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正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘要数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词数学分析正项级数推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义如果级数的各项都是非负实数，即则称此级数为正项级数2..收敛定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到例级数是正项级数。
它的部分和数列的通项，所以正项级数收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法…………，若，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数则；所以级数收敛2.拉贝审敛法…………，若，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 2 判断级数的敛散性解设则，（达朗贝尔审敛法不可用）所以级数三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。
但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。
但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数来说，如果时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。
例如，我们不难证明，当为n的有历史时，总有，也就是说此时比值判定法必定失效。
正项级数比值审敛法正项级数比值审敛法是数学分析中常用的一种判定级数收敛性的方法。
它利用级数的比值来判断级数的收敛性或发散性。
本文将详细介绍正项级数比值审敛法的原理、应用例子以及一些注意事项，希望能对读者们有所指导和帮助。
首先，我们来探讨正项级数比值审敛法的原理。
对于一个正项级数∑an ，其中an≥0 ，我们可以求出级数相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（an+1/an）。
当 L<1 时，级数∑an 收敛；当 L>1 时，级数∑an 发散；当 L=1 时，比值试验不能确定级数的收敛性，需采用其他方法进行判定。
接下来，让我们通过一个具体的例子来解释正项级数比值审敛法的应用。
考虑级数∑1/n! ，我们可以计算相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（（n+1)!/n!） = lim（n→∞）（n+1）=∞。
由于L>1 ，根据比值审敛法的原理，我们知道该级数发散，也就是说级数∑1/n! 是发散的。
在应用正项级数比值审敛法时，需要注意以下几点。
首先，要确保级数的各项都是正数，否则无法使用比值审敛法。
其次，比值试验只适用于正项级数，对于含有负项的级数是不适用的。
此外，当极限值 L=1 时，比值试验无法确定级数的收敛性，此时需要借助其他判定方法。
最后，正项级数比值审敛法是一种快速判断级数收敛性的方法，但并不是万能的，对于一些特殊级数可能会失效，需要采用其他方法进行判断。
总结起来，正项级数比值审敛法是一种简单有效的判定级数收敛性的方法。
通过计算级数相邻项的比值的极限值，我们可以快速判断级数的收敛性或发散性。
然而，在使用比值审敛法时需要注意级数的正性、不适用于负项级数以及极限值为1时的特殊情况。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用正项级数比值审敛法，从而在数学分析中取得更好的成绩。
级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。
其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.第一节:正项级数(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了)(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。
)A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.):首先,了解一个充要条件:∑∞Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针对n=1这个东西，用的地方不多后面会有介绍。
B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。
对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。
简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。
（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000>>b a（这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数∑∞=--++++++1110110......n kk km m m b nb n b a n a n a 收敛的充要条件。
解：设kk km m mnb nb n b a na n a u (1)10110+++++=--。
取mk nnv -=1，因为00limb a v u nn n =∞→，所以∑∑∞=∞=11,n nn nv u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1,故收敛。
正项级数审敛法的比较与应用1.引言正项级数作为数学分析中重要内容之一是我们必须要掌握的知识。
因其有着几百年发展的历史，正项级数理论也已经很成熟。
我们在课本中已经学习了很多种判断正项级数敛散性的法方法，但在具体的解题过程时往往不知道该选用哪种判断方法较为适宜。
也就是说，不同的正项级数敛散性判断方法都有其局限性，每个正项级数定理运用在不同的题目上时会有其优缺点。
那么我们在解决具体正项级数敛散性题目时到底该选用哪种方法合适呢？这是本文所讨论的。
2正项级数的相关概念2.1定义如果级数u n的各项都是非负实数，即x n>0,n=1,2⋯则称此级数为正项级数。
1. 1.2正项级数的收敛原理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上届，则其必发散到+∞。
2.2正项级数收敛判定定理2. 2.1比较判别法2.1.1比较判别法定理设u n和v n是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有u n≤v n,若级数u n收敛，则级数v n收敛若级数u n发散，则级数v n发散2.1.2比较判别法的应用例1判断1的收敛性n2+2n+2解因为1 2<12而由级数的柯西准则可知1n中 u m+1+u m+2+⋯+u m+p=1(m+1)2+1(m+2)2+⋯+1(m+p)2<1m m+1+1m+1m+2+⋯+1m+p−1m+p<1/m因此，对任给正数ε，取N=[1ε],使当m>N及对任意正整数p,由上式有u m+1+u m+2+⋯+u m+p<1<ε则级数1n是收敛的。
所以由比较法可知1n+2n+2是收敛的。
2.1.3小结在运用比较判别法判断正向级数收敛时，可考虑运用p级数收敛与发散的结论来简化证明。
即1n p ,当0<p≤1时，1n p发散；当p>1时，1n p收敛。
2.1.4比较判别法推论设u1+u2+⋯+u n+⋯,（1）v1+v2+⋯+v n+⋯,（2）是两个正项级数，若lim n→∞u nv n=l,当0<l<+∞时，级数（1）、（2）同时收敛或同时发散;当l=0且级数收敛时（2）收敛时，级数（1）也收敛；当l=∞且级数（2）发散时，级数（1）也发散。
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。
这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。
在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。
关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥= 则称此级数为正项级数2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。
若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞例 级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。
它的部分和数列的通项 2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑， 所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎡⎤⎥-+⎦∑收敛。
在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。
二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim n n nU L U +→∞=，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 1 考虑级数22331111111,232322n n x ∞==++++++∑ 则2lim n →∞==； 113lim lim 2nn n n n nx x +→∞→∞+==+∞； 12lim lim 03n n n n n nx x →∞→∞+== 所以级数收敛 2.拉贝审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim (1)n n nU n L U +→∞-=，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。
例 2 判断级数 1(21)!!11(2)!!21n n n n ∞=-++∑的敛散性 解设 (21)!!1(2)!!21n n x n n -=+ 则 21(21)lim lim 1(22)(23)n n n nx n x n n →∞→∞++==++，（达朗贝尔审敛法不可用） ()21(65)3lim (1)lim 1221n n n n x n n n x n →∞→∞++-==>+ 所以级数1(21)!!11(2)!!21n n n n ∞=-++∑收敛 三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。
但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。
但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数a u ∑来说，如果1lim1a n au u +→∞=时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。
例如，我们不难证明，当a u 为n 的有历史时，总有1lim1a n au u +→∞=，也就是说此时比值判定法必定失效。
这足以说明比值审敛法的应用范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。
其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。
拉贝审敛法：设a u ∑是正项级数，如果1lim (1)an a u n p u →∞+-=那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。
（此证明详见数学分析教材） 但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串1(1)aa u n u +-的极限显然一般要比求达朗贝尔数串1a au u -的极限来的复杂。
四.推广比值审敛法：1.推广比值审敛法法1（隔项比值审敛法）：设正项级数a u ∑的项单调递减，如果2liman au p u →∞=则p<12时级数收敛；而当p>12时级数发散。
2.推广比值审敛法2（双比值审敛法）：对于正项级数au∑，如果2211l i m l i m a a n n a a u up u u +→∞→∞+==那么，当p<12时级数收敛；当p>12时级数发散。
推论 对于正项级数a u ∑，如果1lim1a n au u +→∞=且2lim a n a up u →∞=存在，那么当p<12时级数收敛；当p>12时级数发散。
由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关系问题。
为此先看一个具体例子。
例3 讨论级数!nnn n e∑的敛散性解：首先难验算有1lim 1n n nu u +→∞=，所以达朗贝尔审敛法失效，考虑改用推广比值审敛法。
先用隔项比值审敛法，因为1(1)(1)n n n n e n n +>+=，因此()11!1!n n n n n n n e n e ++>+，即使1n n u u +>。
在利用斯特林公式12!()(01)n n n n e eθθ=<<，有2222222(2)!(2)!(2)1lim lim lim lim (2)!(2)!2n n n n n n n n n n n n n n n n n nu n n e n e n n e u n e n n e n n e →∞→∞→∞→∞⋅=⋅===> 所以所给级数发散。
如果对于本题直接用双比值审敛法，则需要计算两个极限，运算较为繁琐。
由于已知1lim1n n nu u +→∞=，因此改用审敛法的推论，只需要推出21lim 2n n n u u →∞>，计算过程与第一种方法相同。
但免去了证明级数项的递减性。
由此可见，虽然双比值审敛法比隔项审敛法的形式复杂，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现1lim1n n nu u +→∞=的情况时，如果改用双比值审敛法的推论，可以不必考虑级数的项是否递减。
也就是说，这时双比值审敛法的实用性更好一些。
反之，当容易证明正项级数的项具有递减性时以及2n n u u 比1n nuu +的极限更容易计算时，就适宜应用隔项比值审敛法。
一般说来，这两种推广比值审敛法不能互相代替，同时也难以比较它们的强弱。
因为，如果2limn n n u p u →∞=且{n u }递减，则一般并不能推出21lim n n n uu +→∞存在并等于p ；反过来，如果2limn n n u p u →∞==21lim n n nuu +→∞=p 存在，则{n u }并不一定递减。
五.推广比值审敛法与常规审敛法的比较我们知道，例3也可以用拉贝审敛法判定其发散性。
因此我们自然要考虑上面的推广比值审敛法与拉贝审敛法之间的强弱问题。
也就是要问，对给定的正项级数。
如果能用某个推广比值判定法判定敛散性，是否一定能用拉贝审敛法？或者反过来，能用拉贝审敛法确定敛散性的正项级数是否必定可用前者判定法判定。
这一问题比较复杂，所以本文只给出下面的一些结果。
命题1 设n u >0，如果1l i m (1)()n n n up p u →∞+-∞⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪+∞⎩则有21l i m (2n p n n u p u →∞+∞⎧⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪⎪⎩）证明 当p -∞<<+∞时，任意取定0ε>，由条件，对一切充分大的n 都有1(1)22n n u p n p u εε+-<-<+（1） 记 'p p ε=-，则不难知道，量1(1)'1lim1n p n n →∞+-等于函数'(1)p x +在点x=0的导数，也就是数'p 。
因为'2p p ε<-，所以对充分大的n ，有1(1)'112p n p nε+-<-从而112(1)(1)'1p p p n nnεε--+=+<+因此由（1）式得1121(1)p nn p u u n nεε-+-≥+>+同理，当n 充分大时，有11(1)p n n u u nε++<+ 现不妨设0ε>充分小，由上述知有自然数N ，使对一切n>N ，有111(1)(1)p p n n u n u n εε-+++<<+1211(1)(1)11p p n n u n u n εε-++++<<+++ ……21211(1)(1)2121p p n n u n u n εε-+-+<<+-- 以上n 个不等式相乘后再倒数得21122n p p n u u εε+-<< 注意到ε得任意性取上式的极限得 21lim2n p n nu u →∞=现在设li m (1)n n nun u →∞-=-∞，则0M ∀>，∃自然数12M N >，当1n N >时，有1(1)nn u n M u +-<- 所以1112n n u M Mu n n +<-<-121112n n u M Mu n n++<-<-+ ……21211212n n u M Mu n n-+<-<-- 又因为 2lim(1)lim(1)22Mn n n M Me n n-→∞→∞-=-<所以∃自然数2N ，当n>2N 时有(1)2n M n -<2M e -,此时 22(1)2Mnn n u M o e u n-<<-<于是0M ∀>，∃自然数12max{,}N N N =，当n>N 时，有22(1)2M n n u Mo e u n-<<-<；由M 的任意性可知：2lim 0n n nu u →∞=，即2l i m n n n u u →∞=+∞，类似可证1lim (1)n n n un u →∞+-=+∞时情形。
由此可见，对正项级数n u ∑来说，如果拉贝数串1(1)nn u n u +-的极限值p 分别为大于（小于）1的数，+∞，-∞；则2l i mnn nu u →∞将分别小于（大于）12的正数，0及+∞，从而可得出下面的结论：如果正项级数n u ∑的项虽然一般未必递减。
但如果1lim (1)0n n n u n p u →∞+-=>，则当n 充分大时，有1(1)0n n un u +->，从而有1n n u u +>，这从另一个侧面说明了拉贝审敛法与隔项比值法具有一定的内在联系。
