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理论力学 第五章 刚体定点运动 自由刚体运动

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理论力学刚体运动

理论力学刚体运动

Ek ( t ) Ek ( t0 ) A外
§6.2 作用在刚体上的力系 一、力系
1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。
2、分类： ①共面力系：所有的力位于同一平面内。 a) 共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交 于一点的力系。 b) 平行力系：所有力互相平行或反平行。 ②异面力系：力的作用线不在一个平面内。
二、力系等效
1、等效力系的定义 如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这 两个力系互为等效力系。
2、力系的等效条件：
F1i F2 j
r1i F1i r1 j F1 j
i j
i
j
3、零力系：力系力的矢量和为零，对固定参考点 的力矩和为零的力系。 说明：①所有的零力系都等效 ②任何力系加上零力系后与原力系等效 ③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系
2
角动量定理： dL dt
M外
2、平衡条件： Fi 0,
i
且 Mi 0
i
(对任一定点成立)
例 质量为 m ，长为 a 的匀质杆 AB 由系于两端长是 a 的线悬于 O 点，在 B 端挂质量为 m 的重物。求平衡 时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力 TA 和 TB 。
2、异面力系： 等效于一个单力与一个力偶
z -F3 A F1
F F3
O
x
B F2
y
§6.3 刚体的平衡
刚体运动 平动： 直线平动、曲线平动
转动： 定轴转动、一般转动 平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。
转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。
O
刚体的一般运动(n=6)
O

理论力学：第5 章 点的运动学和刚体的基本运动

理论力学：第5 章 点的运动学和刚体的基本运动

，式中
A
r2
，
dA dt

v
则


v 2 2r 3
5-5
5.3 定轴轮系传动问题
外啮合、内啮合、皮带传动
两轮间传动比： i12
1 2
1 2

r2 r1

Z2 Z1
注：①一般地，、 均以正值代入，所求轮子转向靠直观判断； ②同轴两轮传动比规定为 i 1 ；
n1
③轮系总传动比： i1n i j, j1 。 j 1

dv dt

d2s dt 2
，a
n

v2
，位于密切面内。
注：以上诸式不加证明。 例 1：书例 5-4（直角坐标法与自然坐标法） 摇杆滑道机构。已知滑道半径 R，摇杆匀角速度ω。求：①滑块速度、加速度；②滑块 相对摇杆的速度、加速度。 分析： 绝对法求速度、加速度，即利用几何关系，写出滑 块运动方程，求导。 ①即求滑块绝对速度和加速度。直角坐标法可解。
但 a a an 或 a 2 a2 an2 ，而 a 由直角坐标系可求，故 an a 2 a2 可求；从而ρ由
an

v2
可求。
解：任一瞬时速度、加速度（直角法）：
v x 2 y 2，a x2 y2
5-3
则切向加速度： a

dv dt
例 2（老书习题 7-13）（或郝桐生例 8-6, P184）
图示仪表机构，已知各齿轮齿数 z1 6, z2 24, z3 8, z4 32, 齿轮 5 的半径 R = 4 cm。
如齿条 BC 下移 1cm，求指针 OA 转过的角度 。
分析：
利用轮系总传动比公式，求 OA 与轮 5 的角速

大学物理第5章刚体的定轴转动

大学物理第5章刚体的定轴转动

d ctdt

对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150

得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标

理论力学第五章

理论力学第五章

刚体做平面平行运动时，刚体中不在同一 直线上的任意三点到平面的距离相等，存 在三个约束条件，故刚体平面平行运动的 自由度为3
• 刚体的定点转动
若刚体上只有一个点固定不动，整个刚 体围绕此点转动，则此刚体做定点转动
刚体定点转动时，由于固 定点的3个坐标已经固定， 只剩下三个可以独立变化 的坐标变量，刚体定点转 动的故自由度为3
dT dW
• 三个定理所对应的守恒
动量守恒定律：刚体不受外力作用，或 外力相互抵消时，刚体的总动量守恒。 在某一方向力的分量为零，则在该方向 的动量分量守恒。
角动量守恒定律：刚体不受外力矩作用， 或外力矩相互抵消时，刚体的总角动量 动量守恒。在某一方向力矩的分量为零， 则在该方向的角动量分量守恒。
刚体做定轴转动时，刚体中的点（除转轴 上的点外）绕转轴做圆周运动，此时描述 刚体的运动只需要一个坐标变量，故刚体 绕定轴转动的自由度为1（描述刚体的转 动）
• 刚体的平面平行运动
若刚体内任意一点都平行于一固定平面 而运动，则此刚体做平面平行运动，刚 体中垂直于固定平面的直线上各点，其 运动状态完全相同，任何一个与固定平 面平行的刚体截面，其运动都可用来恰 当地代表刚体的运动
机械能守恒定律：作用于刚体的外力为 保守力时，刚体的总机械能守恒。刚体 只发生动能和势能的相互转换。
§5.4 刚体的定轴转动
刚体定轴转动的自由度为1
设量刚为体绕，转则轴角（速z轴度）为转：动r 的角&kr度变kr
刚体定轴转动的基本方程
质心定理：
m
d2rc dt 2
F (e)
F
FA
FB
刚体平动时的 动能
T
1 2
mvc2
1 2
mv2

大学物理上册课件：第五章刚体力学基础

大学物理上册课件：第五章刚体力学基础
所以，刚体定轴转动用角量描述比较方便。
5.1.2、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。 规定 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。
角位置： (t) 刚体定轴转动的运动学方程。
角位移: 2 1
平均角速度： ＝
t
角速度： （矢量）
＝d
dt
y
rP•
•P
A
O S A
x
角加速度： （矢量）
z
o
ri
i 1
mi
则：
Ek转
1 2
J 2
o
注意：转动动能实质与平动动能相同，表达式不
Ek转
1 2
m vc2
1 2
J 2
5.2.2、转动惯量的计算：描述刚体转动惯性大小的物理量。
1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
n
J miri 2 i 1
J r 2 d m V
SI单位：kg . m
大 小 ：M Z rF sin Fd Ft r
d=rsinθ 称为力F 对转轴的力臂。
方向： 由右手螺旋定则确定。
Mr FZ有o两个方向，可用正o负表Fr示。
MZ 0
MZ 0
MZ
z
o rp
F
d
•
o
z
r
Ft P
F
d
•
Fn
2、F不在转轴平面内
把F 分解为径向Fr 、横向Ft ①Fr 对转轴的力矩为零；
5.2定轴转动刚体的功和能
5.2.1、刚体的动能
平动动能 ： Ek平 转动动能 ： Ek转
i i
1 2
mi v i2
1 2
mi
v
i

理论力学-刚体的基本运动

理论力学-刚体的基本运动

教学目标知识目标：刚体的平行移动，定轴转动刚体的角速度，定轴转动刚体的角加速度，定轴转动刚体内各点的速度和加速度，皮带轮传动，齿轮传动。

能力目标：理解刚体的两种基本运动。

素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。

良好的职业道德和严谨的工作作风理论力学-刚体的基本运动〖理论学习〗7.1刚体的平行移动刚体在运动过程中，其内任一直线始终与它的最初位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移。

刚体平移时，若其上各点的轨迹是直线，则称为直线平移；若其上各点的轨迹是曲线，则称为曲线平移。

图7-1结论：当刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，且在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。

7.2刚体绕定轴的转动在工程实际中，经常遇到齿轮、机床的主轴、发电机的转子等的运动，它们的共同特点是刚体运动时，其上或其扩展部分有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称转动，这条固定不动的直线称为刚体的转轴或轴线，简称轴。

为确定转动刚体的位置，取其转轴为z轴，正向如图7-3所示。

通过轴线z作一固定平面A，此外，通过轴线z再作一动平面B与刚体固接。

当刚体转动时，两个平面之间的夹角用φ表示，称为刚体的转角，以弧度(rad)表示。

图7-3转角φ是一个代数量，可确定刚体在某一瞬时的位置，其符号依据右手螺旋法则确定，亦可自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计量的转角为正值，反之为负值。

当刚体转动时，转角φ是时间t的单值连续函数，即φ=f(t)(7-4)式（7-4）称为刚体定轴转动的运动方程。

定轴转动刚体的位置由参变量转角φ就可唯一确定，这样的刚体具有一个自由度。

7.2.1定轴转动刚体的角速度为了描述刚体转动的快慢程度，现引入角速度的概念。

设在Δt时间内，刚体的转角由φ变化到φ+Δφ，转角的增量Δφ称为角位移。

当Δt趋近于零时，比值ΔφΔt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，以字母ω表示。

刚体的角速度ω等于转角φ对时间的一阶导数。

理论力学刚体的基本运动


速度：
v dS
dt
加速度：
a
dv dt
an
v2
2
s an aτ v
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
a a2 an2 2 2
v
பைடு நூலகம்tg
a an
2
ωa
ω
α
在同一瞬时，刚体内各点的速度和加速度的大小 与各点到转轴的距离成正比，所有各点的全加
速度与其法向夹角相同
α ω
k
k
角速度与角加速度的矢量表示
α
ω
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的速度与加速度的矢积表示
点M的速度为：
v ω r
大小为： α
v ωr sin ω
E
4.O1D的角速度和角加速度
B
C
0
3 sin 3 cos 2
O
θ
A
sin cos 2
O1 φ x
600 当 900
0
有1
302
8
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
5.BC杆速度和加速度
E
xB 2
3l
sin2
2
30l
的速度与加速度。
解：AB平移，只需计算A 点的速度和加速度。
S O1A 3t
vv
vA
ds dt
3 m
s
anA
vA2 O1 A
9 2
0.2
45

理论力学 刚体的简单运动


如图，在轴线上任选一点O为原点， 动点的矢径用 r 表示，则点M的速度可 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 即
v wr
w r w r sin q w R v
将上式对时间求一阶导数，有
dv d a (w r ) dt dt dw dr r w dt dt
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
运动方程、速度和加速度公式 rA rB BA
v A vB
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
k
作业：习题 7-4、7-5、7-6、 7-9。
v 2 r2w 2
t a 2 r2a 2
于是可得
r1 w2 w1 , r2
即
r1 a 2 a1 r2
w1 a 1 r2 w 2 a 2 r1
例7-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M t v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
za
R
M
a r aw v a w v O a r
an
w r
例7-1 刚体绕定轴转动,已知转轴通过坐标原点O, t t 角速度矢为 w 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及

陈世民理论力学简明教程第二版答案第五张刚体力学

第五张 刚体力学平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.【要点分析与总结】1 刚体的运动（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A 为基点） （2）刚体内的瞬心S ：()21s A A r r ωυω=+⨯〈析〉ω为基点转动的矢量和，12ωωω=++值得注意的是：有转动时r '与r ω'⨯的微分，引入了r ω'⨯与()r ωω'⨯⨯项。

2 刚体的动量，角动量，动能 （1）动量：c P m υ=（2）角动量： x x xx xy xz i i i y yxyy yz y zx zyzz z z L J J J L r m L J J J J J J J L ωυωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=⨯===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑式中：转动惯量()()()222222xx yy zz J y z dmJ z x dm J x y dm ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰惯量积xx yy zz J xydmJ yzdm J zxdm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰且c c cL r m L υ'=⨯+ * l e 方向（以l 为轴）的转动惯量： （,,αβγ分别为l e 与,,x y z 轴夹角的余弦） * 惯量主轴惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线若X 轴为惯量主轴，则含X 的惯量积为0，即: 0==xy xz J J 若,,x y z 轴均为惯量主轴，则:xx yy zz L J i J j J k =++ 〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。

(3) 动能：22211112222c i i c c iT m m m J υυυωω'=+=+∑* 定轴转动时: 212T J ω=* 平面平行运动: 221122c c T m J υω=+3刚体的动力学方程与质点动力学方程相同。

《理论力学》课程教学大纲

《理论力学》课程教学大纲课程名称：理论力学课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标《理论力学》是物理专业学生的专业主干课，它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，通过本课程的学习，使学生掌握理论力学的基本概念、基本理论、基本规律，并能应用这些知识解决具体问题。

该课程主要包括质点运动的基本定理、有心运动和两体问题、一般质点组动力学问题、特殊质点组-刚体的动力学问题以及分析力学初步。

是学习量子力学，电动力学等专业课程的重要基础。

其具体的课程教学目标为：课程教学目标1：使学生对宏观机械运动的规律有一较全面较系统的认识，能掌握处理力学问题的一般方法，为后继理论物理课程的学习打坚实基础。

并培养一定的抽象思维与严密的逻辑推理能力，为今后独立钻研创造条件。

课程教学目标2：在深入掌握力学理论的基础上，有能力居高临下、深入浅出和透彻地分析中学力学教材。

同时，可以初步分析一些生产、生活中的力学问题，提高作为中学物理教师的业务能力。

课程教学目标3：在力学理论的学习中结合运用数学工具处理问题，使学生认识数学与物理的密切关系，培养学生运用数学工具解决物理问题的能力。

课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。

二、课程教学要求本课程前五章也称为牛顿力学，牛顿力学是以质点力学为基础，进而讨论质点组力学，刚体力学，在质点力学中又是以牛顿运动三定律为基础建立起质点力学的理论。

最后一章是分析力学，学习分析力学的理论一定要有牛顿力学的扎实基础，在分析力学中是以虚功原理和达朗伯原理为基础建立起力学系统在广义坐标下的运动方程的积分理论。

三、先修课程力学、高等数学四、课程教学重、难点重点：物体的受力分析；力学体系的平衡方程；点的运动的合成；动力学普遍定理的综合应用；利用虚功原理，达朗贝尔原理求解力学体系的平衡和动力学问题。

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e与 r 同向的情形如图
vO2 e O1O2 a O2C
齿轮绕瞬轴转动的角速度为
O1O2 a r e a e O2C O2C 方向根据 O2 的方向确定 O1O2 O1C O2 C 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速 度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角 速度成反比。 vO2
刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴 转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴 的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。
a r v
例 5－1 已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度 1 ,绕铅直轴OB 转动 设 OA=l，AC=r。 求：齿轮上点M 的速度和加速度。
§ 5－3 刚体运动的合成
刚体的任何复杂运动都可以由几个简单运动的合成而得到。
1.平移与平移的合成
小车上任一点的速度：
v ve vr v2 v1
加速度：
a ae ar a2 a1
当刚体同时作两个平移时，刚体的合成运动仍为平移。
的合成运动－－瞬时螺旋运动。
例 5－2 已知：如图所示，系杆 O1O2 以角速度 e 绕轴 O1 转动，半径 为 r2 的行星齿轮活动地套在与系杆一端固结的轴 O2 上， 并与半径为 r1的固定齿轮相啮合。
求：行星齿轮的绝对角速度 2 。 以及它相对于系杆的角速度 r 。
r1 r 解： 1、 r2 e 行星齿轮相对于系杆的角速度为 r1 r e r2 行星齿轮的绝对角速度为 r1 2 r e (1 )e r2 r 2 r1 2、 以逆时针为正
a a1 a2
2 2 a 2 a1 a2 2a1a2 cos2
将 a1、a2 值代入上式，并注意到
l r cot 和 sin r r2 l2
得
a
12 l
l 2 9( ) r
§ 5－2 自由刚体的运动
xO f1 (t ) ， yO f 2 (t ) ， zO f 3 (t ) f 4 (t ) ， f 5 (t ) ， f 6 (t )

欧拉角
f1 (t ) ， f 2 (t ) ， f 3 (t )
－－刚体绕定点运动的运动方 程
欧拉角的定义
2.欧拉定理
欧拉定理 绕定点运动的刚体，从某一位置到另一位置的任何位 移可以绕通过定点的某一轴转动一次而实现。
证 明：
AC B AC B
AC B AC B AC B AC B
r1
r2
0 1 e r1 ， 2 e r 2 e r
r1 r e r2
r1 e r 2 r
r1 2 (1 )e r2
例 5－3 已知：行星齿轮II与固定锥齿轮I相啮合，可绕动轴 OO2 转动，而动轴以角速度 e 绕定轴 OO1 转动。设在点C 处轮 I的半径为 r1 ，轮II的半径为 r2 。 求：锥齿轮II相对于动轴的角速度 r 。
a 0
当刚体以同样大小的角速度，同时绕两平行轴而反向转 动时，刚体的合成运动为平移，这种运动称为转动偶。
转动偶
3.绕相交轴转动的合成 vC ve vr 1h1 2h2 2 AOCB 2 AOAC AOCB AOAC
点C 的绝对速度等于零。 直线OC 是刚体的瞬轴。


O1C r O2 C e
当 e和 r 反向时如图
O1O2 O1C O2C
a e r
绝对角速度的转向，
与 e r中较大的一个相同。
当刚体同时绕两平行轴反向转动， 刚体的合成运动为绕瞬轴的转动，绝对 角速度等于牵连角速度与相对加速度之 差，它的转向与较大的角速度的转向相 同；瞬轴的位置外分两轴间的距离，在 较大角速度的轴的外侧，外分与两个角 速度成反比。 当 e 和 r 等值而反向时
螺旋率可写成
ds p d
一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分一次：
s p 2π
s 2π p
s表示刚体转过一周沿轴前进的距离－－螺距。
（3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形
刚体以角速度 绕动轴 O z 转动， 同时又以速度 vO 平移， vO 和 之间的夹角为θ 。 刚体的运动成为以 v 2 的平移，和以 绕瞬轴CC 的转动
绕瞬轴转动的角速度a
等于绕动轴 O z 转动的角速度

（2）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形 刚体绕轴 O z 转动，同时又沿轴向运动 －－螺旋运动。
p 平移速度与转动角速度的比值 －－螺旋率。 vO
若以s表示刚体沿轴 O z 的轴向位移
为刚体绕轴 O z 的转角 ds d vO ， dt dt
1 2 n i
i 1




n

当刚体同时绕相交于一点的多轴转动时，合成运动为绕 瞬轴的转动。绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度 的矢量和，而瞬轴则沿此合矢量方向。
4.平移与转动的合成
（1）平移速度矢与转动角速度矢垂直的情形 v C O O
解：
6 ω 4t 3， ω 0， ω 24 ψ θ
2t 2 3t ，

， 24t
当t=1s时
ω 7 ， ωθ 0， ω 24 ψ
ωa ωψ ωθ ω
因为 0
2 2 ωa ω ω 2ωωψ cos 30.27rad/s
解：
Ir I ， IIr II
齿轮的传动关系如下
Ir r1 IIr r2 ， Br R1 Br R2
IIr 和 Br中必定有一个的转向与图示的转向相反
I r1 R2 II r2 R1
r2 R1I r1 R2II r2 RO2 r1 r e e OO1 r2
2、 研究齿轮I和II相对于动轴OO2 的运动 如图所示 两齿轮相对于动轴 OO2 的角速度分别为 r1 和 r 2 r2 r1 传动比 r1 r2 将 r1 r2 代入上式 得

e
r1 r2 r e r2
A 1 AD A a AE
AD a 1 AE
1 AD AOACB ， OC AE AOACB
AD OC 1 AE
a OC
角速度a的指向可由点A 的速度方向确定。

a 1 2



当刚体同时绕两相交轴转动时，合成运动为绕瞬轴的转动， 绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和。 如果刚体绕相交于一点的3个轴或更多的轴转动时
－－自由刚体运动方程
自由刚体内任一点M 的速度
va vO vr ve
设动点M 在动坐标系 Oξηζ中的矢径为 r 刚体绕基点 O 转动的瞬时角速度为 r 则 vr r r 自由刚体内任一点的速度公式为
vM vO r r
由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为
其中 ae aO
a a ae a r
ar 为刚体绕基点 O 转动的瞬时角加速度
自由刚体内任一点的加速度公式为
ar ar r r r
aM aO a1 a2 ， a1 ar r ， a2 r r
l l a1 OM cot 12 cos sin 指向如图 它垂直由 和OM 形成的平面，
2 1

向轴加速度 a2 的大小为
2l 12 sin 它的方向自M 指向点E（在铅直平面OAC 内） a 2 2 ME 2 2l sin
例 5－4 已知：框架K和轴A一起以角速度ω绕轴I－II转动，半径 为 r1 和 r2 彼此相固结的两个伞齿轮B和C 可在轴 A上自由转动。伞齿轮B与轴I上半径为 R1 的伞齿轮 D 相啮合，伞齿轮C与轴II上半径为 R2 的伞齿轮E相 啮合。轴I的角速度 I 和轴II的角速度 II 。
求：框架的角速度ω和齿轮B相对于框架的角速度 Br 。
2.绕两个平行轴转动的合成 齿轮II上任一点M 的速度 vM
vM ve vr
牵连速度的大小为
e O1M e
方向垂直于 O1 M
相对速度的大小为
vr O2 M r
方向垂直于O2 M
这时点M 的速度等于 ve 与 vr 的矢量和。
瞬轴与两轴间的距离分别为 O1C 和 O2 C 在点C e r e O1C r O2C
解： 齿轮中心点A 的速度为
vA OA sin
点A 绕定点O 在水平面内作圆周运动 vA OA 1 绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为 1 =常量 sin 它沿着OC 指向如图所示
点M 的速度为
1 1 vM ME 2r cos 2l sin 2l1 sin sin 指向如图 它的方向垂直于平面 OMC
4.刚体上各点的速度和加速度
dv d dr a r dt dt dt
v r
a1 r －－转动加速度 大小为 h2 方向垂直于 和 r 指向如上图。 a2 v －－向轴加速度 其大小为 2 h1方向垂直于 和 v 指向瞬轴。
第五章 刚体定点运动 自由刚体运动 刚体运动的合成· 陀螺仪近似理论
圆盘的运动分析
§ 5－1 刚体绕定点运动的运动学描述