高中数学复习提升限时训练3(第4周)教师

章末复习课课时目标 1.灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换.2.体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力． 知识结构一、选择题1．tan 15°＋1tan 15°等于( )A ．2B ．2＋ 3C ．4 D.4332．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 3．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π 4．已知θ是第三象限角，若sin 4 θ＋cos 4 θ＝59，那么sin 2θ等于( )A.223 B ．－223 C.23 D ．－235．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)的最小正周期是________．8．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．9．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.10．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________. 三、解答题11．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π6－2cos 2π8x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值．能力提升13．函数f (x )＝sin xsin x ＋2sinx2是( )A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数14．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.本章所学内容是三角恒等变换的重要的工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．章末复习课作业设计 1．C2．A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103.]3．B [f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x ＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78∴T ＝2π4＝π2.]4．A [∵sin 4 θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59，∴sin 2 2θ＝89.∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0.∴sin 2θ＝223.]5．C [f (x )＝3sin ωx ＋cos ωt ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为函数y ＝f (x )的图象与y ＝2的两个相邻交点的距离为π，故函数y ＝f (x )的周期为π.所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得2k π－2π3≤2x ≤2k π＋π3，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．]6．C [∵m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝3sin C ＋cos C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝1.∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋C ＝12， ∴π6＋C ＝56π或π6＋C ＝π6(舍去)， ∴C ＝23π.]7．π解析 f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4)＝cos 2(π4－x )－sin 2(x －π4)＝cos 2(x －π4)－sin 2(x －π4)＝cos(2x －π2)＝sin 2x .∴T ＝π. 8．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)，∴y min ＝1－ 2. 9.4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136. ∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780.10．－17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π.∴sin 2α＞0.∴sin 2α＝1－cos 22α＝45.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17. 11．解 (1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310，f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x ，又－1≤sin x ≤1，所以f (x )的最大值为 5.12．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4(2－x )－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π3. 当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32. 13．A [由sin x ＋2sin x 2＝2sin x 2(cos x2＋1)≠0，得x ≠2k π，k ∈Z .∴f (x )定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }关于原点对称．∵f (x )＝sin xsin x ＋2sin x 2＝cosx 21＋cosx2.∴f (－x )＝cos (－x 2)1＋cos (－x 2)＝cosx 21＋cosx2＝f (x )．∴函数f (x )为偶函数．又f (x ＋2π)＝cos x ＋2π21＋cos x ＋2π2＝cos (π＋x 2)1＋cos (π＋x 2)＝－cosx 21－cos x 2≠f (x )．f (x ＋4π)＝cos x ＋4π21＋cos x ＋4π2＝cos (2π＋x 2)1＋cos (2π＋x 2)＝cosx 21＋cos x 2＝f (x )，∴函数f (x )以4π为周期．]14．－34解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π，(k ∈Z )∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

课时提升作业正弦函数的图像与性质基础巩固练习一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·哈尔滨高一检测)函数f(x)=cos(x+5π2)的奇偶性为( ) A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数【解析】选B.因为cos(x+5π2)=cos(x+π2)=-sinx,所以函数f(x)为奇函数.2.(2014·武汉高一检测)函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的简图是( )【解题指南】按照五点法作图的依据,依次观察各图像,符合要求的即是.【解析】选A.按五个关键点列表:观察各图像发现A项符合.3.(2014·防城港高一检测)设函数f(x)=sin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π,则f(x) ( )A.在(0,π2)上单调递减B.在(π4,3π4)上单调递减C.在(0,π2)上单调递增 D.在(π4,3π4)上单调递增【解析】选A.因为函数f(x)=sin (ωx +π2)(ω>0)的最小正周期为π,所以π=2πω,ω=2. 所以f(x)=sin (2x +π2),由2kπ+π2≤2x+π2≤2kπ+3π2,k ∈Z,可得kπ≤x≤kπ+π2,k ∈Z,当k=0时,函数f(x)=sin (2x +π2)在(0,π2)上单调递减.故选A.4.(2014·日照高一检测)函数y=13sinx-1的最大值与最小值的和是 ( )A.23B.-23C.-43D.-2【解析】选D.因为sinx ∈[-1,1],所以13sinx-1∈[−43,−23],所以-23+(−43)=-2. 【变式训练】函数y=sin 13x-1,x ∈[0,2π]的值域是 .【解析】因为x ∈[0,2π],所以13x ∈[0,2π3],所以sin 13x ∈[0,1],所以sin 13x -1∈[-1,0]. 答案:[-1,0]5.(2014·成都高一检测)函数y=sin(πx -1)的最小正周期是 ( ) A.2B.2πC.2πD.-1【解析】选A.T=2ππ=2.6.(2014·深圳高一检测)已知函数y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1,1],则b-a 的值不可能为 ( ) A.π2B.πC.3π2D.2π【解题指南】函数y=sinx 的最大值与最小值之间至少有半个周期,然后列不等式求解.【解析】选A.由于函数y=sinx 的最大值与最小值之间至少包含半个周期,故b-a≥T2=π,则选项A 不正确. 二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·大连高一检测)在“五点作图法”中,函数y=sinx-1的第四点是 . 【解析】当x=3π2时,y=sin 3π2-1=-1-1=-2,所以第四点为(3π2,−2).答案:(3π2,−2)8.方程(12)|x |=-sinx 在(−π,3π2)上的实根个数是 .【解题指南】作出函数的图像利用数形结合法求解. 【解析】y=(12)|x |与y=-sinx 的图像如图所示.由图像可以看出在(−π,32π)上共有3个不同的交点.答案:39.(2014·莆田高一检测)函数y=sinx 在区间[−3π2,a ]上是减少的,则a 的取值范围是 .【解析】因为函数y=sinx 在[−3π2,−π2]上是减少的,在[−π2,π2]上是增加的,所以只有-3π2<a≤-π2时满足条件. 答案:(−3π2,−π2]三、解答题(每小题10分,共20分)10.作出函数y=-sinx,x ∈[-π,π]的简图,并回答下列问题: (1)观察函数图像,写出满足下列条件的x 的区间: ①sinx>0;②sinx<0.(2)直线y=12与y=-sinx 的图像有几个交点? 【解析】作图,列表如下图像如图所示:(1)根据图像可知,图像在x 轴上方的部分sinx>0,在x 轴下方的部分sinx<0,所以当x ∈(-π,0)时,sinx>0;当x ∈(0,π)时,sinx<0.(2)画出直线y=12与y=-sinx 的图像,得知有两个交点.11.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈[0,π2]时,f(x)=sinx.(1)当x ∈[-π,0]时,求f(x)的解析式. (2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图. (3)当f(x)≥12时,求x 的取值范围. 【解析】(1)若x ∈[−π2,0],则-x ∈[0,π2].因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx. 若x ∈[−π,−π2),则π+x∈[0,π2),因为f(x)是最小正周期为π的周期函数, 所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx, 所以x ∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图如图所示:(3)x ∈[0,π],sinx≥12,可得π6≤x≤5π6,函数周期为π,因此x 的取值范围是kπ+π6≤x≤kπ+5π6,k ∈Z.能力提升训练一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·成都高一检测)函数y=sin (−12x −π4)的最小正周期是( )A.πB.π2C.4πD.2π【解析】选C.T=2π|−12|=4π.2.(2014·成都高一检测)函数y=sin (−12x −π4)的单调递减区间是 ( ) A.[−3π2+2kπ,π2+2kπ](k ∈Z) B.[−3π2+4kπ,π2+4kπ](k ∈Z)C.[−7π2+2kπ,−3π2+2kπ](k ∈Z)D.[−7π2+4kπ,−3π2+4kπ](k ∈Z)【解题指南】先化简函数,再根据正弦函数的单调性求复合函数单调区间. 【解析】选B.因为y=sin (−12x −π4)=-sin (12x +π4),所以所求函数的减区间是函数y=sin (12x +π4)的增区间,所以-π2+2kπ≤12x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,所以-3π2+4kπ≤x≤π2+4kπ,k∈Z.【举一反三】此题条件不变,求函数的单调增区间.【解析】所求函数的增区间是函数y=sin (12x +π4)的减区间,所以-3π2+2kπ≤12x+π4≤-π2+2kπ,k∈Z,所以-7π2+4kπ≤x≤-3π2+4kπ,k∈Z.【误区警示】在解不等式时,容易忘记“2kπ”乘以2导致结果错误. 3.(2014·重庆高一检测)函数y=2sin (x −π3)在区间[π6,5π6]上的值域是 ( )A.[-2,2]B.[−12,1]C.[-1,2]D.[-2,1] 【解析】选C.因为x ∈[π6,5π6],所以x-π3∈[−π6,π2],所以sin (x −π3)∈[−12,1],所以2sin (x −π3)∈[-1,2].4.(2014·潍坊高一检测)函数y=x+sin|x|,x ∈[-π,π]的大致图象是 ( )【解析】选C.函数y=x+sin|x|,x ∈[-π,π]既不是奇函数,也不是偶函数,因此其图象既不关于原点对称,也不关于y 轴对称.因此选C. 二、填空题(每小题5分,共10分)5.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且f(2)=1,则T= ,θ= . 【解析】由T=2ππ=2,f(2)=sin(2π+θ)=1,所以θ=π2. 答案:2π26.f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值是√2,则ω= . 【解析】函数f(x)的周期T=2πω, 因此f(x)=2sinωx 在[0,π2ω]上是增加的,因为0<ω<1,所以[0,π3]⊆[0,π2ω],所以f(x )在[0,π3]上是增加的,所以f (π3)=√2, 即2sin (π3ω)=√2,所以π3ω=π4,所以ω=34. 答案:34三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知ω是正数,函数f(x)=2sinωx 在区间[−π3,π4]上是增加的,求ω的取值范围. 【解析】由-π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ(k∈Z)得-π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω(k ∈Z).所以f(x)在区间[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k ∈Z)上是增加的. 据题意,[−π3,π4]⊆[−π2ω+2kπω,π2ω+2kπω](k ∈Z).从而当k=0时有{−π2ω≤−π3,π2ω≥π4,ω>0,解得0<ω≤32.故ω的取值范围是(0,32].8.(2014·鄂州高一检测)求y=2sin (−3x +π4)的单调递增区间和单调递减区间.【解题指南】利用函数y=sinx 的奇偶性先将函数y=2sin (−3x +π4)中x 的系数转化为正数,再结合函数y=sinx 的单调区间利用整体代换的方法求解单调区间. 【解析】y=2sin (−3x +π4)=-2sin (3x −π4)增区间:原函数的增区间就是函数y=sin (3x −π4)的减区间,所以由π2+2kπ≤3x -π4≤3π2+2kπ,k∈Z,得π4+23kπ≤x≤7π12+23kπ,k∈Z, 所以原函数的单调递增区间为 [π4+23kπ,7π12+23kπ],k ∈Z.减区间:原函数的递增区间就是函数y=sin (3x −π4)的减区间,所以由-π2+2kπ≤3x -π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+23kπ≤x≤π4+23kπ,k∈Z,所以原函数的单调递增区间为[−π12+23kπ,π4+23kπ],k ∈Z.。

建平中学2023-2024学年第二学期高三年级周练12024.0312三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)34519.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成n 组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[)65,75，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1）(2)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率；(3)已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？620.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分)已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 交抛物线于不同的,A B 两点. （1）若直线l 的方程为1yx =−，求线段AB 的长； （2）若直线l 经过点()1,0P −，点A 关于x 轴的对称点为A ′，求证：,,A F B ′三点共线； （3）若直线l 经过点()8,4M −，抛物线上是否存在定点N ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.7参考答案一、填空题8910111213二、选择题13．在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（ ） ①A ：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A ：“所取3件中有一件为次品”，B ： “所取3件中有二件为次品”； ③A ：“所取3件中全是正品”，B ：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A ：“所取3件中至多有2件次品”，B ：“所取3件中至少有一件是正品”； A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④B根据互斥事件的定义即可得到结果.在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件， ∴②中的两个事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的， ∴③中的两个事件是互斥事件，∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件，故选：B ．14．已知α，β是不同的平面，m ，n 是不同的直线，则下列命题不正确的是（ ） A ．若m ⊥α，m n ∥，n ⊂β，则α⊥β B ．若m n ∥，m αβ= ，则n α∥，n β C ．若m n ∥，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ⊥α，m ⊥β，则αβ∥B运用线面垂直的性质和面面垂直的判定定理即得A 项；满足B 项条件的图形有三种，故B 项错误；利用线面垂直的判定方法即得C 项；利用面面平行的判定方法即得D14三、解答题15161718192021222324。

“12＋4”限时提速练(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝m1－i ＋1－i 2(i 是虚数单位)的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 由已知z ＝m1－i ＋1－i 2＝m （1＋i ）2＋1－i 2＝（m ＋1）＋（m －1）i 2，则m ＋12＋m －12＝1，得m ＝1，故选C.2．设集合A 满足{a }⊆Aa ，b ，c ，d }，则满足条件的集合A 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 根据子集的定义，可得集合A 中必定含有元素a ，而且含有a ，b ，c ，d 中的至多三个元素．因此，满足条件{a }⊆Aa ，b ，c ，d }的集合A 有{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，b ，c }，{a ，c ，d }，{a ，b ，d }，共7个．3．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 2B ．4C ．－22或2 2D ．－4或4解析：选A ∵a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，∴a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，因此a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8，∴a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. 4．已知在平面中，A (1，0)，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，若，则λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2 解析：选C 由已知得，＝(1，3)，＝(1，0)，则＝(λ－2，3λ)，又点C 在第二象限，故λ－2＜0，3λ＞0，则0＜λ＜2，由于∠AOC ＝120°，所以cos ∠AOC ＝λ－2（λ－2）2＋3λ2＝－12，解得λ＝1，故选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率为( )A. 5B.52 C ．2 D.355解析：选A 双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，代入抛物线方程得，x 2±b a x ＋1＝0，∴Δ＝b 2a 2－4＝0，故e 2＝c 2a 2＝b 2a2＋1＝5，∴e ＝5，故选A.6．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.13πB.23πC.43πD.53π解析：选C 由已知三视图，可得这个几何体的直观图如图所示，则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积，即π×12×2－2×13×π×12×1＝43π，故选C.7．定义[x ]为不超过x 的最大整数，例如[1.3]＝1.执行如图所示的程序框图，当输入的x 为4.7时，输出的y 值为( )A ．7B ．8.6C ．10.2D ．11.8解析：选C 当输入的x 为4.7时，执行程序框图可知，4.7－[4.7]＝0.7，即4.7－[4.7]不等于0，因而可得y ＝7＋([4.7－3]＋1)×1.6＝10.2，输出的值为10.2，故选C.8.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0，若f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12x C ．2－x D ．－2x解析：选D 由图象可知，当x ＞0时，函数f (x )单调递减，则0＜a ＜1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x ，x ＜0，选D.9．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14，设(x ＋2)2＋(y ＋1)2的最小值为ω，则函数f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωt ＋π6的最小正周期为( ) A.2π3 B ．π C.π2 D.2π5解析：选D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，4x ＋3y ≤14作出可行域如图中阴影部分所示，(x ＋2)2＋(y ＋1)2的几何意义为可行域内的点与定点C (－2，－1)之间的距离的平方，其最小值为5，故f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫5t ＋π6，其最小正周期T ＝2π5，故选D. 10．已知函数y ＝f (x )对任意自变量x 都有f (x )＝f (2－x )，且函数f (x )在[1，＋∞)上单调．若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 6)＝f (a 2 011)，则{a n }的前2 016项之和为( )A ．0B ．1 008C ．2 016D ．4 032解析：选C ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又∵函数f (x )在[1，＋∞)上单调，且数列{a n }的公差不为0，f (a 6)＝f (a 2 011)，∴a 6＋a 2 011＝2，∴a 1＋a 2 016＝a 6＋a 2 011＝2，∴S 2 016＝2 016（a 1＋a 2 016）2＝2 016.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)及圆O ：x 2＋y 2＝a 2，如图过点B (0，a )与椭圆相切的直线l 交圆O 于点A ，若∠AOB ＝60°，则椭圆的离心率为( )A.33 B.12 C.32 D.13解析：选A 由已知，显然直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋a ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 3kx ＋a 2c 2＝0， ∴Δ＝4a 6k 2－4a 2c 2(b 2＋a 2k 2)＝0，结合图形解得k ＝c a ，即直线l 的方程为y ＝cax ＋a .故直线l 的斜率为ca ＝e ，由于∠AOB ＝60°，设AB 与x 轴交于点C ，则在Rt △OBC 中，∠OCB ＝30°，因而e ＝tan ∠OCB ＝33，故选A. 12．定义在(－1，1)上的函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－…－x 2 0162 016，设F (x )＝f (x ＋4)，且F (x )的零点均在区间(a ，b )内，其中a ，b ∈Z ，a ＜b ，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选A f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…－x2 015＝1－x 2 0161＋x＞0，因而f (x )在(－1，1)上单调递增，f (－1)＝(1－1)－12－13－…－12 016＜0，f (0)＝1＞0，因而函数f (x )仅有1个零点，且在(－1，0)内，那么F (x )＝f (x ＋4)也有1个零点在(－5，－4)内，故b －a 的最小值为1，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．某学校对该校参加第二次模拟测试的2 100名考生的数学学科的客观题解答情况进行抽样调查，可以在每个试题袋中抽取一份(每考场的人数为30)，则采取________抽样方法抽取一个容量为________的样本进行调查较为合适．解析：因为样本容量较大，且考生情况按照每考场抽取没有明显的层次性，又2 10030＝70，所以可以采用系统抽样的方法抽取一个容量为70的样本．答案：系统 7014．已知函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2，若图象上存在两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＞x 2)，使得f (x 1)－f (x 2)≤4(x 1－x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意可得，f (x )＝a ln x ＋x 2＋2x ＋1，f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)，由题意知，存在x ＞0，使得f ′(x )≤4成立，即存在x ＞0，使得a ≤－2x 2＋2x 成立，设g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －122＋12，其最大值为12，因而a ≤12. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 15．已知A ，B ，C 为球O 表面上的三点，这三点所在的小圆圆心为O 1，且AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，球面上的点P 在平面ABC 上的射影恰为O 1，三棱锥P -ABC 的体积为36，则球O 的表面积为________．解析：由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120°，知圆O 1的半径r ＝1，且S △ABC＝12×1×1×sin 120°＝34，设PO 1＝h ，球O 的半径为R ，因而V P -ABC ＝13×34×h ＝36，得h ＝2，R 2＝(h －R )2＋r 2，即R 2＝4－4R ＋R 2＋1，R ＝54，则球O 的表面积为4πR 2＝4π×2516＝25π4.答案：25π416．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．解析：法一：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式， 因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2. 又由已知得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝12n (n ＋1)b n ，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1，则(n ＋1)a n ＋1＝12(n ＋1)(n ＋2)b n ＋1－12n (n ＋1)b n ，∴a n ＋1＝b n ＋1＋n .a n ＋1－a n ＝b n ＋1－b n ＋1＝3，则2p ＝3，a 1＝－12.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －72.法二：由S n ＝pn 2－2n 可知，当n ＝1时，a 1＝p －2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2，a 1＝p －2适合上式， 因而对任意的n ∈N *，均有a n ＝2pn －p －2，a n ＋1－a n ＝2p ， 因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2，b 1＝a 1＝p －2， b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2，得2p ＝3，a 1＝－12.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72.答案：a n ＝3n －72。

双基限时练(四) 任意角的正弦函数、余弦函数的定义一、选择题1．sin270°的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.12答案 C2．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．－2 解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0. 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2. 答案 C3．如下图，直线l 的倾斜角为2π3，且与单位圆交于P 、Q 两点，则P 点的横坐标是( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析 cos 23π＝－12，选B. 答案 B4．点P (sin2014°，cos2014°)位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限 解析 2014°＝5×360°＋214°为第三象限角， ∴sin2014°<0，cos2014°<0. 答案 C5．若三角形的两个内角α，β满足cos α·sin β<0，此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况均有可能 解析 ∵α，β为三角形的内角，∴α，β∈(0，π)，∴sin β>0. 又cos α·sin β<0，∴cos α<0，故α∈(π2，π)，故三角形为钝角三角形． 答案 B6．若sin θ＜0，cos θ＜0，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第二或第四象限角解析 由sin θ＜0，cos θ＜0知θ为第三象限角，由数形结合可得θ2为二、四象限角．答案 D7．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ∈R 且a ≠0)，则cos α的值是( )A.22 B ．－22 C ．±22 D ．1解析 cos α＝a a 2＋a2＝a 2|a |.当a >0时，cos α＝22；当a <0时，cos α＝－22.答案 C 二、填空题8．设θ∈(0,2π)，点P (sin θ，cos θ)在第三象限，则角θ的取值范围是________．解析 由题意得sin θ<0，cos θ<0，又θ∈(0,2π)， ∴θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π，32π9．如果角α的终边过点(3a －9，a ＋2)，且cos α＜0，sin α＞0，那么α的取值范围是__________．解析 由cos α＜0，sin α＞0，得α的终边在第二象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9＜0，a ＋2＞0，即－2＜a ＜3. 答案 －2＜a ＜310．如果α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，那么sin α的值等于________．解析 ∵2sin30°＝2×12＝1，－2cos30°＝－2×32＝－3，∴α的终边过点(1，－3)， ∴sin α＝－312＋(－3)2＝－32. 答案 －32 三、解答题11．判断下面各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)sin 7π8·cos 7π8；(3)cos6·sin6. 解 (1)∵105°，230°分别为第二、第三象限角． ∴sin105°>0，cos230°<0，∴sin105°·cos230°<0.(2)∵π2<7π8<π，∴7π8是第二象限角． ∴sin 7π8>0，cos 7π8<0，∴sin 7π8·cos 7π8<0. (3)∵3π2<6<2π，∴6弧度的角为第四象限角． ∴cos6>0，sin6<0，∴cos6·sin6<0.12．若sin2θ>0且cos θ<0，试确定θ所在的象限． 解 ∵sin2θ>0，∴2k π<2θ<2k π＋π(k ∈Z )． ∴k π<θ<k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝2m (m ∈Z )时，2m π<θ<2m π＋π2(m ∈Z )． 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，2m π＋π<θ<2m π＋3π2(m ∈Z )； 故θ为第一或第三象限角．∵cos θ<0，∴2k π＋π<θ<2k π＋32π(k ∈Z )，∴θ在第三象限． 13．(1)已知角α的终边过点P (1,2)，求5sin α＋52cos α的值； (2)若角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α、cos α的值． 解 (1)∵角α的终边上有一点P (1,2)， ∴OP ＝12＋22＝5， sin α＝25，cos α＝15，5sin α＋52cos α＝25·5＋52×15＝52.(2)在角α的终边上任取一点(a,2a )(a ≠0)， 则|OP |＝a 2＋(2a )2＝5|a |.当a＞0时，sinα＝2a5|a|＝255，cosα＝a5|a|＝55；当a＜0时，sinα＝2a5|a|＝－255，cosα＝a5|a|＝－55.。

课时提升作业四简单曲线的极坐标方程一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·安庆高二检测)极坐标方程为(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线C.一条直线和一条射线D.一个圆和一条射线【解析】选D.极坐标方程为(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)即ρ=1或θ=π(ρ≥0),表示一个圆和一条射线.2.(2016·西安高二检测)在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是( )A.(1,π)B.C. D.(1,0)【解析】选C.由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圆心坐标为(0,1),化为极坐标为.【补偿训练】在极坐标系中,圆ρ=2sinθ的周长为( )A.πB.2πC.3πD.4π【解析】选B.由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,圆的半径为1,所以圆的周长为2π.3.(2016·成都高二检测)在极坐标系中,点到直线ρsin=-的距离是( )A.1B.C.D.【解析】选B.在极坐标系中,点的直角坐标为(1,1),直线ρsin=-即ρ=-,化为直角坐标方程为x-y=,即x-y-=0,由点到直线的距离公式,得d==.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·安阳高二检测)在极坐标系中,过点A引圆ρ=4sinθ的一条切线,则切线长为________.【解题指南】先将圆的极坐标方程转化为普通方程,将点的极坐标转化为直角坐标,再利用解直角三角形求其切线长.【解析】圆的普通方程为x2+(y-2)2=4,点A的直角坐标为(0,-4),点A与圆心的距离为|-4-2|=6,所以切线长为=4.答案:45.过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________.【解析】点P的直角坐标为(1,),所以经过该点垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x=1,化为极坐标方程为ρcosθ=1.答案:ρcosθ=1【补偿训练】过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是________.【解析】点P的直角坐标为(1,),所以经过该点平行于极轴的直线的直角坐标方程为y=,化为极坐标方程为ρsinθ=.答案:ρsinθ=三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C 的半径.【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,化简得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.令y=ρsinθ,x=ρcosθ,得x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.7.(2016·广安高二检测)求圆心为,半径为a的圆的极坐标方程.【解析】圆经过极点O,过圆和极轴的另一个交点,作极轴的垂线,交圆于点A,那么|OA|=2a,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A外的任一点,则OM⊥AM,在Rt△AMO 中,|OM|=||OA|cos∠MOA|,即ρ=2acos或ρ=2acos,所以ρ=-2asinθ,可以验证点O(0,0),A的坐标满足上式,所以所求极坐标方程是:ρ=-2asinθ.8.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=,圆C:+=r2.(1)求圆心C的极坐标.(2)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.【解析】(1)由+=r2得圆心C:.所以圆心C的极坐标.(2)由ρsin=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,所以直线l:x+y-1=0.圆C:+=r2的圆心到直线l的距离为:d==1+,因为圆C上的点到直线l的最大距离为3,所以1++r=3.r=2-,所以当r=2-时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·衡水高二检测)极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为( )A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【解析】选C.极坐标方程ρcosθ=2sin2θ变为ρcosθ=2sinθcosθ,即cosθ(ρ-2sinθ)=0,所以cosθ=0或ρ=2sinθ,表示一条直线和一个圆.2.(2016·九江高二检测)极坐标系内,点到直线ρcosθ=2的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解题指南】将点的极坐标化为直角坐标,将直线的极坐标方程化为直角坐标方程计算.【解析】选B.点的直角坐标为(0,1),直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,故点(0,1)到直线x=2的距离是d=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.在极坐标系中,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.【解析】因为ρsin=2,所以ρsinθ+ρcosθ=2,化成直角坐标方程为:x+y-2=0,圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16,半径R=4,圆心到直线的距离为:d==2,所以截得的弦长为:2×=2×=4.答案:44.(2015·汕头高二检测)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值是________.【解析】ρ=2的直角坐标方程为x2+y2=4,ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,圆心到直线的距离为d=3,所以圆上的点到直线的距离的最小值为3-2=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)5.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标.(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.【解题指南】利用公式将极坐标方程化为直角坐标方程.【解析】(1)由ρcos=1,得ρ=1.从而C的直角坐标方程为x+y=1.即x+y=2.当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0);当θ=时,ρ=,所以N.(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为,所以P点的直角坐标为,则P点的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈(-∞,+∞).6.(2016·衡水高二检测)已知☉O1与☉O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.(1)写出☉O1和☉O2的圆心的极坐标.(2)求经过☉O1和☉O2交点的直线的极坐标方程.【解析】(1)☉O1和☉O2的圆心的极坐标分别为(2,0),.(2)以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,在直角坐标系下☉O1与☉O2的方程分别为x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,则经过☉O1和☉O2交点的直线的方程为y=-x,其极坐标方程为θ=-(ρ∈R).。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

函数与导数(3)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3 的定义域为( )A ．(－∞，－3)∪(－3，0]B ．(－∞，－3)∪(－3，1]C ．(－3，0]D ．(－3，1]2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是( )A ．y ＝－1x B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12 x D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤0－x －2，x >03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >03x ，x ≤0，则f (f (2))的值为( )A ．13 B ．3C ．－13 D ．－34．若a ＝log 20.5，b ＝20.5，c ＝0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是() A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b5．函数f (x )＝7x 3e x ＋e －x 在[－6，6]上的大致图象为( )6．已知f (x )是R 上的奇函数，且对x ∈R ，有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 241)＝( )A ．40B ．2516C ．2341D ．41237．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )且a <b ，则不等式log a x ＋log b (2x －1)>0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫12，18． “m >1”是“函数f (x )＝2ln x －mx ＋1x单调递减”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，y ＝f (x ＋3)为偶函数，若f (x )在(0，3)上单调递减，则下面结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫192 <f (e 12 )<f (ln 2)B ．f (e 12 )<f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫192C ．f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫192 <f (e 12 )D ．f (ln 2)<f ⎝⎛⎭⎫e 12 <f ⎝⎛⎭⎫19210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，e x －1，x ≤0， g (x )＝f (x )＋x －a ，若g (x )恰有一个零点，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．[1，＋∞)D ．(0，1]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ，x <0，ln x ，x >0，则方程f (f (x ))＋3＝0的解的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．612．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0e x （x ＋1），x ≤0 ，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 不可能取的值是( )A ．0B ．13C ．12D ．1 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <3f （x －4），x ≥3 ，则f (9)＝________． 14．若f (x )为偶函数，满足f (x )·f (x ＋3)＝2 020，f (－1)＝1，则f (2 020)的值为________．15．已知函数f (x )定义域为R ，满足 f (x )＝f (2－x )，且对任意1≤x 1<x 2，均有x 1－x 2f （x 1）－f （x 2）>0，则不等式f (2x －1)－f (3－x )≥0的解集为________________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ＋1（x ≥0），x 2＋2x ＋1（x <0），则方程f (x )＝2 0212 020 的实根的个数为____；若函数y ＝f (f (x )－a )－1有3个零点，则a 的取值范围是________．1．C 2．D3．A 4．C5．B 6．C7．A 8．A 9．A10．A11．C12．A13． 114．：2 02015．（－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞16． 3 ⎝⎛⎭⎫1，1＋1e ∪（2，3]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫3＋1e。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作双基限时练(三) 弧度制一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A.π3 rad ＝60° B ．10°＝π18 rad C ．36°＝π5 radD.5π8 rad ＝115°解析 5π8＝5π8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝112.5°.答案 D2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍解析 由S 扇＝12rl 知当半径变为原来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A ，C 不对，又由圆心角θ＝l r ，当l 与r 均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B 正确．答案 B3．时钟经过三小时，时针转过了( ) A. π6 rad B. π2 rad C. －π2 radD. －π6 rad解析 时针每小时转过－π6 rad. 答案 C4．将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z )的形式是( ) A. －8π＋π4 B. －10π－π4 C. －8π＋74πD. －10π＋74π 解析 －1485°＝－1485×π180＝－334π＝－10π＋74π. 答案 D5．若α与β关于y 轴对称，则( ) A ．α＋β＝π2(k ∈Z ) B ．α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z ) C ．α＋β＝2k π(k ∈Z ) D ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )解析 由α，β关于y 轴对称，得β＝2k π＋π－α(k ∈Z )． 答案 D6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 所表示的角的范围(用阴影表示)是( )解析当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋π4≤α≤2mπ＋π2，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋5π4≤α≤2mπ＋3π2，m∈Z，所以选C.答案 C7．将－300°化为弧度为()A. －4π3 B. －5π3C. －7π6 D. －7π4解析∵1°＝π180，∴－300°＝－300×π180＝－5π3rad.答案 B二、填空题8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．解析 设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x ，则有4x ＋5x ＋6x ＝π，解得x ＝π15.∴三内角的弧度数分别为4x ＝4π15，5x ＝π3，6x ＝2π5. 答案 4π15，π3，2π59．已知一扇形的圆心角α＝π3，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．解析 设扇形的弧长为l ， 则l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，由题意得S 弓＝S 扇－S △＝12Rl －12R 2sin π3 ＝12×10×10π3－12×102×32 ＝50(π3－32)．答案 103π 50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3210．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______. (2)设α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限． 解析 (1)由题意得7θ＝2k π＋θ， ∴θ＝k π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)， 当k ＝1时，θ＝π3；当k ＝2时θ＝23π. (2)－2＝－2π＋2π－2，∵2π－2∈(π，32π)，故α为第三象限角．答案 (1)π3或2π3 (2)三 三、解答题11．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限．(1)214π； (2)1580°； (3)－236π.解 (1)214π＝4π＋54π，为第三象限角；(2)1580°＝1580180π＝799π＝8π＋79π，为第二象限角； (3)－236π＝－4π＋π6，为第一象限角．12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S .13．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长.解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

高三年级三轮复习冲刺卷（四）数学试卷命题人： 审核人：说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡，贴好条形码。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

卷Ⅰ（选择题 共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。

全部选对的得5分，选对不全的得2分，有选错或不答的得0分） 1．复数1z 在复平面内对应的点为(1,3),z 2=−2+i （i 为虚数单位），则复数z 1z 2的虚部为（ ）A. 75B. −75C. 75iD. −75i2．已知集合A ={x ∈N |12<2x+1<16}，B ={x |x 2−4x +m =0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝（ ） A. {1，2，3} B. {1，2，3，4} C. {0，1，2}D. {0，1，2，3}3．在平面直角坐标系中，设A (1,0),B(3,4),向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,x +y =6,则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为 ( ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．2 54．已知a ∈(0,π2)且12cos 2α+7sin 2α−4=0，若tan (α+β)=3，则tan β=（ ） A. −113或7 B. −711或1C. 1D. −1135. 我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图像研究函数的性质,也常函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数f(x)=e |x|-ln |x|-2的大致图象为( )A. B. C. D.6．已知等腰直角∆ABC 的斜边BC ＝4，沿斜边的高线AD 将∆ABC 折起，使二面角B −AD −C 为π3，则四面体ABCD 的外接球的体积为( ) A ．√213π B ．28√2127π C ．283π D ．289π 7．已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，且满足f (2)=2，则关于x 的不等式f (x )<sinπx +x 的解集为 ( )A.(−∞,−2)∪(2,+∞)B.(−2,0)∪(2,+∞) C .(−∞,−2)∪(0,2) D.(−2,0)∪(0,2) 8. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点P (x 1,y 1),Q(−x 1,−y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0,y 1>0,若|PQ |=2|0F 2|,|QF 1||PF 1|≥√33,则离心率的取值范围为（ ） A. （0,√6−12]B. (0,√6−2]C. (√22,√3−1]D. (0,√3−1]9．已知ab >0,，且1a >1b ，则下列不等式一定成立的有( )A ．a <bB ．ab<baC ．ab+ba>2 D ．2a +a >2b +b10．已知函数f (x )=sin (ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有( )A ．f(x)在(0,π)上恰能取到2次最小值B ．ω的取值范围为[83,256)C ．f(x)在(0,π6)上一定有极值D ．f(x)在(0,π3))上不单调11．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，点P 在线段BC 1上运动，点Q 在线段上AA 1运动，则下列说法中正确的有( )A ．三棱锥A －D 1PC 的体积为定值B ．线段PQ 长度的最小值为2C ．当P 为BC 1的中点时，三棱锥P －ABB 1的外接球表面积为2πD ．平面BPQ 截该正方体所得截面可能为三角形、四边形、五边形12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )+xf (x )=ln x ,f (1)=12，则下列结论不正确的是（ ） A ．xf (x )在(0,+∞)单调递增 B.xf (x )在(0,+∞)单调递减 C.xf (x )在(0,+∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0,+∞)上有极小值12卷Ⅱ（非选择题 共90分）ABCDA 1B 1C 1D 1 Q P二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．6(1)x x ⎛-- ⎝展开式中的常数项为__________（用数字作答）． 14. 已知lg(x +2y)=lgx +lg(2y )，则xy+x+2y 2y的最小值为_________．15．已知若函数f (x ),g (x )在R 上可导，f (x )=g(x),则f ′(x )=g′(x)．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e 2x =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n +⋯，则∑a n+1na n10n=1＝ ．16. 已知a <0,不等式x a+1e x +alnx ≥0对任意的实数x >1恒成立，则实数a 的最小值为： ．三．解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2b sin (A +π6)=a +c ．(1) 若3a +b =2c ，求cos C ； (2) 若b =2，且1sin A+1sin C =4√33，求△ABC 的面积．18．已知数列{}n a 中，a 1=1,a 2=3，且a ≠0,a ≠1，其前n 项和为n S ，且n S 为等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()()1933nn n n a b a a +=++，记数列{}n b的前n 项和为n T .设λ是整数，问是否存在正整数n ，使等式137T 58n n a λ++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；若不存在，请说明理由.19．2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2:1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.(1) 若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.(2) 设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为23，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X ，试求X 的分布列及其数学期望()E X ，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？20．如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，点M 在线段AB 上（含端点）运动，连接AD ．(1) 若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 交于点O ，确定O 点位置，求线段OA 的长；(2) 若折成二面角的大小为45°，是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为45°，若存在，确定出点M 的位置；若不存在，请说明理由．21．已知函数()()41ln +=>ax f x x x. （1）当0a =时，求函数()f x 的图象在()(),e f e 处的切线方程；（2）若对任意()1,x ∈+∞，不等式()ln 4f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.(其中e 为自然对数的底数)22. 已知动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.。