高考数学二轮复习”一本“培养优选练小题对点练1集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(1)理

高三数学二轮复习 专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式训练一、选择题1．(2011·辽宁)已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2} 2．(2010·山东)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x －1|≤2}，则∁U M ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |x <－1或x >3}D ．{x |x ≤－1或x ≥3}3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 4．(2011·山东)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝35．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．a >1 6．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( ) A ．E FB ．E FC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅二、填空题 7．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{－1，0,1}，B ＝{－2，－1,0}，则A ∩(∁U B )＝______.8．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．9．下列命题中，假命题的个数是________．①若A ∩B ＝∅，则A ＝∅或B ＝∅；②命题P 的否定就是P 的否命题；③A ∪B ＝U (U 为全集)，则A ＝U ，或B ＝U ；④A B 等价于A ∩B ＝A .10．若集合A ＝{x |(k ＋1)x 2＋x －k ＝0}有且仅有两个子集，则实数k 的值是________．三、解答题11．设集合A＝{2,8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且A B，求a的值．12.已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．13．判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．答案1．D 2．C 3．A 4．A 5．D 6．A7．{1}8．39．310．－1或－1211．解 因为AB ，所以a 2－3a ＋4＝8或a 2－3a ＋4＝a . 由a 2－3a ＋4＝8，得a ＝4或a ＝－1； 由a 2－3a ＋4＝a ，得a ＝2.经检验：当a ＝2时集合A 、B 中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a 的值为－1、4.12．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．13．解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0.判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，∴a <－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”为真命题．即命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．。

专题跟踪训练(三)一、选择题1．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 结合图形求解．作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象，可知只有一个交点，且x ＝1时，ln 2<1，当x ＝2时，ln 3>1>12，所以图象交点的横坐标所在区间为(1,2)，故选B.[答案] B2．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >1 B ．a <12C.12<a <1 D ．a <12或a >1[解析] 设f (x )＝ax ＋a －1，只需f (0)·f (1)<0即可，解得12<a <1，故选C.[答案] C3．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)，故选C.[答案] C4．(2015·陕西一检)设函数f (x )＝log πx ，函数g (x )＝35sin 2x ，则f (x )与g (x )的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] 作出f (x )，g (x )的图象，如图所示，可知有1个交点，故选A.[答案] A5．(2015·河南省二调)函数f (x )＝3cos π2x －log 2x －12的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 依题意可知，由f (x )＝0可得3cos π2x ＝log 2x ＋12，利用数形结合可知，当x＝4时，3cos π2x ＝3，log 2x ＋12＝52<3，当x ＝8时，3cos π2x ＝3，log 2x ＋12＝72>3，所以函数f (x )＝3cos π2x －log 2x －12有3个零点，故选B.[答案] B6．(2015·山西太原一模)已知实数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)[解析] ∵2a ＝3,3b ＝2，∴a >1,0<b <1，又f (x )＝a x＋x －b ，∴f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，从而由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点，故选B.[答案] B7．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x >0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23C.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45 [解析] 利用数形结合求解．画出函数y ＝[x ]x＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧0，0<x <11x ，1≤x <2，2x ，2≤x <3，3x ，3≤x <4，…的图象如图所示(不含右端点)，由图象可得当34<a ≤45时，函数y ＝[x ]x与y ＝a 的图象有且仅有3个交点，所以函数f (x )＝[x ]x－a ，x >0有且仅有3个零点时实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45，故选C.[答案] C8．(2015·沈阳模拟)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟[解析] 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟，故选B. [答案] B9．(2015·河南郑州第二次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x ，恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3)B ．[－3，－1]C ．[－3,3)D ．[－1,1)[解析] 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >ax 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >ax 2＋4x ＋3，x ≤a ，又因为g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.所以a 的取值范围为[－1,3)，故选A.[答案] A10．(2015·河南郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，且g (x )在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0，g (a )<0<f (b )，选A.[答案] A11．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] 函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y ＝f (x )和y ＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12，故选D.[答案] D12．(2014·皖西七校联考)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)[解析] 由f (x )＝e |x |＋|x |知f (x )为偶函数，在[0，＋∞)上为增函数可作出图象． 若方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则f (x )＝e |x |＋|x |与y ＝k 有两个不同交点，得k >1，故选B. [答案] B 二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．[解析] 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，f m ＋＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 14．(2015·广西南宁第二次测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－x 2－4x －2＋x ＝0.解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2.因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.[答案] 315．(2015·安庆二模)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．[解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵1x ＋2＝m |x |⇔1m＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足：0<1m<1.故m >1.[答案] m >116．(2015·江西九校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，1f x －－1，x ∈[0，，若方程f (x )－kx －3k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．[解析] 当x ∈[0,1)时，x －1∈[－1,0)，所以f (x )＝1fx －－1＝1－x －－1＝x1－x，又由f (x )－kx －3k ＝0得f (x )＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，分别作出函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋3)的图象，如图所示，要使方程f (x )－kx －3k ＝0有两个实数根，则有0<k ≤1－0－1＋3＝12.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12。

小题对点练集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式建议用时：40分钟一、选择题1．已知集合A＝{|22－5－3≤0}，B＝{∈Z|≤2}，则A∩B 中的元素个数为A．．4D．52．已知集合A＝{|2－－2＜0}，B＝，则A．A∩B＝∅B．∁U A∪B＝RC．A∩B＝B D．A∪B＝B3．已知集合A＝{|－1＜＜1}，B＝{|2－－2＜0}，则∁R A∩B ＝A．－1,0]B．[－1,2C．[1,2D．1,2]4．2022·丹东五校联考设f是定义在R上的奇函数，当＜0时，f＝－e－，则f ln6＝A．－ln6＋6B．ln6－6C．ln6＋6D．－ln6－65．下列命题正确的是A．若∈R，“函数y＝2＋m－1有零点”是“函数y＝log m在0，＋∞上为减函数”的必要不充分条件既不充分也不必要条件10．已知在正项等比数列{a n}中，存在两项a m，a n满足＝4a1，且a6＝a5＋2a4，则＋的最小值是B．11．某地一年的气温Qt单位：℃与时间t月份之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令Ct表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示Ct与t之间的函数关系的是12．已知f是偶函数，当>0时，f单调递减，设a＝－，b＝－，c＝2log52，则fa，fb，fc 的大小关系为A．fc<fb<fa B．fc<fa<fbC．fc>fb>fa D．fc>fa>fb二、填空题13．命题：“∃0∈R，cos20≤cos20”的否定是________．14．函数f＝1＋log a a＞0，且a≠1的图象恒过定点A，若点A在直线m＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．15．2022·天津模拟曲线f＝ln在点，n满足0<m<n，且fm ＝fn，若f在[m2，n]上的最大值为2，则＝________习题答案1答案：B解析：[A＝，∴A∩B＝{0,1,2}，A∩B中有3个元素，故选B]2答案：C解析：[A＝{|2－－2＜0}＝{|－1＜＜2}，B＝＝{|0＜＜2}，显然B⊆A，所以A∩B＝]3答案：C解析：[已知集合B＝{|2－－2＜0}＝{|－1＜＜2}，∁R A＝{|≤－1或≥1}，由集合交集的概念得到∁R A∩B＝[1,2．] 4答案：C解析：[∵f是定义在R上的奇函数，∴f ln6＝－f－ln6＝－－ln6－e ln6＝－－ln6－6＝ln6＋]5答案：D解析：[若－1有零点，则函数y＝2－1与函数y＝－m有交点，则：－m＞－1，∴m＜1，函数y＝log m在0，＋∞上为减函数，则0＜m＜1，据此可得“函数y＝2＋m－1有零点”是“函数y＝log m在0，＋∞上为减函数”的必要不充分条件．]10答案：A解析：[由a6＝a5＋2a4得q5＝q4＋2q3，解得q＝2，再由＝4a1得q m＋n－2＝16＝24，所以m＋n＝6，所以＋＝m＋n＝≥·9＝] 11答案：A解析：[若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10℃，所以当t＝12时，平均气温应该为10℃，故排除B；因为在靠近12月份时其温度小于10℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃，排除C；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D，故选A]12答案：C解析：[依题意，注意到>＝－>20＝1＝log55>log54＝2log52>0，又函数f在区间0，＋∞上是减函数，于是有f<f<f2log52，由函数f是偶函数得fa＝f，因此fa<fb<fc，选C]13答案：见解析解析：∀∈R，cos2＞cos214答案：2解析：[因为log a1＝0，所以f1＝1，故函数f的图象恒过定点A1,1．由题意，点A在直线m＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2而＋＝×m＋n＝，因为mn＞0，所以＞0，＞0由均值不等式，可得＋≥2×＝2当且仅当m＝n时等号成立，所以＋＝≥×2＋2＝2，即＋的最小值为2]15答案：解析：[f′＝ln＋·＝ln＋1，∴在点，n满足m<n，且fm＝fn，∴－log3m＝log3n，∴mn ＝1∵f在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f在[m2,1上是减函数，在1，n]上是增函数，∴－log3m2＝2或log3n＝2若－log3m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么＝3÷＝9同理：若log3n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3m2＝4，不满足题意．综上，可得＝9]。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

2021年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练4 文一、选择题1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |2x －x 2>0}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x >1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |0<x <2}[解析] 因为B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，所以A ∪B ＝{x |x >0}，故选A. [答案] A2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1a >b ＋1bB ．a ＋1b >b ＋1aC.b a >b ＋1a ＋1D.2a －b a ＋2b >ab[解析] ∵a >b >0，∴1b >1a .又a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a，故选B.[答案] B3．(xx·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，平移参照直线2x －y ＝0，当直线2x－y ＝z 经过x ＋y ＝1与y －x ＝1的交点(0,1)时，z 取最小值为z min ＝2×0－1＝－1，选A.[答案] A4．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0][解析] 结合二次函数图象求解．由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－8k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0，故选A.[答案] A5．(xx·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[解析] 画出可行域，可知在点A (2,3)处，目标函数z ＝3x ＋y 有最大值9.故选C.[答案] C6．(xx·兰州第二次模拟)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34[解析] 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x >12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12<x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74，故选A. [答案] A7．(xx·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <Q[解析] ∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R ，故选C. [答案] C8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意可得⎩⎨⎧a >0log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12－a >log 2－a ，解得a >1或－1<a <0，因此选C.[答案] C9．(xx·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，若目标函数z＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )A ．10B ．12C ．14D ．15[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，∴c ＝5，当x ＝4＋c 3＝3，y ＝8－c3＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10，故选A.[答案] A10．若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为( ) A ．－1，53B ．(－∞，－1]∪53，＋∞C ．－1，53D ．－∞，－53∪(1，＋∞)[解析] 原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1<0，由1－m 2＝0，得m ＝1或m ＝－1.①当m ＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；②当m ＝1时，不等式可化为2x －1<0，解得x <12，故不等式的解集不是R ，不合题意；③当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎨⎧1－m 2<0，Δ＝1＋m2－41－m 2×－1<0，解得m <－1或m >53.综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪53，＋∞.[答案] B11．(xx·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23 B.223 C.33 D.233[解析] 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)，故选B. [答案] B12．(xx·山西质监)若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.[答案] B二、填空题13．函数 f (x )＝lg 1－x 1＋x的定义域是________．[解析] 由1－x1＋x >0得－1<x <1.因此，函数f (x )的定义域是(－1,1)．[答案] (－1,1)14．不等式1x －1<1的解集记为p ，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集记为q ，已知p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，∴p ＝{x |x >2或x <1}．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，要使p 是q 的充分不必要条件，需满足p q .当－a <1时，q ＝{x |x >1或x <－a }，此时不满足p q ；当a ＝－1时，q ＝{x |x ≠1}，pq ，满足题意；当－a >1时，q ＝{x |x <1或x >－a }，由p q 得－a <2，即－2<a <－1.综上可知，－2<a ≤－1.[答案] (－2，－1]15．已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值为________．[解析] 由f (m )＋f (2n )＝3得，log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，即(m －2)(n －1)＝4，所以m ＋n ＝m －2＋n －1＋3≥2m －2n －1＋3＝7，当且仅当m －2＝n －1，即⎩⎨⎧m ＝4n ＝3时等号成立，故m ＋n 的最小值为7.[答案] 716．已知函数f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )，其中c >0.若对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≤1，则c 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )＝log 2x －2log 2(x ＋c )＝log 2x －log 2(x ＋c )2＝log 2x x ＋c2，所以由f (x )≤1，得log 2x x ＋c2≤1，即x x ＋c2≤2，所以2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2≥0在(0，＋∞)上恒成立．设g (x )＝2x 2＋(4c －1)x ＋2c 2，因为g (0)＝2c 2>0，所以若对称轴x ＝－4c －12×2≤0，则满足条件，解得c ≥14；若对称轴x ＝－4c －12×2>0，即c <14时，应满足条件Δ＝(4c －1)2－4×2×2c 2≤0，解得c ≥18，所以18≤c <14.综上满足条件的c 的取值范围为c ≥18.[答案] [18，＋∞)。

特色专项考前增分集训小题对点练一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1建议用时：40分钟一、选择题1．集合A＝{∈N|<3}，B＝{|＝a－b，a∈A，b∈A}，那么A∩B＝A．{1,2} B．{－2，－1,1,2}C．{1} D．{0,1,2}2．2021·全国卷Ⅰ设函数f＝3＋a－12＋为奇函数，那么曲线＝f在点0,0处的切线方程为A．＝－2 B．＝－C．＝2 D．＝3．定义域为R的函数f不是偶函数，那么以下命题一定为真命题的是A．∀∈R，f－≠fB．∀∈R，f－≠－fC．∃0∈R，f－0≠f0D．∃0∈R，f－0≠－f04．定积分错误!d的值为A．错误!B．错误!C．π D．2π5．2021·衡水中学模拟a＝17\u错误!－2n m∈R，g＝－错误!，假设至少存在一个0∈[1，e]，使得f0<g0成立，那么实数m的取值范围是________．习题答案1答案：D解析：[因为A＝{∈N|<3}＝{0,1,2}，B＝{|＝a－b，a∈A，b∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，所以A∩B＝{0,1,2}．]2答案：D解析：[法一：因为函数f＝3＋a－12＋a为奇函数，所以f－＝－f，所以－3＋a－1－2＋a－＝－[3＋a－12＋a]，所以2a－12＝0，因为∈R，所以a ＝1，所以f＝3＋，所以f′＝32＋1，所以f′0＝1，所以曲线＝f在点0,0处的切线方程为＝法二：因为函数f＝3＋a－12＋a为奇函数，所以f－1＋f1＝0，所以－1＋a－1－a＋1＋a－1＋a＝0，解得a＝1，所以f＝3＋，所以f′＝32＋1，所以f′0＝1，所以曲线＝f在点0,0处的切线方程为＝法三：易知f＝3＋a－12＋a＝[2＋a－1＋a]，因为f为奇函数，所以函数g＝2＋a －1＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f＝3＋，所以f′＝32＋1，所以f′0＝1，所以曲线＝f在点0,0处的切线方程为＝]3答案：C解析：[∵定义域为R的函数f不是偶函数，∴∀∈R，f－＝f为假命题，∴∃0∈R，f－0≠f0为真命题，应选C]4答案：A解析：[∵＝错误!，∴－12＋2＝1表示以1,0为圆心，以1为半径的圆，∴定积分错误!d等于该圆的面积的四分之一，5答案：A解析：[由题易知a＝17\u<2n 在[1，e]上有解，即错误!<错误!在[1，e]上有解，令h＝错误!，那么h′＝错误!，当1≤≤e时，h′≥0，∴在[1，e]上，h ma＝h e ＝错误!，∴错误!<错误!，∴m<错误!∴m的取值范围是错误!]。

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合的补集运算·T2本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合中元素个数问题·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算与指数不等式解法·T1Ⅱ卷已知集合交集求参数值·T2Ⅲ卷已知点集求交点个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2Ⅲ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解． (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算．[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U＝R，集合A＝{x∈Z|y＝4x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩(∁U B)＝( )A．{2} B．{1,2}C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2}解析：由题意知，A＝{x∈Z|4x－x2≥0}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{y|y>2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3) D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________． 答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数 若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos 〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D快审题看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件)．用妙法根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1”或y≠1的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．避误区“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.[练通——即学即用]1．(2018·胶州模拟)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x≤1y≤1时，有x＋y≤2，但反之不成立，例如当x＝3，y＝－10时，满足x＋y≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤1y≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≤1y≤1是x＋y≤2的充分不必要条件．所以“x＋y>2”是“x，y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即綈q是綈p的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p，则q”为真，否命题“若q，则p”为假，即p是q的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第115页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.答案：B2．(2017·高考山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3.设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <32 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1≤x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：B5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．6．(2018·郑州四校联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x>1”是“x2＋2x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件．答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2.答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。

小题对点练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}的真子集个数为( )A．7 B．8C．15 D．16C[A＝{0, 1,2,3}中有4个元素，则真子集个数为24－1＝15.]2．已知集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x||x|≤3} ，则A∩B＝( )A．[3,4) B．(－4，－3]C．(1,3] D．[－3，－1)D[集合A＝{x|x2－3x－4＞0}＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}．所以A∩B＝{x|－3≤x＜－1}＝[－3，－1)．故选D.]3．(2018·衡水模拟)设命题p：“∀x2＜1，x＜1”，则綈p为( )A．∀x2≥1，x＜1 B．∃x20＜1，x0≥1C．∀x2＜1，x≥1 D．∃x20≥1，x0≥1B[因为全称命题的否定是存在性命题，所以綈p为∃x20＜1，x0≥1，应选答案B.] 4．已知p：a＜0，q：a2＞a，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q⇒綈p且綈pD⇒/ 綈q，所以綈p是綈q的必要不充分条件．]5．下列命题中假命题是( )A．∃x0∈R，ln x0＜0 B．∀x∈(－∞，0)，e x＞x＋1C．∀x＞0,5x＞3x D．∃x0∈(0，＋∞)，x0＜sin x0D[令f(x)＝sin x－x(x＞0)，则f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)＜f(0)，即f(x)＜0，即sin x＜x(x＞0)，故∀x∈(0，＋∞)，sin x＜x，所以D为假命题，故选D.]6．已知集合M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2＜x＜0} ，若M∩N＝∅，则a的取值范围为( ) A．a＞0 B．a≥0C．a＜－2 D．a≤－2D[∵M＝{x|x≤a}，N＝{x|－2＜x＜0}，则M∩N＝∅，得a≤－2，故选D.]7．已知a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝3，则1a ＋1b的最小值为( )A.23B.223 C.43D.423C [∵a ＋b ＝3，∴1a ＋1b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＋b a ，∵a ，b 为正实数，∴a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，∴13⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＋b a ≥43，当且仅当a b ＝b a 时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为43，故选C. ] 8．(2018·全国名校联考)已知e 为自然对数的底数，则曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝2e x －eD ．y ＝2e x －2C [因为y ＝x e x，所以y ′＝e x＋x e x，曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线斜率k ＝e ＋1×e ＝2e ，切线方程为y －e ＝2e(x －1)，化简得y ＝2e x －e ，故选C.]9．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )D [易知函数y ＝x 2ln|x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [法一：当a ＜0时，不等式f (a )＜1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1为a ＜1，所以0≤a＜1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.法二：取a ＝0，f (0)＝0＜1，符合题意，排除A ，B ，D.]11．(2018·江西重点中学联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜cA [∵函数f (x ＋1)是偶函数， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)． 又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ， ∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f ′(x )＝cos x －1≤0， 即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数， ∴b ＜a ＜c ，故选A.]12．(2018·秦皇岛模拟)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：于30 min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为( )A. 6,3B. 5,2C. 4,5D. 2,7A [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝60x ＋25y ，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点M (6,3)处取得最大值．故选A.]二、填空题13．(2018·全国名校联考)命题“若x ＜0，则e x＋x －1＜0”的逆否命题为________． 若e x ＋x －1≥0，则x ≥0 [由题意得，该命题的逆否命题为：若e x＋x －1≥0，则x ≥0.] 14．(2018·淮南模拟)若2a ＋4b＝1，则a ＋2b 的最大值为________． －2 [2a＋4b＝2a＋22b＝1≥22a ·22b ＝22a ＋2b，∴2a ＋2b≤14， ∴a ＋2b ≤log214＝－2，当a ＝－1，b ＝－12时取等号．]15．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．512 [作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，w ＝4x·2y＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3，3)处取得最大值，t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x ·2y 的最大值为29＝512.]16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞) [由题意知，m 2－34m ≥f (x )max.当x ＞1时，f (x )＝log 13 x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，1 4＋12＝14.∴m2－34m≥14，即4m2－3m－1≥0，∴m≤－14或m≥1. ]∴f(x)max＝－。

专题限时集训(一) 集合及常用逻辑用语(建议用时：45分钟)1．(2021·苏州期中)集合A＝{0,1}，B＝{－1,0}，那么A∪B＝________.{－1,0,1} [A∪B＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．]2．(2021·南京模拟)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，那么A∩B＝________.{x|0≤x≤2}[A∩B＝{x|－1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}＝{x|0≤x≤2}．]3．(2021·无锡模拟)集合A＝{x|－1≤x≤1}，那么A∩Z＝________.{－1,0,1} [A∩Z＝{x|－1≤x≤1}∩Z＝{x∈Z|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}．]4．(2021·南通三模)全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,1,2}．假设∁U A＝________.{0} [∁U A＝{0}．]5．(2021·南京三模)全集U＝{－1,2,3，a}，集合M＝{－1,3}．假设∁U M＝{2,5}，那么实数a的值为________．5 [∵M∪∁U M＝U，∴U＝{－1,2,3,5}，∴a＝5.]6．(2021·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．8 [由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．]7．“p∨q为真命题〞是“綈p为假命题〞成立的________条件．(选填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞)必要不充分[“p∨q为真命题〞就是p，q中至少有一个为真；“綈p为假命题〞即得p为真命题．可见“綈p为假命题〞可推出“p∨q为真命题〞，而“p∨q为真命题〞不能推出“綈p为假命题〞，故“p∨q为真命题〞是“綈p为假命题〞成立的必要不充分条件．]8．集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．假设P∪M＝P，那么a的取值范围是________．[－1,1] [由P∪M＝P，有M⊆P，∴a2≤1，∴－1≤a≤1.]9．以下命题中：①命题“假设f(x)是奇函数，那么f(－x)是奇函数〞的否命题是“假设f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数〞；②命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q〞的否认是“∀x∈∁R Q，x3∉Q〞；③命题“对∀x∈R，都有x≤1〞的否认是“∃x0∈R，使x0>1〞；④“假设am2<bm2，那么a<b〞的逆命题为真．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)①②③[因为否命题是既否认题设，又否认结论，因此否命题应为“假设函数f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数〞，故①正确．根据含有一个量词命题的否认，命题②③正确．对于④，逆命题为：“假设a<b，那么am2<bm2〞．当m＝0时，有am2＝bm2，故④不正确．] 10．设集合A＝{1，a}，B＝{a}，假设B⊆A，那么实数a的值为________．【导学号：19592002】0 [由B⊆A，得a＝1或a＝a，解得a＝0或a＝1，将a＝1代入A，得A＝{1,1}，舍去，所以a＝0.]11．全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的韦恩图如图1－1所示，那么阴影局部所示集合中的元素共有________个．图1－14 [集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，而阴影局部所示集合为B∩∁R A，所以阴影局部集合中含有－3，－2，－1，0共4个元素．] 12．(2021·泰州期末)假设命题“存在x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，那么实数a的取值范围是________．[2，＋∞)[由题意可知，∀x∈R，ax2＋4x＋a≥0恒成立．显然a ＝0不合题意，故⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝16－4a 2≤0，解得a ≥2.]13．(2021·扬州模拟)p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴上，那么p 是q 的________条件．(用“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞填空)充要 [由x 2m＋y 2＝1的焦点在y 轴可知，0＜mp 是q 的充要条件．] 14．设U ＝R ，集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，且(∁U A )∪B ＝R ，那么实数a 的取值范围是________．a ≤1 [∵A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x >a }，∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1.]15．记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数f (x )和g (x )的定义域都是R ，那么“f (x )和g (x )都是偶函数〞是“函数F (x )＝max{f (x )，g (x )}为偶函数〞的________条件．(选填“充分不必要〞“必要不充分〞“充要〞或“既不充分也不必要〞)充分不必要 [由函数f (x )和g (x )的定义域都是R 及“f (x )和g (x )都是偶函数〞，再结合偶函数的对称性，可得当取两者中的较大值所构成的函数也关于y 轴对称，即可推得“函数F (x )＝max{f (x )，g (x )}为偶函数〞；反之那么不一定成立，所以是充分不必要条件．]16．集合M ＝{1,2,3,4}，集合A ，B 为集合M 的非空子集，假设∀x ∈A ，y ∈B ，x <y 恒成立，那么称(A ，B )为集合M 的一个“子集对〞，那么集合M 的“子集对〞共有________个．17 [当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况．∴满足题意的“子集对〞共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．]。

综合测评(一) 集合与常用逻辑用语、函数、导数(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝log 2x －2的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)2．(2010年高考湖北卷)设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩?I N ＝( )A ．[32，2]B ．[32，2) C ．(32，2] D ．(32，2) 4．(2010年东北三校联合模拟)设f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋x ，则当x <0时，f (x )＝( )A ．－(－12)x －xB ．－(12)x ＋x C ．－2x －x D ．－2x ＋x5．下列命题①?x ∈R ，x 2≥x ；②?x ∈R ，x 2≥x ；③4≥3；④“x 2≠1”的充要条件是“x ≠1或x ≠－1”．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)，若f ′(－1)＝－4，⎠⎛01f (x )d x ＝2，函数f (x )有( )A ．最大值3B ．最大值－13C ．最小值3D ．最小值－137．(2010年河北唐山质检)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )8．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为( )A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C ．(1，32)D ．(32，2) 9．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形面积为( )A ．2 B.73C.83D ．3 10．点M (a ，b )在函数y ＝1x的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线x －y ＋3＝0上，则函数f (x )＝abx 2＋(a ＋b )x －1在区间[－2,2)上( )A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为－3，无最大值C ．最小值为－3，最大值为9D ．最小值为－134，无最大值 11．(2010年高考上海卷)若x 0是方程(12)x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A ．(23，1)B ．(12，23) C ．(13，12) D ．(0，13) 12．若函数f (x )在定义域R 内可导，f (1＋x )＝f (1－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )>0.设a ＝f (0)，b ＝f (32)，c ＝f (3)，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <a <c二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．若全集U ＝R ，A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为________．14．(2010年河北邢台调研)若lg a ＋lg b ＝0(a ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－b x 的图象关于________对称．15．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1x ，|x |<1，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是________．16．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域为R ，值域为[0，12]； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k 2(k ∈Z )对称； ③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在[－12，12]上是增函数． 其中正确的命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝{x |1＜4x ＋3}． (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝kx 3－3(k ＋1)x 2－2k 2＋4，若f (x )的单调减区间为(0,4)．(1)求k 的值；(2)对任意的t ∈[－1,1]，关于x 的方程2x 2＋5x ＋a ＝f (t )总有实根，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(ax ＋b )的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式与定义域；(2)函数f (x )能否由y ＝log 3x 的图象平移变换得到；(3)求f (x )在[4,6]上的最大值、最小值．20.(本小题满分12分)已知以函数f (x )＝mx 3－x 的图象上一点N (1，n )为切点的切线倾斜角为π4. (1)求m 、n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －1995，对于x ∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k ，否则请说明理由．21．(本小题满分12分)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围？(2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)22．(本小题满分12分)(2010年高考陕西卷)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；。

小题对点练 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( )A ．2 B. 3 C ．4 D ．5 2．已知集合A ＝{x |x2－x －2＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪log 4x ＜12，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．∁U A ∪B ＝RC ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |x 2－x －2＜0}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．(－1,0] B ．[－1,2) C ．[1,2) D ．(1,2]4．(2018·丹东五校联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x －e －x，则f (ln 6)＝( )A ．－ln 6＋6B ．ln 6－6C ．ln 6＋6D ．－ln 6－6 5．下列命题正确的是( )A ．若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题B ．“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋ab ≥2”的充要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”D ．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0－1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥06．(2018·武汉模拟)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( )A ．7B ．4C ．0D ．－47．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0＜4x 0，命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞x .则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧q 8．已知不等式 ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12 9．(2018·重庆模拟)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10．已知在正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n 满足a m a n ＝4a 1，且a 6＝a 5＋2a 4，则1m ＋4n 的最小值是( )A.32 B ．2 C.73 D.25611．某地一年的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C (t )与t 之间的函数关系的是( )12．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (a )>f (b ) 二、填空题13．命题：“∃x 0∈R ，cos 2x 0≤cos 2x 0”的否定是________．14．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n 的最小值为________．15．(2018·天津模拟)曲线f (x )＝x ln x 在点P (1,0)处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是________．16．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.习题答案1.答案：B解析：[A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3，∴A ∩B ＝{0,1,2}，A ∩B 中有3个元素，故选B.]2. 答案：C 解析：[A ＝{x |x2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪log 4x ＜12＝{x |0＜x ＜2}，显然B ⊆A ，所以A ∩B ＝B .故选C.] 3. 答案：C解析：[已知集合B ＝{x |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，由集合交集的概念得到(∁R A )∩B ＝[1,2)．] 4. 答案：C解析：[∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln 6)＝－f (－ln 6)＝－(－ln 6－e ln 6)＝－(－ln 6－6)＝ln 6＋6.选C.] 5. 答案：D解析：[若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，那么p ∧q 可能为真，也可能为假，故A 错；若a ＞0，b ＞0，则b a ＋a b ≥2，又当a ＜0，b ＜0时，也有ba ＋ab ≥2，所以“a ＞0，b ＞0”是“b a ＋a b ≥2”的充分不必要条件，故B 错；命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，故C 错；易知D 正确．] 6. 答案：A解析：[∵f (x )＝x －g (x )， ∴f ′(x )＝1－g ′(x )．由题意得f (2)＝－2－1＝－3，f ′(2)＝－1. ∴g (2)＋g ′(2)＝2－f (2)＋1－f ′(2)＝7.选A.] 7. 答案：D解析：[由指数函数的单调性可知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，3x 0＜4x 0为假，则命题綈p 为真；易知命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＞x 为真．则命题綈q 为假．根据复合命题的真值表可知命题p ∧q 为假，命题p ∨(綈q )为假，命题p ∧(綈q )为假，命题(綈p )∧q 为真，故选D.] 8. 答案：B解析：[∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] 9. 答案：B解析：[函数y ＝2x ＋m －1有零点，则函数y ＝2x －1与函数y ＝－m 有交点， 则：－m ＞－1，∴m ＜1，函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1， 据此可得“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．] 10. 答案：A解析：[由a 6＝a 5＋2a 4得q 5＝q 4＋2q 3，解得q ＝2，再由a m a n ＝4a 1得q m ＋n －2＝16＝24，所以m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16·9＝32.]11. 答案：A解析：[若增加的数大于当前的平均数，则平均数增大；若增加的数小于当前的平均数，则平均数减小．因为12个月的平均气温为10 ℃，所以当t ＝12时，平均气温应该为10 ℃，故排除B ；因为在靠近12月份时其温度小于10 ℃，因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10 ℃，排除C ；6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值，故平均气温不可能出现先减小后增加的情况，故排除D ，故选A.] 12. 答案：C解析：[依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C.] 13. 答案：见解析解析：∀x ∈R ，cos 2x ＞cos 2x 14. 答案：2解析：[因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2. 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以n m ＞0，mn ＞0. 由均值不等式，可得n m ＋mn≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.]15.答案：12解析：[f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1， ∴在点P (1,0)处的切线斜率为k ＝1，∴在点P (1,0)处的切线l 为y －0＝x －1，即y ＝x －1， ∵y ＝x －1与坐标轴交于(0，－1)，(1,0)．∴切线y ＝x －1与坐标轴围成的三角形面积为S ＝12×1×1＝12.] 16. 答案：9解析：[∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理：若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意．综上，可得n m ＝9.]。

1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算},则A∩B=( ) 1.(全国甲·文1)设集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|0≤x<52A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}2.(全国乙·文1)集合M={2,4,6,8,10},N={∩N=()A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}3.(新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B⊆AC.A⊆BD.A∩B=⌀4.(河南郑州二模)已知A,B均为R的子集,且A∩(∁R B)=A,则下面选项中一定成立的是( )A.A=∁R BB.A∩B=⌀C.B⊆AD.A∪B=R考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(浙江·4)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(河南濮阳一模)“b≤1”是“函数f(x)={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x,y ∈R,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(河南许昌质检)若(x-a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语 A.p ∧q B.(¬p)∧q C.p ∨(¬q) D.¬(p∨q) A.p ∧q B.(¬p)∧q C.p ∧(¬q) D.¬(p∨q) A.(¬p)∨qB.(¬p)∧(¬q)C.p ∧qD.p ∨q考向4 不等关系及线性规划13.(河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b)>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a+1b >414.(全国乙·文5)若x,y 满足约束条件 {x +y ≥2,x +2y ≤4,y ≥0,则z=2x-y 的最大值是( ) A.-2B.4C.8D.1215.(浙江·3)若实数x,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( ) A.20B.18C.13D.616.(河南濮阳一模)设x,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.A 解析:由题得,A∩B={0,1,2},故选A.2.A 解析:∵集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<∩N={2,4}.故选A.3.C 解析:log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B,故选C.4.B 解析:∵A∩(∁R B)=A,∴A ⊆(∁R B),∴A∩B=⌀,即B 选项一定成立,A,C,D 都不一定成立.5.A 解析:由sinx=1,得x=2kπ+π2,k ∈Z,此时cosx=0;由cosx=0,得x=kπ+π2,k ∈Z,此时sinx=±1,故选A.6.B 解析:依题意,函数f(x)是在(-2,+∞)上的单调函数,∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增,∴若要f(x)在(-2,+∞)上单调递增,需b>0且1+b≤2,即0<b≤1.故选B.7.B 解析:由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x≤|x|,所以x≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|.故选B.8.D 解析:根据题意,(x-a)2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2);1+12-x≤0⇔3-x 2-x≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x≠2,解得2<x≤3,不等式的解集为(2,3];若(x-a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a≤4,即a 的取值范围为(1,4].故选D.因为2x+1x ≥2√2x ·1x =2√2,当且仅当2x=1x ,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析:∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12,∴0<a-b<1,ln(a-b)<0,故A 错误; ∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f(x)=lnx x(0<x<1),则f'(x)=1-lnx x 2>0,故f(x)在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即blna>alnb,即lna b >lnb a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,1a+1b =a+b a+a+b b=2+b a+a b>2+2√b a·ab=4,故D 正确.14.C 解析:画出不等式组表示的平面区域(阴影部分),如图所示.要求z=2x-y 的最大值,即求直线y=2x-z 在y 轴上的截距-z 的最小值.数形结合可知,当直线y=2x-z 过点A 时直线在y 轴上的截距最小,即z 取得最大值.由{x +2y =4,y =0,得点A 的坐标为(4,0). 故z 的最大值为2×4-0=8.15.B 解析:根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B.16.4 解析:画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x ,解得{x =-2,y =2,即A(-2,2).由图可知,当直线y=x+z 过点A(-2,2)时,z 取得最大值为2-(-2)=4.。