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第七章 刚体的简单运动

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26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动；当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7－3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
（例2）
升降机装置由半径R＝50cm的鼓轮带动，被升降物体M 的运动方程为x=5t2（t：时间，秒；x：高度，米），求： （1）鼓轮的角速度和角加速度； （2）任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解： (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为：
1
4
公式，有：
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘，得：
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ，所以有：
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)
③
ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上Ｍ、Ｎ两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13
第7章刚体的简单运动

第7章刚体的简单运动

2 =0.2 × (-2)=-0.4 m/s aM= r
B
vM
M
aM
r A
aMn

O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
(7)刚体的简单运动

(7)刚体的简单运动


ϕ
ϕ = ϕ(t )
转动.exe
A B
dϕ & 角速度 ω = =ϕ dt
dω d 2 ϕ && 角加速度 α = = 2 =ϕ dt dt
注意它们都是代数量. 同号, 注意它们都是代数量 如果 ω 与 α 同号 转动是加速 异号, 则转动是减速的. 的; 如果 ω 与 α 异号 则转动是减速的
§7 – 3 转动刚体内各点的速度和加速度分布
Q 磁带不可伸长 ∴ ω 1 r1 = ω 2 r2
r1 ω 2 = ω1 r2
& & r1 r2 − r2 r1 α2 = ⋅ ω1 2 r2
O1 A
r1
O2 B
r2
ω1
ω2
又 ,由题意可得 θ θ r1 = r10 + 1 b r2 = r20 − 2 b 2π 2π b b br & & r1 = ω1 r2 = − ω 2 = − 1 ω1 2π 2π 2πr2 ∴ 最后可得
B
r A = r B + r BA (1)
为运动的参考点, 取O为运动的参考点 有: 为运动的参考点
∴ r A (t ) , r B (t ) 属于同一函数族 , 表示同一族曲线 .
故 A 点和 B 点描绘的曲线的形状相 同.
式两边同时对t 将 ( 1 ) 式两边同时对 求导 :
dr A drB , = dt dt
第七章
刚体的简单运动
平动和转动. 本章将研究刚体的两种最基本的运动 ——— 平动和转动 注 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性, 意这两种运动在概念上的独立性和不相容性 以及实现这两种 的约束条件. 运动 的约束条件
理论力学第七章刚体的简单运动

理论力学第七章刚体的简单运动


解：1） aτ = α R = a M ⋅ sin θ a M sin θ 40 × sin 30° ∴α = = = 50 rad/s 2 0.4 R 1 Q ω 0 = 0 ,∴ ϕ = ω 0 t + α t 2 = 25 t 2 2
转动方程 = 25t 2 ϕ ∴
& Q 2） ω = ϕ = 50 t ∴ v M = Rω = 20 t = 100 m / s
逆时针为正
顺时针为负
dω d 2ϕ & = = ϕ& = f ′′(t ) (代数量) α= 2 dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s 角加速度表征角速度变化的快慢。单位:rad/s2
同号，则是加速转动； 如果ω与α同号，则是加速转动； 异号，则是减速转动。 如果ω与α异号，则是减速转动。
⇒ ω 1 R1 = ω 2 R2 ⇒ ω 1 = R2 ω2 R1
齿轮传动比： 齿轮传动比： ——主动轮和从动轮的角速度的比值。 主动轮和从动轮的角速度的比值。
i 12 R2 Z2 ω1 = = = ω2 R1 Z1
14
7-4
轮系的传动比
2.外啮合 2.外啮合
当各轮规定有正向时，角 当各轮规定有正向时， 取代数值， 速度ω 取代数值，传动比也 取代数值。 取代数值。
第七章 刚体的简单运动
7-1 刚体的平行移动 刚体有两种简单的运动： 1 刚体有两种简单的运动： ）刚体的平行移动 2）刚体的定轴转动 一.刚体平动的定义: 刚体平动的定义: 刚体内任一直线，在运动过程中始终平 刚体内任一直线， 行于初始位置。 行于初始位置。 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。 在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。
第七章 刚体的简单运动

第七章 刚体的简单运动


=200mm,R=450mm,α＝60o，A , ＝
aAτ
aA
解：由于A,B两点到固定点 的 由于 两点到固定点O的 两点到固定点 距离保持不变，因此，AB杆的 距离保持不变，因此，AB杆的 运动为绕O轴的定轴转动 轴的定轴转动。 运动为绕 轴的定轴转动。 将A点的加速度在切向和法向投影
2 aAn = ( r + R) ωAB = aA cos60o 1
已知：OA= 已知：OA=O1B=l=2r, AB=OO1 ,A点 ,A点 的加速度水平且为a 齿轮B AB焊接在一起 焊接在一起。 的加速度水平且为aA，齿轮B与AB焊接在一起。 求：此时轮O1角速度和角加速度 此时轮O aA
例 题6
aτ A
A
n aA
B C O1
解：将A点的加速度分解
n aτ = aA sin ϕ, aA = aA cosϕ A
点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来，使得数学表达式的含义 化率区分开来， 更加清晰。 更加清晰。
结论与讨论
点的运动学应用的两类问题
第一类问题： 第一类问题：
已知运动轨迹，确定速度与加速度； 已知运动轨迹，确定速度与加速度； 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。 给定约束条件，确定运动轨迹、速度、加速度。
dvτ v & + τ& a = vτ vτ= + n τ τ dt dt ρ a = aτ + an
速度大小的变化率 速度方向的变化率
2 τ
hv0 dϕ ω= = 2 22 dt h + v0t 2hv t dω =− 2 α= dt (h + v t )
3 0 2 2 2 0
例题 4
第7章 刚体的简单运动

第7章 刚体的简单运动

s R （逆时针为正）
自然法
2．点的速度
s R
v ds R d R
dt dt
v 指向为刚体转动的方向或与 ω 的转动方向一致。
刚体绕定轴转动 （逆时针为正）
刚体绕定轴转动
2．点的加速度
s R （逆时针为正）
切向加速度
a
dv dt
R d
dt
R
aτ 指向沿轨迹的切线与α 的转
动方向一致。
点M的全加速度大小。
解： M点的速度为
vM
vM
vA
dx dt
10t
m/s
M点的加速度为
aMt aMt
aMn
vM2 R
aA 200t 2
d2x dt 2 m/s2
10
m/s2
aM
aMt
2
aMn
2
10
1 400t 4
m/s2
三、轮系的传动比
刚体绕定轴转动
齿轮系
带轮系
刚体绕定轴转动
同一瞬时荡木上各点的速度、加速 度相等 vM vA aM aA
点A绕圆心O1，作半径为 l 的圆弧 运动
自然法： 假设弧坐标s向右为正，
s
l
l0
sin
4
t
刚体的平行移动
运动方程：
s
l
l0
sin
4
t
任一瞬时t， v ds l0 cos t
dt 4 4
， 0 sin t 4aΒιβλιοθήκη dv dt2l0 16
解： d 1681t 2 rad/s dt 162t rad/s2 4 0 时，即 16 81t2 0 时，解得 t 9 s 此时刚体改变转向。容易算得：在此之前，ω>0，刚体 逆时针转动；在此之后，ω<0，刚体顺时针转动。
07 刚体的简单运动

07 刚体的简单运动


v
M点的切向加速度 M点的法向加速度
B
dv at = = a. dt
2 2as + v0 an = = ρ R
v2
M点的总加速度 s
A
2 a = at2 + an =178 m/ s2
23
例题
刚体的基本运动
例 题 5
如图a 如图a，b分别表示一对外
O1 Ⅰ （a） O2 Ⅱ
啮合和内啮合的圆柱齿轮。 啮合和内啮合的圆柱齿轮。已 知齿轮Ⅰ 的角速度是ω 知齿轮 Ⅰ 的角速度是 ω1 ， 角 加速度是α 试求齿轮Ⅱ 加速度是 α1， 试求齿轮 Ⅱ的角 速度ω 和角加速度α 速度ω2和角加速度α2 ，齿轮Ⅰ 齿轮Ⅰ 和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2， 的节圆半径分别是R 齿数分别是z 齿数分别是z1和z2。
π sA = lϕ = lϕ0 sin t 4
dv π2 π = − lϕ0 sin t at = dt 16 4
ds π π vA = = lϕ0 cos t dt 4 4
v2 π2 2 2 π an = = lϕ0 cos t l 16 4
6
例题
刚体的基本运动
例 题 1
O1 φ l A O
（+）
9
4.角加速度 4.角加速度
定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 定义：刚体转动的角加速度等于角速度对时间的一次导数， 转角对时间的二次导数
dω d 2ϕ = 2 α= dt dt
物理意义： 物理意义：说明了角速度变化的快慢 如ω 、α 同号 如ω 、α 异号 刚体作加速转动 刚体作减速转动
11
例题
刚体的基本运动
例 题 2
导杆机构如图所示。 已知曲柄OA 导杆机构如图所示 。 已知曲柄 OA 以匀角速度ω 以匀角速度 ω 绕 O轴转动 ， 其转动方程 轴转动， φ=ωt，通过滑块带动摇杆O1B绕O1轴摆 ωt，通过滑块带动摇杆O OA= 求摇杆O 动 。 设 OA=r ， OO1=l=2r ， 求摇杆 O1B 的转动方程。 的转动方程。 假设任意时刻， 解：假设任意时刻，机构处于图示 位置，由几何关系可知： 位置，由几何关系可知： AD O E OO1 −OE tanθ = = 1 = O D AE AE 1
刚体的简单运动

刚体的简单运动


rA = rA( t), rB = rB (t)
而
r B = r A + r AB
d rB d drA d rAB ∴v B = = ( rA + rAB ) = = v A (Q = 0) dt dt dt dt
d 2 rB d 2 d 2 rA 同理 :a B = 2 = 2 ( rA + rAB ) = 2 = a A dt dt dt
2πn πn n ω= = ≈ (rad/s) 60 30 10
2.角加速度 角加速度: 角加速度 设当t 时刻为ω , t +△t 时刻为ω+△ω
∆ω = dω = d 2ϕ =ϕ& = f ′′( t ) & ∴角加速度 :ε = lim 单位:rad/s2 (代数量 代数量) 单位 代数量 dt dt 2 ∆t → 0 ∆ t
§7.1 刚体的平行移动
刚体平移的定义: 一.刚体平移的定义 刚体平移的定义 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持方向不变。 [例]
它的轨迹
可以是直线 可以是曲线
动画
平移实例
二. 刚体平移的特点: 刚体平移的特点 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹,速度 加速度都一样 平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹 速度,加速度都一样。 速度 加速度都一样。 AB在运动中方向和大小始 在运动中方向和大小始 终不变。 终不变。
aτ εR ε tg α = = 2 = 2 an ω R ω
结论: 结论 ① v方向与ω 相同时为正 , ⊥R ,与 R 成正比。 方向与 与 成正比。 都一致,且 ②各点的全加速度方向与各点转动半径夹角α 都一致 且 小于90 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为: 小于 o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为
7、第七章刚体的基本运动

7、第七章刚体的基本运动

29
vM a O α an
at M
因为物体 A 与轮缘上 M 点的 运动不同，前者作直线平移， 而后者随滑轮作圆周运动 ，因 此，两者的速度和加速度都不 完全相同。由于细绳不能伸长， 物体 A 与 M 点的速度大小相等， A 的加速度与 M 点切向加速度的 大小也相等，于是有
v A vM 0.36 m s－1
A
vM r 0.36 m s－1
加速度的两个分量
vM at
at r 0.36 m s
φ
M
－2
aM
O α
an r 0.648 m s
2
－2
an ω
总加速度 aM 的大小和方向
aM at an 0.741 m s－2
2 2
A
tan 2 0.556,
两式相除：
O
φ
a
tg 60 2 3 2 d 3 2 dt

d d dt d
d 3 2 d d 3d d 3d
0

0
3 2
0e
3
§7-4 轮系的传动比
ω1
ω2 r2
v r11 r22
传动比： ω1 r1
r1
v
r2 ω2
1 r2 i12 2 r1
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
概念题 1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快 （2）越转越慢 （3）不一定 2）两齿轮啮合时： 接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
d dt
t 0, 0 0 t
匀变速运动，ε=常数 d t 0, 0 0
第七章：刚体的简单运动

第七章：刚体的简单运动

ϕ = f (t) 角速度 ω = d ϕ
dt
M0
rr
ϕ
O
M
角速度表示刚体转动的快慢和方向，单位为弧度/ 秒（rad/s），是代数量。
角加速度
α
=
dω
dt
=
d 2ϕ
dt 2
角加速度表示角速度变化的快慢，单位为弧度/秒2
（rad/s2），是代数量。
§7-2 刚体绕定轴的转动
ω与α同号，转动加速
α ω
vr A = vr B
rrA
vrB
O
rrB B B1 B2
y
x
vr A = vr B
继续求导，则
dvrA = dvrB dt dt ar A = ar B
§７-１刚体的平行移动
z
A rrA
vrA A1 arvrAB
A2
O
rrB B arBB1 B2
y
x
当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同、在 每一瞬时，各点的速度和加速度相同。
角速度矢量
ωr
⎧⎪大 ⎪⎪⎨作
小 用
ωr
线
= 沿
ω
轴
= 线
dϕ
dt 滑动
矢
量
⎪
⎪
⎪⎩指 向 右 手 螺 旋 规 则
ωr = ωkr
角加速度矢量
αr
=
dωr
=
dω
r k
=
α
r k
dt dt
2 绕定轴转动刚体上M点的速度和加速度
vv = ωv × rv 速度
⎪⎧大小： ωv ⋅ rv sinθ = ωv R = vv
ω2 α2 +ω4
av
理论力学 刚体的简单运动

理论力学 刚体的简单运动


如图，在轴线上任选一点O为原点， 动点的矢径用 r 表示，则点M的速度可 以用角速度矢与它的矢径的矢量积表示， 即
v wr
w r w r sin q w R v
将上式对时间求一阶导数，有
dv d a (w r ) dt dt dw dr r w dt dt
此处有影片播放
摆式输送机的料槽
夹板锤的锤头
直线行驶的列车车厢
运动方程、速度和加速度公式 rA rB BA
v A vB
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
k
作业：习题 7-4、7-5、7-6、 7-9。
v 2 r2w 2
t a 2 r2a 2
于是可得
r1 w2 w1 , r2
即
r1 a 2 a1 r2
w1 a 1 r2 w 2 a 2 r1
例7-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M t v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为 R
za
R
M
a r aw v a w v O a r
an
w r
例7-1 刚体绕定轴转动,已知转轴通过坐标原点O, t t 角速度矢为 w 5sin i 5cos j 5 3k 。 2 2 求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及

理论力学第7章

ω1 R2 ω2 = R1
R1 ω2 = R ω1 2
或者
α1
α2
aAτ aBτ
aAτ= aBτ τ τ
由aBτ 方向可确定α2转向，如图所示。 τ 方向可确定α 转向，如图所示。
τ R1 α1 = aAτ = aBτ = R2 α2 τ
R1 α2 = R α1 2
或者
α1 R2 α2 = R1
综上所述得 ω1 α1 R2 ω2 = α2 = R1 工程上把主动轮与从动轮角速 度之比称为传动比，记为i 度之比称为传动比，记为 12 传动比的 ω
在与转轴垂直的平面上画图时，可用带箭头的圆弧 在与转轴垂直的平面上画图时， 代表角速度和角加速度， 代表角速度和角加速度，标上角速度与角加速度的 数值（写正值）。 数值（写正值）。
同号，刚体作加速转动。 （1）α与ω同号，刚体作加速转动。 （2）α与ω异号，刚体作减速转动。 异号，刚体作减速转动。 （3）α≡0，ω=常数，刚体作匀速转动。 常数，刚体作匀速转动。
速度分布图
3
加速度 d v = ɺɺ = α aτ = s R dt v 2 = 1 ( ω )2 = ω2 an = ρ R R R
an
aτ
切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α转 切向加速度沿轨迹切线，指向与角加速度α 沿轨迹切线 向一致。 向一致。 法向加速度沿轨迹法线，指向由M→转轴Ο。 法向加速度沿轨迹法线，指向由 →转轴Ο 沿轨迹法线
一个自由度。 一个自由度。
3.角速度和角加速度 3.角速度和角加速度
角速度
dϕ ω= dt 逆时针为正，顺时针为负 逆时针为正，
dω d ϕ = 2 角加速度 α = dt dt
2
在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 在与转轴垂直的平面上画图时，轴的画法；角速度、 角加速度的表示。 角加速度的表示。

07 刚体的简单运动Hxj


角位移
Δ d lim * lim Δt 0 Δt 0 Δt dt
说明： 角速度单位是rad/s,工程单位n rpm(r/min或转/分) 换算关系为:
2n n 0.105n rad/s 60 30
3、 角加速度 设当t 时刻为 , t +△t 时刻为+△ (1) 平均角加速度
R

0.4m/s
a
M t t 1
R
t 1
d 2 R 2 dt
t 1
d 2 t 2 4t R dt 2


t 1
v
0.4m / s 2
a
M n t 1
R
2 t 1
0.2 2 0.8m / s
2
2
A
aA
全加速度大小及方向
a a 2 a 2 0.4 2 0.82 0.894m/s2 t n t 1 t 1 2 t 1 arctan 2 arctan t 1 4
§7-1 刚体的平行移动
一、概念 刚体运动时，如果在刚体内任取一直线段，在运动过程中 该直线段始终与其最初位置平行，这种运动称为平行移动 (translation),简称平移或平动。
河南理工大学力学系
理论力学
第七章 刚体的简单运动
二、刚体平行移动的性质 设刚体作平行移动，如图。在刚 体内任取两点A和B，设其矢径分别为 rA和rB，则两条矢端曲线就是两点的轨 迹。由图中几何关系可知
1、 转动方程 Ⅰ和Ⅱ夹角 ---转角（位 置角）,单位为弧度(rad)
• 定轴转动方程 对着z轴正向看
t
7 2
• 的正、负规定 逆为正 顺为负

刚体的简单运动

理论力学讲义
第七章 刚体的简单运动
在工程实际和日常生活中，我们所遇到的一般都是物体的运动，如汽车、轮 船、电机转子、齿轮等，在考虑这些物体的运动时可把他们作为刚体，为研究比 较复杂的刚体运动，我们先研究两种比较简单的刚体运动：平行移动和定轴转动。
§7-1 刚体的平行移动
平行移动也称平动。就是在运动过程中，刚体内任一直线始终与它的最初位 置平行。如：
周交点为 M，动平面与圆周交点为 M’，以 M 点作弧坐原点，并规定 s,ϕ 正向一
致, 于是有：
o1
ϕ
a aτ
an α
v
R
M’
M (+)
S
s = Rϕ,
将此式对时间求导，得 M 点速度 v = ds = R dϕ = Rω dt dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小等于刚体的角速度与该点到轴线距离的乘 积，方向沿圆轴的切线指向转动方向，垂直轴线的截面上速度分布如下
把上式对时间求一阶及二阶导数，并注意 BA 是恒矢量，得：
drA = drB dt dt
即： vA = vB
d 2rA = d 2 rB dt 2 dt 2
即： a A = aB
可见，在每一瞬间，平动刚体内各点的速度和加速度均相同。 由以上可见，若刚体上某一点的运动已知，则其他点的运动也就知道了。也 就是说确定了刚体的运动。故研究刚体的平动归结为研究点的运动。
1. 在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小分别与这些点到轴 线的垂直距离成正比。
2. 在每一瞬时，刚体内各点的加速度 a 于半径间夹角α 都相等，刚体内
垂直于轴线的截面上加速度的分布如下：
α α
ω
ω
O
α
α

第七章 刚体的简单运动


答案： ① (b) ； ② (a)
§7-４ 轮系的传动比
１、齿轮传动
① 啮合条件
Rω1 = vA = vB = R2ω2 1
② 传动比
ω1 R2 z2 i12 = ± = ± = ± ω2 R z1 1
２、带轮传动
rω1 = vA = v′ = v′ = vB = r2ω2 1 A B
ω1 r2 i12 = = ω2 r 1
M点切向加速度 M点法向加速度
r r r at = α × r
r r r r r r an = ω×v = ω×(ω× r )
减速箱的齿轮Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的 转轴在同一水平线上。各齿轮的齿数分别 为z1 = 36、z2= 112、z3 = 32 和 z4 = 128。 主动轮Ⅰ的转速n1 = 1450 r/min，求从动 轮Ⅳ的转速 n4 。 Ⅱ
例7-1 图示机构O1A = O2B = a，O1O2 = AB =
2R，半圆轮半径为R 。试问图示瞬时，轮上M点 的速度为 ① ；M点的轨迹曲率半径为 ② 。 M ① (a) Rω (b) a ω R A B (c) a ω sin 60° O ω
60 °
O1
O2
②
(a) a
(b) R
(c) a+R
( )
r r r dvB dvA r aB = = = aA dt dt
刚体平移→点的运动 →
§7-2 刚体绕定轴的转动
1、定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称 为刚体绕定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad)
2、运动方程
= f (t )
3、角速度和角加速度

第七章刚体的简单运动


轨迹形状相同。
•
表明平动刚体上任一点的运动可以代表整个平动
刚体的运动，因此刚体的平动可以简化为刚体上一 点的运动 。(通常以刚体的质心代表) 。
5பைடு நூலகம்
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度ω 和角加速度α 。 例7-1：
运动学
例7-2
荡木用两条等长的钢索
平行吊起，如图所示。钢索 长为l ，长度单位为m。当荡
O1 O2
φ l
A O M
l B
木摆动时钢索的摆动规律 π 为 ϕ = ϕ 0 sin t ，其中 t 为 4 时间，单位为s；转角ϕ 0 的单 位为rad。 试求：当t = 0 和t =2s时，荡木中 点M 的速度和加速度。
通过两固定点的直线，称为刚体的转轴或轴线。
8
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
刚体定轴转动例
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
视频
9
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies 视频
s = Rϕ
ϕ
速度： ds dϕ v= =R = Rω dt dt
s
R
12
第七章 刚体的简单运动 Simple Motion of Rigid Bodies
运动学
速度：
v = Rω
转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线 垂直距离的乘积，方向沿圆周的切线，指向与转动方向一致。

第7章 刚体的简单运动

第七章 刚体的简单运动在工程实际中，最常见的刚体运动有两种基本运动形式：平动和转动。

一些较为复杂的刚体运动，如车轮在直线轨道上的滚动等，都可以归结为这两种基本运动的组合。

因此，平动和转动是分析一般刚体运动的基础。

§7-1 刚体的平行移动平动是刚体最简单的一种运动。

例如，车刀的刀架，摆式输送机的料槽，以及沿直线轨道行驶的列车的车厢等，都是平动的实例。

这些刚体的运动具有一个共同的特点：运动时，刚体上任一直线始终与原来位置保持平行。

刚体的这种运动称为平行移动，简称为平动。

刚体作平动时，刚体上的点可以是直线运动(刀架)，也可以是曲线运动(送料槽)。

现在就一般情形，研究刚体内各点的运动轨迹，速度和加速度。

刚体作平动在刚体上任取一线段AB 。

该刚体的运动可由AB 在空间的位置确定。

为研究刚体内各点的运动，可以O 为参考点，向A 、B 两点分别引矢径r A 和r B ，则点A 和B 的运动方程分别为r A =r A (t), r B =r B (t)AB B A r r r += (*)由于刚体作平动，在运动中矢量AB 的大小和方向都不改变，所以AB 为一常矢量。

这说明：点A 和B 不仅运动轨迹形状相同，而且运动规律也相同。

如上面的各例中，刀架上各点的轨迹是相互平行的直线；料槽上各点的轨迹都是半径等于AC 的圆弧。

将式(*)对时间t 取一阶和二阶导数，同时注意到常矢量AB 的导数等于零，于是有B A v v =B A a a =这说明：刚体内任意两点的速度、加速度相等。

综合以上分析，可得如下结论：(1) 刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；(2) 同一瞬时各点的速度彼此相等，各点的加速度也彼此相等。

因此，在研究刚体平动时，只要知道刚体上某一点的运动，就能知道所有点的运动。

所以，刚体的运动可归结为点的运动。

§7-2 刚体绕定轴的转动定轴转动是工程中常见的一种运动，如电动机的转子，机床中的胶带轮、齿轮以及飞轮等的运动，都是定轴转动的实例。

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角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速
度垂直并指向轴线。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与α同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。
点M加速度a的大小和方向：
a at2 an2 (R )2 (R2 )2 R 2 4
tan

at an

R R 2
§7-1 刚体的平行移动
速度、加速度
rA rB BA
上式对时间t求导数，得
drA drB dBA
而
drA dt
dt
vA,
dt dt
drB dt
vB,
d BA 0 dt
因此，得 v A vB
将上式再求一次导数，得
aA aB
结论：当刚体平行移动时。其上各点的轨迹形状相同；在
的原点，按φ角的正向规 定弧坐标s的正向，于是
s R
将上式对t求一阶导数，得
上式可写成
v R
ds R d
dt
dt
即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速
度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线
指向转动一方。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
转动刚体内各点速度分布规律：
终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平 移。 例如：
§7-1 刚体的平行移动
二、平移的特点
设刚体作平移，在刚体内任选
两点A、B,令点A的矢径为rA， 点B的矢径为rB,则两条矢端曲 线就是两点的轨迹。由图可知
rA rB BA
当刚体平移时，线段AB的长度 和方向都不改变。 因此只要把 点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的 轨迹完全重合。 刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能 是曲线，但是它们的形状是完全相同的。
2019年9月21日
第七章 刚体的简单运动
§7-1 刚体的平行移动 §7-2 刚体绕定轴的转动 §7-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §7-4 轮系转动比 §7-5 以矢量表示角速度和角加速度
以矢积表示点的速度和加速度
§7-1 刚体的平行移动
一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始
§7-2 刚体绕定轴的转动
一、转动方程
取转轴为z轴。通过轴线作一固 定平面Ⅰ,此外，通过轴线作一与刚
体固连的动平面 Ⅱ。这两个平面间
的夹角用φ表示,称为刚体的转角。
转角φ是一个代数量，它确定了
刚体的位置,它的符号规定为:从z轴
正向往下看,逆时针为正,反之为负。 并用弧度(rad)表示,当刚体转动时,转 角φ是时间t的单值连续函数，即
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
二、转动刚体内各点的加速度 at s R R
转动刚体内任一点的切向
an at
加速度的大小，等于刚体 的角加速度与该点到轴线 距离的乘积，它的方向由
角加速度的符号决定。
法向加速度为
an

v2


( R ) 2
an R 2
即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体
2
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
由于在每一瞬时，刚体的ω和α都只有一个确定的数 值，所以得知：
1．在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加 速度的大小，分别于这些点到轴线的距离成正比。
2．在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径 间的夹角θ都有相同的值。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：r=0.4m， 在某瞬时的全加速度a=40m/s2,与转动半径的夹角θ=30º。
若t=0时，位置角φ0=0，求叶轮的转动方程及t=2s时M点速
度和法向加速度。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
解：将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切
§7-2 刚体绕定轴的转动
三、角加速度
角速度ω对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。
用α表示，即
d d 2
dt dt 2
角加速度表示角速度变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的快慢。
单位一般用rad/s2(弧度/秒2)。 角加速度也是代数量。
如果ω与α同号，则转动是加速的；如果ω与α异号，
则转动是减速的。
§7-2 刚体绕定轴的转动
解：连杆作平移，因此在连杆上 任取一点M可代表连杆的运动。 点M的位置坐标为
xM r cos r cost
这就是点M的运动方程。因此， 点M的速度及加速度为
vM xM r sin t
aM vM r 2 cost
§7-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动， 则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通 过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴 线，简称轴。
每一瞬时,各点的速度相同,加速度也相同。 因此,研究刚体
的平移,可以归结为研究刚体内任一点（如质心）的运动。
§7-1 刚体的平行移动
例：图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时， 通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复 动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角为φ=ω t，其中ω是常数， 求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
四、两种特殊情况 1.匀速转动 刚体角速度不变的转动，称为匀速转动。
0 t
在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分 钟转数n来表示，其单位为r/min（转/分），称为转速。
角速度ω与转速n的关系为
2n n
60 30
式中转速n的单位为r/min，角速度ω 的单位为rad/s。
§7-2 刚体绕定轴的转动
2.匀变速转动
刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。
0 t

0
0t

1 t 2
2
2


2 0

2 (
0 )
其中ω0和φ0分别是t=0时的角速度和转角。
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、转动刚体内各点的速度 以固定点O´为弧坐标s
f (t)
这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。
§7-2 刚体绕定轴的转动
二、角速度
转角φ对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，
用ω表示，即
d
dt
角速度表示刚体转动的快慢和方向。
单位一般用rad/s（弧度/秒）。
角速度是代数量。
从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取 正值，反之取负值。