高二下数学限时训练试题6命题人：一、单选题1．已知在等差数列{}n a 中，21016a a +=，54a =，则17a a +=（）A ．0B ．6C ．8D ．102．已知函数()f x 图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A.()()()()310132f f f f '-<<<'B ．()()()()310312f f f f -<<''<C ．()()()()310312f f f f '-<<<'D ．()()()()310132f f f f -<<''<3．过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25O x y -+-=的切线l ，直线:40m x by -=与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为（）A ．4B ．2C ．85D ．1254．已知数列{}n a 的通项公式为22n a kn n =--，若{}n a 为递增数列，则k 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．已知函数2()ln f x x ax x =--，下列命题不正确的是（）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若(1)0f =，则()f x 在2(]0,x ∈上的最小值为0C ．若()f x 在(1,2)上单调递减，则72a ≥D ．若)1)ln ((x x x f -≥在[1,2]x ∈上恒成立，则2a ≥6．已知二面角l αβ--为60︒，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到βQ 到α的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（）A ．1B ．2C ．D ．47．已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A ．7B ．5C ．3D ．28．π和e 是数学上两个神奇的无理数．π产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行π的计算．而当涉及到增长时，e 就会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e ．已知π3e a -=，ln(eπ2e)b =-，2π5π2c -=-，π2d =-，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（）A ．c b d a <<<B ．c d b a <<<C ．d c a b<<<D ．b c a d<<<二、多选题9．已知函数()21e xx x f x +-=，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 存在三个不同的零点B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5ef x =，则t 的最小值为2D ．若方程()f x k =有两个实根，则(]25e,0e k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭10．已知数列{}n a 满足24,3,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数，11a =，23a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A ．725a =B ．当n 为奇数时，()12332n nn n S ++-+=C ．设2122n n n a b a -+=，则数列{}n b 的前n 项和n P 小于37D ．设2n n c a =，则数列()()111n n n c c c +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 小于1411．如图，正四棱锥P ABCD -每一个侧面都是边长为4的正三角形，若点M 在四边形ABCD 内（包含边界）运动，N 为PD 的中点，则（）A ．当M 为AD 的中点时，异面直线MN 与PC 所成角为π2B ．当//MN 平面PBC 时，点M 的轨迹长度为23C ．当MP MD ⊥时，点M 到AB 的距离可能为2D ．存在一个体积为53π的圆柱体可整体放入正四棱锥P ABCD -内三、填空题12．已知函数()()()1sin 1cos f x x x x x =-++，当[]0,π时()f x 的最大值与最小值的和为．13．如图，将1，2，3，4四个数字填在6个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个“”不能填相同数字，四个数字不必均使用，则不同的填数方法有种．14．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的左右焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1224F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围为.四、解答题15．一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球，白球都至少有一个的取法有多少种？(2)若取个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？(3)将6个不同的白球，全部给5个人，每人至少1个球，有多少种给法？(4)将6个不同的白球，全部给4个人，每人至少1个球，有多少种给法？(5)将4个不同的红球，6个不同的白球排一排，其中红球甲和红球乙中间有3个白球，且红球丙不排两端.有多少种不同排法？班级：_________姓名：____________选择题1234567891011填空题12.13.14.解答题15.（1）（2）（3）（4）（5）参考答案：1．A【分析】根据等差数列的性质得到公差，从而得到答案.【详解】在等差数列{}n a 中，6210216a a a =+=，得68a =，故公差654d a a =-=，所以()1745220a a a a d +==-=.故选：A.2．B【分析】利用导数的几何意义进行求解即可.【详解】(1)f '表示曲线()f x 在点1x =处切线的斜率，(3)f '表示曲线()f x 在点3x =处切线的斜率，()()()()3131231f f f f =---表示割线AB 的斜率，由图可知()()()()310312f f f f -''<<<.故选：B 3．A【分析】由点斜式求出直线l 的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果.【详解】由条件知点()2,4P -在圆O 上，所以直线OP 的斜率为413,224-=-∴--切线l 的斜率为43，即直线l 方程为()4423y x -=+，整理得：43200,x y -+= 直线:40m x by -=与直线l 平行，3,b ∴=∴直线m 方程为430x y -=，则直线l 与m4=，故选：A ．4．D【分析】依题意有()*1n n a a n +>∈N ，解得()*121k n n >∈+N ，求出max121n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭即可得k 的取值范围.【详解】22n a kn n =--，若{}n a 为递增数列，则()*1n n a a n +>∈N ，有()()()22*1122k n n kn n n +-+->--∈N ，解得()*121k n n >∈+N ，则max121k n ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，1n =时max11213n ⎛⎫=⎪+⎝⎭，所以13k >,则k 的取值范围为1,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D 5．D【分析】利用导数结合极值点求出a 判断A ；利用导数求出最小值判断B ；由函数在区间上的单调性求出a 的范围判断C ；由不等式恒成立求出a 的范围判断D.【详解】函数2()ln f x x ax x =--的定义域为(0,)+∞，求导得1()2f x x a x'=--，对于A ，由()01f '=，得1a =，此时1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，1x =是()f x 的极值点，A 正确；对于B ，由(1)0f =，得1a =，由选项A 知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此min ()(1)0f x f ==，B 正确；对于C ，由()f x 在(1,2)上单调递减，得()0f x '≤，即11202x a a x x x--≤⇔≥-恒成立，而函数12y x x =-在(1,2)上单调递增，则恒有1722x x -<成立，因此72a ≥，C 正确；对于D ，由)1)ln ((x x x f -≥在[]1,2x ∈上恒成立，得21)ln ln (x x x ax x -≥--在[]1,2x ∈上恒成立，即ln a x x ≥-在[]1,2x ∈上恒成立，令()ln h x x x =-，[]1,2x ∈，求导得1()10h x x'=-≥，即函数()h x 在[]1,2上单调递增，则max ()(2)2ln 2h x h ==-，因此2ln 2a ≥-，D 错误．故选：D 6．C【分析】分别作QA α⊥于A ，AC l ⊥于C ，PB β⊥于B ，PD l ⊥于D ，连接,CQ BD ,则60ACQ PDB ∠=∠= ，在三角形APQ 中将PQ 表示出来，再研究其最值即可．【详解】如图分别作QA α⊥于A ，AC l ⊥于C ，PB β⊥于B ，PD l ⊥于D ，连接CQ ，BD ，则60ACQ PDB ∠=∠=︒，AQ =，BP =2AC PD ==，又∵PQ ==≥当且仅当0AP =，即点A 与点P 重合时取最小值．故选：C．7．A 【分析】根据23CB F A =可知2//CB F A ，再根据角平分线定理得到1,BF BC 的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用,,a b c 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23CB F A =，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则24F C c =，设1AF t =，则13BF t =，2AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222142BF F F c BC F C c ===，所以126BC BF t ==，所以2123AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即22t t a -=，2t a =，①又由122BF BF a -=得2322BF t a t =-=，所以222BF AB AF t ===，即2ABF △是等边三角形，所以2260F BC ABF ∠=∠=︒．在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即22214942223t t c t t+-=⋅⋅，化简得2274t c =，把①代入上式得ce a==．故选：A ．8．A【分析】根据给定条件，构造函数11()e ,()ln 1,()ln 1,1x f x x g x x x h x x x x-=-=-+=+->，利用导数探讨单调性，赋值比较大小作答.【详解】依题意，π3(π2)1e e a ---==，ln(π2)1b =-+，12π2c =--，令函数1()e ,1x f x x x -=->，求导得1()e 10x f x -'=->，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0f x f >=，即1e x x ->，而π21->，因此π3e π2->-，即a d >；令函数()ln 1,1g x x x x =-+>，求导得1()10g x x'=-<，函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，则当1x >时，()(1)0g x g <=，即ln 1x x +<，因此2ln(e ln(π2e)π2)1π-=-+<-，即d b >；令函数1()ln 1,1h x x x x =+->，求导得22111()0x h x x x x-=-=>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则当1x >时，()(1)0h x h >=，即11ln 1ln 12x x x x>-⇔+>-，因此2l 1n(12π5π2e ln(2e)π2)2ππ--=-+>-=--，即b c >，所以c b d a <<<.故选：A 9．BD【分析】求导后，结合()f x '正负可得()f x 单调性；利用零点存在定理可说明()f x 零点个数，知A 错误；根据极值定义可知B 正确；采用数形结合的方式可求得CD 正误.【详解】()f x 定义域为R ，()()()2212e e x xx x x x f x -+-++==-'，∴当()(),12,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '<；当()1,2x ∈-时，()0f x '>；()f x ∴在(),1∞--，()2,∞+上单调递减，在()1,2-上单调递增；对于A ，()1e 0f -=-< ，()2520ef =>，()22e 0f -=>，()f x ∴在区间()2,1--和()1,2-内各存在一个零点；当2x >时，210x x +->，e 0x >，()0f x ∴>恒成立；()f x ∴有且仅有两个不同的零点，A 错误；对于B ，由()f x 单调性可知：()f x 的极小值为()1e f -=-，极大值为()252e f =，B 正确；对于C ，()252e f =，∴作出()f x 图象如下图所示，可知方程()25ef x =存在另一个解0x ，若当[),x t ∞∈+时，()2max 5e f x =，则[]0,2t x ∈，C 错误；对于D ，方程()f x k =有两个实根等价于()f x 与y k =有两个不同交点，作出()f x 图象如下图所示，结合图象可知：(]25e,0e k ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭，D 正确.故选：BD.10．BD【分析】对于A ，只需对n 进行赋值即可依次得到357,,a a a ；对于B ，根据数列的递推公式，需要分别求数列的奇数项的前12n +项与偶数项的前12n -项的和，分别按照等差数列和等比数列求和公式求和整理即得；对于C ，求出1433n n n b +-=，利用错位相减法即可得解；对于D ，求得3nn c =，利用裂项相消法即可得解.【详解】对于A 项，7531481213,a a a a =+=+=+=故A 项错误；对于B 项，由24,3,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数可知，该数列的奇数项构成首项为11a =，公差为4的等差数列，偶数项构成首项为3，公比为3的等比数列，故当n 为奇数时，13241()()n n n S a a a a a a -=+++++++112211(1)1312333224221n n n n n n n -+++-+-=-+-=++⨯+（），故B 项正确；对于C 项，21122433n n n n a n b a -++-==，所以，2341159433333n n n P +-=++++ ①，345211594333333n n n P +-=++++ ②，由两式相减得：341221111434()393333n n n n P ++-=++++- 312211(1)1431433341933313n n n n n -++--+=+⨯-=--，故2114312232n n n P +-=-⋅<，故C 项错误；对于D 项，12333n n n nc a -===⋅，则()()1113111()11(31)(31)23131n n n n n n n n c c c +++==-------，则22311111111[()()2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭11111()22314n +=-<-，故D 项正确.故答案为：BD.【点睛】方法点睛：(1)对于已知递推数列是奇偶性要求的数列，一般按照奇偶性进行分组求和；(2)对于等差数列乘以等比数列型数列，一般考虑错位相消法求和；(3)对于数列通项具备分式型函数特点，一般考虑裂项相消法求和.11．ACD【分析】对于AC ：建立空间直角坐标系计算求解；对于B ：过N 作面PBC 的平行平面，进而可得点M 的轨迹；对于D ：由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P ABCD -内接最大圆柱的体积，表示出体积，然后利用导数求其最值即可.【详解】对于A ，因为ABCD 为正方形，连接BD 与AC ，相交于点O ，连接OP ，则OD ，OC ，OP 两两垂直，故以{},,OD OC OP为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，C，(A -，D，(0,B -，(0,0,P ，N 为PD的中点，则N .当M 为AD的中点时，(M，MN =，(PC =- ，设异面直线MN 与PC 所成角为θ，404cos cos ,024MN PC MN PC MN PCθ+-⋅====⨯ ，π(0,]2θ∈，故π2θ=，A正确；对于B ，设Q 为DC 的中点，N 为PD 的中点，则//QN PC ，PC ⊂平面PBC ，QN ⊄平面PBC ，则QN //平面PBC ，又//MN 平面PBC ，,MN QN ⊂平面MNQ ，又MN QN N = ，设H AB ∈，故平面//MNQ 平面PBC ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，平面MNQ ⋂平面ABCD QH =，则//QH BC ，则H 为AB 的中点，点M 在四边形ABCD 内（包含边界）运动，则M QH ∈，点M 的轨迹是过点O 与BC 平行的线段QH ，长度为4，B 不正确；对于C ，当MP MD ⊥时，设(,,0)M x y ，(,,MP x y =-- ，(,,0)MD x y =- ，2(0MP MD x y y ⋅=+-= ，得220x y +-=，即22(2x y +-=，即点M 的轨迹以OD 中点K ABCD 内（包含边界）的一段弧（如下图），K 到AB 的距离为3，弧上的点到AB 的距离最小值为3因为32<，所以存在点M 到AB 的距离为2，C 正确；对于D ，由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥P ABCD -内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，Q 为DC 的中点，H 为BC 的中点,4HQ =，PO =根据POH 相似PJW ，得JW PJOH PO =，即2r =)h r =-，则圆柱体积22π(2)V r h r r =-，设23()(2)(02)V r r r r -<<，求导得2()(43)V r r r '=-，令()0V r '=得，43r =或0r =，因为02r <<，所以0r =舍去，即43r =，当403r <<时，()0V r '>，当423r <<时，()0V r '<，即43r =时V 有极大值也是最大值，V 有最大值π27，5135027327-=>，故5273>所以存在一个体积为5π3的圆柱体可整体放入正四棱锥P ABCD -内，D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.12．1π1⎫-⎪⎪⎝⎭【分析】求导，可得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值，即可求解最值.【详解】()()()()sin 1cos cos 1sin cos sin f x x x x x x x x x x '=+-+-+=-，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 递增；当π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 递减；()max π44f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()01f =，()()ππ1f =-+，()()min π1f x =-+故最大值与最小值的和为：1π14⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：1π14⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭13．264【分析】按使用数字数的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定填A ，D ，E 三点填法数，再讨论点B ，F ，C 的填法数即可.【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法：当用四个数字时，先填A ，E ，D ，有34A 种填法，再从B ，F ，C 中选一处填第四个数，如B ，再填F ，若F 与D 同，则C 有2种填法，若F 与D 不同，则C 有1种填法，于是得有()3143A C 21+种填法，当用三个数字时，先填A ，E ，D ，有3343C A 种填法，再填B ，有2种填法，则F ，C 各有1种填法，于是得有33432C A 种填法，利用分类加法计数原理得不同填数方法为：()31334343A C 212C A 264++=（种），所以不同的填数方法共有264种.故答案为：264.14．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设椭圆与双曲线的焦距12||2F F c =，1||PF t =，由题意可得122c a a -=，用2e 表示出1e ，结合二次函数的性质即可得答案.【详解】设椭圆与双曲线的焦距12||2F F c =，1||PF t =，由题意可得：122c t a +=，222c t a -=，122c t a ∴=-，222c t a =+，122222c c a a ∴-=+，122c a a ∴-=，121112e e -=，21222e e e =+，22221222222212212e e e e e e e e e ∴-=-==+++.21211111,01,2e e e e ><<= ，21112e ∴<<，设21x e =，则112x <<，222221231x x e e ∴<+=+<，21113e e <-<∴.故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.15．(1)194(2)186(3)1800(4)1560(5)115200【分析】（1）由间接法得到结果．（2）设取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果．（3）（4）按分组分配求解；（5）先将甲乙与其他3个白球捆绑，再排两端即可求解.【详解】（1）从中任取4个球有410C 210=种，若全是白球，有46C 15=种，全是红球有44C 1=种，故红球，白球都至少有一个的取法有4441064C C C 194--=种（2）设x 个红球y 个白球，5,(04)27,(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩，23x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩．∴符合题意的取法种数有233241464646C C +C C +C C 186=种．（3）将6个不同的白球，全部给5个人，每人至少1个球，则按2,1,1,1,1,1分组，再分配给每个人，共有2565C A 1800=种（4）将6个不同的白球，全部给4个人，每人至少1个球，则按2,2,1,1或3,1,1,1分组，再分配给每个人，共有224346446422C C A C A 1560A +=种（5）先选3个白球放在甲乙中间，并捆绑成一个元素，有3262A A 种方法，不考虑丙，则有326626A A A 种排法，其中丙在两端的情况有32156225A A C A ，故满足题意共有32632156266225A A A A A C A 115200-=种排法.。
