【全国市级联考word】湖南省湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试理数试题

高考高分冲刺模拟试题（答案详解）理科数学 2018年高三湖南省第三次模拟考试理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。

）（5分）设全集U=Z，A={2，3，5，8，9}，B={1，2，3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合是（）A. {2，4，6}B. {1，3，5}C. {2，5，6}D. {1，4，6}（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1+z2所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（5分）已知a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小关系是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. a＜b＜cD. b＜a＜c（5分）若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件（5分）等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{an}的前8项的和为（）A. 32B. 64C. 108D. 128（5分）已知向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+n与﹣2共线，则等于（）A. ﹣B.C. ﹣2D. 2（5分）已知sinθ+cosθ=，其中θ在第二象限，则sin2θcosθ﹣sinθcos2θ=（）A. ﹣B. ﹣C. ﹣D.（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b=c=2，若函数f（x）=x3﹣x的极大值是cosA，则△ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形（5分）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 8D. 16（5分）若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A 的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（）A. ﹣32B. ﹣16C. 16D. 32（5分）定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1﹣f（x），其中f′（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）A. ef（1）﹣e＞e2f（2）﹣e2B. e2015f（2015）﹣e2015＞e2016f（2016）﹣e2016C. e2f（2）+e2＞ef（1）+eD. e2016f（2016）+e2016＜e2015f（2015）+e2015（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣2ax﹣2a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. [，）C. （0，）D. [，）填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。

**2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试**理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}13,0M x x N x x =-≤<=<，则集合{}03xx ≤<=（ ）A ．MN⋂ B ．MN⋃ C.()R MC N⋂ D ．()R C M N⋂2.复数z 满足()234i z i --=+（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．2i -+B ．2i - C. 2i -- D ．2i + 3.已知ta n 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ta n 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-．2+C. 2--．2-+4.已知命题:p 在A B C ∆中，若sin sin A B=，则A B=；命题():0,q x π∀∈，1sin 2sin x x+>.则下列命题为真命题的是（ ） A ．pq∧ B ．()pq ∨⌝ C.()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q⌝∨5.已知双曲线()2222:10,0x y Ea b ab-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，若E 的一个焦点F 关于1l 的对称点F '在2l 上，则E 的离心率为（ ）A B ．326.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．7 C. 152D ．2337.已知函数()()s in 203f x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相切，则()f π=（ ）A ．32-B ．12-12- D ．12--8.已知P 是抛物线24y x=上任意一点，Q 是圆()2241xy-+=上任意一点，则P Q 的最小值为（ ）A ．52B ．1D．19.利用随机模拟的方法可以估计圆周率π的值，为此设计如图所示的程序框图，其中()ra n d 表示产生区间[]0,1上的均匀随机数（实数)，若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.134B ．3.141 C.3.144 D ．3.147 10.在A BC ∆中，点G 满足0G A G BG C ++=.若存在点O ，使得16O GB C=，且O Am O B n O C=+，则m n -=（ ）A ．2B ．2- C. 1 D ．1- 11.若异面直线,m n 所成的角是60︒，则以下三个命题: ①存在直线l ，满足l 与,m n 的夹角都是60︒； ②存在平面α，满足mα⊂，n 与α所成角为60︒；③存在平面,αβ，满足,mn αβ⊂⊂，α与β所成锐二面角为60︒.其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．3 12.已知()0,xxxea fx e a>=+，若()f x 的最小值为1-，则a=（ ）A ．21eB ．1eC. e D ．2e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量,x y 满足约束条件10,1,250,x y y x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则zx y=+的最大值为 ．14.某种袋装大米的质量X （单位：k g ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，质量在49.850.1kg的概率为 ． 15.设函数()2,0,0,x x f x x ⎧<⎪=≥则使得()()f x fx >-成立的x 得取值范围是 ．16.A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角A 的内角平分线交B C 于点D ，若111,2a bc=+=，则A D 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，111,2a b ==，22337,13a b a b +=+=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若,,n nn a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18. 某球迷为了解,A B 两支球队的攻击能力，从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下：A球队：122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83B球队：114 114 110 108 103 117 93 124 75 10691 81 107 112 107 101 106 120 107 79（1）根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图，并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（2）根据球队所得分数，将球队的攻击能力从低到高分为三个等级：记事件:C “A 球队的攻击能力等级高于B 球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率. 19.如图，四棱锥PA B C D-的底面A B C D 是平行四边形，90B A CP A D P C D ∠=∠=∠=︒.（1）求证：平面P A B ⊥平面A B C D ；（2）若3AB AC PA ===，E 为B C 的中点，F 为棱P B 上的点，//P D平面A E F ，求二面角A D F E--的余弦值.20.已知点()2,0A -，点()1,0B -，点()1,0C ，动圆O '与x 轴相切于点A ，过点B 的直线1l 与圆O '相切于点D ，过点C 的直线2l 与圆O '相切于点E （,D E 均不同于点A ），且1l 与2l 交于点P ，设点P 的轨迹为曲线Γ. （1）证明：P B P C+为定值，并求Γ的方程；（2）设直线1l 与Γ的另一个交点为Q ，直线C D 与Γ交于,M N两点，当,,O D C '三点共线时，求四边形M P N Q 的面积. 21.已知0a>，函数()24ln 2a f x x x a=+-+.（1）记()()2g a fa =，求()g a 的最小值；（2）若()yfx =有三个不同的零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知点A 在椭圆22:24Cx y+=上，将射线O A 绕原点O 逆时针旋转2π，所得射线O B 交直线:2l y =于点B .以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求椭圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）证明：:R t O A B ∆中，斜边A B 上的高h 为定值，并求该定值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()123f x x x =---.（1）求不等式()0f x ≥的解集； （2）设()()()g x fx fx =+-，求()g x 的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12：DA 二、填空题13. 4 14.0.8185 15.()(),10,1?∞-⋃- 16.2⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题 17.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2， 故a n ＝2n －1，b n ＝2n，（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n， 所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n(1＋4n －3)2＋4(1－4n)1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)．18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下3 6 9 3 15 2 4 0 7 1 9 5 5 10 8 367 7 1 6 78 8 4 5 0 11 4 4 0 7 20 9 2 12 4 0通过茎叶图可以看出，A 球队所得分数的平均值高于B 球队所得分数的平均值； A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．（2）记C A1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”， C A2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”， C B2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C A1与C A2互斥，C ＝(C A1C B1)∪(C A2C B2)． P (C)＝P (C A1C B1)+ P (C A2C B2)＝P (C A1)P (C B1)＋P (C A2)P (C B2)．由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A1)＝1420，P (C A2)＝320，P (C B1)＝520，P (C B2)＝1820，P (C)＝1420×520＋320×1820＝0.31．19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ． （2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴ BO OD ＝ BE AD ＝ 1 2， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ， 平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ，∴ BF FP ＝ BO OD ＝ 1 2，以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)， P(0，0，3)，E ( 3 2， 32，0)，F(2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A-DF-E 为钝二面角，∴二面角A-DF-E 的余弦值为－23939．20．解：（1）由已知可得|PD|＝|PE|，|BA|＝|BD|，|CE|＝|CA|， 所以|PB|＋|PC|＝|PD|＋|DB|＋|PC| ＝|PE|＋|PC|＋|AB| ＝|CE|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＝4＞|BC| 所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y23＝1(y ≠0)．（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ， 又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ， 所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC|＝|BC|＝2，又由椭圆的定义，|PB|＋|PC|＝4，得|PB|＝2， 所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3)(i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30， 此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ|＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN|＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ|·|MN|＝38465．(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．21．解：（1）g (a)＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋ 1 a －1)，g(a)＝2(1a － 1 a )＝2(a －1)a，所以0＜a ＜1时，g (a)＜0，g (a)单调递减；a ＞1时，g(a)＞0，g (a)单调递增，所以g (a)的最小值为g (1)＝0．（2）f(x)＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4x(x ＋a 2)2，x ＞0． 因为y ＝f (x)有三个不同的零点，所以f (x)至少有三个单调区间， 而方程x 2＋(2a 2－4a)x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a)＞0，解得，0＜a ＜1．由（1）得，当x ≠1时，g (x)＞0，即ln x ＋1x－1＞0， 所以ln x ＞－ 1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2 a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2 a 2＋ 4 a －2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0，f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x)在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点，故所求a 的范围是0＜a ＜1．22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ； 直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．（2）证明：设A(ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜ 2．由（1）得|OA|2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB|2＝ρ2B ＝ 4sin 2(θ＋2)＝4cos 2θ， 由S △OAB ＝ 1 2×|OA|×|OB|＝ 12×|AB|×h 可得，h 2＝|OA|2×|OB|2|AB|2＝|OA|2×|OB|2|OA|2＋|OB|2＝2．故h 为定值，且h ＝2．23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|, 所以|x －1|2≥|2x －3|2整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．（2）显然g (x)＝f (x)＋f (－x)为偶函数， 所以只研究x≥0时g (x)的最大值．g (x)＝f (x)＋f (－x)＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|， 所以x≥0时，g (x)＝|x －1|－|2x －3|－x －2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32，所以当x ＝ 32时，g (x)取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x)取得最大值－3．。

湖南省湘潭市数学高三理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·渝中模拟) 已知集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么A∩B=（）A . {﹣2，﹣1，0，1}B . {﹣2，﹣1，1}C . {﹣1，1，2}D . {﹣1，0，1，2}2. （2分） (2017高二下·荔湾期末) 在复平面内，复数（ + i）2所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 45. （2分） (2018高三上·重庆期末) 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果是（）A .B . 0C .D . 16. （2分）已知点P为双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若成立，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A .B .C . -D . -8. （2分）(2017·鹰潭模拟) 如图是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切圆，俯视图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的中心．问该几何体的体积是（）A .B .C .D .9. （2分）函数y=xlnx的单调递减区间是（）A .B .C .D .10. （2分）抛物线x2=y的焦点坐标是（）A .B .C .D .11. （2分）若一个正三棱柱的高为1，体积为2 ，则一条侧棱到与它相对的面之间的距离为（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高二下·晋中期中) 若函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A . a≥3B . a=3C . a≤3D . 0＜a＜3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 设，，，若 ,则 ________．14. （1分） (2020高三上·泸县期末) 若x，y满足约束条件，则的最大值为________．15. （1分）已知在二项式（x2+ ）5的展开式中，含x4的项的二项式系数是________．16. （1分） (2018高二下·葫芦岛期中) 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分）(2017·邹平模拟) 已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a，b的值．18. （5分）(2018·陕西模拟) 如图，在三棱柱中，侧面底面 .（1）求证：平面；（2）若 ,求二面角的余弦值.19. （5分） (2019高二下·新城期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数，参考数据：，，，（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E ， F两点，若，求直线EF的方程．21. （5分）(2020·秦淮模拟) 已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．22. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．23. （5分） (2016高三上·成都期中) 已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集为M．（1）设Z是整数集，求Z∩M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2018年湖南省湘潭市高考三模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A ．k ＜6？B ．k ＜7？C ．k ＞6？D ．k ＞7？8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．12π9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．102310．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．201411．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．712．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18） B ．（﹣∞，18] C ．[18，+∞） D ．（18，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若（1+2x ）5=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 2+a 4= ．14．已知点M （1，m ）（m ＞1），若点N （x ，y ）在不等式组表示的平面区域内，且（O 为坐标原点）的最大值为2，则m= ．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．18．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 垂直相交于点O ，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD 沿BD 折到△BED 的位置，使得二面角E ﹣BD ﹣A 的大小为90°（如图）．已知Q 为EO的中点，点P 在线段AB 上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BD 与平面ADE 所成角θ的正弦值．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．2018年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁（M∪N）等于（）UA．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．（M∪N）．【分析】分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出CU【解答】解：∵M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞﹣1}，（M∪N）=（﹣∞，﹣1]．∴CU故选：A．2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵，∴，则z的虚部为，故选：D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．6．函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6π B．7π C．8π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B ．9．已知T n 为数列的前n 项和，若n ＞T 10+1013恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得T n ，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T 10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n ＞T 10+1013，∴整数n 最小值为1024． 故选C ．10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m （m ＞0）为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a=b （bmodm ）．若，a=b （bmod10），则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意a=（10﹣1）10，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b （bmod10），可得b 的值．【解答】解：∵=（1+2）20=320=910=（10﹣1）10=•1010﹣•109+•108+…﹣•10+，∴a 被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1， 故选：A ．11．如图，A 1，A 2为椭圆长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS|2+|OT|2=（ ）A ．14B ．12C ．9D ．7【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：设Q （x ，y ），T （x 1，y 1），S （x 2，y 2），QA 1，QA 2斜率分别为k 1，k 2，则OT ，OS 的斜率为k 1，k 2，且，所以，同理，因此=．故选：A ．12．已知函数f （x ）=aln （x+1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，18]C ．[18，+∞）D ．（18，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立⇔'f （x+1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=aln（x+1）﹣x2，所以f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，所以．因为p，q∈（0，1），且p≠q，所以恒成立恒成立⇔'f（x+1）≥2恒成立，即恒成立，所以a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，又因为x∈（0，1）时，8＜2（x+2）2＜18，所以a≥18．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a2+a4= 121 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的式子中，分别令x=1、x=﹣1，可得则a0+a2+a4的值．【解答】解：令x=1，则；再令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，∴，故答案为：121．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m= ．【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A （，），当m ≥0时，目标函数在A 处取得最大值2．分析知当时，z max =2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．15．将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）= ﹣1 ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g （x ）的解析式，从而求得g （0）的值．【解答】解：将函数f （x ）=sin2x 的图象沿x 轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x ﹣2φ）的图象，若函数g （x ）的图象关于y 轴对称，则2φ=2kπ+，k ∈Z ，∴φ的最小值为，g （x ）=sin （2x ﹣2φ）=sin （2x ﹣）=﹣cos2x ，∴g （0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =，则{b n }中的最大项的值是．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b n =，再由数列的函数特性求得{b n }中的最大项的值．【解答】解：由a 1+a 2+a 3+…a n =2n ﹣a n ，得S n =2n ﹣a n ， 取n=1，求得a 1=1；由S n =2n ﹣a n ，得S n ﹣1=2（n ﹣1）﹣a n ﹣1（n ≥2），两式作差得a n =2﹣a n +a n ﹣1，即（n ≥2），又a 1﹣2=﹣1≠0，∴数列{a n ﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则b n ==，当n=1时，，当n=2时，b 2=0，当n=3时，，而当n ≥3时，，∴{b n }中的最大项的值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，2cos2A+3=4cosA ． （1）求角A 的大小；（2）若a=2，求△ABC 的周长l 的取值范围．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，从而点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C 的方程．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0，△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，由x 0＞1，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ，∴点P 到点F （1，0）的距离等于它到直线l 1的距离，∴点P 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），点M （﹣1，m ），点N （﹣1，n ），直线PM 的方程为：y ﹣m=（x+1），化简，得（y 0﹣m ）x ﹣（x 0+1）y+（y 0﹣m ）+m （x 0+1）=0， ∵△PMN 的内切圆的方程为x 2+y 2=1，∴圆心（0，0）到直线PM 的距离为1，即=1，∴=，由题意得x 0＞1，∴上式化简，得（x 0﹣1）m 2+2y 0m ﹣（x 0+1）=0，同理，有，∴m ，n 是关于t 的方程（x 0﹣1）t 2+2y t ﹣（x 0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m ﹣n|==，∵，|y 0|=2，∴|MN|==2，直线PF 的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x ﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x）=0，∴当0＜x＜x时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x）上单调递减；当x＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（2）求出点P、Q的极坐标，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程（θ为参数），化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则P（1，）．由直线l的极坐标方程是，可得Q（3，），∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．=a+b，即可求a+b的值；【分析】（1）写出分段函数，得出f（x）min（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，=a+b．所以f（x）min所以a+b=1．（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以时，有最小值．所以，所以实数m的最大值为．。

2018届高三第三次模拟考试数学文科试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|12},{|0}m x x N x x mx =-<<=-<，若{|01}M N x x =<<I ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．22. 命题:2,230xp x ∀>->的否定是（ ）A ．2,230x x ∀>-≤B ．2,230xx ∀≤-> C ．002,230xx ∃>-≤ D ．002,230xx ∃>->3. 设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．5- B ．53- C ．1- D ．13-4.已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是 （ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 5. 在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206. 在同一直角坐标系中，函数()()2,log (2)(0a f x ax g x x a =-=+>且1)a ≠的图象大致为（ ）7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ） A ．336 B ．510 C ．1326 D ．36038. 执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．1 4- B．45C．4 D．59.若函数()24log()(0,mx mf x mx+=>且1)m≠在[]2,3上单调递增，则实数m的取值范围是（）A．(1,36] B．[36,)+∞ C．(1,36][36,)+∞U D．(1,16]10. 已知实数,x y满足2220240x yx yx y-≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k++-=有解，则实数k的最小值是（）A．5455B．295- C．533D．16511. 将函数()3sin2cos2f x x x-的图象向左平移(0)t t>个单位后，得到函数()g x的图象，若()()12g x g xπ=-，则实数t的最小值为（）A．524πB．724πC．512πD．712π12. 已知关于x的不等式2(2)1x xm x x e e-+≥在(,0]-∞上恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[1,)+∞ B．[0,)+∞ C．1[,)2-+∞ D．1[,)3+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(2,1),(1,),(3,3)a b x x c x x ==-=-r r r ，满足//a b r r ，且2b a =r r ，则向量,b cr r的夹角的余弦值．14. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是．15.已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 23,1tan A ca B b=+=，则b c +的最大值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22312,22a S a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log 3n nb a =+，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值. 18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相，某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精确扶贫户订购荔枝，每天进货量相同每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完，根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关，如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[20,25)摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[15,25)摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤，为了确定6月1日到30日的订购量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（1）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（2）若该商场每天进货为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,CD PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AG GBλ=. （1）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ；（2）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的离心率为22，且椭圆C 过点2(3,2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 21.已知函数()ln ()f x x x m m R =--∈. （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0f x x +-<在1[,1]2上恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、B 12：C 二、填空题13. 14.2213y x -= 15.16π 16.6 三、解答题17.解：（1）由题意知，22122a S =+，所以212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又因为32a =，所以22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =， 所以3323222n n n n a a q ---==⋅=.（2）由（1）知，222log 3log 23231n n n b a n n -=+=+=-+=+，所以11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以121111112334122(2)n n n T b b b n n n =+++=-+-++-=+++L L ， 令13n T >，得12(2)3n n >+，解得4n >， 所以满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.解：（1）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504500⨯-⨯=元，所以这90天荔枝每天该商场带来的平均为204008839190⨯+⨯≈元.（2）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润410041000⨯-⨯=元， 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504150400⨯-⨯=-元， 所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100,200或300公斤， 则所求概率902449045P -==.19.解：（1）连CG 接，当12λ=时，,//CE AG CE AG =,所以四边形AECG 是平行四边形，所以//AE CG 因为12PF CE FD ED ==，所以//EF PC ，因为AE EF E =I ，PC CG C =I ， 所以平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，所以//PG 平面AEF . (2) 取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO === 因为2DH DF HO PF ==，所以213DH OD ==， 因为,,PO AD FH AD PO ⊥⊥⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD , 所以FH AC ⊥，又FG AC ⊥，所以AC ⊥平面FGH ，所以AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以//GH BD ，所以2AG AH ==，所以112332A EFG F AGE V V --==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题意知22222311222a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）因为,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为(1)y k x =-， 则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k=--，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22kk k ++，所以232(1)STk k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，所以ln m x x =-， 令()ln g x x x =-，所以()111xg x x x-'=-=， 令()0g x '>，解的01x <<，()0g x '<，解的1x >，则函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)1g x g ==-， 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =由两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(,1)-∞-.（2）因为()(2)0xf x x e +-<，所以(2)ln xm x e x x >-+-，设()1(2)ln ,[,1]2x h x x e x x x =-+-∈，所以()1(1)()x h x x e x'=--， 设()1x u x e x =-，所以()210x u x e x '=+>，则()u x 在1[,1]2上单调递增，又()1()20,1102u u e =<=->， 所以01(,1)2x ∃∈，使得0()0u x =，即01x ex =，所以00ln x x =-， 当01(,)2x x ∈时，()()0,0u x h x '<>；当0(,1)x x ∈时，()()0,0u x h x '><； 所以函数()h x 在01[,]2x 上单调递增，在0[,1]x 上单调递减，所以()00000000max 0012()(2)ln (2)212xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--， 设()212x x xϕ=--，则()22222212x x x x ϕ-'=+-=，当1(,1)2x ∈时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在1(,1)2上单调递增， 所以()()13x ϕϕ<=-，即当1[,1]2x ∈时，()3h x <-，当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0xf x x e +-<在1[,1]2x ∈上恒成立.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， 所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=，所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)-的距离d ===，因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max 3d =，所以max max 1PQ d r =+=23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩截得8x ≤-或φ或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . （2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-U .。

2018届高三第三次模拟考试数学文科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|12},{|0}m x x N x x mx =-<<=-<，若{|01}M N x x =<<，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．22. 命题:2,230x p x ∀>->的否定是（ ）A ．2,230x x ∀>-≤B ．2,230x x ∀≤->C ．002,230x x ∃>-≤D ．002,230x x ∃>-> 3. 设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i=+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．5- B ．53-C ．1-D ．13- 4.已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.710.3yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是 （ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点(9,4) 5. 在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206. 在同一直角坐标系中，函数()()2,log (2)(0a f x ax g x x a =-=+>且1)a ≠的图象大致为（ ）7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ） A ．336 B ．510 C ．1326 D ．36038. 执行如图所示的程序框图，则输出的a = （ ） A ．14-B ．45C ．4D ．59.若函数()24log ()(0,m x mf x m x+=>且1)m ≠在[]2,3上单调递增，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(1,36] B ．[36,)+∞ C ．(1,36][36,)+∞ D ．(1,16]10. 已知实数,x y 满足2220240x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值是（ ）AB ．295-C 453+ D ．16511. 将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移(0)t t >个单位后，得到函数()g x 的图象， 若()()12g x g x π=-，则实数t 的最小值为（ ）A ．524π B ．724π C ．512π D ．712π12. 已知关于x 的不等式2(2)1xxm x x e e -+≥在(,0]-∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1[,)2-+∞ D ．1[,)3+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量(2,1),(1,),(3,3)a b x x c x x ==-=-，满足//a b ，且2b a =，则向量,b c 的夹角的余弦值．14. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是．15.已知球面上有四个点,,,A B C D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为．16.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 23,1tan A ca B b=+=，则b c +的最大值为． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22312,22a S a =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log 3n nb a =+，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值.18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相，某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精确扶贫户订购荔枝，每天进货量相同每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完，根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关，如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[20,25)摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[15,25)摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤，为了确定6月1日到30日的订购量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（1）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）； （2）若该商场每天进货为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,CD PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AGGBλ=. （1）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ； （2）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 2C 过点2(3,，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 21.已知函数()ln ()f x x x m m R =--∈. （1）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（2）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0f x x +-<在1[,1]2上恒成立. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y'=⎧⎨'=⎩ 后得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、B 12：C 二、填空题13. 10- 14.2213y x -= 15.16π 16.6 三、解答题17.解：（1）由题意知，22122a S =+，所以212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又因为32a =，所以22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =， 所以3323222n n n n a a q ---==⋅=.（2）由（1）知，222log 3log 23231n n n b a n n -=+=+=-+=+， 所以11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以121111112334122(2)n n n T b b b n n n =+++=-+-++-=+++， 令13n T >，得12(2)3n n >+，解得4n >， 所以满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.解：（1）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504500⨯-⨯=元， 所以这90天荔枝每天该商场带来的平均为204008839190⨯+⨯≈元.（2）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润410041000⨯-⨯=元， 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润4504150400⨯-⨯=-元， 所以当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100,200或300公斤， 则所求概率902449045P -==.19.解：（1）连CG 接，当12λ=时，,//CE AG CE AG =,所以四边形AECG 是平行四边形，所以//AE CG 因为12PF CE FD ED ==，所以//EF PC ，因为AE EF E =，PC CG C =，所以平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，所以//PG 平面AEF . (2) 取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH ，则2332333FH PO === 因为2DH DF HO PF ==，所以213DH OD ==， 因为,,PO AD FH AD PO ⊥⊥⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD , 所以FH AC ⊥，又FG AC ⊥，所以AC ⊥平面FGH ，所以AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，所以//GH BD ，所以2AG AH ==， 所以1123332A EFG F AGE V V --==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题意知2222231122222a a b a b c b c c a⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）因为,MS SN PT TQ ==，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点， 当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为(1)y k x =-， 则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k=--， 联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++，同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22kk k ++，所以232(1)STk k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：（1）令()ln 0f x x x m =--=，所以ln m x x =-， 令()ln g x x x =-，所以()111x g x x x-'=-=， 令()0g x '>，解的01x <<，()0g x '<，解的1x >，则函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)1g x g ==-， 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =由两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(,1)-∞-.（2）因为()(2)0xf x x e +-<，所以(2)ln x m x e x x >-+-，设()1(2)ln ,[,1]2x h x x e x x x =-+-∈，所以()1(1)()xh x x e x'=--，设()1xu x e x =-，所以()210xu x e x '=+>，则()u x 在1[,1]2上单调递增， 又()1()20,1102u e u e =<=->， 所以01(,1)2x ∃∈，使得0()0u x =，即001xe x =，所以00ln x x =-， 当01(,)2x x ∈时，()()0,0u x h x '<>；当0(,1)x x ∈时，()()0,0u x h x '><； 所以函数()h x 在01[,]2x 上单调递增，在0[,1]x 上单调递减， 所以()00000000max 0012()(2)ln (2)212xh x h x x e x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--， 设()212x x x ϕ=--，则()22222212x x x xϕ-'=+-=， 当1(,1)2x ∈时，()0x ϕ'>恒成立，则()x ϕ在1(,1)2上单调递增，所以()()13x ϕϕ<=-，即当1[,1]2x ∈时，()3h x <-，当3m ≥-时，关于x 的不等式()(2)0xf x x e +-<在1[,1]2x ∈上恒成立.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， 所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， 所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=， 所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)-的距离221163sin 2sin 53(sin )33d ααα==-++=--+因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max 433d =， 所以max max 4313PQ d r =+=+ 23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩ 截得8x ≤-或φ或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞. （2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形， 则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-.。

湘潭市2018届高三9月调研考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合}0)1)(2(|{},2log |{2≥+-=≤=x x x B x x A ，则=⋂B C A U （ ） A ．)2,0( B ．]4,2[ C ．)1,(--∞ D ．]4,(-∞2.已知}5,3{},3,2,1,0,2{∈-∈b a ，则函数b e a x f x +-=)2()(2为减函数的概率是（ ） A ．103 B ．53 C ．52 D ．513.已知命题p ：若复数z 满足5))((=--i i z ，则i z 6=；命题q ：复数i i 211++的虚部为i 51-，则下面为真命题的是（ ）A ．)()(q p ⌝⌝∧B ．q p ∧⌝)(C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∧ 4.已知等比数列}{n a 中，45,3745==a a a ，则7597a a a a --的值为（ ）A ．3B ．5 C. 9 D ．255.若R x x a x a a x ∈+++=-,)31(20182018102018 ，则20182018221333⋅++⋅+⋅a a a 的值为（ ） A ．122018- B ．182018- C. 20182 D ．201886.若将函数)6sin(2)(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 图象的一条对称轴为（ ） A ．12π=x B ．247π=x C. 127π=x D ．67π=x 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入x n ,的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ） A ．15 B ．16 C. 47 D ．488.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若21=a 且n n S S 21=+，设n n a b 2log =，则201820173221111b b b b b b +++ 的值是（ ） A ．20184035 B ．20174033 C. 20182017 D ．201720169.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A ．32 B ．34 C. 38D ．410.如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于点B A 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4||=AF ，则线段AB 的长为（ ） A ．5 B ．6 C.316 D ．32011.定义在R 上的函数)(x f ，满足)()5(x f x f =+，当]0,3(-∈x 时，1)(--=x x f ，当]2,0(∈x 时，x x f 2log )(=，则)2018()3()2()1(f f f f +++的值等于（ ）A ．403B ．405 C. 806 D ．80912.设π是圆周率，e 是自然对数的底数，在e e e e ππππ,3,,,,333六个数中，最小值与最大值分别是（ ）A ．π3,3eB ．πe e ,3 C. 33,πe D ．ππ3,e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥-1200y x y x y x ，记y x z +=4的最大值时a ，则=a ．14.已知非零向量b a,满足：||||,a t b a b a =+⋅，若b a +与b a -的夹角为3π，则t 的值为 ．15.已知F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过A F ,两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若→→=FA AB 3，则此双曲线的离心率为 ．16.已知三棱锥ABC S -的顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形，SC 为球O 的直径，且4=SC ，则此三棱锥的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知锐角ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且CBc b a cos cos 2=-. （1）求角C 的大小；（2）求函数B A y sin sin +=的值域.18. 某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为53,43,32，他们出线与未出线是相互独立的. （1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .19. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为棱形，面⊥PAD 面,6,5,===AD PD PA ABCD 60=∠DAB ，E 为AB 的中点.（1）证明：PE AC ⊥；（2）求二面角B PA D --的余弦值.20.已知动圆P 经过点)0,1(N ，并且与圆16)1(:22=++y x M 相切. （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设)0,(m G 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于B A 、两点，当k 为何值时？22||||GB GA +=ω是与m 无关的定值，并求出该值定值. 21. 设函数12)()(,)ln()(--⋅=⋅=-+=x e x x g x x g x a x x f x. （1）若直线323ln 32:-+-=x y l 是函数)(x f 的图象的一条切线，求实数a 的值；（2）当0=a 时，（i ）关于x 的方程m x x x f +-=310)(2在区间]3,1[上有解，求m 的取值范围，（ii ）证明：当0>x 时，)()(x f x g ≥.考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为21)3cos(=+πθρ，直线l 与曲线C 交于B A 、两点. （1）求直线l 的直角坐标方程； （2）设点)0,1(P ，求||||PB PA ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数|4||12|)(--+=x x x f . （1）解不等式0)(>x f ；（2）若|2||4|3)(->-+m x x f 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围.数学试卷答案一、选择题1-5:ACCDB 6-10:DDBBC 11、12：BA二、填空题13. 3 14.332 15. 34 16. 233三、解答题17.（1）由CBc b a cos cos 2=-，利用正弦定理可得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2=-， 可化为：A B C C A sin )sin(cos sin 2=+=，3),2,0(,21cos ,0sin ππ=∴∈=∴≠C C C A . （2）)3sin(sin sin sin A A B A y --+=+=ππ].3,23(]1,23()6sin(,3263,26,20,20,32),6sin(3sin 21cos 23sin ∈∴∈+∴<+<∴<<∴<<<<=++=++=y A A A B A B A A A A A ππππππππππ18.（1）记“甲出线”为事件A ，“乙出线”为事件B ，“丙出线”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D . 则30295241311)(1)(=⨯⨯-=-=C B A P D P . （2）ξ的所有可能取值为3,2,1,0.301)()0(===C B A P P ξ； 6013)()()()1(=++==C B A P C B A P C B A P P ξ； 209)()()()2(=++==BC A P C B A P C AB P P ξ；103)()2(===ABC P P ξ.所以ξ的分布列为60103202601300=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .19.（1）取AD 的中点O ，连接ABCD BD OE OP ,,,为菱形，AC BD ⊥∴，E O 、 分别为AB AD ,的中点，OE AC BD OE ⊥∴∴,//.O PD PA ,= 为AD 的中点，AD PO ⊥∴，又 面⊥PAD 面ABCD ，面⋂PAD 面⊥∴=PO AD ABCD ,面ABCD ，O OP OE AC PO =⋂⊥∴ ,， ⊥∴AC 面PE AC POE ⊥∴,.（2）连接ABCD OB ∴,为菱形，DAB DAB AB AD ∆∴=∠=∴， 60,为等边三角形，O 为AD 的中点，AD BO ⊥∴，⊥PO 面OB OA OP OA PO ABCD 、、∴⊥∴,,两两垂直.以OP OB OA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系xyz O -，则)0,33,0(),4,0,0(),0,33,0(),0,0,3(=→OB P B A 为面PAD 的法向量，设面PAB 的法向量)0,33,3(),4,0,3(),,,(-=-==→→AB AP z y x n，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→00n AB n AP 即⎩⎨⎧=+-=+-0333043y x z x ，取1=x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===43331z y x ，)43,33,1(=n ， 91914169311333||||,cos =++⋅=⋅>=<→→→n OB n OB n OB，结合图形可知二面角B PA D --的余弦值为91914.20.（1）由题设得：4||||=+PN PM ，所以点P 的轨迹C 是以N M 、为焦点的椭圆，∴=-=∴==,3,22,4222c a b c a 椭圆方程为13422=+y x . （2）设)22)(0,(),,(),,(2211<<-m m G y x B y x A ，直线)(:m x k y l -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)(22y x m x k y 得01248)43(22222=-+-+m k mx k x k ，34124,348222212221+-=⋅+=+k m k x x k mk x x3462)()()(2212121+=-+=-+-=+∴k mkkm x x k m x k m x k y y .34)4(3)())((2222221221221221+-=++-=--=⋅k m k m k x x m k x x k m x m x k y y . 212212212122122222121222)(2)(22)()()(||||y y y y m x x m x x x x y m x y m x GB GA -++++--+=+-++-=+∴222222)34()3(24)34(6)1(+++--+=k k k m k 22||||GB GA +=ω 的值与m 无关，0342=-∴k ，解得23±=k .此时7||||22=+=GB GA ω. （方法2：①当02=k 时，…；②当0≠k 时，设直线m y k x l +'=:，…；可以减少计算量.） 21.（1）11)(,)ln()(-+='∴--=ax x f x a x x f ，设切点),(00y x P ，则3,321100=+∴-=-+a x a x ，又323ln 32)ln(000-+-=-+x x a x ，即得：1,2,323ln 323ln 000=∴=∴-+-=-a x x x . （2）当0=a 时，（i ）方程m x x x f +-=310)(2即为m x x x =+-37ln 2 令)0(37ln )(2>+-=x x x x x h ，则xx x x x x h 3)32)(13(3721)(-+-=+-='.∴当]3,1[∈x 时，)(),(x h x h '随x 变化情况如下表：42ln )2(,323ln )3(,3)1(+=<-==h h h ， ∴当]3,1[∈x 时，]4523ln ,23[ln )(+-∈x h ，∴m 的取值范围为]4523ln ,23[ln +-.（ii ）证明：令)0(1ln )()()(>---⋅=-=x x x e x x f x g x F x ，则)1()1(11)1()(-⋅⋅+=--⋅+='x x e x xx x e x x F . 令1)(-⋅=x e x x G ，则当0>x 时，0)1()(>⋅+='x e x x G ，∴函数)(x G 在),0(+∞上递增， 01)1(,01)0(>-=<-=e G G ，)(x G ∴存在唯一的零点)1,0(∈c ，且当),0(c x ∈时，0)(<x G ，当),(+∞∈c x 时，0)(>x G ，则当),0(c x ∈时，0)(<'x F ；当),(+∞∈c x 时，0)(>'x F .)(x F ∴在),0(c 上递减，在),(+∞c 上递增，从而1ln )()(---⋅=≥c c e c c F x F x .由0)(=c G 得1,01=⋅=-⋅xxe c e c ，两边取对数得0ln =+c c ，0)()(,0)(=≥∴=∴c F x F c F ，从而证得)()(x f x g ≥.22.（1）由21)3cos(=+πθρ得：213sin sin 3cos cos =-πθρπθρ， ∴直线l 的直角坐标方程为：013=--y x .（2）由⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x 得曲线C 的直角坐标方程为：4422=+y x ，)0,1(P 在直线l 上，设直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 21123 代入4422=+y x 得：712,012347212-=⋅∴=-+t t t t ， 712||||||||||2121=⋅=⋅=⋅∴t t t t PB PA . 23.（1）当4≥x 时，5412)(+=+-+=x x x x f ，原不等式即为05>+x ， 解得4,45≥∴≥->x x x ；当421<≤-x 时，33412)(-=-++=x x x x f ，原不等式即为033>-x ， 解得41,4211<<∴<≤->x x x ；当21-<x 时，5412)(--=-+--=x x x x f ，原不等式即为05>--x ，解得5,5-<∴-<x x ；综上，原不等式的解集为1|{>x x 或}5-<x .（2）9|)82(12||4|2|12||4|3)(=--+≥-++=-+x x x x x x f . 当421≤≤-x 时，等号成立. |4|3)(-+∴x x f 的最小值为9，要使|2||4|3)(->-+m x x f 成立，故9|2|<-m ，解得m 的取值范围是：117<<-m .。

2018最新高考数学第三次模拟考试题理有答案一套理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A．B．C．D．2. 若，则的值为（）A．3 B．5 C．D．3. “”是“”恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 若，则的大小关系为（）A．B．C. D．5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的等于（）A．21 B．22 C. 23 D．24 6. 已知展开式中的系数为0，则正实数（）A．1 B． C. D．27. 已知数列的前项和，若，则（）A．B． C. D．8. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，在这个正四面体中：①与平行；②与为异面直线；③与成60°角；④与垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．1 B． 2 C. 3 D．49. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于两点，若，则（）A．B．8 C. 16 D．10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）A．B．-1 C. 1 D．11. 下图是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．B． C. D．12. 设函数满足，则时，的最小值为（）A．B． C. D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由曲线与直线所围成的图形的面积是．14.已知双曲线的实轴长为16，左焦点为是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为．15.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有种（用数字作答）.16.已知数列与满足，且，则．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若. （1）求角；（2）当的值最小时，求的面积.18. 如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表投保类型浮动因素浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30% 某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量20 10 10 20 15 5以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）某家庭有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该车在第四年续保时的费用，求的分布列；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车.①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至少有2辆事故车的概率；②假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故盈利8000元，若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求其获得利润的期望值.20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为.不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.（1）求的值；（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21.已知函数的最大值为.（1）若关于的方程的两个实数根为，求证：；（2）当时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.23.选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求的最小值及取得最小值时的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CDADC 6-10: BBCAB 11、12：CD二、填空题13. 14. 15. 12016.三、解答题17.解：（1）由正弦定理得，∴，∵，∴，∴；（2）由余弦定理得，由题意可知的内切圆半径为1，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是，化简得，所以或，又，所以，即，当且仅当时，的最小值为6，此时三角形的面积.18.解：（1）在梯形中，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即.∵平面，平面，∴，而，∴平面，∵，∴平面；（2）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，∴，设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.19.解：（1）由题意可知的可能取值为，由统计数据可知：，所以的分布列为（2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有2辆事故车的概率为；②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为.所以的分布列为：-4000 8000所以，所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.20.解：（1）由已知得，则，故椭圆的方程为；设直线的方程为，由，得，则，由已知，则，即，所以；（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，即，则，即，则，所以，化简得：，而，则，此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.21.解：（1），由，得；由，得；所以，的增区间为，减区间为，所以，不妨设，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，所以，在上单调递增，，则，因，故，所以；（2）由（1）可知，在区间单调递增，又时，，易知，在递增，，∴，且时，；时，，当时，，于是时，，所以，若证明，则证明，记，则，∵，∴，∴在内单调递增，∴，∵，∴在内单调递增，∴，于是时，22.解：（1）圆的参数方程为，（为参数），∴圆的普通方程为；（2）化圆的普通方程为极坐标方程，设，则由解得，设，则由，解得，∴.23.解：（1）∵函数，故函数的最小值为3，此时；（2）当不等式的解集为，函数恒成立，即的图象恒位于直线的上方，函数，而函数表示过点，斜率为的一条直线，如图所示：当直线过点时，，∴，当直线过点时，，∴，数形结合可得的取值范围为.。

2018届高三第三次模拟考试数学理科试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(3)0},{|2,}xA x Z x xB y y x A=∈-≤==∈，则A BI的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42. 已知201824(1)2iiz ii=+-+是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知13134112,log,log54a b c-===，则（）A．b c a>> B．a b c>> C．c b a>> D．b a c>>4. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（）A．3603 B．1326 C．510 D．3365. 已知实数,x y满足36024023120x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y=-的最小值是（）A．6- B．4- C．25-D．06. 双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y-+=相切，则该双曲线的方程是（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -= C ．22125x y -= D ．221412x y -=7.执行如图所示的程序框图，则输出的a = （ ）A ．14-B ．45 C ．4 D ．58. 若89019(1)(12),x x a a x a x x R+-=+++∈L ，则29129222a a a ⋅+⋅++⋅L 的值为（ ）A ．92B ．921- C ．93 D ．931-9. 已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若14824,9a a =-=-，则当n T 取得最大值时，n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．610. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A．8 B．8+ C．4 D．4+11. 已知函数()21cos (0)2f x wx w =->的最小正周期为2π，将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位后关于原点对称，则当m 取得最小值时，函数()2sin(2)1g x x m =-+的一个单调递增区间为（ ）A ．[,]62ππB ．5[,]4ππ C ．3[,]24ππ D ．53[,]42ππ12. 已知函数()ln 2f x x x x a=-+，若函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．(,1]-∞C ．3[1,)2 D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设非零向量,a b r r 满足()a a b ⋅+r r r，且b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ．14.已知在[0,1]内任取一个实数x ，在[0,2]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于1xy e =-上方的概率为 ．15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，若等边PMF ∆的面积为p = ．16.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面,ABC ABC ∆是边长为D 是线段AB 上一点，且3AD BD =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为34π，则球O 的表面积 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆中，3B π=.（1）若12AB AC ==，求ABC ∆的面积；（2）若3,,AB BM MN NC AN ====u u u u r u u u u r u u u r，求AM 的长.18. 生蚝即牡蛎()oyster 是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：（1）若购进这批生蚝500kg ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 19.已知直三棱柱111ABC A B C -中，111113,,4,,48CAB CBA CC AB AA AE A F A B AG GBπ∠=∠=====u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r ,点H 在线段EG 上.（1）证明：EF CH ⊥； （2）求平面11BCC B 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C过点2-，过点(1,0)做两条相互垂直的直线12,l l 分别与椭圆C 交于,,,P Q M N 四点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知关于x 的方程2(1)x x e ax a --=有两个不同的实数根12,x x . （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：120x x +<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（1）求出曲线23,C C 的参数方程；（2）若,P Q 分别是曲线23,C C 上的动点，求PQ的最大值.23.已知函数()225f x x =+-.（1）解不等式：()1f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m=+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、B 12：A 二、填空题13.34π 14.42e- 15. 2 16.100π三、解答题17.解：由题意1cos 2B BC ==⇒=，所以222AC BC AB +=，所以1122ABC S ∆=⨯=（2）设BM x =，则2,BN x AN == 在ABN ∆中，222)4(2)242cos3x x π=+-⋅⋅ ，解得1x =或2x =-（舍去），所以1BM =，在ABM ∆中，AM ==.18.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为1(61010201230840450)28.540g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以购进500kg ，生蚝的数列均为50000028.517554÷≈（只）； （2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5,25)间的概率为25P =，X 的可能取值为0,1,2,3,4，则4113438123216(0)(),(1)()()562555625P X P X C ======, 222331444232162396216(2)()(),(3)()(),(4)()55625556255625P X C P X C P X =========,所以X 的分布列为所以()216961683346256256255E X =⨯+⨯+⨯=19.解：（1）不妨设2AB =，则111331,,,224AG AE A E A F ====,在Rt EAC ∆和1Rt FA E ∆中，1111,22A F AE EAG FA E AG A E π==∠=∠=，所以1Rt EAC Rt FA E∆∆:，所以1AEG A FE∠=∠，所以1122AEG A FE A FE AEF FEG ππ∠+∠=∠+∠=⇒∠=,所以EF EG ⊥，因为,4CAB CBA AG GB CG ABπ∠=∠==⇒⊥u u u r u u u r,因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以CG ⊥平面11ABB A ，所以CG EF ⊥，所以EF ⊥平面CEG ，因为点H 在线段EG 上，所以EF CH ⊥. （2）由（1）知，CG ⊥平面11ABB A ，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -,不妨设2AB =，则111(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,),(0,,2)24A B C C E F -, 所以1133(1,1,),(0,,),(1,1,0),(0,0,2)242CE EF BC CC =-=-==u u u r u u u r u u ur u u u u r ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)m x y z =u r，则100m BC m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u u r ，即00x y z +=⎧⎨=⎩，取11,0x y z =⇒=-=，则平面11BCC B 的法向量为(1,1,0)m =-u r ，设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =r，则00n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r ，即10233042x y z y z ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取25,4z x y =⇒==，则平面CEF 的法向量为(5,4,2)n =r ，cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r故平面11BCC B 与平面CEF所成锐二面角的余弦值为.20.解：（1）由题意知22222311222a a b a b c b c c a ⎧+=⎪=⎧⎪⎪⎪=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）因为,MS SN PT TQ ==u u u r u u u r u u u r u u u r，所以,S T 分别为,MN PQ 的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线1l的方程为(1)y k x =- ，则直线2l 的方程为112233441(1),(,),(,),(,),(,)y x P x y Q x y M x y N x y k =--，联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ ，得22222(21)42404160k x k x k k +-+-=⇒∆=+>， 22121222424,2121k k x x x x k k -+==++，所以PQ 的中点T 的坐标为2222(,)2121k kk k -++， 同理，MN 中点S 的坐标为222(,)22k k k ++，所以232(1)ST k k k -=-， 所以直线ST 的方程为222232()212(1)21kk k y x k k k -+=-+++， 即232()2(1)3k y x k -=-+，所以直线ST 过定点2(,0)3，当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2(,0)3， 综上所述，直线ST 过定点2(,0)3.21.解：因为2(1)x x e ax a --=，所以2(1)1x x e a x -=+，令()2(1)1xx e f x x -=+，则()222222(23)[(1)2](1)(1)x xx x x x x f x e e x x --+-+'==++，令()0f x '>，解得0x <，令()0f x '<，解得0x >，则函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，所以()()max 01f x f ==，又当1x <时，()0f x >，当1x >时，()0f x <，画出函数()f x 的图象，要使函数()f x 的图象与y a =有两个不同的交点，则01a <<，即实数的取值范围为(0,1).（2）由（1）知，12x x ≠，不妨设12x x <，则12(,0),(0,)x x ∈-∞∈+∞，要证120x x +<，只需证21x x <-，因为21(0,)x x -∈+∞，且函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以只需证()()21f x f x >-，由()()21f x f x =，所以只需()()11f x f x >-，即证111122111111x x x x e e x x --+>++，即证(1)(1)0x xx e x e ---+>对(,0)x ∈-∞恒成立， 令()(1)(1),(,0)x x g x x e x e x -=--+∈-∞，则()()x g x x e e -'=-因为(,0)x ∈-∞，所以0xe e -->，所以()0g x '<恒成立，则函数()g x 在(,0)x ∈-∞的单调递减，所以()()00g x g >=，综上所述120x x +<.22.解：（1）曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x xy y '=⎧⎨'=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y += ，所以参数方程为2cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-，所以曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即22(1)1x y ++=， 所以其参数方程为cos (1sin x y βββ=⎧⎨=-+⎩为参数）（2）设(2cos ,sin )P αα，则P 到曲线3C 的圆心(0,1)- 的距离d ===因为sin [1,1]α∈-，所以当1sin 3α=时，max d =，所以max max 1PQ d r =+=+23.解：（1）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩截得8x ≤-或φ或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U .（2）当1m =-时，则()2251315g x x x x =+-++=+-，此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当1m >-时，()37,12253,133,x m x g x x x m x m x mx m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则(1)40()230g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3[,4)12-U .。