同济-高等数学-第三版(10.1)第一节常数项级数的概念与性质)资料

由于大多数初等函数不能直接计算函数值，这使得 函数的应用存在根本性的困难。
多项式函数是能够直接计算函数值的函数形式，于 是产生讨论由多项式函数表示一般函数的问题。由对函 数值问题的精确求解便形成了“无穷多项式”的概念， 即由无穷级数讨论一般函数的方法和理论。
引例：半径为 r 的圆面积 A 的计算问题。 圆是曲边图形，用初等数学的方法不能直接精
f x un x ?
n1
如果是，un( x )= ?
从实际问题的讨论可知，无穷和的概念实 际有两个，一个是由无穷多个常数的和去确定 某个特定的数。另一个是由无穷多个函数的和 去计算或表达某个函数及函数值。由此便产生 了常数项无穷和与函数项无穷和的概念。
显然，常数项无穷和是讨论无穷和形式的 基础。因此可先研究常数项无穷和。
a1 a2 an an A ?
n1
对于一个函数列{ an( r)}，是否总有
a1 r a2 r an r an r Ar ?
n1
• 一般的函数是否总可表为无穷和形式？
进一步的问题是，如果
an r Ar , 即 Ar an r ,
n1
n1
则对于给定的函数 f( x )，是否总有
正多边形面积可无限逼近圆面积。 从数值计算角度看，就是通过对内接正多边形的边
数 n 取极限 n → ，最终可求得圆面积 A 的精确值，即
n
ai n A .
i 1
(2) 问题的提出
• 无穷和形式是否总可表达某个确定的数或函数？
从理论角度考虑，自然会提出这样的问题，即对于
一个数列{ an }，是否总有
数的敛散性由其“尾部”决定的，而与级数前面的有限
项无关。
收敛级数的几何特征是“虎头蛇尾”
n
r n S Sn un un un1 un2 un 0 .
n1
k 1
k n1
• 余项可作为误差估计式
若 | r n | = | S n - S |<< 1，可有 近似计算式 S n S ．
判别级数收敛的一种方法。这种方法的优 点是在判别级数收敛的同时也求出了无 穷级数的和，但根据定义判别级数的 收敛性需计算无穷和的极限，其过程 一般比较困难。
(1) 级数余项的概念
级数 un 收敛时，其部分和 S n 是级数和 S 的近似 n1
值，即 S S n ，记：r n = S - S n，称 r n 为级数的余项。
S qn
设有数列{ un }:u1,u2,…,un,… ，则式子
un
u1 u2
un
，称为常数项无穷级数。
n1
需注意的是，在定义中，记号“+”
仅是连接号，并不直接具有加法意义，
只有当级数收敛时，它才是通常意义
上的加法运算。
(1) 级数前 n 项部分和及部分和数列的概念
设有级数
un，其前
n
项之和
S
n
以更精确地确定级数的敛散性。
根据级数通项及余项性质讨论级数Fra bibliotek散性1 qn.
n0
所论级数的通项为 un = q n，由幂函数的性质知，
q = 1 是通项 un 性质的一个临界转折点。因此可就 q 的
不同取值对该级数的敛散性进行讨论。
• 当 | q |< 1 时，
n
Sn qk 1q q2
k 0
此时级数收敛，且
u
n．因此有
n1
Sn 11 un
n1
(1) 级数收敛的定义
如果级数
un的部分和数列{
S
n
}有极限，即
n1
lim Sn S，则称无穷级数 un 收敛，此时极限值 S 称
n
这个级数的和，并写成
S
n1
= u1
+
u
2
+
…
+
u
n
+
…
．
如果部分和数列{ Sn }的极限不存在，
则称无穷级
u
n
发散。
n1
(2) 无穷级数的研究任务 无穷级数的研究任务可分为三个方面： 一是判别级数的收敛性及研究收敛级数的性质； 二是研究如何将函数表示为无穷级数； 三是研究级数的求和法。 值得一提的是，级数收敛的定义也是
=
u1
+
u2
+
…
+
un
n1
称为该级数的前 n 项部分和。
级数的前 n 项部分和也可构成一个数列{ Sn}，称
此数列为原级数的前 n 项部分和数列。
(2) 讨论部分和数列的意义
级数前 n 项部分和数列和原级数间可建立“1-1对 应”关系，利用这种关系可方便地由熟悉的数列理论来
研究级数，从而可化无穷和讨论为有限形式的讨论。
确计算其面积。 在微积分创立之前，人们通过
如下方法将其转化为直边图形 来研究，即用圆的内接正多边 形面积近似逼近圆面积。
(1) 用内接正多边形作逼近 • 内接正六边形面积
作圆的内接正六边形。 设其面积为 a1，则有 A a1 ．
• 内接正十二边形面积 再作圆的内接正十二边形。 在实际计算中，圆的内接正十二边形只需在内接正
六边形基础上补上六个小等腰三角形得到。 设补上的六个小等腰三角形的总面积为 a2，则有 A a1 + a2．
• 不断增加内接正多边形边数 上述作圆的内接正多边形的过程可不断进行下去，
由此可求得圆面积的越来越精确的近似值： A a1 + a2 + a3 + … + an．
• 精确计算圆面积 让圆的内接正多边形的边数无限增大，则相应内接
例：试讨论下列级数的敛散性
1 q n,
n0
2
n0
1 n
.
由级数收敛的定义，所论级数
的敛散性取决于其部分和数列{ Sn }是
否有极限，而部分和数列的性质实际取
决于通项 u n 及余项 rn 的性质。
由于通项 u n 的形式相对简单，故
考察级数敛散性首先应注意考察通项性质。若通过通项
的考察尚不能确定级数敛散性，则可进一步分析余项，
(2) 级数余项的性质
un 收敛
n1
lim Sn S
n
lim Sn S lim rn 0 .
n
n
余项的讨论指出了研究级数收敛的一种途径，这一
点可从两个方面来认识：
• 余项反映了级数收敛的内在本质
rn → 0 ( n )实际是判别级数是否收敛的充要条 件。这一结果同时它也说明了级数某种内在本质，即级
设有级数
u
n，则由
n1
S 1 = u1，S 2 = u1 + u2,…, Sn = u1 + u2 + … + un，
可唯一地确定其部分和数列{ Sn }．
反之，若给定一个数列{ Sn }，则由关系式
u1 = S1，u2 = S 2 - S1 ,…，u n = S n - S n-1，
也可唯一确定相应的级数