二次三项式的因式分解PPT教学课件

二次三项式的因式分解一、一般步骤1. 确定二次三项式的形式为ax²+bx+c。

2.查找常见的二次三项式因式分解公式，如平方差公式、完全平方公式、积和差分解等。

3.根据公式进行因式分解，将二次三项式化简成两个或多个因式相乘的形式。

4.检验分解是否正确，可以通过将因式相乘来验证。

下面我们将介绍几种常见的二次三项式因式分解公式及其应用。

二、平方差公式平方差公式用于分解形如a²-b²的二次三项式。

其公式为：a²-b²=(a+b)(a-b)其中，a和b可以是任意实数。

根据平方差公式，可得以下例子：1.分解x²-4：x²-4=(x+2)(x-2)2.分解16x²-9：16x²-9=(4x+3)(4x-3)3.分解a⁴-b⁴：a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)三、完全平方公式完全平方公式用于分解形如a²+2ab+b²的二次三项式。

其公式为：a² + 2ab + b² = (a+b)²根据完全平方公式，可得以下例子：1.分解x²+6x+9：x²+6x+9=(x+3)²2.分解4y²+12y+9：4y²+12y+9=(2y+3)²3.分解9z⁴+12z²+4：9z⁴+12z²+4=(3z²+2)²四、积和差分解积和差分解是一种应用于分解二次三项式的技巧。

其基本思想是将二次项的系数进行合理分配，使得二次项可以分解成两个一次项相乘的形式，并带有不同的符号。

具体方法如下：1.将二次项的系数拆分成两个数的和与积。

2.利用这两个数的和与积的关系，将二次项进行分解。

3.整理其他项，进行因式分解。

根据积和差分解，可得以下例子：1.分解2x²+7x+3：2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)2.分解12x²-19x-5：12x²-19x-5=(4x+1)(3x-5)結语：二次三项式的因式分解是数学中的基本概念和技巧之一，掌握了这些公式和技巧，可以帮助我们更好地理解和解决二次三项式相关的问题。

1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。

2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。

3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。

4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。

10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。

11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。

12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。

14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。

15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。

20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。

22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。

23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。

27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。

因式分解方法（2）1.二次三项式（1）多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：和都是关于x的二次三项式．（2）在多项式中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式中，看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．2.十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．1.利用十字相乘法分解因式【例1】（2014安徽省中考）分解因式：练习1.（2014四川凉山一中月考）；练习2.（2014贵州黔南三中周测）__________．2.二次项系数不为1的十字相乘【例2】把下列各式分解因式：（1）；（2）．练习3.(x－3)(__________)．练习4.练习5．练习6.3.把其中一个量看成一个整体【例3】分解因式：练习7.（2014湖北恩施中考）练习8.（2014青海西宁中考）分解因式：．练习9.（2014内蒙古呼和浩特一中期中）；4.换元法分解因式【例4】分解因式：．练习10．分解因式．练习11．．练习12.；5.重新分组分解因式【例5】分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．练习13．；练习14.分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．6.因式分解的综合题【例6】．练习15.．练习16.；1．如果，那么p等于()A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)2．如果，则b为()A．5B．－6C．－5D．63．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是()A．B．C．D．5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．B．C．D．6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()①；②；③；④；⑤；⑥A．2个B．3个C．4个D．5个7．(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．8．____(x－y)(__________)．9．．10．当k＝______时，多项式有一个因式为(__________)．11．若x－y＝6，，则代数式的值为__________．12．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；13．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．14．把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；15．已知有因式2x－5，把它分解因式．16．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，，求a的值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．分解因式6x2－5x+1=(2x－m)(3x－n),那么m、n的值是() A．m=2,n=3B．m=－2,n=－3C．m=n=1D．m=n=－12．多项式x2＋3x－54分解因式为（）A．(x＋6)(x－9)B．(x－6)(x＋9)C．(x＋6)(x＋9)D．(x－6)(x－9)3．分解a2-a-12的结果为（）A．(a-3)(a+4)B．(a+3)(a-4)C．(a-6)(a+2)D．(a+6)(a-2)4．分解x2+2x-8的结果为（）A．(x+4)(x-2)B．(x-4)(x+2)C．(x+4)(x+2)D．(x-4)(x-2)5．若分解x2-x+m得到两个因式x-2与x-n，则m+n的值=．6．因式分解x2+5x+6=．7．因式分解x2+x-30=．8．因式分解x2+4x-32=．9．因式分解x2-7x+6=．10．因式分解x2-4x-21=．11．因式分解t2-2t-8=．12．因式分解m2+7m-18=．分解因式13．2x2＋3x＋114．15．16．17．18．19．。

例 1 在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ；（2）1842-+-x x .分析 对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.解 （1）∵ 方程3222--x x 0=的根是 522522212)3(14)22(222±=±=⨯-⨯⨯-±=x∴ 52,5221-=+=x x ∴3222--x x )52)(52(+---=x x （2） ∵ 方程01842=-+-x x 的根是2328348)4(2)1()4(4882±=-±-=-⨯-⨯-⨯-±-=x ∴232,23221-=+=x x ∴)232)(232(41842--+--=-+-x x x x )322)(322(+----=x x说明 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.例 2把22542y xy x --分解因式.分析 此二次三项式中有两个字母x 和y ，在分解时可以把它看作是其中一个字母（如x ）的二次三项式，而另一个字母（y ）可看作是已知数.解 ∵ 关于x 的方程22542y xy x --0=的根是22)5(24)4(422⨯-⨯⨯--±=y y y x 41424y y ±= y 2142±=， ∴.2142,214221y x y x -=+= ∴)2142)(2142(254222y x y x y xy x --+-=-- 说明 分解的结果不要丢掉两个一次因式里的y .例3 当k 取何值时，二次三项式k x x 2432+-（1）在实数范围内能分解？（2）不能分解？（3）能分解成一个完全平方式？这个完全平方式是什么？分析 二次三项式能否分解的关键是对应的二次方程是否有解，而方程是否有解由其∆的符号决定.解 设k x x 2432+-0=则k k 2416234)4(2-=⨯⨯--=∆若02416>-k ，即32<k 时方程有两个不相等的实数根. 此时k x x 2432+-在实数范围内能分解.（2）当32>k 时，k x x 2432+-不能分解. （3）当32=k 时，方程为034432=+-x x . 3232421=⨯--==x x . 此时22)32(33443-=+-x x x 为一个完全平方式.典型例题四例 已知二次三项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则b 、c 的值为（ ）A ．1,3-==c bB ．2,6=-=c bC ．4,6-=-=c bD ．6,4-=-=c b分析与解答 可利用多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形这一关系解.)32(2)1)(3(22--=+-x x x x.264222c bx x x x ++=--=∴ 4-=b 且6-=c .∴ 选D.典型例题五例 已知二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0=∆解 对于一元二次方程02)6(92=-++-m x m x ，其中9=a ，)6(+-=m b ，2-=m c ，∴ac b 42-=∆[])2(94)6(2-⨯⨯-+-=m m 108242+-=m m原二次三项式是一个完全平方式，∴ 0=∆，即0108242=+-m m0)18)(6(=--m m∴61=m ，182=m故当6=m 或18=m 时，二次三项式2)6(92-++-m x m x 是一个完全平方式.说明：若042=-ac b ，则二次三项式c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式；反之，若c bx ax ++2)0(≠a 为完全平方式，则042=-ac b .典型例题六例 k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x （m 为有理数）的根为有理数？分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，需使方程的判别式∆是关于m 的完全平方式，即ac b 42-为有理数；又根据二次三项式的因式分解公式知，若使∆为完全平方式，需使关于m 的方程0=∆的根21m m =，即方程0=∆的判别式0=∆'，进而求得k 的值.解 把原方程化为一般式，得0)423()44(22=+-+--k m m x m x若使方程有有理根，只需使∆为关于m 的完全平方式.[])423(14)44(22k m m m +-⨯⨯---=∆ 16162442+--=k m m若使16162442+--=∆k m m 是关于m 的完全平方式，需使 0)1616(44)24(2=+-⨯⨯--=∆'k ，即02016=+k ∴45-=k ∴当45-=k 时，方程有有理根. 说明：上述求解中多次利用根的判别式，这里有一个结论，即二次三项式c bx ax ++2为完全平方式042=-=∆⇔ac b .典型例题七例 在实数范围内分解因式：22212)16)(1(a a a a a ++-++分析：在实数范围内分解二次三项式的问题，通常是采用公式法，在实数范围内分解因式，是指分解的结果中各因式的数字系数可以是实数范围内的任意实数.解 把原式化为22212)16)(1(a a a a a ++-++[]222127)1()1(a a a a a a +-++++=222212)1(7)1(a a a a a a +++-++= [][]aa a a a a 4)1(3)1(22-++-++=)13)(12(22+-+-=a a a a22)1(12-=+-a a a ，0132=+-a a 的两根为2531+=a ，2532-=a ， ∴原式)253)(253()1(2--+--=a a a . 说明：本题不是直接给出二次三项式要求分解因式，而是需要综合运用因式分解的方法进行分解.对于题中所给的多项式，若直接展开后重新分组分解，则计算量较大，且有一定的难度.上述求解中，是注意到两个二次三项式中仅一次项不同，采用了整体代换方法构造出含12++a a 的二次三项式，从而达到分解因式的目的.同时，因式分解要分解到每一个因式都不能再分解之止.选择题1．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--y x y x 465746572是以下那个多项式分解因式形成的（ ） A ．22272y xy x -+ B ．22372y xy x -+C ．2273y xy x -+D ．22272y xy x ++ 2. 分解因式：3422--x x （）A ．)2101)(2101(--++x x B ．)2101)(2101(2+---x x C ．)2101)(2101(2--++x x D ．)1022)(1022(21+---x x 3．在实数范围内分解因式241x x +-，正确的结果是（ ）A ．)1)(4(+-x xB ．)32)(32(+---x xC ．)1)(5(+-x xD ．)32)(32(++-+x x4. 以71+与71-为根的一元二次方程是（）A ．0622=--x xB ．0622=+-x xC ．0622=-+y yD ．0622=++y y 5. 分解因式：2223y xy x -+（）A ．))(3(y x y x -+B ．)1)(31(3+-x xC ．)1)(13(+-x xD ．))(3(y x y x +-6. 分解因式：)13()12()2(2--+--m x m x m （）A ．[])13()2()1(---+m x m xB ．[])13()2()1(-+--m x m xC ．[])13()2()1(+--+m x m xD ．[])13()2()1(+---m x m x7. 分解因式：2732++x x （） A ．)2)(31(--x x B ．)2)(13(++x x C ．)2)(31(++x x D ．)2)(1(3++x x8. 若一元二次方程02=++q px x 的两根为3-和4，则二次三项式02=+-q px x 可分解为（）A ．)4)(3(-+x xB ．)4)(3(+-x xC ．)4)(3(++x xD ．)4)(3(--x x 9．多项式22432y xy x -+在实数范围内分解因式正确的结果是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 44134413 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 441344132 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+y x y x 441344132 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---y x y x 44134413答案：1. A;2. D3. B ;4. A ;5. D;6. A;7. B;8. B;9. B.判断题1. c bx ax --2)0(≠abc 是关于x 的二次三项式。

一元二次方程根的判别 二次三项式的因式分解 1，一元二次方程根的判别式我们把ac b 42-叫做一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式，记作ac b 42-=∆例：求一元二次方程5322+=x x 的根的判别式。

2，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当0〉∆时，方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，方程有两个相等的实数根； 当0〈∆时，方程没有实数根。

例：判别一元二次方程()()011212=+-+--m x m x m 的根的情况3,利用一元二次方程根的情况来判断根的判别式的符号对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax当方程有两个不相等的实数根时，0〉∆； 当方程有两个相等的实数根时，0=∆； 当方程没有实数根时，0〈∆例：已知关于x 的方程()024412=-+-+m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围4，一元二次方程应用（1）二次三项式的因式分解把二次三项式c bx ax ++2分解时，如果042≥-ac b ，那么()()212x x x x a c bx ax --=++（其中21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个实数根）；如果042〈-ac b ，那么c bx ax ++2在实数范围内不能分解例：在实数范围内分解因式：（1）132++x x （2）22243y xy x -+（3）624--x x （4）34222-+xy y x5，一元二次方程根与系数关系如果方程()002≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 。

那么a b x x -=+21， ac x x =⋅21 一元二次方程根与系数关系有很广泛的用途。

一般，可解决以下几类问题：（1）已知一元二次方程的一个根，可求另一个根（2）已知两根，可写出这个二次方程； （3）求已知二次方程的根的对称式；（4）与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正负号。