二次三项式的因式分解教学课件

利用求根公式对二次三项式的因式分解要对一个二次三项式进行因式分解，我们可以将其表示为(ax^2+bx+c)的形式，其中a、b、c为实数且a不为零。

二次三项式的因式分解的关键在于找到其根（即方程ax^2+bx+c=0的解），然后再利用求根公式进行因式分解。

求根公式是指二次根式的表达式，可以帮助我们找到二次方程的根。

对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，其根可以用下面的求根公式表示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到二次方程的两个根，即x1和x2、一旦我们找到了这些根，我们可以将二次三项式因式分解为一个一次项和一个一次二次项。

下面我们用一个例子来说明如何利用求根公式对二次三项式进行因式分解：假设我们有一个二次三项式x^2+3x+2，我们要将其因式分解。

首先，我们要找到方程x^2+3x+2=0的根。

根据求根公式，我们有：x=(-3±√(3^2-4*1*2))/(2*1)现在，我们将这个方程求解。

计算√(3^2-4*1*2)的值为√(9-8)=√1=1、因此，求根公式可以简化为：x=(-3±1)/(2*1)进行计算，我们得到两个根：x1=(-3+1)/2=-2/2=-1x2=(-3-1)/2=-4/2=-2现在，我们将这些根用来进行因式分解。

我们将二次三项式x^2+3x+2写成(x+1)(x+2)的形式。

因此，二次三项式x^2+3x+2可以因式分解为(x+1)(x+2)。

当然，我们还可以应用这个方法对其他形式的二次三项式进行因式分解。

关键在于找到方程的根，然后将这些根用来进行因式分解。

总结起来，利用求根公式对二次三项式进行因式分解的步骤如下：1. 将二次三项式表示为(ax^2+bx+c)的形式；2. 解方程ax^2+bx+c=0，找到方程的根；3.将这些根用来进行因式分解，将二次三项式写成一次项的乘积形式。

通过应用求根公式，我们可以将一个二次三项式因式分解为一次项的乘积，使得对于给定的二次三项式，我们可以找到其具体的因式分解。

第4课因式分解〖知识点〗因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

〖大纲要求〗理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

〖考查重点与常见题型〗考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．(2)运用公式法，即用写出结果．(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么考查题型：1．下列因式分解中，正确的是（）(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2 从左到是因式分解的个数为（）(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（）(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±104．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则m= ,n= ;5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则m= ;6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是 ;7．把下列因式因式分解：(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y28．在实数范围内因式分解：(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2考点训练：1. 分解下列因式：(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2解题指导：1．下列运算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且运算正确的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．不论a为何值，代数式－a2＋4a－5值（）（A）大于或等于0 （B）0 （C）大于0 （D）小于03．若x2＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则m的值是（）（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－14．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,则x2＋y2的值是；5．分解下列因式：(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4＊4。

二次三项式的因式分解（用公式法）（一）一、教学目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。

二次三项式的因式分解教学目的1．使学生理解二次三项式的意义，了解二次三项式的因式分解与解方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．3．结合教学对学生进行辨证唯物主义观点的教育．教学重点用求根公式法将二次三项式因式分解．教学难点方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．教学过程一、复习1．形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式，形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做x的一元二次方程，回忆二次三项式因式分解的方法，回忆一元二次方程的解法．2．将下列各式分解因式：(1)x2-3x+2； (2)6x2-x-15；(3)4x2+8x-1．3．解下列方程：(1)2x2-6x+4=0； (2)4x2+8x-1=0．老师指出：有些多项式在有理数范围内可以分解因式，有些多项式在实数范围内才能分解因式，因此只会初一学过的十字相乘法分解二次三项式是不够的．二次三项式的因式分解结果与一元二次方程的根有密切联系．如分解因式：同学们可以发现，两个一次因式中x减去的分别是相应一元二次方程的二个根，我们能不能利用一元二次方程的根去分解相应的二次三项式呢？二、新课1．利用根与系数关系证明：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)我们可以利用一元二次方程的两根分解相应的二次三项式．如果我们用求根公式求得一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1和x2，那么由根与系数关系可知：=a[x2-(x1+x2)x+x1·x2]=a(x-x1)(x-x2)．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．这种方法叫求根法．2．例题例1 把4x2-5分解因式．解：∵方程4x2-5=0的两根是：提醒学生此题用平方差公式分解更好．例2 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是注意：(1)因为分解因式是恒等变形，所以结果不要丢掉二次项系数a．(2)分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式，解：∵关于x的方程2x2-8xy+5y2=0的根是注意：结果不要丢掉两个一次因式里的y．三、练习1．分解因式：(1)x2+20x+96； (2)6x2-11xy-7y2．2．在实数范围内分解因式：(1)x2-5x+3； (2)-2x2-3x+6；(3)3x2+4xy-y2； (4)3x2-5xy-y2．四、小结1．二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有：(1)利用公式法；(2)十字相乘法；(3)求根公式法．在实际操作时要灵活选择使用．2．二次三项式ax2+bx+c能否在实数范围内分解因式，取决于一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根．当b2-4ac≥0时，ax2+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，ax2+bx+c在实数范围内不能分解．五、作业1．把下列各式分解因式：(1)5x2+11x+6； (2)6y2-13y+6；(3)-4x2-4x+15； (4)10p2-p-3；(5)3x2y2-10xy+7； (6)15x2+16xy-15y2．2．在实数范围内分解因式：(1)x2-x-1； (2)x2-2x-4；(3)3x2+2x-3； (4)-3m2-2m+4；*3．把下列各式分解因式：(3)(m2-m)x2-(2m2-1)x+m(m+1)；(4)(x2+x)2-2x(x+1)-3．。

【课题】 二次三项式的因式分解1 【教学目的】了解二次三项式的因式分解与解方程的关系；会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式的因式分解。

【重点】利用一元二次方程的求根公式求出方程的根，从而将二次三项式进行因式分解。

【难点】二次项系数不为1和对应方程的根是无理数的二次三项式的因式分解。

【教学过程】一．二次三项式因式分解与解一元二次方程之间的关系：⑴．定义：形如)0(2≠++a c bx ax 的多项式叫做x 的二次三项式，其中c b 、、a 是已知 数，二次三项式的分解因式实际上是一个恒等变形的过程．⑵．利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式因式分：设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、， 则a b x x -=+21， a c x x =21；即)(21x x a b +-=，21x x ac = []))(()()(212121222x x x x a x x x x x x a a c x a b x a c bx ax --=++-=++=++∴ 结论：二次三项式的因式分解的公式：))((212x x x x a c bx ax --=++，其中 21x x 、为)0(02≠=++a c bx ax 的两根（本方法叫公式法，也称求根法）。

二．用公式法分解二次三项式)0(2≠++a c bx ax 步骤：⑴．先求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、⑵．再将c bx ax ++2写成))((21x x x x a --的形式．三．二次三项式c bx ax ++2因式分解的条件：⑴．当042≥-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内可分解因式，其中042=-ac b 时，c bx ax ++2是完全平方式．⑵．当042<-ac b 时，二次三项式c bx ax ++2在实数范围内不能分解因式． 教学心得四、典型例题讲解：例１． 在实数范围内分解因式： ⑴3222--x x ⑵13232+-x x ⑶1842-+-y y例2．分解因式1422-+xy y x例3．在实数范围内分解因式⑴ 1)(22-+x x⑵ 1323234++++x x x x⑶ (x 2＋x)2＋2x(x ＋1)－3⑷ (x 2－3x －2)2－3x 2＋9x －4例4．在实数范围内分解因式⑴ 22212)16)(1(a a a a a ++-++⑵ 15)3)(2)(1(-+++x x x x⑶ (x 2＋y 2)(x 2－xy ＋y 2)－2x 2y 2⑷ 67222-+--+y x y xy x （你能想出三种方法吗？）⑸ 2x 2＋xy －3y 2＋x ＋4y －1分解因式.例６．填空 ⑴若)331)(331(32--+-=++x x c bx ax ，则______b _______,==a ⑵已知关于x 方程02=++q px x 两个根为4 ,321-==x x ，则二次三项q px x +-2可分解为_________________⑶若二次三项12-+ax x 可分解为))(2(b x x +-，则b a +的值为__________⑷二次三项1232--x mx ，当m ______时，此式能分解因式；当m ______时，此式不能分解因式。