法解决此问． 如图，延长CB 至点G ，使得BG =DE ，连接AG ．由题意可知 AB =AD ，∠ABC =∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB AD ABG ADE BG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠1=∠2，AG =AE ∵∠EAF =12∠DAB G 132AB D E∴1232DAB ∠+∠=∠ ∴1132DAB ∠+∠=∠ 即∠GAF =∠EAF 在△GAF 和△EAF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GAF ≌△EAF （SAS ） ∴GF =EF ∴DE +BF =EF（3）∠B +∠D =180°（4）观察到所求为DE -BF =EF ，是线段差的形式，所以同样 考虑截长补短，可用截长的方法． 如图，在DE 截取DG =BF ，连接AG ． 在正方形ABCD 中， AD =AB ，∠D =∠ABC =∠ABF =∠BAD =90° 在△ABF 和△ADG 中 BF DGABF D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADG （SAS ）∴∠1=∠2，AF =AG ∵∠2+∠BAG =90° ∴∠1+∠BAG =90° 即∠GAF =90° ∵∠EAF =45°∴∠GAE =∠F AE =45° 在△AFE 和△AGE 中AF AG FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△AGE （SAS ） ∴EF =GE ∴DE -EF =BF类比探究（随堂测试）1.在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，P 是CD 边上一点，连接PA ，过点B ，D 作BE ⊥PA ，DF ⊥PA ，垂足分别为E ，F ，如图1． （1）请探究BE ，DF ，EF 这三条线段有怎样的数量关系？ 21G FD CBA A EF PD（2）若点P在DC的延长线上，如图2，则这三条线段又具有怎样的数量关系？（3）若点P在CD的延长线上，如图3，则这三条线段又具有怎样的数量关系？【参考答案】1.证明略提示：（1）BE=DF+EF ，由垂直转互余可以得到∠ABE =∠DAF ，结合正方形的边AB=DA 证明△AEB ≌△DF A ，得到对应边相等，可以得到BE=DF+EF ．（2）BE=DF -EF ，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=DF -EF ． （3）BE=EF -DF ，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=EF -DF ．类比探究（作业）1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ．如图1．（1）求证：AC =CE ．（2）若将CD 沿CB 方向平移，如图2，其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移，如图3，其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．图3图2图1AC DEEDAEDB (C 2)AC 2C 1C 12. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ， ∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ， M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ． （1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形． （2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由．图2图1ABCDEMNN M D C BA【参考答案】1.证明略提示：（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，结合BC=DE证明△ABC≌△CDE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．2.证明略提示：（1）由已知条件先证明△BAE≌△CAD(SAS)，得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN(SAS)得到AM=AN，因而△AMN 是等腰三角形．（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN 是等腰三角形．。