第十二章 动能定理1

第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。

弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。

反之为负。

的无限小增量。

点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。

点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。

用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。

§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。

2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。

m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。

理论力学东北大学理学院力学系张英杰综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。

动量定理动能定理动量矩定理用矢量法研究动力学问题从能量的角度分析质点(系)的动力学问题—4123力的功质点和质点系的动能功率、功率方程、机械效率动能定理5势力场· 势能· 机械能守恒定律6普遍定理的综合应用（代数量）常力在直线运动中的功：变力在曲线运动中的功：元功θsF力在全路程上作的功等于元功之和：θrd sd 一、功—力在一段路程内所积累的效应s F W⋅=W δ⎰=ssF W 0d cos θsF ⋅=θcos sF d cos ⋅=θM 1M 2FM 单位:J （焦耳） 1 J = 1 N·m M'r Fd ⋅=元功作用力F 在质点从M 1到M 2的运动过程中所作的功：kF j F i F F z y x++=kz j y i x rd d d d ++=rF Wd δ⋅=zF y F x F z y x d d d ++=⎰++=21)d d d (M M z y x z F y F x F 一、功—力在一段路程内所积累的效应（代数量）θrd sd M 1M 2FM M'取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系，为三个坐标轴的单位矢量。

k j i,,⎰=21δ12M M W W 当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。

质点系1、重力的功2z gm1z O yxz M 1M 2—质心始末位置高度差二、常见的功mg F F F z y x -===;0z mgz z d 21-⎰=)(21z z mg -=)(2112i i i z z g m W -∑=∑ii C z m mz ∑=)(21C C z z mg -=⎰++=21)d d d (12M M z y x z F y F x F W 重力作功只与运动始末位置有关,与运动轨迹形状无关弹性力2、弹性力的功二、常见的功r e l r k F)(0--=⎰⋅=21d 12A A rF W⎰⋅--=21d )(0A A r re l r kr r r r e rd d ⋅=⋅)(d 21r r r⋅=)(d 212r r =r d =()[]⎰--=21d 0r r rl r k ])()[(21202201l r l r k ---=)(212221δδ-=k 弹簧刚度系数k(N/m)2δF 1δr e 1r 2r r r d δrd OA 0A 2A 1A l 0弹性力的功)(2222112δδ-=k W 弹性力的功只与弹簧始末的变形量δ有关，而与力作用点A 的轨迹形状无关。