指数函数及其性质 (1)

课时导学案——指数函数及其性质（一）麒麟区第一中学 段翠一、学习目标：1.理解指数函数的定义。

2.掌握指数函数的图象、性质及简单应用。

3.通过指数函数图象及性质的学习，提高观察、分析、归纳等思维能力。

二、学习重点：指数函数的图象、性质及简单应用。

三、学习难点：指数函数图象和性质的发现过程。

四、学习方法：通过独立思考，自主探究，总结出指数函数图象的特征，进而 发现指数函数的性质。

培养学生观察、比较、归纳等逻辑思维能力。

五、学习过程：1.定义：一般地，函数y ＝ )10(≠>a a 且叫做指数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是 .2.用描点法画出下列指数函数的图象.).(2)1(填写下表并作图x y =).(3)2(填写下表并作图x y =).()1()3(填写下表并作图x y =).()1()4(填写下表并作图x y =3．按照从特殊到一般的认识方法，请同学们总结: 的图象和性质如下且指数函数)10(≠>=a a a y x4.探究：（1）关于且与)10()1(≠>==a a ay a y x x 对称。

（2）指数函数的变化对函数中，底数且a a a a y x )10(≠>= 图象有什么影响？5.典例分析：例1 .已知），的图象经过点（且指数函数π,3)10()(≠>=a a a x f x 求 )3(),1(),0(-f f f 的值.例2.比较下列各题中两个值的大小:35.27.1,7.1)1( 2.0-1.0-8.0,8.0)2(1.33.09.0,7.1)3(总结：比较几个指数值大小的常用方法：6.课堂练习:（1）指数函数=-=)3(4,2)(f x f y ），则的图象经过点（ .（2）比较下列各组数的大小:7.08.03,3)1( 1.01.075.0,75.0)2(-1.0-3.0-9.4,8.0)3(7.03.05.1,2.0)4(7.课堂小结：8.课后作业:课本：P58 .2P59 .7,8。

教学步骤：知识梳理●知识点1 根式与分数指数幂1、n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. 2、方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a3、分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a 1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 4、有理指数幂的运算性质 （1）ra ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>； （3）sr r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．题型一 指数式与根式的化简求值问题进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式来表示。

应用平方差，立方和（差）、完全平方公式及)0(1≠=-a a a p p 简化运算。

例1（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--变式1．化简1327()125-的结果是（ ）.A. 35B. 53 C. 3 D.52．已知11223x x-+=，求下列各式的值。

指数函数及其性质（一）【教学目标】1．使学生掌握指数函数的概念,图象和性质；(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域。

(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质。

2．通过对指数函数的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

【教学重点】指数函数的概念和性质。

【教学难点】指数函数的图象、性质与底数a的关系。

【教学方法】启发式教学，探讨式教学等。

【教学工具】多媒体（几何画板）【教学设计】一、通过问题引入：问题（1）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？问题（2）：某台机器的价值每年折旧率为6%，写出经过x年后，这台机器的价值y与x的函数关系式。

用多媒体演示它们的变化过程并求出函数关系式：（1）表达式 y=2x（x为正整数）（2）表达式y=0.94x（x为正整数）设问：y=0.94x和y=2x这样的函数是什么函数？其一般形式是什么？提示学生从幂的形式、幂底数和幂指数三个方面概括出其形式为y=a x后，说明这就是我们今天要学习的指数函数，从而引出指数函数的概念。

二、新授1、指数函数的概念一般地，函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ，常数a(a>0且a ≠1)叫做指数函数的底数。

设问：函数y=a x 中当x 为全体实数时，底数为什么要规定a>0且a ≠1？学生讨论，老师总结如下： 当a>0时，a x 有意义；当a=1时,1xa ≡,无研究价值；当a=0时，若x>0时，0xa ≡，也没有研究价值；若x ≦0时，xa 无意义； 当a<0时，xa不一定有意义，如()122-，所以为了研究方便，规定a>0且a ≠1。

2.1.2 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象．2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象．2．教学难点：指数函数的概念和图象．（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的 1.073(20)xy x x=∈≤与问题(2)中时间t和C-14含量P的对应关系]t51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征.2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2tP=t57301把P=[()变成2，从而得出这学生思考回答函数的特征．由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.形成概念理解概念指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y +=（2）(2)xy =- （3）2xy =-（4）xy π=（5）2y x = （6）24y x=（7）xy x =（8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足学生独立思考，交流讨论，教师巡视，并注意个别指导，学生探讨分析，教师点拨指导．由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力．使学生进一步理解指数函数的概念.(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，a 为常数,如：,,xy x =1xxy=2-3,y=253,31x x y y +==+等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数 .深化概念我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究xy a =（a ＞1）的图象， 用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象x3.00- 2.50- 2.00- 1.50-2x y =18-141.00- 0.00 0.50 1.00 1.502.00 121 2 4再研究先来研究xy a =（0＜a ＜1）的图象，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2xy =的图象.x2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.001()2x y =141211.00 1.502.00 2.50学生列表计算，描点、作图．教师动画演示．学生观察、归纳、总结，教师诱导、点评． 通过列表、计算使学生体会、感受指数函数图象的化趋势，通过描点，作图培养学生的动手实践能力．不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程．培养学生的归纳概括能力．从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图象.2 4所以0(0)1f π==，133(0)f ππ==，11(3)f ππ--==.归纳 总结1、理解指数函数(0),xy a a =>101a a ><<注意与两种情况2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .学生先自回顾反思，教师点评完善． 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.课后 作业作业：2.1 第四课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力备选例题例1 指出下列函数哪些是指数函数： （1）x y 4=； （2）4x y =； （3）x y 4-=； （4）xy )4(-=； （5）xy π=； （6）24x y =；（7）x x y =； （8）,21()12(>-=a a y x且)1≠a . 【分析】 根据指数函数定义进行判断. 【解析】 （1）、（5）、（8）为指数函数； （2）是幂函数（后面2.3节中将会学习）； （3）是1-与指数函数x 4的乘积；（4）底数04<-，∴不是指数函数； （6）指数不是自变量x ，而底数是x 的函数； （7）底数x 不是常数. 它们都不符合指数函数的定义.【小结】准确理解指数函数的定义是解好本问题的关键.例 2 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系，⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x .解：⑴作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12+x 、y =22+x 与y =x2的关系：将指数函数y =x2的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y =12+x 的图象，将指数函数y =x2的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y =22+x 的图象⑵作出图像，显示出函数数据表比较函数y =12-x 、y =22-x 与y =x 2的关系：将指数函数y =x 2的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y =12-x 的图象，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y =22-x 的图象小结：⑴当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向右平行移动m 个单位长度，就得到函数y =m x -2的图象；当m >0时，将指数函数y =x 2的图象向左平行移动m 个单位长度，就得到函数y =2x m +的图象。