微分形式的基本方程流体力学
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流体力学-N-S方程
dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
流体力学—Ch2基本方程
V
∫
S
K p n ds
K ∂ K ρ VdV + w ρ (V ⋅ n)VdA = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ ∫∫ D S V Σ ∂t
微分形式的动量方程
利用第二雷诺定理和Gauss 公式来证明
K D K K ρ udv = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ V S V Dt
D Dt
∫
V
K ρ udv =
∫
K Du ρ dv Dt V
∫
V
K K Du ρ dv = ∇ ⋅σ dv + ρ fdv Dt V V V
∫
∫
K K 应力 p n = n ⋅σ
G n ∫ ⋅ σ ds = ∫ ∇ ⋅ σ dv
S
∫
K K ∂u K K ρ + ρ (u ⋅ ∇ ) u = ∇ ⋅ σ + ρ f ∂t
ρ = ρ2 ρ = ρ1
密度分层流动
流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动，此时其密度保持为常数 ρ1 或 ρ 2 ， 因此 D ρ = 0 ，但 ∂ ρ ≠ 0 ， ∂ ρ ≠ 0 。
Dt
∂x
∂y
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可 能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T = τ yx τ zx
该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。 2.应力矩阵的常用表达式
0 −p 0 T = 0 − p 0 + τ yx 0 0 −p τ zx
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
∫
S
K p n ds
K ∂ K ρ VdV + w ρ (V ⋅ n)VdA = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ ∫∫ D S V Σ ∂t
微分形式的动量方程
利用第二雷诺定理和Gauss 公式来证明
K D K K ρ udv = ∫ pn ds + ∫ ρ fdv ∫ V S V Dt
D Dt
∫
V
K ρ udv =
∫
K Du ρ dv Dt V
∫
V
K K Du ρ dv = ∇ ⋅σ dv + ρ fdv Dt V V V
∫
∫
K K 应力 p n = n ⋅σ
G n ∫ ⋅ σ ds = ∫ ∇ ⋅ σ dv
S
∫
K K ∂u K K ρ + ρ (u ⋅ ∇ ) u = ∇ ⋅ σ + ρ f ∂t
ρ = ρ2 ρ = ρ1
密度分层流动
流体质点可沿 ρ = ρ1 线或 ρ = ρ 2 线流动，此时其密度保持为常数 ρ1 或 ρ 2 ， 因此 D ρ = 0 ，但 ∂ ρ ≠ 0 ， ∂ ρ ≠ 0 。
Dt
∂x
∂y
密度分层流动可能发生在大气中（由空气温度变化引起），也可 能发生在大洋中（由于水的含盐量变化引起）。
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
T = τ yx τ zx
该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。 2.应力矩阵的常用表达式
0 −p 0 T = 0 − p 0 + τ yx 0 0 −p τ zx
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
工程流体力学22流体平衡微分方程
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程
或 D w 0
Dt
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（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
微分形式的基本方程解析课件
Fluid Mechanics and Machinery
连续性方程
B3 微分形式的基本方程
4
质量守恒定律在流体力学中的具体形式。
dt时间内, 流进控制体的流体质量为
uxdydzdt
流出的流体质量为
ux dy
(
ux
ux
x
dx )dydzdt
dz dx
dt时间x轴向流出的净质量:
ux
ux
x
dx
y
Ox z
B3 微分形式的基本方程 12
质量力 作用在流体的每个质点（微团）上
并与流体质量成正比的力称为质量力。
A点附近取微团 dm, dV, dF∝dm , 称
lim 质量力极限为f作用在A点F的 单d位F质(量N力k。g或m/s 2 )
V 0 m dm
lim
体积力 f
F dF ( N / m3 )
B y
p z
pn pxnx pyny pznz
Fluid Mechanics and Machinery
B3 微分形式的基本方程 23
pn pnxi pnyj pnzk
px pxxi xyj xzk
py yxi pyy j yzk pz zxi zy j pzzk
⊿V是比⊿A高一阶的小量
pnA 0
pn
n
pn
22
pndA pxdAx p ydAy pzdAz 0
pz
pz
,
p x
px
,
p y
n nxi ny j nzk
py
px
z C
dz
p y
n
dx
A
dAx nxdA;dAy nydA;dAz nzdA
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
流体力学-05 微分形式基本方程
控制面净的质量流率
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
控制体内的质量变化率为
质量守恒的微分表达式
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
质量守恒定律表示为
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
为常数的线在该点处斜率的负倒数
Ψ 为常数的线与 Φ 为常数的线是正交的。 为常数的线是正交的
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
5-6.3 6 3 无旋流动和粘度
速度势只在无旋流动中存在，流函数满足连 续性方程，流函数不限定在无旋流动中。 在什么条件下能够形成无旋流动？ 开始不旋转的质点在没有角变形时将不会 发展成旋转运动。
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Left ( x) (Right (+x) = = = = = = = =
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Bottom = ( y) (Top (+y) Back ( z) (Front (+z) = = =
每一个面的性能参数通过相对于O点的 泰勒级数展开
化工流体力学 大连理工大学流体与粉体工程研究设计所 刘志军 2010年9月~10月
Surface Inside = (-r) ( Right = (+r) Front = ( θ) (Back = (+θ ) Bottom = ( z) (Top = (+z)
流体力学连续性方程微分形式
0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时
u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ， 与流出的流体体积（质量）之差等于零。 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
[
•
( u x ) x
( u y ) ( u z ) y ]dxdydz dxdydz z t
流体的连续性微分方程的一般形式：
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
1
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为 （ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右 左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz
等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p p zz ) 3 u
微分型基本方程_449206731
VF = VW , TF = TW
液体——流体界面（互不搀混流体的界面）
1 1 考虑表面张力： ( pn i n ) + − ( pn i n ) − = σ ( + ) R1 R2
V+ = V−
( pn i s ) + = ( pn i s ) − ( pn it ) + = ( pn it ) −
2 pij = [ − p + ( µ ′ − µ )∇iV ]δ ij + 2 µ Sij 3
p = ρ RT ,
e = cvT
独立未知数：
ρ , e, T ,V , p, pij 13个未知数
流体力学方程组的封闭性
二、流体动力学中经常采用封闭方程组
2. 重力场，qR=0，牛顿流体、Fourier定律的不可压缩均质流体
D V2 （ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) qR ρ dτ 0 + A∫∫t ) qλ dA0 + τ∫∫∫) ( f iV )ρ dτ 0 + A∫∫t（pn iV )dA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0( 0 (t 0( )
D V2 D V2 D V2 （ （ （ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) Dt e + 2 )ρ dτ 0 = ∫∫∫ Dt e + 2 )ρ dτ Dt τ 0 ( t τ 0 (t
流体的运动方程——动量守恒
微分形式基本方程 D ∫∫∫) ρVdτ 0 = τ∫∫∫) ρ fdτ 0 + A∫∫t ) pndA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0(
D D DV D DV DV ρVdτ 0 = ∫∫∫ ( ρVdτ 0 ) = ∫∫∫ [ ρ dτ 0 + V ( ρ dτ 0 )] = ∫∫∫ ρ dτ 0 = ∫∫∫ ρ dτ ∫∫∫) Dt τ 0 ( t Dt Dt Dt Dt Dt τ0 (t ) τ0 (t ) τ0 (t ) τ
第4章_流体动力学微分形式的基本方程
u z t
u x x
2u x ) 2 z 2u y ) 2 z 2u z ) 2 z
给出定解条件
初始条件
边界条件
理论上，方程组可解。
2. N－S方程组的特点 非线性
二阶
u u u u x x x x x y z ( u u u ) x y z t x y z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
yx u u u u x x x x xx zx ( u u u ) X x y z t x y z x y z
对于恒定流动： 0 , ( u ) 0 t
u 0 对于不可压缩流体：
u u u y x 或 z 0 x y z
柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：
1 ( ru ) 1 u u r z 0 r r r z
存在问题： 方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
xx
p 2 p 2 p 2
yx
yy
zz
xy
yz
zy
zx
xz
u x x u y y u z z u y u x ( ) x y u y u z ( ) y z u x u z ( ) z x
偏微分
方程组
一般情况下， N－S方程组难于求解。
3. 主要解法
（1）层流精确解 对于某些简单流动，非线性项为零， 可求得精确解。例如： ① 平行平板间的二维恒定层流运动
流体的微分控制方程
流体的微分控制方程流体力学是研究流体在力的作用下运动规律的学科，而微分控制方程是用来描述流体运动的基本方程。
本文将介绍流体的微分控制方程，并探讨其中的物理意义和应用。
一、质量守恒方程在流体力学中，质量守恒方程描述了流体运动过程中质量的变化情况。
质量守恒方程可以写为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度矢量，∇表示空间中的梯度运算符，·表示向量的点乘运算符。
质量守恒方程实际上是对流体流动过程中连续性的物理描述，即单位时间内通过流体某一状态面的质量与该状态面内质量的变化率之间的关系。
通过对质量守恒方程的求解，可以得到流体运动的一些基本特征，比如速度分布、压力分布等。
二、动量守恒方程动量守恒方程是描述流体运动中动量变化的方程。
动量守恒方程可以写为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p表示流体的静压力，τ表示流体的应力张量，g表示重力加速度。
动量守恒方程实际上是描述力对流体动量变化的贡献，它包括了压力力、应力力和重力力。
通过求解动量守恒方程，可以得到流体流动的速度分布、压力分布以及流动的稳定性等信息。
这对于工程中的流体输送、流体装置的设计和优化等具有重要意义。
三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体运动中能量变化的方程。
能量守恒方程可以写为：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + ρg·v + Q其中，e表示单位质量流体的内能，T表示温度，k表示热传导系数，Q表示单位体积流体的内部热源。
能量守恒方程描述了流体运动中能量转换和传递的过程。
通过求解能量守恒方程，可以得到流体流动中温度分布、热传导速率等信息。
对于热力学系统、热工装置的设计和优化有着重要的意义。
结语流体的微分控制方程是研究流体运动规律的重要工具。
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
第3章-流体力学连续性方程微分形式
欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
( px
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dt
dx
duy d;
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
当为恒定流时
t
0
(ux
x
)
(uy
y
)
(uz
z
)
0
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时 Const
u x x
u y y
u z z
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节 流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩流体的连续性微分方程：uxx
uy y
uz z
0
2）切应力与主应力的关系表达式
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X
1
p x
1
第三章 流体动力学基础
第三节 流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程 二、理想流体运动微分方程 三、粘性流体的运动微分方程
微分方程在流体力学中的应用
微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体运动和力学性质的学科，涉及到许多复杂的物理现象和问题。
微分方程作为数学工具之一，在流体力学中有着广泛的应用。
本文将介绍微分方程在流体力学中的几个重要应用领域，探讨其在解决流体力学问题中所起的关键作用。
一、流体运动方程在流体力学中，分析流体的运动是一项基础工作。
而流体的运动可以通过流体力学方程来描述，其中最基本的方程即为Navier-Stokes方程。
Navier-Stokes方程是由质量守恒方程和动量守恒方程组成的，可以用于描述粘性流体的运动，其常见形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0∂(ρu)/∂t + ∇·(ρu ⊗ u) = -∇p + ∇·τ + f其中，ρ表示流体密度，t表示时间，u表示流速矢量，p表示压力，τ表示应力张量，f表示外力矢量。
而∇和∇·分别表示向量的梯度和散度运算。
二、边界层理论在流体力学中，边界层理论是研究流体在靠近固体边界处发生的边界层现象及其影响的理论。
边界层理论的基础是雷诺平均Navier-Stokes方程，与全流域的Navier-Stokes方程相比，在边界层的范围内，可以做简化处理。
边界层的形成和发展以及与固体表面的相互作用过程，可以通过边界层方程来描述。
边界层方程是通过对雷诺平均Navier-Stokes方程进行近似和经验关系的推导而得到的微分方程组，可以用来描述流体在边界层中的运动和变化。
三、湍流模拟湍流是流体力学中一个极为复杂的问题，其涉及到尺度的动态演化、能量耗散以及涡旋的相互作用等诸多现象。
要精确地预测和模拟湍流现象，需要解决雷诺平均Navier-Stokes方程以及湍流模型。
湍流模拟方法主要分为直接数值模拟(Direct Numerical Simulation, DNS)和大涡模拟(Large Eddy Simulation, LES)两种。
其中，DNS方法求解多维Navier-Stokes方程，可给出湍流各个尺度上的全部细节，但计算量极大，仅适用于小尺度的湍流问题。
流体力学公式 ns 方程
流体力学公式 ns 方程
纳维-斯托克斯方程（NS方程）是描述流体力学中流体运动的
基本方程之一。
它是一组偏微分方程，由连续方程和动量方程组成。
连续方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的运动规律。
首先，我们来看连续方程，也称为质量守恒方程：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇
是 nabla 算子，·表示数量积。
这个方程表示了流体在空间和时间
上的质量守恒。
其次，我们来看动量方程，描述了流体的运动规律：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + f.
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇
是 nabla 算子，·表示数量积，p是流体的压力，τ是应力张量，
f是外力。
这个方程描述了流体在外力作用下的加速度和流体内部
的压力、黏性力等因素对流体运动的影响。
综合来看，纳维-斯托克斯方程是描述流体在运动过程中质量守恒和动量变化的数学表达式，它在流体力学和相关工程领域有着重要的应用，可以用来研究流体的运动规律、流体力学现象以及工程实践中的流体流动等问题。
希望这个回答能够全面地解释了纳维-斯托克斯方程的基本内容。
流体力学 第四章 微分方程
dt时间内整个六面体流出与流进的流体质量之差： （u ) （v) （w) x y z dxdydzdt
2、六面体内流体质量的变化
在开始时，流体密度为，dt时间后流体密度变为＋ dt。 t 由于在dt时间内从六面体多流出到外部一定的流体质量，所 以内部质量要减少，这样在dt时间内六面体内流体密度变化 引起的质量减少为： dxdydz ( dt )dxdydz dxdydzdt t t
根据动量守恒 F t ( V ) x ( uV ) y ( vV ) z ( wV ) dxdydz u v w V V V V V V V V u v w dxdydz t x y z x y z t u v w V V V V V dxdydz t u x v y w z dxdydz x y z t dV dxdydz dt
对X方向，有 du u u u u u v w dt t x y z u u v w u u v w (u v w )v w v w t x x x y z x x u u 2 v 2 w2 u w v u ( ) w( ) v( ) t x 2 z x x y u V2 ( ) 2 w y 2v z t x 2
1 p du u u u u u v w x dt t x y z 1 p dv v v v v Y u v w y dt t x y z 1 p dw w w w w Z u v w z dt t x y z X
dx dy dz （ 1) u v w （2) x y z 0 （3) u v w 0 （4) （5) dx dy dz
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B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
• 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时
16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
（C为常数）
可得
v u v 0 x y
（B3.1.11）
v y
u x
2cxy (x2 y2)2
v 2cxy dy f (x) cx f (x)
(x2 y2 )2
x2 y2
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而 是受到（B3.1.11）式制约的。
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中
fx 0, fy 0, fz g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
fx
π x
,
fy
π y
,
fz
π z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态
求： 应力状态 解: 附加法向应力
（k为常数）
σx
2μ
u x
2μ
x(
k
y
)
0
法向应力
pxx p σ x p
σ
y
2μ
v y
0
p yy p σ y p
切应力
τ xy
τ
yx
μ(
u y
v x
)
μ
k
讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一
点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也
B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力
1.体积力
长程力
穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
单位质量流体上的体积力 f (x , y ,z ,t) l i m δ Fb δ τ0 ρ δ τ
单位体积流体上的体积力
ρ f l i m δ Fb δ τ0 δ τ
x，y，z方向净流出质量为
ρ u ,
x
ρ v ,
y
因密度变化引起的质量减少为 ρ
t
ρ w
z
由质量守恒定律
ρu ρv ρw ρ
x y z
t
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)
ρ t
ρu
x
ρv
y
ρw
z
ρ t
(ρ
v
)
0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt
只有法向应力
p 0 0
P
0
p
0
0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p
1 3
pxx
pyy
pzz
在法向应力中把压强分离出来
pxx p σ x
p yy p σ y
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 作用在任意方位 n(nx,ny,nz ) 面元上的表面应力
px
x
τxy
τ
x
z
Pn
n
P
=
(nx
,
ny
,
nz
)
τ
yx
pyy
τ
y
z
τzx
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2 微分形式的连续性方程
边长为d,x ,dy的d长z 方体控制体元， δt 内x方向净流出的质量
ρ
u
(ρu) x
dx
dydzδt
ρ
udydzδ
t
(ρu) x
dxdydzδ
t
单位时间单位体积内
τzy
pz
z
表面应力的分量式
p n p n τ n τ
nx
x xx
y yx
z zx
p n τ n p n τ
ny
x xy
y yy
z zy
p n τ n τ n p
nz
x xz
y yz
z zz
B3.2.3 应力场(4-3)
2.静止流体中的应力状态
无切应力
静止流体的应力状态
pxx pyy pzz pnn p
均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在
全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为 u ky （k为常数） v kx
与流体元体 积成正比
体积力
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力
通过接触面 作用
压强 粘性切应力
与表面面积 和方位有关
表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
pn
(x,
y,z,t)
lim
δA0
δ Fs δA
（注意δ：Fs 和p不n 一定与 δ 垂A 直） n——面积元外法线单位矢 －n——面积元内法线单位矢
pzz p σz
σx ,σ y ,σz 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）
应力矩阵表示为
p 0
0
σx
τxy
τ
x
z
P
0
p
0
τ
y
x
σy
τ
yz
0
0
p
τz
x
τzy
σz
压强矩阵 偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态
已知：平面线性剪切流
u ky v 0
ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u
x
2
cy y
2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
与作用力的大小、方向、作用面方位有关
用过该点三个坐标 面上三组表面力分
量唯一确定
一点的表面 应力
应力状态
应力矩阵
px
x
τxy
τx
z
P
τ
y
x
pyy
τ
y
z
τ
z
x
τzy
pz
z
δAx 上的应力分量为 p xxτ, xyτ, xz δAy 上的应力分量为 τyx,p yyτ, yz
δAz 上的应力分量为 τzxτ, zy,p zz
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，
称其为流体运动的连续性原理。
• 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时
16世纪，达·芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
（C为常数）
可得
v u v 0 x y
（B3.1.11）
v y
u x
2cxy (x2 y2)2
v 2cxy dy f (x) cx f (x)
(x2 y2 )2
x2 y2
讨论：当f(x) = 0，表示位于原点的点涡流动；
当f(x) = U，表示点涡流叠加y方向速度为U的均流；
本例说明对不可压缩流动，任一点的各速度分量不能是任意的,而 是受到（B3.1.11）式制约的。
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2 重力场 在直角坐标系的重力场中
fx 0, fy 0, fz g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
fx
π x
,
fy
π y
,
fz
π z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3 应力场 1.运动粘性流体中的应力状态
求： 应力状态 解: 附加法向应力
（k为常数）
σx
2μ
u x
2μ
x(
k
y
)
0
法向应力
pxx p σ x p
σ
y
2μ
v y
0
p yy p σ y p
切应力
τ xy
τ
yx
μ(
u y
v x
)
μ
k
讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一
点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也
B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力
1.体积力
长程力
穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
单位质量流体上的体积力 f (x , y ,z ,t) l i m δ Fb δ τ0 ρ δ τ
单位体积流体上的体积力
ρ f l i m δ Fb δ τ0 δ τ
x，y，z方向净流出质量为
ρ u ,
x
ρ v ,
y
因密度变化引起的质量减少为 ρ
t
ρ w
z
由质量守恒定律
ρu ρv ρw ρ
x y z
t
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-2)
ρ t
ρu
x
ρv
y
ρw
z
ρ t
(ρ
v
)
0
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ Dt
只有法向应力
p 0 0
P
0
p
0
0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p
1 3
pxx
pyy
pzz
在法向应力中把压强分离出来
pxx p σ x
p yy p σ y
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示 作用在任意方位 n(nx,ny,nz ) 面元上的表面应力
px
x
τxy
τ
x
z
Pn
n
P
=
(nx
,
ny
,
nz
)
τ
yx
pyy
τ
y
z
τzx
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2 微分形式的连续性方程
边长为d,x ,dy的d长z 方体控制体元， δt 内x方向净流出的质量
ρ
u
(ρu) x
dx
dydzδt
ρ
udydzδ
t
(ρu) x
dxdydzδ
t
单位时间单位体积内
τzy
pz
z
表面应力的分量式
p n p n τ n τ
nx
x xx
y yx
z zx
p n τ n p n τ
ny
x xy
y yy
z zy
p n τ n τ n p
nz
x xz
y yz
z zz
B3.2.3 应力场(4-3)
2.静止流体中的应力状态
无切应力
静止流体的应力状态
pxx pyy pzz pnn p
均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在
全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为 u ky （k为常数） v kx
与流体元体 积成正比
体积力
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力
通过接触面 作用
压强 粘性切应力
与表面面积 和方位有关
表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
pn
(x,
y,z,t)
lim
δA0
δ Fs δA
（注意δ：Fs 和p不n 一定与 δ 垂A 直） n——面积元外法线单位矢 －n——面积元内法线单位矢
pzz p σz
σx ,σ y ,σz 为附加法向应力分量（与流体元线应变率有关）
应力矩阵表示为
p 0
0
σx
τxy
τ
x
z
P
0
p
0
τ
y
x
σy
τ
yz
0
0
p
τz
x
τzy
σz
压强矩阵 偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态
已知：平面线性剪切流
u ky v 0
ρv
0
或改写为：
v 1 Dρ ρ Dt
左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。
不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程
已知：不可压缩流体平面流动
求： v
u
x
2
cy y
2
解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
与作用力的大小、方向、作用面方位有关
用过该点三个坐标 面上三组表面力分
量唯一确定
一点的表面 应力
应力状态
应力矩阵
px
x
τxy
τx
z
P
τ
y
x
pyy
τ
y
z
τ
z
x
τzy
pz
z
δAx 上的应力分量为 p xxτ, xyτ, xz δAy 上的应力分量为 τyx,p yyτ, yz
δAz 上的应力分量为 τzxτ, zy,p zz