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n1
的部分和为
Skn Sk
数敛散性相同.
极限状况相同, 故新旧两级
当级数收敛时, 其和的关系为
类似可证前面加上有限项的情况 .
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性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
的和.
证: 设收敛级数 S un , 若按某一规律加括弧, 例如
n1
则新级数的部分和序列
为原级数部分和
收敛 , 其和为 ks .
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
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性质2 则级数
设有两个收敛级数
s un , vn
n1
n1
也收敛, 其和为
n
n
证: 令 Sn uk , n vk , 则
k 1
k 1
n
n (uk vk )
S ( n )
k 1
第十二章 无穷级数（Infinite Series）
主要内容
第一节 常数项级数的概念与性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用
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第十二章
第一节 常数项级数的概念和性质
（Conception and property of constant term series）
序列 Sn ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
S
用反证法可证
推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
(1 例如， 2020/10/12 1) (11) 0 , 但
发散.12
性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 un 收敛， n1
2 和 4，由性质 2 知所给级数收敛，其和为
(1 1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 2n1
3n1 4n1
1
1 2
1 22
1
2n1
1
3 4
32 42
3n1 4n1
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性质3 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数
内容小结
1. 常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数
2. 收敛级数的5个性质
3. 级数收敛的判别方法
(1) 由定义,若sn s,则级数收敛;
(2)
当
lim
n
un
0,则级数发散;
(3)
按基本性质.
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思考与练习
1、若级数 un 与 vn 都发散时，级数 (un vn )
lim
n
n(n 1) 2
所以该级数发散．
的敛散性．
例 2 讨论级数1 1 1 1 (1)n1 的敛散性．
解：部分和数列 s1 1 ， s2 11 0 ， s3 111 1 ，
， sn 1 1 1 1 ( n11 ．)
易知，当 n 为奇数时， sn 1；当 n 为偶数时， sn 0 ．
则当
n
无限增大时，它的一般项 un
趋于零，即
lim
n
un
0
．
证: un Sn Sn1
故
lim
n
un
lim
n
Sn
lim n
Sn1
S
S
0
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
例如,
其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注:
lim
n
un
0
并非级数收敛的充分条件.
称为级数的部分和.
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则称无穷级数
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收敛 , 并称 s 为级数的和, 记作
则称无穷级数发散 . 当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
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例 1 判别无穷级数 n 1 2 3 n
n1
解：由于 sn 1 2
n n(n 1) , 则 2
lim
n
sn
所20以20/1没0/12有极限，故原级数发散．
5
例3 讨论等比级数 (又称为几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
解: 1) 若
则部分和
从而
因此级数收敛 , 其和为
从而
因202此0/10级/12 数发散 .
6
2) 若
则 级数成为
因此级数发散 ;
因此
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
例如, 调和级数
虽然
但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
但
S2n Sn
1 1 1 1
n1 n 2 n3
2n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
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例6 判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
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发散 , 从而原级数发散 .
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n1
n1
n 1
的敛散性如何？若其中一个收敛，一个发散，那么，级
数 (un vn ) 散敛性又如何？ n 1
答:（1）若二级数都发散 ,
不一定发散.
例如, 取 un (1)2n , vn (1)2n1,
（2） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .
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(用反证法可证) 17
一、常数项级数的基本概念 二、收敛级数的基本性质 三、小结与思考练习
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一、常数项级数的基本概念
定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
2、 判别下列级数的敛散性: 解: (1)
所以级数 (1) 发散 ;
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技巧:
利用 “拆项相消” 求 和
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(2)
Sn
1 1 2
1 23
1 34
1 n (n 1)
13
1 4
1 n
n
1
1
1 1 1 ( n ） n 1
所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .
综合 1)、2)可知,
时, 等比级数收敛 ;
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时, 等比级数发散 .
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二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数 收敛于 s , 即
则各项
乘以常数 k 所得级数
也收敛 , 其和为 ks .
n
n
证: 令 Sn uk , 则 n kuk k Sn ,
k 1
k 1
lim
n
n
ks
这说明
这说明级数
也收敛, 其和为
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例 4 判别级数
(1
1)
1 2
3 4
1 22
32 42
1 3n1
2n1
4n1
的敛散性．若收敛时求出它的和．
解：由于1 1 1
2 22
1 2n1
与1 3 32 4 42
3n1 4n1
都是公比小于1 的等比级数，所以它们都收敛，且其和分别为
