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《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编号：120233B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□√学科基础课总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0学分：3适用对象：经济统计学先修课程：数学分析、高等代数、空间解析几何毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题2.可以建立统计模型，获得有效结论3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用4.关注国际统计应用的新进展5.基于数据结论，提出决策咨询建议6.具有不断学习的意识一、课程的教学目标本课程以实变函数与泛函分析基本理论为基础，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
本课程基本目标为：能理解、掌握Lebesgue测度和Lebesgue积分，赋范空间和Hilbert空间一些基本概念、基本理论和基本方法。
本课程的难点在于学生初次涉及众多的抽象概念，并且论证的部分很多，教学中应密切结合数学分析中学到的相对来说比较直观的内容讲解，并督促学生下工夫理解。
二、教学基本要求（一）教学内容及要求《实变函数与泛函分析》在理解数学分析思想及基本知识和线性代数的基本知识后将其拓展到实数域上，进而讨论集合，欧氏空间，Lebesgtle测度，Lebesgue 可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，L^p空间，L^2空间，卷积与Fourier变换，Hilbert空间理论，Hilbert空间上的有界线性算子，Banach空间，Banach空间上的有界线算子，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
其中要求同学们：1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
高等概率论《高等概率论》是2009年科学出版社出版的图书，作者是胡晓予。
主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等。
第二部分是第4～6章。
主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律。
在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论。
这部分内容突出了经典的概率论证明技巧。
第三部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程。
第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。
《高等概率论》适合数学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。
前言第1章测度与积分1.1 符号与假定1.2 集族与测度1.3 测度的扩张1.4 Lebesgue—Stieltjes测度1.5 Hausdorff测度和填充测度1.6 可测函数及其收敛性1.7 可积函数及积分性质习题1第2章测度的分解2.1 测度的Jordan—Hahn分解2.2 Radon—Nikodym定理2.3 Radon—Nikodym定理在实分析中的应用习题2第3章乘积空间上的测度与积分3.1 乘积测度3.2 Fubini定理3.3 无穷维乘积空间上的测度习题3第4章概率论基础4.1 符号与概念4.2 条件概率与条件期望4.3 Borel—Cantelli引理4.4 Kolmogorov零一律第5章中心极限定理5.1 测度的弱收敛5.2 特征函数5.3 Lindeber9中心极限定理5.4 无穷可分分布族5.5 二重随机变量序列的极限定理习题5第6章大数定律6.1 级数收敛定理6.2 大数定律6.3 kolmogorov重对数律习题6第7章离散鞅论7.1 鞅的基本概念7.2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性7.3 一致可积性与鞅的Lp收敛性7.4 鞅的选样定理第8章随机过程选讲8.1 随机游动与马氏链8.2 布朗运动8.3 高斯自由场。
实变函数可数覆盖定理实变函数可数覆盖定理是指：任意可测集合E，如果它的测度有限，则存在可数个开集Ai包含E，使得E被它们覆盖，即：E \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \ \ \ \text{且} \ \ \ m(E) < \infty这个定理在实分析中有着广泛的应用，本文将围绕该定理展开讨论。
一、定理的证明为了证明此定理，我们需要以下引理：引理1：任何开集都可以写成可数个互不相交的闭集的并集。
证明：设G为一个开集，任取x \in G，则存在开球B(x,r_x) \subseteq G。
因为\mathbb{R}是第二可数公理满足的拓扑空间，所以可以从可数个互不相交的开球\{B(x_n,r_n)\}_{n=1}^{\infty}组成基本邻域。
注意到这个基本邻域覆盖了G，因此存在有限个开球B_j(j=1,...,k)，使得G \subseteq \bigcup_{j=1}^k B_j(x_j,r_j)现在对每个i=1,...k，定义闭集F_i = \{x \in G: x - x_i \leq \frac{r_i}{4}\}，即对于每个x \in G，x和x_i之间的距离小于\frac{r_i}{4}。
显然，F_i是闭集，且它们互不相交。
因为G被局部有限个开球覆盖，所以每个x \in G最多只会属于一个F_i，所以G是可数个互不相交的闭集的并集。
引理2：存在含有无穷个不相交的可测集合的积空间（称为投射空间）。
证明：我们可以构造集合列\{E_n\}_{n=1}^{\infty}，使得E_n \in \{0, 1\}，且它们不相交（如果两个集合相交，则它们在投射空间的交集不为空）。
现在考虑\{0, 1\}的不可数个元素组成的集合X上的所有标准Borel集合A \subseteq X，他们形如某个开区间或其可数差集。
我们定义E = \{x \in X: x_n = 1\text{当且仅当} n \in \mathbb{N}\text{且} x \in E_n\}其中\mathbb{N}是自然数集合。
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
§4.6 乘积测度与Fubini 定理教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理—Fubini 定理.本节要点 乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.设X 和Y 是两个非空集, .,Y B X A ⊂⊂ 称B A ×为Y X ×中的矩形(定义∅=×∅∅=∅×B A ,).例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即1R =×1R .2R 当A 和B 是直线上的有界区间时, B A ×就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积空间, 但可以将1R =×1R 2R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形具有如下性质(图6—1):(1).).()()()(21212211B B A A B A B A ∩×∩=×∩×(2).)].()[(])[()()(21211212211B B A A B A A B A B A −×∩∪×−=×−×图6-1设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间. 若,A ∈A ,B ∈B 则称B A ×为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半环.由C 生成的代数−σ)(C σ称为A 与B 的乘积σ-代数, 记为.B A ×)()(21212B B A A E −×∩=1211)(B A A E ×−=X1A2A 1E2B 1B Y2E在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意∈×B A C , 令).()())((B A B A νµνµ⋅=×× (1)定理1 由(1)式定义的集函数νµ×是C 上的测度.证明 显然0))((=∅×νµ. 往证νµ×在C 上是可数可加的. 设B A ×是一个可测矩形, }{n n B A ×是一列互不相交的可测矩形使得1.n n n A B A B ∞=×=×∪由于}{n n B A ×是互不相交的, 故成立.)()()()(1∑∞−=n B A B A y I x I y I x I n n对任意固定的,Y y ∈ 将上式两边对x 积分并利用单调收敛定理得到.)()()()(1∑∞==n B n B y I A y I A nµµ再对y 积分得到.)()()()(1∑∞=⋅=⋅n nnBA B A νµνµ 这就是.))(())((1∑∞=××=××n n n B A B A νµνµ即νµ×在C 上是可数可加的. 因此νµ×是C 上的测度. ■设R 是由C 生成的环, 即}.1,,,:{11≥===k E E E A k ki i 是互不相交的可测矩形∪R注意由于∈×Y X ,R 故R 实际上是一个代数. 按下面的方式将νµ×延拓到R 上. 若∈E ,R E 的一个分解式为,1∪ki i i B A E =×= 则令.)()())((1∑=⋅=×ki iiB A E νµνµ (2)由§2.2.引理7, ))((B A ××νµ的值不依赖于B A ×的分解式的选取. 由定理1和§2.2定理8立即得到如下定理.定理2 由(2)式定义的集函数νµ×是R 上的测度.设∗×)(νµ是由νµ×导出的外测度,νµ×M 是∗×)(νµ可测集的全体所成的−σ代数.由§2.2定理5, ∗×)(νµ在νµ×M 上是一个测度, 称这个测度为µ和ν的乘积测度, 仍记为νµ×. 称测度空间),,(νµνµ×××M Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间. 由§2.2.定理10, 测度空间),,(νµνµ×××M Y X 是完备的. 容易证明若µ和ν都是−σ有限的, 则νµ×也是−σ有限的(其证明留作习题).由第一章习题第26题的结果知道)(C σ=).(R σ 由B A ×的定义和§2.2定理5,B A ×=)(C σ=⊂)(R σνµ×M .因此νµ×也是B A ×上的测度. 有时也称测度空间),,(νµ×××B A Y X 为),,(µA X 与),,(νB Y 乘积空间.下面我们将证明Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设.,X x Y X E ∈×⊂ 称集}),(:{E y x Y y E x ∈∈=为E 在x 的截口. 类似地, 对,Y y ∈ 称集}),(:{E y x X x E y ∈∈=为E 在y 的截口. 注意x E 和y E 分别是Y 和X 的子集(图6—2).图6—2容易验证关于截口成立,)()().i (11∪∪∞=∞==n x n x n n E E.)().ii (x x x F E F E −=−同样, 关于y 的截口也成立类似的性质.定理3 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个−σ有限的测度空间, ∈E B A ×. 则).i (对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν和是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (3)XYx E yE x y E证明 ).i (设C 是可测矩形的全体. 令F }.,:{B B A ∈∈×∈=x E X x E 对任意若∈×=B A E ,C 则当A x ∈时, .B E x =当A x ∉时, .∅=x E 故对任意,X x ∈.B ∈x E 因此.F C ⊂ 利用截口的性质容易证明F 是一个σ-代数. 因此得到=×B A ⊂)(C σ.F 即对任意X x ∈必有.B ∈x E)ii (先设.)(+∞<Y ν 由本定理的结论),i ( 对任意,X x ∈ 必有.B ∈x E 故函数)(x E ν有意义. 令}.)(:{可测的是A B A F x E E ν×∈=若B A E ×=是一个可测矩形, 则)()()(x I B E A x νν=是A 可测的. 这表明.F C ⊂ 往证F 是一个λ类. 显然∈×Y X .F 设∈F E ,F 并且.F E ⊃ 注意到,)()(+∞<≤Y F x νν我们有).()()())((x x x x x F E F E F E νννν−=−=−故))((x F E −ν是A 可测的. 因此∈−F E ,F 即F 对包含差运算封闭.再设⊂}{n E F并且.↑n E 则.)(↑x n E 于是有).)((lim ))(())((11x n n n x n x n n E E E ννν∞→∞=∞===∪∪由上式看出))((1x n nE∪∞=ν是A 可测的. 因此∈∞=∪1n n E ,F 即F 对单调增加的集列的并运算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ类. 注意到C 是一个π类. 由§1.3.推论12, 我们有=×B A ⊂)(C σ.F即对任意∈E B A ×, )(x E ν是A 可测的. 若.)(+∞=Y ν 由于),,(νB Y 是−σ有限的, 因此存在Y 的一列互不相交的可测集}{n Y 使得+∞<)(n Y ν并且1.nn Y Y ∞==∪对每个,1≥n 在B 上定义测度∈∩=B Y B B n n ),()(νν.B则.)()(+∞<=n n Y Y νν 设∈E B A ×. 则由上面所证, 每个,1≥n )(x n E ν是A 可测的. 我们有.)()())(()(111∑∑∞=∞=∞==∩=∩=n x n n n x n n x x E Y E Y E E νννν∪由此可见)(x E ν是A 可测的. 在B A ×上定义集函数λ如下:∈=∫E d E E x ,)()(µνλB A ×.则λ是非负值集函数并且.0)(=∅m 设}{n E 是B A ×中的一列互不相交的集. 则由单调收敛定理得到.)())(())(())(()(11111∑∫∑∫∫∞=∞=∞=∞=∞=====n n n x n n x n x n n n n E d E d E d E E λµνµνµνλ∪∪∪即λ是可数可加的. 故λ是B A ×上的测度. 若B A E ×=是一个可测矩形, 则).)(()()(.)()()()(E B A d x I B d E E A x νµνµµνµνλ×=⋅===∫∫故在C 上.νµλ×=测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上.νµλ×= 由于µ和ν都是−σ有限的, 容易知道λ和νµ×也是−σ有限的(参见习题). 由§2.2定理6知道在B A ×上.νµλ×= 这表明对任意∈E ,B A × (3)式成立.■注1 由定理3, 我们也可以用(3)式来定义B A ×上的乘积测度,νµ× 这样定义的νµ×与我们前面定义的νµ×M 上的乘积测度νµ×在B A ×上是一致的. 但是这样得到的乘积测度空间),,(νµ×××B A Y X 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间),,(νµνµ×××M Y X , 这样就避免了对),,(νµ×××B A Y X 再进行完备化的讨论.引理4 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的测度空间, 若∈E νµ×M 并且.0))((=×E νµ 则对几乎所有,X x ∈B ∈x E 并且 a.e.,0)(=x E ν证明 由§2.2定理11, 存在∈F =)(R σ,B A × 使得E F ⊃并且.0))(())((=×=×E F νµνµ定理3)ii (蕴涵 a.e.0)(=x F ν 由于B 关于ν是完备的, 因此由x x F E ⊂得到∈x E a.e.,B 并且 a.e.0)(=x E ν.■定理5 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, ∈E νµ×M . 则).i (则对几乎所有,X x ∈ 必有.B ∈x E).ii ()(x E ν是),,(µA X 上的可测函数. 并且成立等式∫=×.)())((µννµd E E x (4)).iii (若),(y x f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数, 则对几乎所有,X x ∈ 函数),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数.证明 设∈E νµ×M . 由§2.2定理13, 存在∈F B A × 和∈N νµ×M ,,0))((=×N νµ使得.N F E −= 由引理4, ∈x N a.e.,B 并且 a.e.0)(=x N ν 再利用定理3, 我们有∈−=x x x N F E a.e.,B 因此)i (得证. 由定理3, )(x F ν是A 可测的. 由于A 关于µ是完备的, 并且a.e.),()()()(x x x x F N F E νννν=−=故)(x E ν是A 可测的(参见第三章习题第7题). 注意到,0))((=×N νµ 由定理3)ii (,∫∫==×=×).()())(()))((x x E d F F E ννννµνµ即(4)成立. 因此)ii (得证. 由于对任意实数,a ∈<}),(:),{(a y x f y x νµ×M .于是由结论)i (, 对几乎所有,X x ∈我们有∈<=<∈x a y x f y x a y x f Y y }),(:),{(}),(:{.B即),()(y x f y f x =是),,(νB Y 上的可测函数. 因此)iii (得证.■由对称性,关于y E 和)((y E µ成立类似于定理3,引理4和定理5的结果.设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个测度空间, ),(y x f 是Y X ×上的可测函数. 若对几乎所有固定的,X x ∈ ),(y x f 在Y 上的积分存在. 记()(,).Yg x f x y d ν=∫()(x g 可能在一个−µ零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令)(x g =0). 若)(x g 是X 上的可测函数并且在X 上的积分存在, 则称f 的二次积分存在, 并且称()Xg x d µ∫为f 的二次积分,记为()XYfd d νµ∫∫或.XYd fd µν∫∫ 类似可以定义另一个顺序的二次积分.YXd fd νµ∫∫关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这是本节最主要的结果定理6 (Fubini 理)设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间. 则).i (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的非负可测函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫=().YXfd d µν∫∫(5)).ii (若f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可积函数, 则()(,)YI x f x y d ν=∫和()(,)XJ y f x y d µ=∫分别是关于µ和ν可积的. 并且(5)成立.证明 ).i (由对称性, 只需证明()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数, 并且X Yf d µν××=∫()XYfd d νµ∫∫(6)先设E I f =是特征函数, 其中∈E νµ×M . 由定理5)i (, 对几乎所有,X x ∈∈x E .B 于是(,)()().x E E x YYI x y d I y d E ννν==∫∫ a.e..−µ由定理5)ii (, )(x E ν是X 上的可测函数. 并且()..)()()(µνµννµνµd d I d E E d I XYEXx YX E ∫∫∫∫==×=××这表明当f 是特征函数时, ()(,)YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由积分的线性性质知道, 当f 是非负简单函数时, )(x I 是X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列}{n f 使得.f f n ↑ 由上面的证明,()(,)n n YI x f x y d ν=∫是X 上的非负可测函数. 由单调收敛定理得到(,)(,).n YYf x y d f x y d νν↑∫∫ 因此)(x I 是X 上的非负可测函数. 再对函数列}{n I 应用单调收敛定理, 我们有()()lim lim .n n n n X YX YXYXYf d f d f d d fd d µνµννµνµ→∞→∞×××=×==∫∫∫∫∫∫即(6)成立. 因此)i (得证.).ii (由对称性, 我们只需证明)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立. 由)i (的结论,(,)Yf x y d ν+∫和(,)Yf x y d ν−∫是X 上的非负可测函数. 因此)(x I 是X 上的可测函数.对+f 和−f 分别运用(6), 我们有()()().X YX YX YX YXYXYf d f d f d f d d f d d fd d µνµνµννµνµνµ+−×××+−×=×−×=−=∫∫∫∫∫∫∫∫∫注意由于f 是关于νµ×可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允许的. 这就证明了)(x I 是关于µ可积的, 并且(6)成立.■推论7 设),,(µA X 和),,(νB Y 是两个完备的−σ有限的测度空间, f 是),,(νµνµ×××M Y X 上的可测函数. 若YXd f d νµ<+∞∫∫ 或,XYd f d µν<+∞∫∫则f 可积并且成立X Yf d µν××=∫XYd fd µν∫∫=.YXd fd νµ∫∫ (7)证明 设+∞<∫∫XYd f d µν. 由Fubini 定理, 我们有X Yf d µν××=∫.YXd f d νµ<+∞∫∫即f 可积. 再由Fubini 定理即知(7)成立. ■注2 在Fubini 定理中, 若),(y x f 是可积的. 则由于()(,)YI x f x y d ν=∫是关于µ可积的. 因此函数)(x I 几乎处处有限. 这表明对几乎所有,X x ∈),()(y x f y f x =是关于ν可积的. 同理, 对几乎所有,Y y ∈ 函数),()(y x f x f y = 是关于µ可积的.注3在Fubini 定理中, 若去掉),,(µA X 和),,(νB Y 是完备的这个条件, 则当f 是),,(νµ×××B A Y X 上的非负可测函数或可积函数时, 定理的结论仍成立. 其证明与定理6的证明是类似的. 只是此时不用定理5而直接引用定理.3就可以了.例1 设),,(µA X 是一个−σ有限的测度空间, f 是X 上的非负可测函数,.1+∞<≤p 则10({:()}).pp f d p t x f x t dt µµ+∞−=>∫∫证明 令},0)(:),{(≥>=t x f t x E 则}.)(:{t x f x E t >= 显然t x f −)(是乘积空间)),(,(11m X ×××µR R M F 上的可测函数, 故∈>−=}0)(:),{(t x f t x E )(1R M F ×. 因此函数),()(t x I x I E E t =是关于)(1R M F ×可测的. 由Fubini 定理我们有()101{:()}01{:()}010()()()({:()}).f x pp XXp x f x t Xp x f x t Xp f x d d pt dtd pt I x dtpt dt I x d pt x f x t dt µµµµµ−+∞−>+∞−>+∞−====>∫∫∫∫∫∫∫∫■下面我们将本节的结果用到nR 上的Lebesgue 积分上去.定理8 设)(1R B 和)(2R B 分别是1R 和2R 上的Borel σ-代数, 1m 和2m 分别是1R 和2R 上的Lebesgue 测度. 则×)(1R B =)(1R B )(2R B 并且在)(2R B 上.211m m m =× 即=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B证明 设R 是2R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′是由2R 中的Lebesgue 可测矩形的全体生成的环. 则=)(R σ),(2R B=′)(R σ×)(1R B ).(1R B 由于⊂R R ′, 故=)(2R B =′⊂)()(R R σσ×)(1R B ).(1R B反过来, 令1p 和2p 是2R 到1R 的投影函数, 即.,),(1x y x p = y y x p =),(2. 则1p 和2p 都是连续的, 因而是2R 上的Borel 可测函数. 由§3.1定理2, 若∈B A ,)(1R B , 则∈−)(11A p )(2R B , ∈−)(12B p ).(2R B 于是).()()()()(2121111R R R B ∈∩=×∩×=×−−B p A p B A B A故⊂′R ).(2R B于是×)(1R B =)(1R B ⊂′)(R σ).(2R B 因此×)(1R B =)(1R B )(2R B . 由乘积测度的定义容易知道在R 上.211m m m =× 由§2.2定理6知道在)(R σ上.211m m m =× 即在)(2R B 上面.211m m m =×■定理9 两个一维Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维Lebesgue 测度空间, 即=×××),,(1111m m i i m m M R R ).),(,(222m R R M (8)证明 仍设R ,R ′, 1m 和2m 如定理8. 由定理8,=×××)),()(,(111111m m R R R R B B ).),(,(222m R R B此即=×′×)),(,(1111m m R σR R ).),(,(22m R σR由§2.2定理15,),,(1111m m i i m m ×××M R R 和)),(,(222m R R M 分别是)),(,(1111m m ×′×R σR R 和)),(,(22m R σR 的完备化空间. 因此(8)成立.■推论10 设f 是2R 上的非负L 可测函数或L 可积函数.则成立2R f dxdy =∫dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR特别地, 当dy f dx <+∞∫∫11R R 或者dx f dy <+∞∫∫11RR 时, 成立dy f dx ∫∫11R R =.dx f dy ∫∫11RR(我们将2R 上的L 积分记为2.R f dxdy ∫)证明 将定理6和推论7应用到乘积空间),,(1111m m iim m ×××M R R 上, 并利用定理9即得. ■显然, 对pR 与qR 的乘积空间qp +R 的情形,成立与推论10类似的结果.例2 计算0sin ()(0).axbx x I e e dx a b x+∞−−=−<<∫解 我们有0sin ()sin .b ax bxxy ax e e dx dx e xdy x +∞+∞−−−−=∫∫∫ 由于1sin ln .bb b xyxyaaabdy ex dx dy edx dy y a+∞+∞−−≤==<+∞∫∫∫∫∫由Fubini 定理(推论7), 我们有002sin sin 1arctg arctg .1bb xyxy aab aI dx exdy dy e xdxdy b a y+∞+∞−−====−+∫∫∫∫∫小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了§2.2测度的延拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理—Fubini定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用.习题习题四, 第43题—第57题.。
带有无限时滞随机发展方程的Khasminskii-型定理蔡志丹;刘青青;吕显瑞【摘要】By using the Lyapunov-type condition and the truncation technique,we considered the existence of global solutions for stochastic evolution equations with infinite delay,and obtained Khasminskii-type theorems for stochastic evolution equations with infinite delay.%利用Lyapunov 型条件和截断技术,考虑带有无限时滞的随机发展方程全局解的存在性,得到了带有无限时滞随机发展方程的Khasminskii-型定理.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)002【总页数】4页(P215-218)【关键词】随机发展方程;无限时滞;全局解;线性增长条件【作者】蔡志丹;刘青青;吕显瑞【作者单位】长春理工大学理学院,长春130022;洛阳师范学院数理学院,河南洛阳471934;吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言为使一个随机微分方程对任意给定的初始值都有唯一的全局解, 方程的系数通常需要满足线性增长条件和局部Lipschitz条件[1-2], 或者满足一个给定的非Lipschitz 条件和线性增长条件[3-4], 即线性增长条件在抑制解的潜在爆炸和保证解的存在性方面具有重要作用. 文献[5-6]将上述两类情形推广到了无穷时滞随机泛函微分方程上. 但实际应用中, 许多重要的无穷时滞系统并不满足线性增长条件, 因此, 研究这些系统解的全局存在性具有一定的应用价值.经典的Khasminskii-型定理在没有线性增长条件的情形下, 通过使用Lyapunov函数研究了随机微分方程解的全局存在性[7-12], 进而对有限随机微分方程的全局解建立了各种存在唯一性定理. 文献[13]给出了不满足线性增长条件的无穷时滞随机泛函方程解的存在唯一性定理. 但对于带有无穷时滞的随机发展方程, 目前尚未见文献报道. 本文考虑带无限时滞的随机发展方程dx(t)=(Ax(t)+f(t,xt))dt+g(t,xt)dWt,(1)其中: xt=xt(θ)∶={x(t+θ): -∞<θ≤0}; A表示从V到V*的有界线性算子; f:+×BC((-∞,0];H)→H和g: +×BC((-∞,0];H)→L(U,H)是Borel可测的, H,U表示可分的Hilbert空间, 有一个数量积〈·,·〉. V是一个可分的Banach空间, 其范数为‖·‖, V⊂H是连续稠密的, V*是V的对偶空间. 由Riesz同构知, V⊂H=H*⊂V*是连续稠密的. BC((-∞,0];H)表示从(-∞,0]到H, 具有范数<∞, 构成一个Banach空间的有界连续函数族. L(U,H)表示所有从U到H的有界线性算子空间, L(U,H)是Banach空间, W是(Ω,F,P)上U-值的Brown运动. 令(Ω,F,P)是一个带有信息流{Ft}t≥0的完备概率空间, C2(H,+)是H上所有连续两次可微的非负函数族, 对任意的V ∈C2(H,+), 定义LV为LV (t,φ)=〈Aφ(0),Vx(φ(0))〉+〈Vx(φ(0)),f(t,φ)〉+tr(gT(t,φ)Vxx(φ(0))g(t,φ)).假设:(H1) 设A是一个从V到V*上的有界线性算子, 对p≥2, 存在一个常数δ, 使得对μ∈V, 有‖Aμ‖*≤δ‖μ‖p-1, 且满足下述强制性条件: 存在常数α>0和γ>0, 使得(H2) f和g满足局部的Lipstiz条件, φ,φ∈BC((-∞,0];H), t≥0, 对每个k>0, 存在一个常数ck, 使得‖f(t,φ)-g(t,φ)‖H∨‖g(t,φ)-g(t,φ)‖H≤ck‖φ-φ‖H,其中‖φ‖H,‖φ‖H≤k.1 主要结果对方程(1)应用标准的截断技术, 可得:定理1 在假设条件(H1),(H2)下, 对任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在-∞<t<ρe上存在唯一的局部强解x(t), 其中ρe是一个爆破时间.定理2 在假设条件(H1),(H2)下, 有p≥2. 如果存在a,b,c,Kl>0, αl>0及概率测度μl(1≤l≤L), 使得对于一些整数和一个非负不减的函数K(t), 函数V (x)=满足对任意的t≥0, φ∈BC((-∞,0],H), t≥0, φ∈BC((-∞,0],H), 有则方程(1)在[0,+∞]上存在一个概率1意义下的全局解.证明：由假设(H1),(H2)和定理1知, 对任意的初值ξ∈BC((-∞,0];H), 方程(1)在t∈(-∞,τe)上都有一个唯一的局部强解x(t), 其中τe表示爆破时间. 为了证明该解是全局的, 只需证明τe=∞. 注意到ξ∈BC((-∞,0];H), 因此必存在一个正数k0, 使得|ξ(0)|≤k0. 对每个整数k>k0, 定义停时τk=inf{t∈[0,τe]: |x(t)|≥k}.显然τk是递增的, 并且当k→∞时, τk→τ∞≤τe. 若τ∞→∞, 则τe=∞, 即x(t)是一个全局解. 其等价于对任意的t>0, 当k→∞时, P(τk≤t)→0. 由条件(2), 对V (x(t)), 应用It公式可得利用Fubini定理, 可得如下估计：类似地, 有(5)注意到K(t)是一个不减的函数, 将式(4),(5)替换到式(3)中得EV (x(t∧τk))=常数(6)利用Gronwall不等式, 有E≤M(t)etN(t),其中:M(t)=常数+K(t)由停时τk的定义, 有kpP(τk≤t)=E[V (x(t∧τk))]1τk≤t≤E≤M(t)etN(t),即当k→∞时, P(τk≤t)→0. 证毕.为了使条件更简便, 指定条件(2), 对任意的φ∈BC((-∞,0];H), 对f,g应用如下条件.1) 存在常数和一个概率测度μ, 使得2) 存在非负常数和一个概率过程ν, 使得定理3 假设(H1),(H2)成立, 在条件1),2)下, 如果(7)则对任意初值(-∞,0];H), 方程(1)在t≥0上存在一个唯一的依概率1的全局解x(t).证明: 令V (x)=, 应用It公式, 有LV (x)=2〈Aφ(0),φ(0)〉+2φTf(t,φ)+∶=I0+I1+I2.由假设(H2), 有由条件1), 有由条件2)应用Hölder不等式得由I0,I1,I2得其中注意到α>2β, p≥2, 因此有其中K(t)=H(x), a=1, b=c=0. 应用定理2即可得到结果. 证毕.参考文献【相关文献】[1] Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications [M]. New York: Wiley, 1974.[2] MAO Xuerong. Stochastic Differential Equations and Applications [M]. Chichester: Horwood Publishing Limited, 1997.[3] FANG Shizan, ZHANG Tusheng. A Study of a Class of Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitzian Coefficients [J]. Probab Theory Related Fields, 2005, 132(3): 356-390.[4] MAO Xuerong. Exponential Stability of Stochastic Differential Equations [M]. New York:Marcel Dekker Inc, 1994.[5] REN Yong, XIA Ningmao. Existence, Uniqueness and Stability of the Solutions to Neutral Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. Appl Math Comput, 2009, 210(1): 72-79.[6] WEI Fengying, WANG Ke. The Existence and Uniqueness of the Solution for Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. J Math Anal Appl, 2007, 331(1): 516-531.[7] Khasminskii R Z. Stochastic Stability of Differential Equations [M]. Alphen Aanden Rijn: Sijthoff and Noordhoff, 1980.[8] MAO Xuerong, Rassias M J. Khasminskii-Type Theorems for Stochastic Differential Delay Equations [J]. Stoch Anal Appl, 2005, 23(5): 1045-1069.[9] SHEN Yi, LUO Qi, MAO Xuerong. The Improved LaSalle-Type Theorems for Stochastic Functional Differential Equations [J]. J Math Anal Appl, 2006, 318(1): 134-154.[10] WU Fuke. Khasminskii-Type Theorems for Neutral Stochastic Functional Differential Equations [J]. Math Appl, 2008, 21(4): 794-799.[11] LI Xinpeng, LIN Xiangyun, LIN Yiqing. Lyapunov-Type Conditions and Stochastic Differential Equations Driven by G-Brownian Motion [J]. J Math Anal Appl, 2016, 439(1): 235-255.[12] XING Jiaming, LI Yong. Explosive Solutions for Stochastic Differential Equations Driven by Lévy Processes [J]. J Math Anal Appl, 2017, 454(1): 94-105.[13] WU Fuke, HU Shigeng. Khasminskii-Type Theorems for Stochastic Functional Differential Equations with Infinite Delay [J]. Statist Probab Lett, 2011, 81(11): 1690-1694.。
广义Lp-仿射表面积和Shephard型问题马统一;张丽莉;武登辉【摘要】对于p≥1,引入了Rn中凸体K的i-型Lp-仿射表面积Ω(i)(K)(i=0,l,…,n-1)的概念,使得Lp-仿射表面积Ωρ(K)是其i=0的特殊类;运用Lp-Brunn-Minkowski理论和余弦变换方法,成功地解决了Lp-混合投影体Πp,iK(C)Πρ,iL是否一定蕴含Ωp(i)(K)≤Ωp(i)(L)的Shephard型问题.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(050)002【总页数】6页(P11-16)【关键词】凸体;Lp-混合投影体;λ-相交体;广义Lp-仿射表面积;余弦变换【作者】马统一;张丽莉;武登辉【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O184设Rn为n维欧氏空间，B为Rn上的n维标准单位球，Sn－1为Rn上的标准单位球面；voli（K）表示Rn中的子集K在其仿射包中的i维Lebesgue测度，记voln（B）＝ωn＝πn／2／Γ（1＋n／2）.设K是Rn中的一个凸体（具有非空内点的紧凸集），则它的支撑函数h（K，·）：Sn→－1（0，∞）定义为：hK（u）＝h（K，u）＝max｛u·x：x∈K｝，u∈Sn－1.用Kn表示Rn中所有凸体的集合，Kno和Knc分别表示Kn中包含原点的凸体的集合和原点中心对称凸体的集合.对于一个星形集K，如果对任意λ∈［0，1］满足λK⊂K，且其径向函数ρK（u）＝max｛λ≥0：λu∈K｝在Sn－1上连续，则称K是一个星体.用Son和Scn分别表示Rn中关于原点的星体集合和原点中心对称星体的集合.如果凸体K以原点为其内点，则K的极体K＊定义为：K＊＝｛x∈Rn：x·y≤1，∀y∈K｝.易知，对于Rn 中一个凸体K∈Kon，有ρK＊＝1／hK.对x∈Rn，Rn中一个关于原点对称的星形集K的Minkowski泛函xK定义为：xK＝min｛λ≥0：x∈λK｝.20世纪初，Minkowski［1］引进了经典投影体的概念.Lutwak等［2］在经典投影体的基础上提出了Lp－投影体的概念.对于K∈Kno，实数p≥1，K的Lp－投影体∏pK∈Knc，其支撑函数定义为：其中cn，p＝ωn＋p／（ω2ωnωp－1），Sp（K，·）是K的Lp－表面积测度.当p＝1时，∏1K即是在上述定义下标准的经典投影体∏K.设Fn，Fno分别表示Kn和Kno中具有正的连续曲率函数的凸体的集合，并且用Fnc表示Fn0中关于原点中心对称凸体的集合.设fp（K，·）表示K∈Fno的正的连续Lp－曲率函数.设K∈Fno，p≥1，Lutwak［3］定义K的Lp－仿射表面积如下：关于投影算子∏p，一个著名的Shephard型问题是：若K，L∈Kno，p≥1，且有∏p K⊂∏pL成立，则K与L的Lp－仿射表面积Ωp（K）与Ωp（L）的大小关系如何？Lutwak［4，5］考虑了这一问题的p＝1的情形，文献［6］推广了Lutwak的结果，证明了：设K，L∈Knc且都具有正的连续曲率函数，如果ΛpL是λ－相交体（λ＝－p，ΛpL是L的Lp－曲率映象），则∏pK⊂∏pL必定蕴含Ωp（K）≤Ωp（L）.另一方面，如果K∈Fnc，而ΛpK是无限光滑的原点中心对称凸体且ΛpΚ不是λ－相交体（λ＝－p），则存在一个原点中心对称凸体L，使得∏pK⊂∏pL，但Ωp（K）＞Ωp（L）.最近，王卫东和冷岗松［7］引进了如下Lp－混合投影体的概念.定义1 对于K∈Kno，实数p≥1，且i＝0，1，…，n－1，K的Lp－混合投影体∏p，iK∈Knc，其支撑函数定义为：这里Sp，i（K，·）是K的Lp－混合表面积测度，且有Radon－Nikodym导数：文献［8］和文献［9］分别独立地提出了Lp－混合曲率函数的概念：对于每个K∈，实数p≥1，i＝0，1，…，n－1，如果存在函数f，i（K，·）：Sn－1p→R，使得K的Lp－混合表面积测度Sp，i（K，·）关于球面Lebesgue测度S是绝对连续的，且关于S几乎处处成立，则称K具有连续的Lp－混合曲率函数fp，i（K，·）.特别地，fp，0（K，·）＝fp（K，·），f1，i（K，·）＝fi（K，·），f1，0（K，·）＝f （K，·）.当凸体K具有i－曲率函数fi（K，·）时，K一定具有Lp－混合曲率函数fp，i （K，·）.设Fni表示Kn中所有具有正的连续i－曲率函数的凸体的集合，用Fni，o和Fni，c表示Kno和Knc中具有正的连续i－曲率函数的凸体的集合.特别地，Fn0，o＝Fno表示Kno中具有正的连续曲率函数的凸体的集合.针对凸体K的Lp－混合曲率函数fp，i（K，·），我们提出如下i－型Lp－仿射表面积的概念.定义2 设K∈Kno，实数p≥1，且i＝0，1，…，n－1，定义K的i－型Lp－仿射表面积Ω（i）p（K）为：对任意的u∈Sn－1，特别地，Ωp（0）（K）＝Ωp（K）.关于拓广投影算子∏p，i和i－型Lp－仿射表面积Ωp（i）（K），一个自然的Shephard型问题是：若K，L∈Kno，p≥1且i＝0，1，…，n－1，则∏p，iK⊂∏p，iL是否一定蕴含Ωp（i）（K）≤Ωp（i）（L）.本文运用Lp－Brunn－Minkowski理论和余弦变换方法讨论了上述问题.我们的主要结论可以概括为以下两个定理.定理1 设K∈Fin，o，L∈Fin，c，p≥1，i＝0，1，…，n－1，且Λp，iL∈In－p 是Rn中一个无限光滑的原点中心对称凸体，如果则定理2 设p≥1，i＝0，1，…，n－1，K∈Knc在Rn中具有C2边界及严格正的连续i－曲率函数，且Λp，iK是Rn中一个无限光滑的原点中心对称凸体，如果Λp，iK∉In－p，则存在Rn中一个原点中心对称凸体L，使得但我们约定N＋＝｛1，2，3，…｝.用C∞（Sn－1）表示单位球面Sn－1上具有无穷次连续导数的连续函数空间；用D（Sn－1）表示C∞（Sn－1）中装备有标准拓扑的子空间，D′（Sn－1）表示对应于D（Sn－1）的偶空间，用De（Sn－1）（De′（Sn－1））表示检验函数（泛函）空间的偶子空间；记Sn－1上的有限Borel测度空间为M（Sn－1），用Me（Sn－1）表示M（Sn－1）中具有偶测度的子空间，用Me＋（Sn－1）表示Me（Sn－1）中具有非负有限Borel测度的子空间.2.1 积分变换一般的余弦变换族［10］为当Reα＞0，α≠1，3，5，…时；由（3）式知，对K∈Fni，o，K的Lp－混合投影体∏p，iK的支撑函数公式（1）可改写为利用（5）和（6）式，对K∈Fni，o，可将Lp－混合投影体∏p，iK的支撑函数公式（7）改写为其中常数在区间p∈（4k－2，4k）内为正，在区间p∈（4k，4k＋2）内为负，k∈N＋. 引理1［10］设α，β∈C且α，β≠1，3，5，….如果α＋β＝2－n且f∈De（Sn －1）或f∈De′（Sn－1），则MαMβf＝f.如果α，2－n－α≠1，3，5，…，则Mα关于空间De（Sn－1）和De′（Sn－1）是自同构的.2.2 λ－相交体和（Rn，·K）等距嵌入到Lp设λ是一个实数，记定义3［10］设λ＜n，λ≠0.一个星体K∈称为λ－相交体，如果存在测度μ∈Me ＋（Sn－1），使得当λ≠－2l，l∈N＋时sλρλK＝M1－λμ；当λ＝－2l，l∈N＋时＝μ.由Snc中所有λ－相交体构成的子集合记为.引理2［10］设p＞－n，p≠0，K∈，则空间（Rn，·K）等距嵌入到Lp当且仅当K∈I.引理3［11］对p＞0，空间（Rn，·）等距嵌入到Lp当且仅当存在Sn－1上一个有限偶Borel测度μ∈M（Sn－1），使得对每个x∈Rn成立引理3就是著名的Lévy表示定理.结合引理2和文献［12］的结论，可得引理4［8］设L∈，p≥1，则下述结论等价：1）L＊∈；2）L是Lp－投影体；3）（Rn，·＊）等距嵌入到子空间L.Lp2.3 对偶均质积分和Lp－对偶混合均质积分设Si（K，·）＝S（K，n－i－1；B，i，·）表示凸体K的第i个表面积测度，则Sn－1（K，·）＝S（B，·）＝S（·）是Sn－1上的Lebesgue测度，S0（K，·）＝S（K，·）表示凸体K的表面积测度.对于K∈和任意实数i，K的对偶均质积分（K）定义为［13］：显然有˜Wo（K）＝voln（K）.文献［7］建立了Lp－对偶混合均质积分的积分表达式：如果K，L∈Sno，p≥1，且实数i≠n，n＋p，则有由（12）式直接可得˜W－p，i（K，K）＝˜Wi（K）.关于Lp－对偶混合均质积分的Lp－Minkowski不等式可叙述为：引理5［7］设K，L∈Sno，且p≥1.如果i＜n或i＞n＋p，则如果n＜i＜n＋p，不等式（13）逆向.等号成立当且仅当K和L互为膨胀.2.4 Lp－混合曲率映象Lutwak［3］引进了Lp－曲率映象ΛpK（p≥1）的概念.最近，文献［9］提出了如下关于Lp－混合曲率映象Λp，iK（p≥1，i＝0，1，…，n－1）的概念.定义4［9］对于K∈Fni，o，p≥1，且i＝0，1，…，n－1，K的Lp－混合曲率映象Λp，iK∈Sno定义为对于Lp－混合曲率映象Λp，iK（p≥1，i＝0，1，…，n－1）和i－型Lp－仿射表面积（K），我们有如下结果：引理6 设K∈Fin，o⊂Kon，p≥1，且i＝0，1，…，n－1，则有证明根据定义4，对所有的u∈Sn－1，有结合（11），（16）式和定义2可得，由此可得（15）式. 】定理1的证明由于Λp，iL∈In－p，则由引理3和引理4知，存在Sn－1上一个有限Borel测度μ∈M（Sn－1），使得对每个x∈Rn成立利用（7）式，∏p，iK⊂∏p，iL可被写成上式两边在Sn－1上关于测度μΛp，iL积分可得应用Fubini定理，我们有因为x＝ρ（Λp，iL，x）－p＝h（Λ＊p，iL，x）p，所以（17）式可被写成另一方面，由（11），（12）和（14）式有于是根据（13）式可得当i＜n时，由引理6可得，（19）式等价于（K）≤（K）.证毕. 】与定理1相对应，定理2即是与拓广投影算子∏p，i单调性相关的Shephard型问题的一个反例.定理2的证明当p≥1为非偶数时.因为Λp，iK∉，结合定义3可知，存在一个偶的Borel测度μ∈Me（Sn－1），且μ在某个开中心对称体Ω⊂Sn－1上为负，使得s－ph（Λ＊p，iK，·）p＝M1＋pμ.我们可选择一个偶函数v∈De（Sn－1），使得（γn（1＋p））－1v不恒等于0，且当θ∈Ω时（γn（1＋p））－1v （θ）≥0，否则（γn（1＋p））－1v（θ）≡0.对于充分小的ε＞0，我们定义Rn中一个具有正的连续i－曲率函数的凸体L∈Knc，使得对每个x∈Rn有fp，i（L，ξ）＝fp，i（K，ξ）＋εM1－n－pv＞0，ξ∈Sn－1.利用引理1可得，（γn（1＋p））－1M1＋pM1－n－pv＝（γn（1＋p））－1v≥0，则即由（8）式知，上式等价于∏p，iK⊂∏p，iL.另一方面，由（γn（1＋p））－1v在Ω上非负的事实和引理1，我们有于是对p≥1而言，Γ（－p／2）（γn（1＋p））－1始终为正，故由上式得˜Wi（Λp，iL）＞˜W－p，i（Λp，iL，Λp，iK）.所以由引理5得整理即得˜Wi（Λp，iK）＞˜Wi（Λp，iL）.根据引理6可知，上式等价于Ω（i）p （K）＞Ω（i）p（K）.下面我们考虑p≥1且为偶数的情形.可设p＝2l（l∈N＋）.由Λp，iK∉In－2l和定义3知，存在一个非零的连续偶函数ψ∈De（Sn－1）使得［14］考虑Rn中一个具有C2边界及严格正的连续i－曲率函数的凸体K∈Knc，使得Λ＊p，iK∈Knc具有正的连续i－曲率函数（即fp，i（Λ＊p，iK，ξ）＞0，∀ξ∈ Sn－1）.我们假设（如若不然，则用－ψ（ξ）代替ψ（ξ））.选择ε＞0使得对上述ε＞0，我们定义Rn中的一个具有正的连续i－曲率函数的凸体L∈Knc，使得由（20）和（21）式知，即由（9）式知，上式等价于∏2l，iL＝∏2l，iK.另一方面，由（h2Λl＊p，iK，ψ）在Sn－1上非负的事实，我们有即于是˜Wi（Λp，iL）≥˜W－2l，i（Λp，iL，Λp，iK）.类似于前述证明可得，Ωp（i）（L），则由不等式（13）等号成立的条件知K与L是互为膨胀的，因此必有K＝L，再由（21）式知，这与Lp－混合曲率函数的唯一性矛盾.所以必有Ωp （i）（K）＞Ωp（i）（L）. 】综合定理1和定理2，我们有推论1 在Rn中，∏p，iK⊂∏p，iL薀含Ωp（i）（K）≤Ωp（i）（L）当且仅当对每个Q∈Fin，c，有Λp，iQ∈In－p（这也等价于（Rn，·）等距嵌入到L（p≥1））.由于所有的2－维空间都等距嵌入到L1［12］，而所有的n－维范数空间不一定都等距嵌入到Lp（p＞1，n≥2），所以由推论1可得推论2 设K和L是Rn中具有正的连续i－曲率函数的无限光滑的原点中心对称凸体，p≥1，i＝0，1，…，n－1，并且∏p，iK⊂∏p，iL，则1）若p＝1，则在R2中必有Ωp（i）（K）≤Ω（i）（L）成立；p2）若p＞1且n≥2，则在Rn中仍有可能成立Ωp（i）（K）＞Ωp（i）（L）.【相关文献】［1］ GARDNER R J.Geometric Tomography［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1995.［2］ LUTWAK E，YANG D，ZHANG G Y.Lp－affine isoperimetric inequalities［J］.J Differential Geom，2000，56：111－132.［3］ LUTWAK E.The Brunn－Minkowski－Firey theoryⅡ：Affine and geominimal surface areas［J］.Adv Math，1996，118（2）：244－294.［4］ LUTWAK E.Extended affine surface area［J］.Advances in Mathematics，1991，85：39－68.［5］ LUTWAK E.Centroid bodies and dual mixed volumes［J］.Proc London Math Soc，1990，60（3）：365－391.［6］ MA Tong－yi，WANG Wei－dong.On the analog of Shephard problem for the Lp－projection body［J］.MIA，2011，14（1）：181－192.［7］ WANG Wei－dong，LENG Gang－song.Lp－dual mixed quermassintegrals ［J］.Indian J Pure Appl Math，2005，36（4）：177－188.［8］马统一，刘春燕.对偶Lp－混合质心体的广义Busemann－Petty问题［J］.西南大学学报：自然科学版，2012，34（4）：105－112.［9］ LU Feng－hong，WANG Wei－dong.Inequalities for Lp－mixed curvature images ［J］.Acta Mathematica Scientia，2010，30B（4）：1044－1052.［10］ RUBIN B.Intersection bodies and generalized cosine transforms［J］.Advances in Mathematics，2008，218（3）：696－727.［11］ KOLDOBSKY A.Fourier Analysis in Convex Geometry，Mathematical Surveys and Monographs［M］.Vol 116，American Mathematical Society.Alexander：Alexander University Press，2005.［12］KOLDOBSKY A.Generalized Lévy representation of norms and isometric embeddings into Lp－spaces［J］.Ann Inst H Poincare Probab Statist，1992，28（3）：335－353.［13］ LUTWAK E.The Brunn－Minkowski－Firey 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中国科技大学2021年研究生招生简章学科专业名称：数学(专业代码070100)一、报考说明：接收推免生及统考生。
二、专业介绍：1、本专业涵盖以下二级学科专业及研究方向：基础数学：代数学（李代数、代数数论、代数表示论、交换代数，代数几何、算术几何），分析（复分析、泛函分析、Clifford分析），动力系统和遍历理论（拓扑动力系统、遍历理论、微分动力系统、Hamilton系统、微分方程定性理论、随机动力系统），微分几何（微分几何、复几何、几何分析），偏微分方程（椭圆、抛物型方程、几何、物理中方程），数学物理（量子场论，弦论，可积系统）计算数学：数学建模，数值分析与数值代数，微分方程数值解，优化，大规模科学计算，计算机辅助几何设计，数学在生物、信息、材料等学科中的应用应用数学：图论与组合，微分方程反问题，可积系统，偏微分方程定性理论及其应用，计算机图形学与图像处理运筹学与控制论：最优化理论与算法，物流调度，数据分析与建模生物数学：种群动力学，数学传染病学，扩散与趋向性理论概率统计：随机分析，计算金融，统计学2、毕业就业方向：高等院校、科研机构、公司与企业培养具有坚实理论基础和系统专业知识的教学、科研与应用型人才。
三、研究方向及初试科目：研究方向初试科目1、动力系统2、几何与拓扑3、数学物理4、代数与数论5、微分方程6、代数几何与算术几何7、现代分析8、科学计算9、几何设计10、计算机图形学11、图像处理12、组合图论13、网络空间安全14、运筹学与控制论15、生物数学16、概率统计101思想政治理论201英语一620数学分析842线性代数与解析几何四、复试形式：笔试+面试。
五、复试内容：复试（笔试）试题覆盖范围如下：实变函数：R^n上的Lebesgue测度；可测函数的概念及其基本性质；可测函数的积分及其Lebesgue积分；积分的控制收敛定理、Levi引理和Fatou引理；乘积测度与Fubini定理；单调函数、有界变差函数和全连续函数。
课程号：20100440 课程名：泛函分析课程英文名：Functional Analysis学时：68 学分：4先修课程：实变函数、高等代数基本面向：数学学院教材：《泛函分析》江泽坚、孙善利编高等教育出版社1998 一版参考书：1.《实变函数与泛函分析》（下册）夏道行等等教育出版社1984 一版2.《实变函数与泛函分析》（下册）曹广福、严从荃编人民教育出版社第2版3. W.Rudin，Functional Analysis，McGraw_HillBook Company，1973课程简介：线性赋范空间，Banach空间，Hilbert空间（包括有界，紧集，列紧集，完全有界集等）。
Banach 空间上有界线性算子（包括算子范数，有界性，连续性，Hahn-Banach定理，闭图象定理，逆算子定理，谱理论，紧算子Riesz-Schauder理论等）Hilbert 空间上的有界线性算子（射影定理、Riesz表示定理）。
课程号：20100640 课程名：概率统计课程英文名Probability and Statistics学时：68 学分：4先修课程：数学分析、线性代数基本面向：数学学院各专业教材：《概率论基础》（第二版）李贤平高等教育出版社1997参考书：1．《概率论》（第一册概率论基础）复旦大学高等教育出版社，1979。
2．《概率论引论》汪仁官北京大学出版社19943．《概率论及数理统计》（第二版）（上）梁之舜等高等教育出版社1988课程简介：事件与概率，条件概率与统计独立性，随机变量与分布函数，数字特征与特征函数，极限定理。
课程号：20100850 课程名：高等代数-1课程英文名：Advanced Algebra-1学时：102 学分：5先修课程：高中数学基本面向：数学数院各专业教材：《Advanced Algebra》彭国华、李德琅高等教育出版社-Springer（计划2004年出版参考书：1。
《高等代数》北京大学数学系几何代数教研空编高等教育出版社2．《高等代数》张禾瑞、郝锅新高等教育出版社3．《Linear Slgebra》B。
2 Fourier 分析Fourier分析这门学科是数学分析中最古老的学科之一，它对数学家和工程师都是相当重要的。
从实用的观点来看，当人们考虑Fourier分析的时候，通常是指（积分）Fourier变换和Fourier级数。
Fourier变换是在实直线IR上定义的某个函数f的Fourier积分。
当f看作是一个模拟信号时，它的定义域IR就称为连续时域。
在此情况下，f的Fourier变换fˆ描述信号f的谱特性。
因为谱信息用频率给出，所以Fourier变换fˆ的定义域还是IR，它称为频域。
另一方面，一个Fourier级数是双无限序列到周期函数的一种变换。
因此，当一个双无限序列看作是一个数学信号时，它的定义域是整数集合ZZ，称为离散时域。
这时，它的Fourier级数再次描述数学信号的谱特性，一个Fourier级数的定义域还是实直线IR，它是频域。
然而，因为Fourier级数是π2周期的，在此情况下，频域IR常用单位圆等同。
对于一个数学家来说，这种表示是更令人满意的，因为ZZ的“对偶群”是“圆群”。
Fourier变换和Fourier级数的重要性不仅由于它们的物理解释的重要性。
如信号的时间—频率分析，而且还由于Fourier分析技术是极其有力的。
例如，在小波分析研究中，Poisson求和公式、级数与积分的Parseval恒等式、Gaussion 的Fourier变换、函数的卷积以及δ分布等等都是经常遇到的。
因为这本专著打算是自我包容的，本章讨论Fourier分析的基本知识方面的预备材料，如上述提及的内容。
2.1 Fourier 变换和Fourier 逆变换全书中，所有定义在实直线IR 上的函数假定是可测的。
对于不熟悉Lebesgue基本理论的读者，而乐意相信一些标准的定理，在假定f 是分段连续的情况下，损失是很小的。
所谓Lebesgue 基本理论是指，在IR 中存在非有限聚点{}j x ，使对于所有j 有1+<j j x x ，并且f 在每个开区间以及无界区间))min(,(j x -∞、)),(min(∞j x （如果)min(j x ，)max (j x 存在）是连续的。
