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第七章 刚体的简单运动副本

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第7章 刚体的简单运动剖析

第7章 刚体的简单运动剖析

第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。

一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。

因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。

§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。

例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。

这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。

刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。

刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。

现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。

刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。

该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。

为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)且二者之间有下列关系AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。

这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。

如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。

将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。

综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。

因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。

所以，刚体的运动可归结为点的运动。

§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。

理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件

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26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13

第7章刚体的简单运动

第7章刚体的简单运动
2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn

O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？

理论力学第七章刚体的简单运动

理论力学第七章刚体的简单运动

解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

第7章 刚体的简单运动概要

第7章 刚体的简单运动概要

第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。

一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。

因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。

§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。

例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。

这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。

刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。

刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。

现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。

刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。

该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。

为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)且二者之间有下列关系AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。

这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。

如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。

将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。

综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。

因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。

所以，刚体的运动可归结为点的运动。

§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。

2理论力学---第七章刚体的简单运动

2理论力学---第七章刚体的简单运动

一.齿轮传动 1.外啮合
vC vD
C rC D rD
C D
rD rC
20
设C主动轮，D从动轮，
定义齿轮传动比
iCD
C D
rD rC
zD zC
iCD
C D
其中：
齿数Z 2r
t
21
2.内啮合 因为是做纯滚动(即没有相对滑动)
vF vE vF vE
F rF E rE
齿轮传动比
iEF
传动比:
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
外:“－”， 内: “+”。
25
2、多级
V
n1
itota＝l i1 i2 in
1 k 从动轮齿数(半径)乘积
主动轮齿数(半径)乘积
26
§7-5 角速度和角加速度的矢量表示
点的速度和加速度的矢量表示
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
α
a r
an v
v r
a r an v
29
三、v,a的矢积表示小结
引入 ω ωk，α k

而 v Rω r sin θ rωsin ω，r
v ωr
R
而 α r rsin θ R aτ
r
ωv ωRωsin90 Rω2 an
2
A
B
定义: 刚体上任一直线始终与初始位置平行。
1.水平曲线轨迹上行驶的火车箱是否平移? 否。
2.平移时，刚体上各点轨迹是平行直线，对吗? 不一定。可是平行曲线。
3
二.刚体平动时内部各点的轨迹、速度和加速度
rB
rA
rAB
vB
drB dt

第七章刚体的简单运动

第七章刚体的简单运动

均相同，但 (2) 任一质点运动 , , 不同；即各质点的位矢在相同的时 v, a 间内转过的角度是相同的。
（3）各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心 在轴线上，这个平面我们称为转动平面。 (4) 运动描述仅需一个坐标．
§6– 4 轮系的传动比
1 R1 O1 A B
第六章 刚体的简单运动
本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动. 注意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 以及实现这两 种运动 的约束条件.
§ 7 – 1 刚体的平行移动( 平动 )
定义: 刚体在运动时, 如果刚体上的任意一固连直线始终 与其初始位置保持平行, 则这种运动称为平动.
1 2 两个圆盘的角速度 和角加速度 不相等。
1 2
§ 6 – 5 以矢量表示的角速度和角加速度 ·以矢积表示的 点 的速度和加速度
一. 角速度矢量 – 右手定则 二. 定轴转动刚体的角加速度

z( k )
矢量



O'
k d k dt
三. 欧拉公式 — 转动刚体上点的速度的矢量表示
此机构有4 个构件 6个铰链约束 组成. 其中有一个构件作平动.
平动
平动的性质: 作平动的刚体, 其上各点的轨迹的形状相同; 在 每一瞬时,各点的速度和加速度也都相同.( 三相同) A
证: 任取平动刚体上的两点A , B， 由平动的定义可知 , AB连线 在运动中方向始终不变, ( 定向) 且 A, B为 刚体上的两点, ( 定长 ) 所以,
同一根绳上各点的速度相同， 而加速度 也相同。
A B C D
M 2 o2 R 2

第7章 刚体的简单运动

第7章 刚体的简单运动
s R （逆时针为正）
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。

理论力学 刚体的简单运动

理论力学 刚体的简单运动

度、角加速度是刚体绕定轴转动的 整体性质的度量。 能否这样说：刚体在定轴转动的每 一瞬时，这一点有一个角速度、角 加速度，另一Байду номын сангаас有不同的角速度和 角加速度？ 再有，对一个点，能否说这个点具 有角速度和角加速度？
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时， 刚体内任意一点都作圆周运 动，圆心在轴线上，圆周所 在的平面与轴线垂直，圆周 的半径R等于该点到轴线的 垂直距离。 设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B 位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐 标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是
当刚体转动时，转角 j 是时间t的单值连续函数， 即
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角 j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用w表示: dj w j dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针 转动时角速度取正值，反之取负值。
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
若平移刚体内各点的轨迹为直线，则称 为直线平移；若平移刚体内各点的轨迹 为平面曲线，则称为平面曲线平移；若 平移刚体内各点的轨迹为空间曲线，则 称为空间曲线平移。 思考题： 作平移运动的刚体有无角速度、角加速 度？ 秋千的运动是不是平移？ 作直线运动的车厢是平移，车厢转弯时 车厢的运动是不是平移？
1
n1
n2 3
2
n3 4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4 i13 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z3

理论力学第7章

理论力学第7章
ω1 R2 ω2 = R1
R1 ω2 = R ω1 2
或者
α1
α2
aAτ aBτ
aAτ= aBτ τ τ
由aBτ 方向可确定α2转向，如图所示。 τ 方向可确定α 转向，如图所示。
τ R1 α1 = aAτ = aBτ = R2 α2 τ
R1 α2 = R α1 2
或者
α1 R2 α2 = R1
综上所述得 ω1 α1 R2 ω2 = α2 = R1 工程上把主动轮与从动轮角速 度之比称为传动比，记为i 度之比称为传动比，记为 12 传动比的 ω
在与转轴垂直的平面上画图时，可用带箭头的圆弧 在与转轴垂直的平面上画图时， 代表角速度和角加速度， 代表角速度和角加速度，标上角速度与角加速度的 数值（写正值）。 数值（写正值）。
同号，刚体作加速转动。 （1）α与ω同号，刚体作加速转动。 （2）α与ω异号，刚体作减速转动。 异号，刚体作减速转动。 （3）α≡0，ω=常数，刚体作匀速转动。 常数，刚体作匀速转动。
速度分布图
3
加速度 d v = ɺɺ = α aτ = s R dt v 2 = 1 ( ω )2 = ω2 an = ρ R R R
an
aτ
切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α转 切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α 沿轨迹切线 向一致。 向一致。 法向加速度沿轨迹法线，指向由M→转轴Ο。 法向加速度沿轨迹法线，指向由 →转轴Ο 沿轨迹法线
一个自由度。 一个自由度。
3.角速度和角加速度 3.角速度和角加速度
角速度
dϕ ω= dt 逆时针为正，顺时针为负 逆时针为正，
dω d ϕ = 2 角加速度 α = dt dt
2
在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 角加速度的表示。 角加速度的表示。

07 刚体的简单运动Hxj

07 刚体的简单运动Hxj

角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R

0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2


t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负

第七章 刚体的简单运动

第七章 刚体的简单运动

答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度

刚体的简单运动-教学讲座

刚体的简单运动-教学讲座

r
v r
o
advd(r)
dt dt
drdr
dt
dt
a r v
a r r s i n R
an
v
v
z
an
R
v
M
a

r
A
2 aA cos 600 aA
OA 4OB
O
aB
OB

53 2
aBn B
aA 5 3
OA 2OB
aB aB2 aB2n 5m s2
个人整理，仅供交流学习！
o
at

d2s dt2
Rdd2t2

at R
s
M
an

v2

(R)2
R
an R2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体 的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向 由角加速度的符号确定。
转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体 角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方 向与速度垂直并指向轴线。
a
ta6n0 0a an
rr2 2
an
3 32
2
d 32 3 d
d 3d
d 3d
lnln0 3
0e 3
tan vt
l
sin vt cos l
cos2 sin 2 d v
2R1 2R2
Z1
Z2
i12

1 2
1 2
R2 R1
z2 z1
传动 比
§ 以矢量表示角速度和角加速 以矢积表示点的速度和加速度

07 刚体的基本运动

07 刚体的基本运动

a
n M
=0
am = a
τ
M
= π
2
方向垂直于AO1斜向右上方 因为半圆盘作平动，所以其角速度
ωab = 0 。
例7-7 转子启动时的角加速度与时间成正比增大,经过5分钟 转子的转速达到18000r/min,试问转子在这段时间内转了多少 转？ 【解】设比例系数为k，则
ε = kt
即
dω = kt dt
R2 , ω 2 , ε 2 .
v A = v B , a Aτ = a Bτ
又 υ A = R1ω1 , υ B = R2ω2 , a Aτ = R1ε 1 , a Bτ = R2ε 2 R1ω1 = R2ω2 , R1ε 1 = R2ε 2
理论力学电子教程
第七章 刚体的基本运动
传动比
i12 传动比
ω o R v M β A
ε o R
aτ
r
ε
A
M β
r
理论力学电子教程
第七章 刚体的基本运动
设刚体上一点M相对于角速度矢量 ω 的起点A的位置用矢径 表示， 与ω 之间的夹角为 β ， r 则M点： v = Rω = OM ω = ω r sin β 由此，据线性代数知
υ =ω×r
（转动刚体上点的速度矢积表示法） 又
s2
理论力学电子教程
第七章 刚体的基本运动
§7－3绕定轴转动刚体的问题
机器的运转要求一定的转速,而电动机的转速则是一定的. 这就需要变速,把电动机的转速提高或传递,使它符合要求. 变速常通过一系列相互啮合的齿轮或皮带传动,摩擦轮传 动来完成.几个轮子的组合称为轮系. 以一对啮合轮为例： I轮: R1 , ω 1 , ε 1 . II轮:

运动学刚体的简单运动

运动学刚体的简单运动

第二部分 运动学第七章刚体的简单运动一、基本要求1．掌握刚体平动和定轴转动的概念及其特征。

2．能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有关的问题。

3．熟悉角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度的矢量表示法。

二、理论要点1．刚体的平动z定义刚体在运动过程中，其上任一直线始终平行于它的初始位置，称这种运动为刚体的平行移动，简称平动。

若平动刚体内各点的轨迹为直线，则称这种平动为直线平动；若平动刚体内各点的轨迹为曲线，则称这种平动为曲线平动。

z特征刚体平动时，其上内各点轨迹的形状相同；在每一瞬时，刚体内各点的速度、加速度也相同。

因此，刚体的平动可以简化为一个点的运动来研究，或刚体内任一点的运动皆可代表平动刚体的运动。

2．刚体的定轴转动z定义刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动，称这种运动为刚体的定轴转动，称通过这两个固定点的直线为刚体的转轴或轴线，简称轴。

z特征刚体绕定轴转动时，其上各点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动。

z刚体的转动规律（1） 转动方程——表示刚体的位置随时间的变化规律。

)(t f =ϕ（2） 角速度——表示刚体转动的快慢程度和转向，是代数量。

ϕϕω ==dtd （3） 角加速度——表示角速度对时间的变化率，也是代数量。

ϕωϕωα ====22dtd dt d 当ω与α同号时，刚体作加速转动；当ω与α异号时，刚体作减速转动。

z 刚体内各点的速度和加速度（1） 速度ωR v =（2） 加速度,αR a τ= 2ωR a n =4222ωα+=+=R a a a n τ2),(ωα=n a tg 由此可见，在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离（即半径R ）成正比；在每一瞬时，转动刚体内各点的加速度a 与半径R 间的夹角都有相同的值。

说明：刚体绕定轴转动时，转动方程、角速度和角加速度是刚体绕定轴转动的整体性质的度量，而刚体内各点的速度和加速度是刚体绕定轴转动的局部性质的度量。

刚体的简单运动

刚体的简单运动

rA = rA( t), rB = rB (t)
而
r B = r A + r AB
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
2.角加速度 角加速度: 角加速度 设当t 时刻为ω , t +△t 时刻为ω+△ω
∆ω = dω = d 2ϕ =ϕ& = f ′′( t ) & ∴角加速度 :ε = lim 单位:rad/s2 (代数量 代数量) 单位 代数量 dt dt 2 ∆t → 0 ∆ t
§7.1 刚体的平行移动
刚体平移的定义: 一.刚体平移的定义 刚体平移的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 [例]
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
动画
平移实例
二. 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹,速度 加速度都一样 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹 速度,加速度都一样。 速度 加速度都一样。 AB在运动中方向和大小始 在运动中方向和大小始 终不变。 终不变。
aτ εR ε tg α = = 2 = 2 an ω R ω
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
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解： 设原坐标系为Ox’y’z’，取新坐标系以M0为原点，记为M0xyz，且 x,y,z三轴分别平行于原坐标系的x’,y’,z’轴。在新坐标系中有
0.6i 0.48 j 0.64k 15i 12 j 16k
点M在新坐标系中的矢径为
0.6i 0.48 j 0.64k 15i 12 j 16k
题）？
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7-2 刚体绕定轴的转动
1 定义：刚体运动时，其上(或其扩展部分)两点保持不动，
称为定轴转动
转轴 ： 两点连线 转角
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7-2 刚体绕定轴的转动
若把刚体的定轴转动定义为，刚体在运动时，其上或其扩展部
分有一条直线保持不动，称这种运动为刚体的定轴转动，这种定义
以矢量叉乘积表示了刚体定轴转动时缸体上点的速度和加速度。
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刚体的简单运动
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7-1 刚体的平行移动
1 定义 在刚体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初 位置平行，称这种运动为刚体的平行移动，简称平移（translation）。
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对否？ 刚体的定轴转动是不是刚体的平面运动（当学完刚体的平面运 动以后，回过头来思考一下这个问题）？
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7-2 刚体绕定轴的转动
2 运动方程
3 角速度和角加速度


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7-2 刚体绕定轴的转动
刚体绕定轴转动的转动方程、角速度、角加速度是刚体绕定轴
１、齿轮传动
① 啮合条件
②
传动比
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7-4 轮系的传动比
２、带轮传动
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7-4 轮系传动比
在轮数比较少的情况下，一般不用正负号表达转动方向，这主
要用在轮数比较多的情况。
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7-4 轮系传动比
齿轮传动与胶带（链条）传动有什么不同，各有什么有缺点？
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7-1 刚体的平行移动
在刚体内任取一直线段的“任取”二字，此处指的是任意一条线段。
请同学们思考，荡木的运动是平移，但荡秋千时，秋千的运动是不
是平移？作直线运动的车厢是平移，车厢转弯时车厢的运动是不是 平移。
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7-1 刚体的平行移动
2 运动方程 3 速度和加速度分布
刚体平移→点的运动
平胶带、三角带、链条传动又有什么不同？胶带传动大部分为同向
转动，有无反向转动的情况？
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刚体的简单运动
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量
角加速度矢量
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
转动整体性质的度量。
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7-2 刚体绕定轴的转动
能否说，刚体在定轴转动的每一瞬时，这一点有一个角速度、
角加速度，另一点有不同的加速度、角加速度？再者，对一个点，
能否说这个点具有角速度、角加速度？
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7-3 转动刚体内阁点的速度和加速度
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7-1 刚体的平行移动
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7-1 刚体的平行移动
若平移刚体内各点的轨迹为直线，则称为直线平移；若平移刚体内
各点的轨迹为空间曲线，则称为空间曲线平移。
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7-1 刚体的平行移动
作平移运动的刚体有无角速度、角加速度？刚体的平移是不是刚体
的平面运动（当学完刚体的平面运动以后，回过头来思考一下此问
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 例题1
刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O，角速度矢
为 5 sin
t
2
i 5 cos
t
2
j 5 3k 。求t=1s时，刚体上点M(0，2，3)
的速度矢和加速度矢。
1 点的运动方程
2 速度
3 加速度
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7-3 转动刚体内阁点的速度和加速度
4 速度与加速度分布图
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7-3 转动刚体内阁点的速度和加速度
4 速度与加速度分布图
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7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
刚体绕定轴转动时，刚体内各点的速度1
7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 例题2
某定轴转动刚体的转轴通过点M0(2,1,3),其角速度w的方向余弦为0.6，
0.48，0.64，角速度的大小为w=25rad/s。求刚体上点M(10，7，11)的
速度矢。
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 例题2
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 例题1
解：
i v r 5 sin 0
t
2
j 5 cos 2
t
2
k 5 3 3
10 3i 15 j 10k
a r v d r v dt 15 75 3 i 200 j 75k 2
转动的局部性质的度量。
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7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
能否说，刚体在定轴转动的每一瞬时，刚体内各点的速度、加
速度都相同或都不相同？再者，对刚体绕定轴转动转轴上的点，其
轨迹是什么？如何理解其轨迹？
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7-4 轮系的传动比
第七章
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第七章
刚体的简单运动
本章讨论了刚体的两种简单（基本）运动：刚体的平行移动（简称平 动）与刚体绕定轴的转动。讨论了刚体平移的特点。介绍了刚体定轴 转动的转动方程、角速度、角加速度的概念和计算，刚体定轴转动时 其上各点速度与加速度的计算，轮系传动比的概念与计算。为后面应 用与理论推导起见，以矢量表示了刚体定轴转动的角速度与角加速度，
i j k v r 15 12 16 8 j 6k 8 6 8
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7-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
以矢量表示角速度，在点的合成运动中求科氏加速度时常常用到， 那时主要用右手螺旋法则确定角速度的方向。以矢量表示角速度和 角加速度、以矢积表示点的速度和加速度主要用于理论推导和较复 杂的计算。