高中数学新课程精品限时训练(30))

广西陆川县2016-2017学年高二数学下学期课堂限时训练（3.30）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西陆川县2016-2017学年高二数学下学期课堂限时训练（3.30））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广西陆川县2016-2017学年高二数学下学期课堂限时训练（3.30）的全部内容。

广西陆川县2016—2017学年高二数学下学期课堂限时训练（3。

30）一、选择题1 ．已知随机变量ξ服从正态分布(3,1)N 且(24)0.6826P ≤ξ≤=,则(4)P ξ>= （ ）A ．0.1588B ．0。

1587C ．0。

1586D ．0.15852 ．从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x(cm ） 160 165 170 175 180 体重y （kg ） 6366707274根据上表可得回归直线方程^^0.56y x a =+，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ) A ．70。

09kgB ．70。

12kgC ．70。

55kgD ．71.05kg3 ．有五瓶墨水,其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率 （ ）A ．110 B ．17C ．14D ．154 ．甲、乙两人在相同条件下进行射击,甲射中目标的概率为1P ,乙射中目标的概率为2P ，两人各射击1次,那么甲、乙至少有一个射中目标的概率为 （ ）A ．21P P +B ．21P P ⋅C ．211P P -D ．)1)(1(121P P ---5 ．若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为 （ ）A ．1B ．1-C ．0D ．26 ．不等式x x x x 22log log +<+的解集是（ ）A ．()1,0B ．()+∞,1C ．()+∞,0D ．()∞+∞-，7 ．已知,,a b c 是正实数,且1a b c ++=，则111a b c++的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128 ．已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．6D ．6-9 ．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是（ ）A ．56 B ．65 C ．45 D ．5410．若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数,则b 的取值范围是（ )A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,(2)0f =，当0x >时，有'()()0xf x f x -<成立，则不等式0)(2>⋅x f x 的解集是（ )A ．),2()0,2(+∞-B ．)2,0()2,( --∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．)2,0()0,2( - 12．若点(,)P a b 在函数23ln y x x =-+的图像上，点(,)Q c d 在函数2y x =+的图像上，则22()()ac bd 的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．8二、填空题13．不等式|3||1|6x x ++-≥的解集是_________.14．不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则正实数a 的取值范围__________. 15．若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______.16．计算机毕业考试分为理论与操作两部分,每部分考试成绩只记“合格"与“不合格”，只有当两部分考试都“合格"者，才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为4253、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526、，所有考试是否合格，相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率________.陆川中学2015级高二(下)数学(理)课堂限时训练（4）答题卡姓名__________ 班级_________ 座号_________ 分数_________一、选择题（每小题5分,满分60分）题号123456789101112答案二、填空题13．;14．;15．；16．．三、解答题17．苹果iPhone6 Plus采用的新一代A8芯片为最快芯片，为进一步改革质量稳定销售市场，要对其中某项技术的五项不同指标,,,,A B C D E进行改革并按顺序一一量化检测.如果一项指标不合格，则该技术不过关，停止测试；已知每一项测试都是相互独立的，该技术指标,,,A B C D四项指标合格的概率均为23，第五项E合格的概率为34。

高中数学必修4课后限时训练30 三角函数的积化和差、和差化积题组1：基础巩固一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．－12 答案：B 解析：sin75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( ) A ．－23 B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13， ∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13， 即cos 2α－sin 2β＝13. 3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( ) A ．tan α B ．tan2αC ．cot αD ．cot2α答案：B解析：原式＝－2sin2αsin (－α)2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－mB ．mC ．－m 2D ．m 2答案：A解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2α＝－m .5．计算sin105°cos75°的值是( ) A ．12 B ．14C ．－14D ．－12 答案：B解析：sin105°cos75°＝12(sin180°＋sin30°)＝14.6．sin10°＋sin50°sin35°·sin55°＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B 解析：sin10°＋sin50°sin35°sin55°＝2sin30°cos20°－12(cos90°－cos20°) ＝14cos20°12cos20°＝12. 二、填空题7．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A 2，则此三角形是________三角形． 答案：等腰解析：sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2， ∴2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1又－π<A <B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .故△ABC 是等腰三角形．8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.答案：12解析：原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20°＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20°＝cos60°＝12. 三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β. 解析：解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12[sin 〔(α＋β)＋α〕－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12sin β ＝12sin[(α＋β)－α]＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β＝右边．题组2：能力提升一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( )A ．1－m 2B ．－1－m 2C ．1＋m 2D ．－m 2－1答案：B解析：sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β，∴sin β＝－m .又β为第三象限角，∴cos β＝－1－m 2.2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2π3 B ．－π3C ．π3D ．2π3 答案：D解析：∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数．∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3. 3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－12，12] C ．[－14，34] D ．[－34，14] 答案：C解析：cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12答案：B解析：原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin (20°－30°)cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1. 二、填空题 5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________.答案：14 解析：原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60° ＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14.6．计算1tan10°－4cos10°＝________. 答案：3解析：1tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°＋2sin (30°－10°)sin10°＝2cos30°sin10°sin10＝ 3. 三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间． 解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤56π，π. 8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ；(2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2. 解析：(1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C 2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B ) ＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C )＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )]＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C 2＝右边，∴原等式成立． 9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间． 解析：f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α ＝12＋12[cos(2x －2α)＋cos2α]－[2cos(x －α)·cos α]cos x ＝12＋cos x ·cos(x －2α)－cos x [cos x ＋cos(x －2α)] ＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π. f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ； f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1， 即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z .f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z . ∴函数f (x )的增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋π2，k π＋π]，k ∈Z .。

函数的极值与导数限时训练使用：文科班时长：30分钟2015.1.3一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是()A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值33．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0 4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．2．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．三、解答题1．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．函数的极值与导数限时训练答案1.[答案] C [解析]导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2.D [解析]y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x) 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1 当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3.C 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4. C 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5. B f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．二、1.[答案] 1 －1 [解析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.2.[答案]a＋42a－4 2 [解析]y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y′>0，得x>2或x<－2，令y′<0，得－2<x<2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－4 2.三1.[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.。

限时训练（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1、在复平面内表示复数()i 12i -的点位于（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2、对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C.248,,a a a 成等比数列 D.369,,a a a 成等比数列3、下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）. A. πcos 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.sin 2cos 2y x x =+ D.sin cos y x x =+ 4、已知向量()()(),3,1,4,2,1k ===a b c ，且()23-⊥a b c ，则实数k =（ ）. A. 92-B. 0C. 3D. 1525、执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）. A ．12s >B. 35s > C. 710s > D.45s >6、已知命题:p 对x ∀∈R ，总有20x>；:q “1x >”是“2x >”的充分不必要条件. 则下列命题为真命题的是（ ）.A. p q ∧B. p q ⌝∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧⌝是否k=k-1k k =9,s =1结束开始s=s ∙k k+17、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）.A. 54B. 60C. 66D. 728、设12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）.A.43 B. 53 C. 94D. 3 9、如图所示，在矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为()1,0，且点C 与点D 在函数()1,011,02x x f x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）. A ．16 B ．14 C ．38 D ．1210、在ABC △中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是（ ）. A．14 B ．34C．2 D．24+11、已知点()2,3A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）. A ．12 B ．23 C ．34 D ．4312、设函数()()e 21xf x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ）. A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭俯视图左视图正视图3254二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13、设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n n A B =∈==N 剟，则()U A B =I ð______. 14、函数()()2log 2f x x =的最小值为_________.15、设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=o ，则0x 的取值范围是 . 16、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是边BC 的中点.点P 在直线1BD （除B ，1D 两点）上运动的过程中，平面DEP 可能经过的该正方体的顶点是 （写出满足条件的所有顶点）.EABCDA 1B 1C 1D 1限时训练（四）答案部分一、选择题二、填空题13. {}7,9 14. 14- 15. ⎡⎣ 16.11,,A B D。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

双基限时练(三)基 础 强 化1．如果角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sin α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32D ．－33解析 2sin30°＝1，－2cos30°＝－3，∴P (1，－3)． ∴r ＝12＋(－3)2＝2，sin α＝－2cos30°2＝－32.答案 C2．设α＝－5π2，则sin α，tan α的值分别为( ) A ．－1；不存在 B ．1；不存在 C ．－1；0D ．1；0解析 －5π2＝－2π－π2，∴－5π2的终边在y 轴的负半轴，在其终边上取点(0，－1)，由此可知sin α＝－1，tan α的值不存在．答案 A3．已知P (x,4)是角θ终边上一点，且tan θ＝－25，则x 的值为( ) A ．10 B.45 C ．－10D ．－15解析 tan θ＝4x ＝－25，∴x ＝－10. 答案 C4．若角α的终边上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ，－45k (k <0)，则sin α·tan α＝( )A.1615 B ．－1615 C.1516D ．－1516解析 ∵k <0，∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45k 2＝－k ， ∴sin α＝45，tan α＝－43，∴sin α·tan α＝－1615. 答案 B5．若点P 在角π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标( ) A ．(3，1) B ．(－3，1) C ．(1，3)D ．(－1，3)解析 设P (x 0，y 0)，sin π3＝y 02＝32，∴y 0＝ 3. cos π3＝x 02＝12，∴x 0＝1.∴P (1，3)． 答案 C6．已知角θ的终边在直线y ＝3x 上，则tan θ的值( ) A ．－33 B ．－ 3 C. 3D ．±33解析 角θ的终边在第一象限或第三象限，在直线y ＝3x 上取点(1，3)和(－1，－3)，则tan θ＝yx ＝ 3. 答案 C7．角α的终边上有一点P (m,5)，且cos α＝m13(m ≠0)，则sin α＋cos α＝____.解析 r ＝m 2＋25，∴cos α＝m m 2＋25＝m13(m ≠0)，∴m ＝±12.当m ＝12时，cos α＝1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝1713. 当m ＝－12时，cos α＝－1213，sin α＝513，sin α＋cos α＝－713. ∴sin α＋cos α＝1713或sin α＋cos α＝－713. 答案 1713或－7138．若y ＝tan α·cot α的定义域为M ，y ＝sec α·csc α的定义域为N ，则M 与N 的关系为________．答案 M ＝N能 力 提 升9．已知角α的终边经过点P (8a,15a )(a ≠0)，则tan α＋sec α的值是________．解析 r ＝(8a )2＋(15a )2＝17|a |，当a >0时，r ＝17a ，tan α＝158，sec α＝17a 8a ＝178， ∴tan α＋sec α＝4.当a <0时，r ＝－17a ，tan α＝158，sec α＝－17a 8a ＝－178， ∴tan α＋sec α＝－14.∴tan α＋sec α＝4或tan α＋sec α＝－14. 答案 －14或410．已知α的终边上一点P (2，－5)，求角α的六个三角函数值． 解析 r ＝3，sin α＝－53，cos α＝23，tan α＝－52，cot α＝－255，sec α＝32，csc α＝－355.11．已知θ的终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010，求sin θ和tan θ. 解析 cos θ＝x x 2＋9＝1010>0，∴x >0，∴x ＝1.∴sin θ＝312＋32＝310＝31010，tan θ＝yx ＝3.12．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1＋tan xsin x ； (2)f (x )＝cos x .解析 (1)若使函数有意义，则需满足⎩⎨⎧sin x ≠0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠k π，k ∈Z ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .(2)若使函数有意义，则满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .品 味 高 考13．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析P(4，y)是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sinθ＝y16＋y2，又sinθ＝－255，∴y16＋y2＝－255，∵sinθ<0，∴y<0解得y＝－8. 答案－8。

大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.2024届新高考数学大题精选30题--概率统计(1)3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ ．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i=1,第i局乙当裁判0,第i局甲或丙当裁判,i=1,2,⋅⋅⋅,n，p i=P X i=1，X表示前n局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n=3且X=1”的概率；(2)求p i；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n充分大时E X 的实际含义.附：设X，Y都是离散型随机变量，则E X+Y=E X+E Y.8(2024·安徽池州·二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E X ；(2)规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P Y=k取最大值时的整数k.9(2024·辽宁·二模)一枚棋子在数轴上可以左右移动，移动的方式以投掷一个均匀的骰子来决定，规则如下：当所掷点数为1点时，棋子不动；当所掷点数为3或5时，棋子在数轴上向左(数轴的负方向)移动“该点数减1”个单位；当所掷的点数为偶数时，棋子在数轴上向右(数轴的正方向)移动“该点数的一半”个单位；第一次投骰子时，棋子以坐标原点为起点，第二次开始，棋子以前一次棋子所在位置为该次的起点．(1)投掷骰子一次，求棋子的坐标的分布列和数学期望；(2)投掷骰子两次，求棋子的坐标为-2的概率；(3)投掷股子两次，在所掷两次点数和为奇数的条件下，求棋子的坐标为正的概率．10(2024·广东湛江·一模)甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，⋯，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同)．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为P n n=1,2,3,⋅⋅⋅,25．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；(2)证明：数列P n-P n-1n=2,3,⋅⋅⋅,24为等比数列．11(2024·广东韶关·二模)小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是13，击中区域乙的概率是14，击中区域丙的概率是18，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．12(2024·河北邢台·一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个(k=0，1，2，⋯，10)的概率为P k，则当k为何值时，P k最大？13(2024·湖南衡阳·模拟预测)某电竞平台开发了A､B两款训练手脑协同能力的游戏，A款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.B款游戏规则是：共设计了n(n∈N*且n≥2)关，每位玩家都有n次闯关机会，每关闯关成功的概率为13，不成功的概率为23，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩A､B两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲玩A款游戏，若第一关通过的概率为34，第二关通过的概率为23，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩B款游戏，记玩家甲第i次闯关获得的分数为X i i=1,2,⋯,n，求E X i关于i的解析式，并求E X8的值.(精确到0.1，参考数据：2 37≈0.059.)14(2024·湖南邵阳·模拟预测)2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场(停车时间不超过60分钟)，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：停车时间/分钟0,1515,30 30,45 45,60甲143a14a 乙162b13b设此次停车中，甲所付停车费用为X ，乙所付停车费用为Y ．(1)在X +Y =18的条件下，求X ≥Y 的概率；(2)若ξ=X -Y ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．15(2024·湖北·一模)2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官．某市一调研机构为了了解当地学生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为n的样本进行调查，调查结果如下表：学生群体关注度合计关注不关注大学生12n710n高中生合计3 5 n附：α0.10.050.00250.010.001χα 2.706 3.841 5.024 6.63510.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．(1)完成上述列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关，求样本容量n的最小值；(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答题方案选择：方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级．已知小华同学答出三个问题的概率分别是34，23，12，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该选择哪种方案晋级的可能性更大？(说明理由)16(2024·湖北·二模)吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x 与损伤度y ，数据如下表：吸烟量x 1456损伤度y3867(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；(2)在实际应用中，通常用各散点(r ,y )到直线y =bx +a 的距离的平方和S =ni =1(bx i +a -y i )2 来刻画“整体接近程度”.S 越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程y =b x +a.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附：b =ni =1(x i -x )(y i -y)ni =1(x i -x)2，a =y -b x.17(2024·山东枣庄·一模)有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为12．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第n n ∈N *,n ≥5 次答题后游戏停止的概率为a n ．①求a n ；②a n 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．18(2024·安徽合肥·二模)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为x 1,x 2,x 3,⋯,x n ，其平均数记为x，方差记为s 21；把第二层样本记为y 1,y 2,y 3,⋯,y m ，其平均数记为y，方差记为s 22；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为s 2．(1)证明：s 2=1m +nn s 21+x -z 2 +m s 22+y -z 2 ；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1)；(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N μ,σ2 ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A ,B ,C ,D 四个等级，试确定各等级的分数线(精确到1)．附：P μ-σ≤X ≤μ+σ ≈0.68,302≈17,322≈18,352≈19．19(2024·福建福州·模拟预测)甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N0,0.22，规定X∈-0.2,0.2的零件为合格品．的零件为优等品，X∈-0.6,0.6(1)从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数(精确到整数)；(2)乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测．求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率(精确到0.01)．(附：若随机变量ξ∼Nμ,σ2，则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.9545，=0.6827，Pμ-2σ<ξ<μ+2σPμ-3σ<ξ<μ+3σ=0.9973)20(2024·河北保定·二模)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且P (A |B )=23，P (B |A )=56，P B =23.(1)求P A 和P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值α=0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，个性化错题本期末统考中的数学成绩合计及格不及格建立未建立合计(3)为进一步验证(2)中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k 的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为(2)中列联表中数据的k 倍，且新列联表中的数据都为整数).若要使得依据α=0.001的独立性检验可以肯定(2)中的判断，试确定k 的最小值参考公式及数据：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d，n =a +b +c +d .α0.010.0050.001x a6.6357.87910.82821(2024·浙江绍兴·模拟预测)书接上回.麻将学习小组中的炎俊同学在探究完问题后返回家中观看了《天才麻将少女》，发现超能力麻将和现实麻将存在着诸多不同.为了研究超能力麻将，他使用了一些”雀力值”和”能力值”来确定每位角色的超能力麻将水平，发现每位角色在一局麻将中的得分与个人值和该桌平均值之差存在着较大的关系.(注：平均值指的是该桌内四个人各自的“雀力值”和“能力值”之和的平均值，个人值类似.)为深入研究这两者的关系，他列出了以下表格：个人值与平均值之差x-9-6-30369得分y-38600-23100-10900+11800+24100+36700(1)①计算x ,y 的相关系数r ，并判断x ,y 之间是否基本上满足线性关系，注意：保留至第一位非9的数.②求出y 与x 的经验回归方程.③以下为《天才麻将少女》中几位角色的”雀力值”和”能力值”：角色宫永照园城寺怜花田煌松实玄雀力值249104能力值241636试估计此四位角色坐在一桌打麻将每一位的得分(近似至百位)(2)在分析了更多的数据后，炎俊发现麻将中存在着很多运气的成分.为衡量运气对于麻将对局的影响，炎俊建立了以下模型，其中他指出：实际上的得分并不是一个固定值，而是具有一定分布的，存在着一个标准差.运气实际上体现在这一分布当中取值的细微差别.接下去他便需要得出得分的标准差.他发现这一标准差来源自两个方面：一方面是在(1)②问当中方程斜率b 存在的标准差Δb ；另一方面则是在不影响平均值的情况下，实际表现“个人值”X 符合正态分布规律X ~N μ,σ2 .(μ为评估得出的个人值.)已知松实玄实际表现个人值满足P X >10.5 =0.02275，求(1)③中其得分的标准差.(四舍五入到百位)(3)现在新提出了一种赛制：参赛者从平均值为10开始进行第一轮挑战，之后每一轮对手的”雀力值”和”能力值”均会提升至原来的43.我们设进行了i 轮之后，在前i 轮内该参赛者的总得分为E X i ；若园城寺怜参加了此比赛，求ni =1E X i2i参考数据和公式：①7i =1x i y i =1029000；7i =1y 2i =4209320000.②相关系数r =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2ni =1y i -y2；经验回归方程y =b x +a ，b =ni =1x i -x y i -yni =1x i -x2，a =y -b ⋅x；Δbb=1r 2-1n -2，其中n 为回归数据组数.③对于随机变量X~Nμ,σ2，Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.④x <<1时，1+xα≈1+αx，α∈R；⑤对间接计算得出的值f=xy有标准差Δf满足Δff=Δx x 2+Δy y 2.⑥13136≈3.2×10-4；6.8≈2.6；2946524≈1715×1+9×10-422(2024·江苏南通·模拟预测)“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动. 某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为止，求该顾客取到写有B卡片的概率.(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前k1≤k<n条灯谜，自第k+1条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设k=tn，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P.①若n=4，k=2，求P；②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k+1k+1+⋯+1n-1=ln nk)23(2024·安徽·模拟预测)某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为12，每次答题是否答对互不影响.(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．(2)记甲第i次答题所得分数X i i∈N*的数学期望为E X i．(ⅰ)求E X1，E X2，E X3，并猜想当i≥2时，E X i与E X i-1之间的关系式；(ⅱ)若ni=1E X i>320，求n的最小值．24(2024·辽宁·模拟预测)某自然保护区经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加.已知这种动物P 拥有两个亚种(分别记为A 种和B 种).为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100个动物P ，统计其中A 种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次，记第i 次试验中A 种的数目为随机变量X i i =1,2,⋯,20 .设该区域中A 种的数目为M ，B 种的数目为N (M ，N 均大于100)，每一次试验均相互独立.(1)求X 1的分布列；(2)记随机变量X =12020i =1X i.已知E X i +X j =E X i +E X j ，D X i +X j =D X i +D X j (i )证明：E X =E X 1 ，D X =120D X 1 ；(ii )该小组完成所有试验后，得到X i 的实际取值分别为x i i =1,2,⋯,20 .数据x i i =1,2,⋯,20 的平均值x =30，方差s 2=1.采用x和s 2分别代替E X 和D X ，给出M ，N 的估计值.(已知随机变量x 服从超几何分布记为：x ∼H P ,n ,Q (其中P 为总数，Q 为某类元素的个数，n 为抽取的个数)，则D x =nQ P 1-QPP -nP -1 )25(2024·广东广州·一模)某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由n (n ≥3,n ∈N *)位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知A 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为34和12，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.(1)若n =3，用X 表示A 团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X 的均值；(2)记A 团队第k (1≤k ≤n -1,k ∈N *)位成员上场且闯过第二关的概率为p k ，集合k ∈N *p k <3128中元素的最小值为k 0，规定团队人数n =k 0+1，求n .26(2024·广东深圳·二模)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件A =“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B =“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P B <1，证明：P A B >P A B．27(2024·湖南·二模)某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为12，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X ，已知X 的分布列如下：(其中a >0,0<p <1)X0123Pa (1-p )2apa a 1-p(1)记事件A i 表示王同学假期三天内去运动场锻炼i 次i =0,1,2,3 ，事件B 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p =12时，试根据全概率公式求P B 的值；(2)是否存在实数p ，使得E X =53若存在，求p 的值：若不存在，请说明理由；(3)记M 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”，0<P M <1.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明：P M ∣N >P M ∣N.28(2024·山东济南·二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为14.例如在1秒末，粒子会等可能地出现在1,0,-1,0,0,1,0,-1四点处.(1)设粒子在第2秒末移动到点x,y，记x+y的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望E X ；(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为p n.(i)已知nk=0(C k n)2=C n2n求p3,p4以及p2n；(ii)令b n=p2n，记S n为数列b n的前n项和，若对任意实数M>0，存在n∈N*，使得S n>M，则称粒子是常返的.已知2πnnen<n!<6π 142πn n e n，证明：该粒子是常返的.29(2024·山东潍坊·二模)数列a n 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a n +1-a n 称为a n 的一阶差数列，记为a 1 n ，依此类推，a 1 n 的一阶差数列称为a n 的二阶差数列，记为a 2n ，⋯．如果一个数列a n 的p 阶差数列a pn 是等比数列，则称数列a n 为p 阶等比数列p ∈N * ．(1)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1．(ⅰ)求a 1 1，a 1 2，a 13；(ⅱ)证明：a n 是一阶等比数列；(2)已知数列b n 为二阶等比数列，其前5项分别为1,209,379,789,2159，求b n 及满足b n 为整数的所有n 值．。

双基限时练(十)基 础 强 化1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]解析 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，其对称轴为t ＝－12∈[－1,1]，∴当t ＝－12时，y min ＝－54，当t ＝1时，y max ＝1，∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. 答案 C2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，故排除C 、D.A 中y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2可化简为y＝cos2x ，满足在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减．答案 A3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π4 B ．x ＝－π2 C ．x ＝π8D ．x ＝5π4解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的对称轴是2x ＋π2＝k π＋π2(k ∈Z )，∴2x ＝k π，x ＝k π2. 当k ＝－1时，x ＝－π2. 答案 B4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )A.π8 B.π4 C.π2D ．π解析 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的最小正周期为π2，相邻的两条对称轴间的距离为半个周期，即为π4.答案 B5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为2π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝－π6对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于直线x ＝－π3对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称解析 ∵f (x )的最小正周期为2π，∴ω＝1.∵y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，对称中心为其图象与x 轴的交点．∴通过代入验证可知B 正确． 答案 B6．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |解析 注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①、②，选B.答案 B函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________．解析 函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的ω＝2，故最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π. 答案 π8．三角函数值sin1，sin2，sin3的大小顺序是________． 解析 ∵sin2＝sin(π－2)，sin3＝sin(π－3)， 且0<π－3<1<π－2<π2，函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，∴sin(π－2)>sin1>sin(π－3)>0， 即sin2>sin1>sin3. 答案 sin2>sin1>sin3能 力 提 升9．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的值域为________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴－π4≤3x －π4≤3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.∴y ∈[－2，2]．答案 [－2，2]10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )最大时x 的集合． 解析 (1)由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．(2)当2x －π4＝π2＋2k π，k ∈Z 时， f (x )取最大值1.此时x ＝3π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )最大时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R ， (1)求f (0)的值．(2)试求使不等式f (x )>1成立的x 的取值范围．解析 (1)f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2sin π6＝－1.(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6>1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6>12.∴2k π＋π6<13x －π6<2k π＋56π，k ∈Z . ∴6k π＋π<x <6k π＋3π，k ∈Z ， 故满足不等式f (x )>1的x 的集合为 {x |6k π＋π<x <6k π＋3π，k ∈Z }．12．已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b ，a ＞0. (1)写出函数f (x )的单调递减区间；(2)设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最小值－2，最大值为3，求实数a ，b 的值． 解析 (1)2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， ∴k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32≤sin(2x －π3)≤1，∵a >0.∴f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2，f (x )max ＝a ＋b ＝ 3. ∴a ＝2，b ＝－2＋ 3.品 味 高 考13．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值是( )A ．－1B ．－22 C.22D ．0解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为－22.答案 B。

高中数学新课程精品限时训练（三十三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 已知集合02x A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}3B y y x ==-，则()A B =R I ð（ ）.（A ）()(),02,-∞+∞U （B ）(]0,2（C ）(][],02,3-∞U （D ）[]0,3（2）已知i 是虚数单位，若()222+5+6i z a a a a =---（a ∈R ）表示纯虚数，则a 的值为（ ）. （A ）2或3 （B ）2或1-（C ）2 （D ）1-（3）已知a ，b 的夹角是120︒，且()2,4=--a ，5=b ，则a 在b 上的投影等于（ ）.（A ）52-（B ）5- （C ）25 （D ）52（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d >，()()85950S S S S --<，则（ ）. （A ）78a a > （B ）78a a < （C ）78a a = （D ）70a = （5） 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()12f -= 则()()()122017f f f +++L 的值为（ ）.（A ）1 （B ）0 （C ）2- （D ）2 （6）《 九章九术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）.2C 1B 1CBAA 12（A ）83（B ）2 （C ）2 （D ）22（7）若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ）. （A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）b a c >> （D ）b c a >>（8） 公元263年左右，我国数学家刘徽创立了“割圆术”，并利用“割圆术”得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.右图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（参考数据：3 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin7.50.13︒≈）（ ）. （A ）48 （B ）36 （C ）24 （D ）12（9）已知()()2ln 1 00x x f x x ax x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩…，且()()2x g x f x =+有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.输出nn =2×nn =6S =12×n ×sin 360°n开始S>3.10?结束是否（A ）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）[)1,+∞ （C ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）(]0,1（10）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（11）设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点()()t f t ，处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的图像大致为（ ）.（12） 已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）.（A ）()22e 3,e 1-+ （B ）()2e 3,-+∞ （C ）()2,2e 2-∞+ （D ）()222e 6,2e 2-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）如果实数x ，y 满足不等式组302301x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩…?…目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为___________.xyOA ()B ()xyO C ()OyxD ()xyO侧（左）视图正（主）视图俯视图21113（14）设圆()()22:211C x k y k -+-+=，若直线:310l x ty +-=截圆C 所得的弦长与k 无关，则t = .（15）如右图所示矩形ABCD 边长1AB =，4AD =，抛物线顶点为边AD 的中点B ，且B ，C 两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ．（16）已知数列{}n a 为等比数列，且20152017πa a =+，则()201620142018a a a +的最小值为 .限时训练（三十三）答案部分EDCBA一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDBBCCBCABAA二、填空题13. 2 14.32- 15. 2316. 22π解析部分（1） 解析 依题{}02A x x =＜＜，{}3B y y =…画图 .故选C.评注 集合的交集、并集、补集等运算，集合间的关系以及集合的子集都是考查的热点，集合的考查属于基础题，它常与方程，不等式结合起来考，一般都属于送分题.解决集合的基本运算问题，还可以根据选项之间的差异利用特殊值法，数轴法进行排除确定正确选项.（2）解析 依题有：222=05+60a a a a ⎧--⎨-≠⎩⇒2123a a a a ==-⎧⎨==⎩或或.故选D. （3）解析 由向量模的公式可得a ，再由向量投影的概念可得a 在b 上的投影等于cos120︒a ． 故选B.（4）解析 依题()()67867890a a a a a a a +++++＜，即()()()7787783260a a a a a a +=+＜，又因为P ，所以70a ＜，80a ＞，且78a a ＜.故选B.（5） 解析 因为()()2f x f x =-，所以函数关于1x =对称，()()2f x f x -=，()()222f x f x --=+，即()()2f x f x -=+，又因()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x ==-+-，所以()()()24f x f x f x -+=+=， 即()f x 是周期为4的奇函数，()00f =，()()112f f --=-=，()()200f f ==，()()231f f =-=()()400f f ==，()()()()()120175041420172f f f f f +⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅++=-⎡⎤⎣⎦.故选C.（6）解析 依题有：设AC x =，则24BC x =-，23则()()1122222241224244=33323B A ACC x x V x x x x -⎡⎤-⎢⎥=⨯⋅-=-⎢⎥⎣⎦…，即224x x =-.2x =时取最大值，所以111122222ABC A B C V Sh -==⨯⨯⨯=.故选C. （7）解析 依题，因为π2π2<<，所以0sin 21＜＜，213log 0b =＜，11321122log log c =＞，即c a b >>.故选B.（8）解析 6n =，333sin 602S =︒=；12n =，6sin303S =︒=； 24n =，12sin15120.2588 3.1086 3.10S =︒=⨯=＞.所以24n =.故选C.（9）解析 ()()2x g x f x =+有三个零点，即()()02x g x f x =+=，()2x f x =-，即函数()y f x =与2x y =-有3个交点，当0x <时，有1个交点，当0x ≥时，22xx ax -=-在[)0,+∞上有2个交点，即方程有2个正根，121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩，得12a >，故选A ．（10）解析 由俯视图知，底面积12222S =⨯⨯=，高21323h =-=， 所以1123233V Sh ==⨯⨯=.故选B. （11）解析 依题()cos f x x x '=，()cos f t t t '=，即()cos k g t t t ==，可知()g t 为奇函数，根据题中图像可排除B ，C ，又因为当0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，()0g t >.故选A ． （12）解析 由()10f =得2e 10a b -+-=，又()22e2xf x ax b '=-+，令()()222e 21e x g x f x ax a '==-++-，即()0g x =在()0,1内有２个零点，所以()22212e e 1xa x -=-+，当12x =时，222e e 10x -+<，所以只需()()0010g g >⎧⎪⎨>⎪⎩．故选A ．（13）解析 作出可行域：目标函数从而变形为y kx z =-由题可知06z 剟，即函数y kx z =-的截距范围是[]6,0-，根据线性规划的知识则有可知2k =.评注 本题的关键是求出不等式组表示的可行域，理解代数式是表示直线的意义，然后在进行求解，此类题先画出不等式组表示的可行域，然后理解代数式的意义来求解.（14）解析 由题知，圆心21x ky k =⎧⎨=-⎩即圆心轨迹为21y x =-，又因为圆心与直线l 距离与tan()3πα-无关，即圆心轨迹与l 平行，所以32t -=，即32t =-.（15）解析 以E 为原点，AD 的垂直平分线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，可得24y x =.隐影部分面积为：108223xdx =⎰，矩形的面积为4：，所求概率为82343=.（16）解析 由题只()()222015201722201620142018201620142016201420152017π22a a a a a a a a a aa++=⋅+⋅=+=…，故答案为2π2.4-7-6-1-2-34-5-4321123-45-54-3-2-1ABCOx y y=3-xy=x 2-32x=1y=2x -6y=2x。

限时训练（三十四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}2|30M x x x=+<，{}2|1N x x=…，则图中阴影部分表示的集合为（）. （A）[1,1)-（B）(31)--，（C）(3][1,-∞--+∞U，）（D）(3,1]-（2）复数1i1i-+（i是虚数单位）的虚部为（）.（A）1-（B）1（C）i-（D）i（3）如果实数x，y满足10201x yx yx-+⎧⎪+-⎨⎪+⎩≤≤≥0，则目标函数4z x y=+的最大值为（）.（A）2（B）3（C）72（D）4（4）执行如图所示的程序框图，当输入1a=，9n=时输出的结果等于（）.（A）253（B）1024（C）2045（D）4093（5）表达式22ππlog sin log cos1212+的值为（）.（A）2-（B）1-（C）12（D）1（6）设数列{}n a是以2为首次，1d=的等差数列，而数列{}nb是一个首次为1，2q=的等比数列，则1210b b ba a a+++=L（）.（A）1033（B）1034（C）2057（D）2058（7）函数5()|21|xx=-的图像为（）.（A）（B）（C）（D）（8）如图所示，ABC△中，90BCA=︒∠且4AC BC==，点M满足3BM MA=u u u u r u u u r，则CM CB⋅=u u u u r u u u r（ ）.（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）6（9）一个几何体的三视图如下图所示，其正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）.（A ）12π （B ）3π （C ）43π （D ）123π（10）函数()f x 是定义在R 上的可导函数，若()(2)f x f x =-，且当(1)x ∈-∞，时(1)0x f x -⋅'<（）.设(0)a f =，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(3)c f =，则（ ）.（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）b c a <<（11）已知点P 是双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线的左右焦点，I 为12PF F △的内心，若存在关系，12122IF F IPF IPF S S S =+△△△成立，则双曲线的离心率为（ ）.（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（12）在等差数列{}n a 中，0n a >且21384a a a a ++=则310a S ⋅的最大值（ ）.（A ）3754 （B ）2754 （C ）4254 （D ）4758二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）函数25()10(0)f x x x x=++<的最大值为________. （14）函数2()lg f x x x x =-+-的零点个数为________个.（15）已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像关于直线π3x =对称.且π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值是________.（16）吴敬，字信民，号主一翁，浙江仁和人.曾任浙江布政使司幕府，中国明代景泰年是数学家，著有《九算算法比类大全》一书，书中有这样的一道题目：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一.请问塔顶几盏灯？塔顶灯数为________.限时训练（三十四）答案部分一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACCAABCBCDA二、填空题13. 0 14. 1 15.2 16. 3解析部分（1）解析 对于M ：(3)030x x x +<⇒-<<，对于N ：2111x x ⇒-剟?.阴影部分表示集合M 中除M N I 的部分，画数轴分析，即31x -<<-.故选B评注 本题应注意，阴影中没有1x =-，容易出现D 这个错误选项.（2）解析 解法一：2221i (1i)12i i 2ii 1i (1i)(1i)1i 2---+-====-++--.故选A. 解法二：21i i i i(1i)i 1i 1i 1i----+===-+++.故选A. （3）解析 由约束条件得可行域如图所示，经分析易知：当取点A 时，目标函数取最大值.1013,2022x y A x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨ ⎪+-=⎝⎭⎩，所以13744222z x y =+=⨯+=.故选C. （4）解析 1k =，1a =；2k =，5a =； 3k =，13a =；4k =，29a =； 5k =，61a =； 6k =，125a =； 7k =，253a =； 8k =，509a =； 9k =，1021a =；10k =，2045a =， 109n >=，所以输出结果为2045.故选C.（5）解析 原式222ππ1π1log sincos log sin log 21212264⎛⎫⎛⎫=⋅===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A. （6）解析 由题意得112(1)11122n n n n a n n b --=+-⋅=+=⋅=，， 所以11221n n n b a a --==+.所以原式101(21)10103321⋅-=+=-.故选A. （7）解析 1221|21|x xxxx y y y =−−−−→=-−−−−−−−−→=-向下平移保留轴上方的图像个单位把轴下方的图像翻折上去. .故选B.（8）解析 ()CM CB CB BM CB ⋅=+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r .解法一：易知33||||423244BM BA =⋅=⋅=u u u u r u u u r ，3π4BM CB ⋅=u u u u r u u u r 〈〉.所以223||||||cos π=4CM CB CB BM CB CB BM CB ⋅=+⋅=+⋅⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r216324161242⎛⎫+⋅⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选C.解法二：如图所示建立平面直角坐标系.则(0,0)C ，(4,0)A ，(0,4)B ，设点M 的坐标为(,)x y .则(,4)BMx y=-u u u u r，(4,)MA x y=--u u u r，所以3(4)3(3,1)43()1x x xMy y y=-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨-=-=⎩⎩.所以(3,1)CM=u u u u r，(0,4)CB=u u u r.所以30144CM CB⋅=⨯+⨯=u u u u r u u u r.故选C.（9）解析由题意得，几何体的立体图如图所示.其中PA⊥底面ABCD，设外接球半径为R.则2||3||3R PC PA===，所以32R=，所以223443π2S R⎛⎫=π=π=⎪⎪⎝⎭球.故选B. （10）解析由()(2)f x f x=-可知()f x是关于1x=对称的图形.而(1)-∞，时(1))00()x f x f x f x-'<⇒'>⇒（（）在(1)-∞，上单调递增，本题可类想成一个二次函数2()(1)f x x=--，则离对称轴1x=越近值越大，反之越小.则易知c a b<<.故选C. （11）解析如图所示，设内切圆半径为r，则由题意得，12121||112||||222F F rPF r PF r⋅⋅=⋅+，所以12121||||||222cPF PF F F a c ea-=⇒=⇒==.故选D.（12）解析由题意得，设公差为d，则213844443334333()a a a a d a d a d a a d a d++=-+-++==+=+，所以3433a d a+=⇒=，所以31044()(1015)a S a d a d⋅=-⋅+(3)(3015)d d=-+2151590d d=-++.所以当15122152bda=-=-=⨯-（）时，()310max151537590424a S⋅=-++=.故选A.（13）解析解法一：2525()102()100f x x x x x-=-+--⋅-=--≥. 所以()0f x ≤ 所以max ()0f x =.解法二：25()10f x x x -=-+--222555()20x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--⋅=-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭…， 所以()0f x „，所以max ()0f x =.（14）解析 本题实际在问函数21y x x =-+和2lg y x =的两个图像的交点个数，如图所示，故只有一个交点，即()f x 只有一个零点.（15）解析 由题意可知π,012⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心. 由于相邻对称轴与对称中心之间间隔14个周期，设周期为T ， 则maxπππ2ππ243124T T ωω⎛⎫=-=⇒π⇒⇒⎪⎝⎭剟?，所以min 2ω=. （16）解析 本题即一个首项为1a ，公比为2的等比数列，前7项和381，求1a .则()71112381312a a -=⇒=-.。

限时训练（二十）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．sin 240o的值为（ ）.AB ．12C ．12- D．- 2．已知双曲线C ：22214x y b -=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为（ ）. A ．12B．2 C．2 D．23．执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（ ）.A ．21B ．32C ．34D ．644．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使得()tan αβ+=tan α+tan β，则下列命题为真命题的是（ ）. A ．p q ∧ B ．()p q ∨⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝5．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 6．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}na 的通项公式为（ ）.A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n -7．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x …成立的概率为（ ）. A ．425B ．12C ．23D ．18．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积为（ ）. A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中的横线上． 9．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 10.已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．11．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y km 与刹车时的速度x km /h 的关系可以 用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离 为b km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b km ，则这辆车的行驶速度12．在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为3212x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和242x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 13. 一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 ．14.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o，则0x 的取值范围是 .限时训练（二十）答案部分一、选择题二、填空题9.10. 3- 11.12. 1 13.1614. []1,1- 解析部分1. 解析 ()sin 240sin 18060sin 602=+=-=-o o o o .故选D. 2. 解析 由题可得216914b -=，解得23b =，所以2227c a b =+=，所以2c e a ==. 故选C.3. 解析 1x =，2y =，220z =<→2x =，2y =，420z =<→2x =，4y =，820z =<→4x =，8y =，3220z =>→输出32z =.故选B.4. 解析 因为x ∈R 时，20x …，所以命题p 是假命题；当tan 0α=或tan 0β=时，都有()tan tan tan αβαβ+=+，所以命题q 是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题.故选C.5. 解析 由题可得{}15B x x =-<< ，若A B ⊆，则有2125a a --⎧⎨+⎩……，解得13a剟.故选A.6. 解析 因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+.又因为14n a +=，所以{}1n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，所以221n n a =-．故选D.7. 解析 令()0f x …，得2230x x -++…，解得1x -…或13x-剟，所以当[]01,3x ∈-时，()00f x …，根据几何概型知成立的概率()()311442P --==--. 故选B.8. 解析 由()3233f x x ax bx =++可得()2363f x x ax b '=++.因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0f x '=有两个根1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈.又因为()f x '的图像开口向上，所以有()()()()10001020f f f f '-⎧⎪'⎪⎨'⎪⎪'⎩…………，即2102144a b b a b a b -⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪+-⎩…………，对应的可行域如图阴影部分所示，所以点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积111111121121222222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.9. 解析 221i i i 1i i iz --===--，所以z 10. 解析 ()()2,11,1x y +=++=-a b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3x y +=-.11. 解析 由题意可得3600b a =，所以33360010800b a a =⨯=，所以这辆车的行驶速度/h x ==.12. 解析 曲线1C 和2C 的直角坐标系方程分别为20x y --=和28x y =，联立方程2208x y x y--=⎧⎨=⎩，消去y ，整理得28160x x -+=，解得4x =，所以1C 和2C 的交点只有1个. 13. 解析 由三视图可知该几何体是底面为直角三角形，高为1的倒置的三棱锥，将其放入正方体中如图所示，所以111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.414. 解析 解法一：如图所示，在圆O 上任取一点N ，连接ON ，在OMN △中，由正弦定理得sin sin ON OMOMN ONM =∠∠，即sin sin ON ONM OM ONM OMN∠==∠∠.又因为3π0,4ONM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，故(OM ∈，即2012x +…，得011x -剟，所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：过点M 作圆O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，如图所示，则)45,90OMQ ⎡∠∈⎣o o，所以sin sin 452OMQ ∠=o…又在Rt OMQ △中，1sin OQ OMQ OM OM ∠==，所以12OM …，即OM …11x -剟，即0x 的取值范围是[]1,1-.1CA。

双基限时练(三十)基 础 强 化1．已知sin θ＝35，且π2<θ<3π2，则cos θ2的值为( )A.1010 B.31010C ．±1010D ．±31010解析 ∵sin θ＝35>0，π2<θ<3π2，∴θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. ∴cos θ＝－45，∴cos θ2＝1＋cos θ2＝1010. 答案 A2．下列各式中，值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．2cos 2π12－1 C. 1＋cos30°2D.tan22.5°1－tan 222.5°解析tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12.故选D. 答案 D3．已知2sin θ＝1＋cos θ，则cot θ2的值为( )A. 2B.12C.12或0 D. 2或0解析 当cos θ＝－1时，经检验满足2sin θ＝1＋cos θ，∴sin θ＝0，cot θ2＝sin θ1－cos θ＝0；当cos θ≠－1时，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝12.∴cot θ2＝2.故选D.答案 D4．若θ是第二象限的角，且cos θ2<0，则1－sin θsin θ2－cosθ2的值是( )A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析 θ是第二象限的角，且cos θ2<0，∴2k π＋54π<θ2<2k π＋32π，k ∈Z .∴cos θ2>sin θ2. 1－sin θsin θ2－cosθ2＝cos 2θ2－2sin θ2cos θ2＋sin2θ2sin θ2－cosθ2＝cos θ2－sinθ2sin θ2－cos θ2＝－1，故选A.答案 A5．化简1＋cos2αtan α2－cotα2，其结果为( )A ．－12sin2αB.12sin2α C ．－2sin2αD. 2sin2α解析 原式＝1＋cos2αsin α2cos α2－cos α2sinα2＝2cos 2α·si n α2cosα2sin 2α2－cos 2α2＝cos 2α·sin α－cos α＝－12sin2α.答案 A6．化简cos π4＋x －sin π4＋xcos π4＋x ＋sin π4＋x的结果为( )A ．tan x2B ．tan2xC ．cot xD ．－tan x解析 原式＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝tan(－x )＝－tan x .答案 D7．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos α－π2的结果为________．解析 ∵－3π<α<－5π2，∴－3π2<α2<－5π4，1－cos α－π2＝1＋cos α2＝－cos α2. 答案 －cos α28．已知sin α＝－817，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则 sin α2＝__________，cos α2＝________，tan α2＝________.解析 ∵π<α<3π2，∴cos α＝－1517.∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2＝41717. cos α2＝－1＋cos α2＝－1717. tan α2＝sin α2cosα2＝－4.答案41717 －1717－4 能 力 提 升9．函数y ＝3sin x ·cos x ＋3cos 2x －32的最大值为______．解析 y ＝32sin2x ＋3·1＋cos2x 2－32＝32sin2x ＋32cos2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴y 的最大值为 3.答案 310．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π.求： (1) tan θ；(2) 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.解析 (1)由tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝2或tan θ＝－22. ∵π<2θ<2π，则π2<θ<π，∴tan θ＝－22.(2)原式＝1＋cos θ－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，∴原式＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝3＋2 2.11．已知m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，0∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8的值． 解析 |m ＋n |＝cos θ－sin θ＋22＋cos θ＋sin θ2＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋12＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝21＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝825， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝725.∵θ∈(π，2π)，∴θ2＋π8∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，9π8. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π8＝－ 1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π42＝－1＋7252＝－45.12．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2＋23cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α2－3，α为常数．(1)求函数f (x )的周期；(2)若0≤α≤π时，求使函数f (x )为偶函数的α值． 解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋α)＋3[cos(2x ＋α)＋1]－ 3 ＝sin(2x ＋α)＋3cos(2x ＋α) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋α＋π3.∴f (x )的周期T ＝2π2＝π.(2)要使函数f (x )为偶函数，只需α＋π3＝k π＋π2，(k ∈Z )，即α＝k π＋π6，(k ∈Z )．∵0≤α≤π，∴α＝π6.品 味 高 考13．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析 ∵sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝23， ∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1－232＝16.答案 A。

限时训练（五十）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位，若()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数z =（ ）. A.13+i 22 B.13i 22- C.31+i 22 D.31i 22- 2. 已知全集{}12345U =，，，，，集合{}125A =，，，{}135U B =，，ð，则A B U 为（ ）. A.{}2 B.{}5 C.{}1245，，， D.{}345，， 3. 已知实数14x y z --，，，，成等比数列，则xyz =（ ）. A.8- B.8±C.-D.±4. 已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长）.A.43π B.2π C.83π D.103π 5. 在区间[]0,π上随机取一实数x ，使得1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为（ ）.A.1π B.2π C.13 D.236. 若实数x y ，满足10530330x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪++⎩………，则2z x y =-的最小值（ ）.A.3B.1C.6D.6-7. 有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A B C D ，，，四名同学对于谁获得特等奖进行预测. A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说:3号不可能获得特等奖；C 说: 4，5，6号不可能获得特等奖； D 说；能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A B C D ，，，中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学.A.1B.2C.3D.4,56，号中的一个 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）. A.2 B.1 C.1- D.2-俯视图侧视图正视图9. 已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>,，则该双曲线的离心率等于（ ）.C.2D.10. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图像大致为（ ）.11. 已知向量()31OA =u u u r ，，()13OB =-u u u r ，，()0,0OC mOA nOB m n =->>u u u r u u u r u u u r，若[]12m n +，ä，则OC u u u r 的取值范围是（ ）.A. B. C. D.12. 已知函数()e xf x ax =-有两个零点1x ，2x ， 12x x <，则下面说法正确的是（ ）. A.122x x +< B.e a <C.121x x >D.有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13. 已知tan 2θ=，则sin cos θθ= .14. 设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则实数a 的值为 .15. 已知点()30M -，，()30N ，，MNP △的周长是16，则MNP △的顶点P 的轨迹方程为 . 16.各项均为正数的数列{}n a 的前项和为n S ，且n S 满足()()221110n n n n S n n S +++--=()*n Nä，则122017S S S +++=…__________．A.B.C.限时训练（五十）答案部分一、选择题二、填空题13. 25 14.3 15. ()22102516x y y +=≠ 16. 20172018解析部分1.解析 由题可得()()2i 1i 2i 13i 1i 222z +++===+-，所以13i 22z =-.故选B. 2.解析 由题得{}2,4B =，所以{}1,2,4,5A B =U .故选C. 3.解析 由题得2xz y =，24y =，且0y <，所以8xyz =-.故选A.4.解析 由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1，高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=.故选A. 5.解析 当0,,66x π5π⎡⎤⎡⎤∈π⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 时，1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2163P π⨯==π.故选C. 6.解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示，当直线2y x z =-的截距最大时，z 最小，联立5302330x y y -+=⎧⎨++=⎩，解得3x y =-⎧⎨=⎩，所以()min 236z =⨯-=-.故选A.7.解析 由题可得C 和D 所说的互相矛盾，故一真一假.若C 为假，则D 为真，同时B 为真；若C 为真，则D 为假，A,B 都为假，由此可从B 的话判断获特等奖的是3号同学.故选C.8.解析 10,1,21,2,2i S A i S A ===→===→2,1,1i S A ===-→13,1,24,2,5,1,12i S A i S A i S A ==-=→==-=→==-=-→6,1,2i S A ===，由此可得S 的值以6为周期循环，循环体为1,2,1,1,2,1---.因为i 的初始值为0，2016i =时结束循环，且2017=63361⨯+，所以1S =.故选B.9.解析由题可得ba =e ==故选B.10.解析 令()()ln 11g x x x x =--≠，则()1=x g x x-'，所以1x <时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，1x >时，()g x 单调递增，()f x 单调递减，排除B ，C.由()g x 先减后增可知()10g =为()g x 极小值.又1x ≠，所以()0g x >，所以()0f x >，排除D.故选A.11.解析 由题可得()3,3OC mOA nOB m n m n =-=+-u u u r u u u r u u u r，则OC ==u uu r 令t=OC u u u r .因为[]1,2m n +∈，在直角坐标系中表示如图阴影部分所示，则t=示区域中的点与原点的距离，分析可得22t ≤OC u u u r ≤≤.故选D.12.解析 因为11e xax =，22e x ax =，所以2121e x xx x -=.设21x t x =，则1t >，21x tx =，所以()11e t x t -=，所以1ln 1t x t =-，所以()12111212ln 2=11t t x x t x t t t +-⎛⎫+-=+-=-⨯ ⎪-+⎝⎭14ln 211t t t t +⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭.令()4ln 21g t t t =-++，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，所以()()10g t g >=，所以1220x x +->，即122x x +>.选项A 正确；方程()e xf x ax =-有两个不等的零点，即y a =与e x y x =有两个不同的交点.因为e xy x=的导函数()2e 1x x y x -'=，所以e xy x=在()0-∞，上单调递减且0y <，在()0,1上单调递减且e y >，在()1+∞，上单调递增且e y >，所以e a >且1201x x <<<.选项B错误；21211111ln 11x x tx t t ⎛⎫⎫-=-=+=⎪⎪ -⎭⎭⎝.令()ln h t t =-()2110h t t '==<，所以()()10h t h <=.10+>，所以1210x x -<，即121x x <.选项C 错误；由()e 0xf x a '=-=，得ln 1x a =>，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，所以()e xf x ax =-有极小值点0ln x a =.由11e xax =，22ex ax =，得11ln ln x a x =+，22ln ln x a x =+，因此12122ln ln ln x x a x x +=++，()12122ln ln ln10x x a x x +-=<=，所以1202ln 2x x a x +<=.选项D 正确.故选D.13.解析 222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθ===++. 14.解析 由题可得11y a x '=-+，0'12x y a ==-=，所以3a =.15.解析 由题可得点P 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆（去掉左右端点），且210a =，3c =，所以点P 的轨迹方程为()22102516x y y +=≠. 16.解析 将原式因式分解可得()()1110n n n n S S +-+=⎡⎤⎣⎦，又因为数列的各项为正数，所以()11111n S n n n n ==-++，所以12201711111223S S S +++=-+-++L L 1112017=12017201820182018--=.。