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常数项级数(改)精品PPT课件

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常数项级数的概念和性质(课堂PPT)

常数项级数的概念和性质(课堂PPT)

证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
16
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
第九章
无穷级数
数项级数 无穷级数
幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
1
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件
2
一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a1
正十二边形的面积 a1 a2
n0
的收敛性.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
7
当q 1时,
lim qn 0
n
lim
n
sn
a 1q
收敛
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
如果 q 1时
发散
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
注意:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 n1 n 2 n3

41常数项级数 57页PPT文档

41常数项级数 57页PPT文档

n
例如, 级数 11111（调和级数
n1n 2 3
n
例1.4）
虽然 nl im unnl im 1n0， 但此级数发散 .
证明：反证法： 假设级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
则新级数的部分和序列 m(m 1,2, )为原级数部分和
序列 Sn(n 1,2, )的一个子序列, 因此必有
m l i m mn l i m SnS
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 若级数加括弧后收敛，原级数不一定收敛.
例如， ( 1 1 ) ( 1 1 ) 0 ,但 1 1 1 1 发散.
第四章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
Fourier级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
§4.1 常数项级数
第一节 常数项级数
——常数项级数的概念、性质与收敛原理
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 四、Cauchy收敛原理
§4.1 常数项级数
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)

a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
n 0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
S n a a q a q 2 a q n 1 a
a 1
剩余部分总长
l剩 ＝ 1－ l丢0
剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,
它们象尘埃一样散落在[0,1]区间上, 人们称其为康托尔尘集.

常数项级数概念和性质41页PPT

常数项级数概念和性质41页PPT

第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的基本概念 二、两个重要级数的敛散性 三、常数项级数的基本性质 四、小结
一尺之棰，日取其半，万世不竭
1 2
1 1 22 23
...
1 2
n
...
1
1
•
0.30.333
3
33 3 ...3... 10 100 1000 10n
教育 法律 会计 销售 心理 教学 物
13
由x1,xn1及y1所 围 成 的 曲 边 梯 形 x
y
s
n1
1
1 x
dx
ln1n1lnn1
,且sn
s
y
1 x
ln i m snln i m ln n1
A1
则lni msn不存在,
A2
A3
A4 …
An
故 1+1 21 3...n 1...发 散 .
o x 1 2 3 4 5 … n n+1
流 经济学 企业 文学 各行业各学
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3
一、常数项级数的基本概念
定义1:一般地,如果给定一个常数项数列u1,u2, ,un,
则和式u1 u2 u3 un 称做常数项无穷级
数.简称(数项)级数.记作un,即 n1
un u1 u2 u3 un ,
n1
其中u1,u2, ,un, 分别叫做第一项,第二项,...,第
问题１：“无限个数相加”是否存
“和”？
问题２：如果存在，“和”等于什么？
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ppt0901课件常数项级数的概念与性质

ppt0901课件常数项级数的概念与性质

四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
性质8.5
级数 un收敛
n 1
lim un 0.
n
证明 S un n 1
则 un S n S n1 ,
n n
limun lim S n lim S n1
n 1
( 包括极限为 ) ,
例2 证明级数 123 n 是发散的 证: 此级数的部分和为
n(n 1) sn 1 2 3 n 2
lim sn , 因此所给级数是发散的 显然, n
下页
例3 讨论等比级数(几何级数)
1.
常数项级数的定义
假设 {u n } 是一个数列 : u1, u2, u3, , un, ,
u
n1

一般项
n
u1 u2 u3 un
— (常数项)无穷级数
n
级数的部分和
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 ,
sn u1 u2 un ,
例1
下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ; n 2 4 2 n 1 2

n 1 2 n ; n 1
推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散
收敛, 则 也收敛.
“加括号后所成的级数收敛, 原级数不一定收敛.”
下页
注 收敛级数 加括号仍为收敛级数. 注
例如级数 a a a a (1)n1 a 是发散级数. 但将相邻的两项加括号后所得级数

高数课件-D12_1常数项级数---20-PPT精品文档

高数课件-D12_1常数项级数---20-PPT精品文档
第十二章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 傅氏级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
第十二章
第2页
目录 上页 下页 返回 结束
第3页
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
n 1 a a a a ( 1 ) a n 为奇数 a, Sn 因此 n 为偶数 0,
从而 lim Sn 不存在 , 因此级数发散.
n
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
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n 边形, 设 a0 表示 依次作圆内接正 3 2 ( n 0 , 1 ,2 , ) 内接正三角形面积, ak 表示边数
增加时增加的面积, 则圆内接正
32n 边形面积为 a 0 a1 a2 an
n 时 , 这个和逼近于圆的面积 A .
即
A a a a a 0 1 2 n
ln( n 1 ) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
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第9页
1 1 1 1 (2) S n 1 22 33 4 n ( n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 2 2 3 3 4
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, u , u , , u , 给定一个数列 u 将各项依 定义： 1 2 3 n

11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档

11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档

nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2

n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.

证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1

1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn



1
发散
n1n
(方法2)
un

1 n
n11 dx nn

常数项级数的概念和性质解析ppt课件

常数项级数的概念和性质解析ppt课件

1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
例4. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
因此级数发散 .
aa qn 1q
从而 lim Sn
一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质
一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形, 设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A . 即
引例2. 计算棒长.
一尺之棰,日取其半, 万世不竭. 棰长形成一个无穷数列
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39

常数项级数的概念和性质.共73页PPT

常数项级数的概念和性质.共73页PPT
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
常数项级数的概念和性质.
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿

11-1常数项级数39728 共24页PPT资料

11-1常数项级数39728 共24页PPT资料

从而
不存在 , 因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1时, 等比级数发散 .
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例2. 判别下列级数的敛散性:
解: (1)
Sn
ln 2 1

ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
lnn(1) (n ）技巧:
所以级数 (1) 发散 ;
利用 “拆项相消” 求 和
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(2) Sn1 1 22 1 33 1 4 n(n 1 1 )

1

1 2



1 2

1 3



1 3

1 4

n1 n1 n k
(级数的敛散性 项与 无,收 前 关敛 有和 限发.)生改
4. 收敛级数加括 敛.号 (逆 后命 仍题 收不 ). 成立
逆否 : 加括号后级 ,则数 原发 级散 数 . 发散

5.
n1un收 敛 n l i m un0.
(逆命题).不成

重1.要 逆 当 几 级q:何 数 否 n 1 l: 时 i 级 n m u 1n a 数 q收 ,n0 和 1(或 .s 敛 Sa n 不 ,当 a) 11q n qq存 1 n1 u 时 n发 在 发 ..散 散
n 1
n
部分:和Snuk.
k1


若 n l iS m n S ,则称 n 1 u n 收 级 ,记 S 敛 n 数 1 u n .

高等数学课件D1211常数项级数

高等数学课件D1211常数项级数

说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
2019/9/16
高等数学课件
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性质2. 设有两个收敛级数


S un , vn
n 1
n1

则级数 (un vn )也收敛, 其和为 S.
n1
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
n
从而 limSn
n
1aq
因此级数收敛
,
其和为
1
a
q
;
当q1时,由于 limqn,从而 limSn,
n
n
因此级数发散 .
2019/9/16
高等数学课件
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2). 若 q 1,则
当q1时, Snna ,因此级数发散 ;
当q1时 ,级数成为 a a a a ( 1 )n 1 a
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如, 1 2 3 4 ( 1 )n 1n ,其一般项为
2345
n 1
un
(1)n1 n n1
当 n 时 ,un不趋于0, 因此这个级数发散.
2019/9/16
高等数学课件
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2 12 1 3 13 1 4 14 1
an
1 n1
1
n1
n
2
1


n2
an


2
n 1
1 n
发散 , 从而原级数发散 .
调和级数
2019/9/16
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解：第一天体内总药量：S1 0.07 . （每天总药量等于 0.07 加前一天总药量的 80%）
第二天… ：S2 0.07 S1 80% 0.07 (1 4 5). 第三天… ：S3 0.07 S2 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 ].
第 n 天… ：Sn 0.07 Sn1 80%
即 A a0 a1 a2 an
2021/2/22
3
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1]. …………
2021/2/22
4
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引例2. 一慢性病人需服用某种药物，已知该药物在 体内总量超过 0.3 mg 时对身体有害。现 病人遵医 嘱每天服用0.07mg, 设体内药物每天有 20% 通过各 种渠道排泄掉。问长期服用此药，是否有害健康？
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一、常数项级数的概念
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
依次作圆内接正 3 2n ( n 0, 1, 2,)边形,设 a0 表示
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
3 2n 边形面积为 a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
例3. 解:
判别级数
n2
ln
1
1 n2
的敛散性 .
ln
1
1 n2
ln
n2 1 n2
ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
Sn
k
n
ln
2
1
1 k2
[ln 3 ln1 2 ln 2] [ln 4 ln 2 2 ln 3] [ln 5
ln 3 2 ln 4] [ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n]
1
(4 5)n 15
0.35 mg
0.3
mg
.
可见以此剂量长期服用此药，有害健康。
2021/2/22
5
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定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
un u1 u2 u3 un
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
乘以常数 c 所得级数 c un 也收敛 , 其和为 c S .
n
n1
n
证: 令 Sn uk , 则 n c uk c Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
c
lim
n
S
n
cS
这说明 c un 收敛 , 其和为 c S .
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
2021/2/22
6
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S un
n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散
.
当级数收敛时, 称差值
10
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
1
1 2
1 2
13
1 3
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
2021/2/22
11
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rn S Sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0
2021/2/22
7
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例1. 讨论等比级数(又称几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0 )
n0
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若 q 1 , 则部分和
Sn
a
解：第 n 天体内药量：Sn 0.07 Sn1 80% 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1] 0.07 1 (4 5)n .
15 长期服用后体内药量：
S 0.07 [1 4 5 (4 5)2 (4 5)n1 ]
lim
n
Sn
0.07
m
n
ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 1n) ln 2
lim Sn ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2.
n
2021/2/22
12
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二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 un 收敛于 S , 即 S un , 则各项
n1
n1
当q 1时, 级数成为 a a a a (1)n1a
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
2021/2/22
9
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例2. 判别下列级数的敛散性:
第十一章 无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
付氏级数
无穷级数是研究函数的工具
表示函数 研究性质 数值计算
2021/2/22
1
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第十一章
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理
2021/2/22
2
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
2021/2/22
技巧: 利用 “拆项相消” 求 和
a
q
a
q2
a
q n 1
aa qn 1q
当q
1时，由于 lim qn
n
0, 从而 lim Sn
n
a 1q
因此级数收敛
,
其和为
a 1q
;
当q
1时, 由于 lim qn
n
,
从而
lim
n
Sn
,
因此级数发散 .
2021/2/22
8
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2). 若 q 1 , 则
当 q 1时, Sn n a ,因此级数发散 ;