数项级数判别法总结

级数收敛的判别技巧级数是数学中一个重要的概念，它是由一系列数相加而成的。

在数学中，我们经常需要判断一个级数是否收敛，即求出它的和。

本文将介绍几种常用的级数收敛的判别技巧。

一、正项级数的判别法正项级数是指级数的每一项都是非负数的情况。

对于正项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。

1. 比较判别法比较判别法是最常用的判别法之一。

它的基本思想是将待判别的级数与一个已知的级数进行比较，通过比较它们的大小关系来判断级数的收敛性。

比较判别法分为两种情况：（1）若存在一个收敛的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≤bn，则待判别的级数∑bn也收敛。

（2）若存在一个发散的级数∑an，使得对于所有的n，都有an≥bn，则待判别的级数∑bn也发散。

2. 比值判别法比值判别法是判别正项级数收敛性的常用方法之一。

它的基本思想是通过计算级数相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：（1）计算级数相邻两项的比值：rn=an+1/an。

（2）求出极限limn→∞rn。

（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。

3. 根值判别法根值判别法也是判别正项级数收敛性的常用方法之一。

它的基本思想是通过计算级数项的根号的极限来判断级数的收敛性。

具体步骤如下：（1）计算级数项的根号：rn=(an)^(1/n)。

（2）求出极限limn→∞rn。

（3）根据极限的大小判断级数的收敛性：- 若0≤limn→∞rn<1，则级数收敛；- 若limn→∞rn>1，则级数发散；- 若limn→∞rn=1，则判别不出级数的收敛性，需要使用其他方法进行判别。

二、任意项级数的判别法任意项级数是指级数的每一项都可以是正数、负数或零的情况。

对于任意项级数，我们可以使用以下几种方法来判断其是否收敛。

数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。

在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。

下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。

1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。

即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。

2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。

具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。

4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。

如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。

5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。

6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。

具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。

判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。

对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。

以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。

即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。

这个方法常用于证明一些级数的发散。

2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。

-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。

如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。

比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。

3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。

极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。

4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。

即，级数与积分的敛散性相同。

积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。

5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。

如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。

序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。

以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。

在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。

需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。

级数判别法基本定理：正项级数收敛的充要条件是：∑∞=1n n a的部分和数列}{n S 有界。

1、 比较判别法：设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b是两个正项级数，且存在0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。

○2：∑∑∞=∞=⇒101n n n n ba 发散发散。

2、 比较判别法极限形式：设∑∞=1n na 和∑∞=1n nb 是两个正项级数，且λ=+∞→n nn b a lim，则：○1：当+∞<<λ0时，∑∞=1n na 和∑∞=1n n b具有相同的敛散性。

○2：当0=λ时，∑∞=1n n b 收敛∑∞=⇒1n na 收敛。

○3：当+∞=λ时，∑∞=1n n b 发散∑∞=⇒1n na 发散。

3、 比较判别法II ：设有两正项级数∑∑∞=∞=101n nn n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：nn n n b b a a 11++≤，则：○1：∑∞=1n n b收敛∑∞=⇒1n na 收敛。

○2：∑∞=1n na发散∑∞=⇒1n n b发散。

4、 比值判别法（达朗贝尔）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°若当n 充分大时有：11<≤+q a a n n ，则级数∑∞=1n n a 必收敛。

2°若当n 充分大时有：11≥+n n a a ，则级数∑∞=1n n a 必发散。

5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设∑∞=1n n a为正项级数，且2111lim limλλ==+∞→+∞→n n n n n n a a，a a ，+∞≤2,1λ，则：1°：当11<λ时，级数∑∞=1n n a 收敛。

2°：当12>λ时，级数∑∞=1n n a 发散。

6、 根值判别法（Cauchy ）：设∑∞=1n n a为正项级数，则：1°：若当n 充分大时，有1<≤q a nn ，则级数∑∞=1n na 必收敛。

数项级数收敛性的判别一、基本概念数项级数是由一列实数构成的无限级数，形式化表示为：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$$其中$a_n$为级数中第$n$个数。

对于数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，我们关心的问题是其收敛性或发散性。

设数列$\{S_n\}$表示数项级数的前$n$项和，则有：二、基本判别法1.正项级数判别法正项级数指所有项都是非负数的级数。

对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，若存在正整数$p$，使得对于任意$n\ge p$，都有$a_n\ge a_{n+1}$，则数项级数收敛。

该判别法常被称为级数单调有界准则，或称作单调有界原理，其思路为：单调有界必收敛。

当级数中第$p$项后，级数的每一项都小于等于$a_p$，同时又因为级数的每一项都为非负数，所以$\{S_n\}$必单调不降；又由于$a_n$单调减少，$\{S_n\}$最终必定收敛。

2.比较判别法（1）当级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

比较判别法常被称为比较原理，其思路为：级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的上界为级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的上界，则当$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$必定收敛；反之，当$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$必定发散。

设极限$L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$存在，则：若$L=1$，则比值判别法无法断定级数的收敛性。

在比值判别法中，我们通常都称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$为原级数的比值级数。

华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 201203901联系方式:2012.05.23数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。

本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。

我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。

以便我们更好的掌握它。

关键词：数项级数敛散性判别方法总结Several series gatheredof the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary一. 数项级数的定义 ：● 数项级数的定义设{a n }是一个数列，则称表达式a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。