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§2。
5 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于线性方程组消元过程中的同解变换，它在将矩阵变换为简单形式、解线性方程组、求矩阵的逆阵、解矩阵方程以及研究矩阵的秩等方面起着重要的作用。
一 矩阵的初等变换和矩阵等价定义2。
10 设A 是矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换： n m ×（1） 交换A 的第行和第行的位置，记为i j j i r r ↔； A 的第i 行各元素，记为；i kr （2） 用非零常数乘以k 的第i 行各元素的倍加到第行对应元素，记为A j k i j kr r +。
（3） 将 若把定义2。
10中的行改为列，便得到三种对应的初等列变换，记号分别为；；。
j i c c ↔i kc i j kc c + 矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。
例如⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−↔31132100101792r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−179200101321⎯⎯→⎯+242c c ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−177********21值得注意的是，初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵，在一般情况下 ，变换前后的两个矩阵并不相等，因此进行初等变换只能用来表示，而不能用等号。
另外，矩阵的初等变换可以逆向操作，即若矩阵→i r k1A B B 经过、i kr i j kc c +变换成了矩阵，那么对施以及，就可以将矩阵B A i j kc c −。
复原为矩阵A B A B 定义2。
11 如果矩阵经过有限次初等变换后化为矩阵，则称等价于矩阵，简记为B A ~。
由定义可以得到以下关于矩阵等价的一些简单性质：A A ~(1) 反身性：；(2) 对称性：则,~B A A B ~；B A ~且，则。
C B ~C A ~(3) 传递性： 定理２。
３ 任意矩阵()nm ija A ×=都与形如的矩阵等价。
矩阵称为矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000rE ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛000r E ),min(1n m r ≤≤A 的标准形。
第二讲 矩阵及初等变换（4节）在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。
矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。
著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。
因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。
本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。
1.2.1矩阵的概念定义2.1 由m n ⨯个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表111212122212n n m m m na a a a a a a a a称其为m 行n 列矩阵，记作111212122212n nm m m n m na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。
矩阵常用大写字母m n A ⨯，m n B ⨯… ...表示，或简记m n A ⨯=()ij m n a ⨯，m n B ⨯=()ij m n b ⨯… … 等.注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 232310-2=25-3A ⨯⨯⎛⎫⎪⎝⎭ ， 2行2列矩阵 222221=16B ⨯⨯⎛⎫⎪-⎝⎭。
例2.1例：给个具体的矩阵表示实例1.2.2矩阵的运算矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。
下面我们先给出矩阵的基本的运算.定义2.2 若两个行列相同的矩阵()(),ij ij m nm nA aB b ⨯⨯==其对应元素相等，即()ijm na ⨯=()ij m nb ⨯则称矩阵A 与B 相等，记作A B =。
每个元素都是0的矩阵叫做零矩阵，用m n O ⨯表示，要注意的是行列不同的零矩阵不相等。
如 ()1322000000⨯⨯⎛⎫≠⎪⎝⎭定义2.3 设()(),ij ij m nm nA aB b ⨯⨯==，令()ij m nC c ⨯==()ij ij m n a b ⨯+，称C 为矩阵A 与矩阵B 的和. 记作C A B =+. 记()ij m nA a ⨯-=-，称（－A ）是矩阵A 的负矩阵. 则有A B -=A B +-（）=()ij ij m n a b ⨯-注：定义2.2和定义2.3的条件是要求两矩阵的行和列要相同。
我们把2个同行同列的矩阵叫作同型矩阵。
例2.2 设12103501X -⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求X . 解 由题意X 是2行2列矩阵，可令X =ab cd ⎛⎫⎪⎝⎭，则 a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭=10120135-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0234⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 称1001⎛⎫⎪⎝⎭为二阶单位矩阵，记2E .相应有三阶单位阵310001001E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭以及n 阶单位矩阵10001001n E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭等。
定义2.4 非零数k 与矩阵()ij m nA a ⨯=的乘积记作kA ，规定kA ＝()ij m nka ⨯.即，非零常数k 与矩阵A 乘积等于用k 乘以A 的每一个元素。
换句话说，当A 中每一个元素都有相同公因子k 时，才能把k 提出A 外。
例如2412602308241--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭定义2.5 设()(),i j i j m ss nA aB b ⨯⨯==，那么A 与B 的乘积为记()i j m nC c ⨯=，即C AB ==()i j m n c ⨯其中11221...sij i j i j is sj ikkj k c a b a b a b ab ==+++=∑(1,2...;1,2...)i m j n ==即，用左边矩阵A 的第i 行元素与右边矩阵B 的第j 列元素对应相乘再相加后，得C 中元素i j c .例2.3 设某家电公司两分厂2012年第四季度空调、电视机、冰箱的产量矩阵已表示为111213212223a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，现设空调、电视机、冰箱每台的销售价分别为112131,,d d d ；每台的利润分别为122232,,d d d .若记单位售价和单位利润的矩阵为B ，则111221223132d d B d d d d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.如设两厂的该季度的总销售价分别为1121,m m ；总利润分别为1222,m m .若记总销售价和总利润的矩阵为M ，则11122122m m M m m ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中 11111112211331m a d a d a d =++； 21211122212331m a d a d a d =++； 12111212221332m a d a d a d =++； 22211222222332m a d a d a d =++.按产量、单价、总价间的关系，称M 为A 、B 的乘积也是自然的.例2.4 设333211001211,1210110A B ⨯⨯-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.求A B . 解: 由定义2.5 ，110012111210110AB -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭= = 1011011112201111211210100211110210⨯+-⨯-+⨯⨯+-⨯⎛⎫ ⎪⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯ ⎪ ⎪-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯⎝⎭（）（）（）（）（）（）（）（）=112411-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭显然不是任意2个矩阵都能相乘。
只有m s A ⨯的列数等于s n B ⨯的行数AB 才有意义.本例中B 有2列，A 有3行，所以B A 无意义.由此可知当A B 存在时，B A 未必存在，即使B A 存在，也不一定有=A B B A ，即矩阵乘法一般不满足交换律.如果AB BA =，称A B 与可交换。
例2.5 设1301A ⎛⎫=⎪⎝⎭，求所有与A 可交换的矩阵B . 解：因为A B =B A ，所有B 应为22⨯矩阵.可设11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 A B ＝111221221301x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝11211222212233x x x x x x ++⎛⎫⎪⎝⎭B A =111221221301x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝11111221212233x x x x x x +⎛⎫⎪+⎝⎭再由定义2.2有1121111222111221212221223333x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪+=+⎪⎨=⎪⎪=+⎩ 解方程组，得 2111220,x x x ==，取112212,x x a x b ===（,a b 为任意常数）.于是，所有与A 可交换的矩阵为0a b B a ⎛⎫=⎪⎝⎭（,a b 为任意常数）. 矩阵的基本运算具有下列性质（1）结合律：()()A BC AB C =，()()()k AB kA B A kB ==；（2）分配律：左乘 ()A B C AB AC +=+，右乘 ()B C A BA CA +=+； （3）m m n m n E A A ⨯⨯=，m n n m n A E A ⨯⨯=.例2.6 用矩阵的运算形式表示线性方程组11112211211222221122...............n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ... ... (2.1) 解 令111212122212.....................n n m m m n m n a a a a a a A a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有A X =111212122212.....................n n m m m n a a aa aa a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =12n b b b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭成立. 即方程组(2.1)可表示为A X b =.称A X b =是方程组的矩阵方程（或矩阵表达形式），称A 是方程组的系数矩阵，(),A b =11121121222212.....................n n m m m nm a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭是方程组的增广矩阵。
例如，方程组62x y x y +=⎧⎨-=-⎩的系数矩阵A =1111⎛-⎫⎪⎝⎭，增广矩阵(),A b =161121-⎛⎫ ⎪⎝⎭，方程组的矩阵方程A X b =.其中x X y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.定义2.6 设A 是n 阶方阵，定义0A E =,1A A =，211A A A =，...11k k A A A +=，其中k 为正整数.即...k k A AA A =个，称为A 的k 次幂。
不难看出A 的k 次幂具有如下的性质： （1）方阵才有幂（2）k l k l A A A +=，()k l kl A A =.思考：一般()kkkAB A B ≠，为什么？请举例. 例2.7 设1111111111111111A ---⎛⎫ ⎪---⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭，求100A . 解： 24A E =， ∴ 1002505050()(4)4AA E E ===.设有n 次多项式2012()nn f x a a x a x a x =++++ 及n 阶方阵A ，令2012()nn f A a E a A a A a A =++++ ... ... (2.2) 称(2.2)为矩阵多项式。
例2.8 设210()23,43f x x x A -⎛⎫=--=⎪⎝⎭，求()f A .解： 2101010434389A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 且2()23f A A A E =--，故 ()f A ＝10101023894301-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝0000⎛⎫ ⎪⎝⎭. 定义2.7 （1） 把矩阵A 的行与列对调后得到的矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T A . （2） 如果T A =A ，称A 为对称矩阵。
