4-流体力学基本方程组

∂υ y ∂t +υx ∂υ y ∂x +υy ∂υ y ∂y +υz ∂υ y 1 ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz = gy + + + ∂z ∂y ∂z ρ ∂x
∂υ z ∂υ z ∂υ z ∂υ z 1 ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z +υx +υy +υz = gz + ∂x + ∂y + ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ρ
柱坐标系下
τ 1 1 ∂ 1 ∂τ ∂υr ∂υr υθ ∂υr υθ 2 ∂υ ∂τ + υr + − + υz r = gr + ( rσ r ) + θ r − θθ + zr ∂t ∂r r ∂θ r ∂z r ∂θ r ∂z ρ r ∂r
∂υθ ∂υ ∂υ υ ∂υθ υθ υ r 1 1 ∂ 2 1 ∂σ θ ∂τ zθ + υr θ + θ + + υ z θ = gθ + 2 r τ rθ + + ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z r ∂θ ∂z ρ r ∂r
A
s
代入已知值，得导管的重量流量： 代入已知值，得导管的重量流量：
Ws = γ (Vi Ai − Ve Ae )
〗 验证不可压缩流场： 〖例 4-2〗 验证不可压缩流场： υ x =
x y ,υ y = 2 x2 + y2 x + y2
试验证： 是否符合连续性 是否符合连续性？ 流动是否有旋 流动是否有旋？ 试验证：(1)是否符合连续性？(2)流动是否有旋？ 平面不可压缩流体连续性方程的柱坐标形式为： 〖解〗(1)平面不可压缩流体连续性方程的柱坐标形式为： 平面不可压缩流体连续性方程的柱坐标形式为
)
2
(x
+ y2
)
2
⋅ 2 x = 0
知此平面流动为无旋流动。 知此平面流动为无旋流动。
第三节
动量方程
图4.4 在无限小单元上的应力分量
应力矢量
r r r τ = τ ( r , t, n )
r
引入应力张量
r r τ = T (r,t ) ⋅ n
τ x Txx τ y = Tyx τ T z zx Txy Tyy Tzy Txz Tyz Tzz nx ny n z
第四章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
流体力学基本方程组
输运定理 质量守恒原理 动量方程 角动量方程 能量守恒原理 初始条件和边界条件
第一节
输运定理
1.系统 ： 系统是一团确定不变的物质的集合。 系统 系统是一团确定不变的物质的集合。 ：（1）系统边界随流体一起运动，而且其形状、大小随时间变化； 特点 ：（ ）系统边界随流体一起运动，而且其形状、大小随时间变化； （2）系统边界上没有质量交换，但可以有能量交换（如热或功）； ）系统边界上没有质量交换，但可以有能量交换（如热或功）； （3）外界对系统可以施加作用力。 ）外界对系统可以施加作用力。 2. 控制体 ： 控制体是相应某个坐标系固定不变的任何体积。 控制体是相应某个坐标系固定不变的任何体积。 ：（1）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的； 特点 ：（ ）控制体的边界相应于坐标系是固定不变的； （2）控制面上可以有质量和能量交换； ）控制面上可以有质量和能量交换； （3）外界对控制体内物质可以施加作用力。 ）外界对控制体内物质可以施加作用力。
r
r r τ = (Txx nx + Txy n y + Txz nz ) i + (Tyx nx + Tyy n y + Tyz nz ) j r + (Tzx nx + Tzy n y + Tzz nz ) k r
动量平衡方程
r r r r r ∂ (ρυ ) ∫ ∂t dV + (∫)ρυ υdA = V ρgdV + (∫)TdA ∫ V A A r
(yτ (zτ (xσ
zy
xy y
− yτ xy )
− xτ zy )
− zσ y )
(yσ
− zτ yz ) (zτ xz − xσ z ) (xτ yz − yτ xz )
z
( r ⊗ T ) ∇ = div ( r ⊗ T ) = ( yτ zx − zτ yx ) +
r r
( A)
∫ ρ (υ o υ )dA
r r
( A)
r r r r ∂ ( ρυ ) + div (ρυ o υ ) dV = ∫ (ρg + div T )dV ∫ ∂t V V
r r r r ∂ ( ρυ ) + div ( ρυ o υ ) = ρg + div T ∂t
d dt
r r ∂υ r r ∫ r × ρυ dV = V r × ρ ∂t dV ∫ V
⇒
∫
( A)
r r r r × T dA = ∫ ( r ⊗ T )∇dV
V
( yτ zx − zτ yx ) r (r ⊗ T ) = (zσ x − xτ zx ) (xτ − yσ ) yx x
r 1 d lim dV ∫ ΨdV = Ψt(→r0, t∆t∆tV) (−rr ,Ψ+Ψ),(tr) , t + ∆t∂)Ψ − V (∫rr ,Ψ (r , t )dV ∫ (∆rrt ∆ dt V r + t t)
r V ( r ,t +∆t ) r V ( r ,t +∆t )
r V (r , t )
r Ψ (r , t ) r V ( r , t + ∆t ) r Ψ ( r , t + ∆t )
图4.1 流体实体容积
r V ( r ,t )
r ∫ Ψ (r , t )dV
r V ( r ,t + ∆t )
r ∫ Ψ (r , t + ∆t )dV
d 1 r lim ∫ ΨdV = ∆t →0 ∆t V ( rr ,∫+∆t ) Ψ (r , t + ∆t )dV dt V t
r r r r r d r ∫ r × ρυ dV = V r × ρgdV + (∫)r × T dA ∫ dt V A
d dt r r r r r r d r ∫ r × ρυ dV = V dt ( r × ρυ ) + ( r × ρυ ) div υ dV ∫ V r r r r r ∂ρ r ∂υ ∂r r = ∫ × ρυ + r × ρ + ( r × ρυ ) + ρ div υ dV ∂t ∂t ∂t V
单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。 单位体积内总的动量变化率等于作用在物体上的外力之和。
柯西运动方程
∂τ xy ∂τ xz ∂υ x ∂υ ∂υ x ∂υ x 1 ∂σ +υx x +υ y +υz = gx + x + + ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ρ
∂ (rυ r ) ∂υθ + =0 ∂r ∂θ
因υx =
x cos θ sin θ y = ,υ y = 2 = r r x2 + y2 x + y2
，有
υθ = −υ x sin θ + υ y cos θ = 0
υ r = υ x cos θ + υ y sin θ = 1 / r
代入以上连续性方程， 代入以上连续性方程，
(
)
∂υ z ∂υ z ∂υ z υθ ∂υ z 1 1 ∂(rτ rz ) 1 ∂τ θz ∂σ z +υz = gz + + + + υr + ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂θ ∂z ρ r ∂r
第四节
角动量方程
角动量守恒原理是指一定体积（ ） 角动量守恒原理是指一定体积（V）流体的角动量变化率等于作用在该 流体上的所有外力矩之和。 流体上的所有外力矩之和。
∂(rυ r ) ∂υθ ∂ (r / r ) ∂υθ + = + =0 ∂r ∂θ ∂r ∂θ
(2) 由 ω z = 1 x − y ，代入速度分量： ∂y 代入速度分量： 2 ∂x
−x 1 ωz = 2 x2 + y2 ⋅ 2y − −y
2
∂υ
∂υ
(
∂ρ ∫ ∂t dV + ∫ ρυ n dA = 0 V A
图4.3 多关联的物质体积
如下图所示， 〖例 〗 如下图所示，逐渐扩张的管道进出口截面面积分别为 Ai , Ae ， 已知， 若其中不可压缩流体的进出口平均流速 Vi , Ve 已知，有一导管将部分流体 疏导至管外， 疏导至管外，求单位时间内导管出口的流体重量
r r
∂ ∂x
∂ ∂y
( yτ
zy
− zσ y ) +
r ∂ ( yσ z − zτ yz ) i ∂z
∂ r ∂ + ( zσ x − xτ zx ) + ( zτ xy − xτ zy ) + ∂∂z ( zτ xz − xσ z ) j ∂y ∂x ∂ r ∂ + ( xτ yx − yσ x ) + ( xσ y − yτ xy ) + ∂∂z ( xτ yz − yτ xz ) k ∂y ∂x ∂τ ∂τ ∂σ ∂τ r ∂τ ∂σ = y zx − z yx + τ zy + y zy − z y + y z − τ ya − z yz i ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂τ ∂τ ∂σ ∂τ ∂τ ∂σ r + z x − τ zx − x zx + z xy − x zy + τ xz + z xz − x z j ∂x #43; τ yz + x yx − y x + x y − τ xy − y xy + x yz − y xz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z r k