阶段质量检测(二) 解析几何初步

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北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（） A ．2B ．4C ．3D ．62．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且33OA OB AB +≥，则k 的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．3．已知点(3,2)P ，点M 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，点N 是222:(2)1C x y +-=上的动点，则||||PN PM -的最大值是（）A ．5-B ．5+C ．2D ．3-4．已知圆1C :22(1)(6)25x y ++-=，圆2C :222(17)(30)x y r -+-=．若圆2C 存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于A 、B 两点，且满足||2||PA AB =，则半径r 的取值范围是（） A ．[5，55]B ．[5，50]C ．[10，50]D ．[10，55]5．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=6．在直角坐标平面内，过定点P 的直线:10l ax y +-=与过定点Q 的直线:30m x ay -+=相交于点M ，则22||||MP MQ +的值为( )A ．2BC ．5D ．107．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，E 是1CC 的中点，则点1C 到平面EBD 的距离为（）A B C D8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（）A ．3B ．23C ．43D ．129．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π10．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（） A ．1B ．32C ．2D ．311．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =12．已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，14,42AB BD ==，若60BAD ︒∠=，则异面直线1BC 与1AD 所成的角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒二、填空题13．关于x 的方程29(3)4x k x -=-+有两个不同的实数解时，实数k 的取值范围是_______14．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________15．已知直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，过点()1,P a -的直线m 与圆C 交于,A B 两点，且AB 4=，则直线m 的斜率为____.16．已知圆()2221x y +-=上一动点A ，定点()6,1B ，x 轴上一点W ，则AW BW+的最小值等于______.17．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()32x g x x -=-，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____18．若圆1C ：220x y ax by c 与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则c =______.19．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.20．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.21．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB BC ==，13AA =，经过顶点A 作一个平面α，使得//α平面11CB D ，若α平面1ABCD l =，α平面112ABB A l =，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为___________.22．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．23．将底面直径为8，高为23的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为______.24．已知点O 为圆锥PO 底面的圆心，圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ，圆锥PO 的外接球的表面积为______.三、解答题25．如图，长方体ABCD A B C D ''''-由，12AB =，10BC =，6AA '=，过A D ''作长方体的截面A D EF ''使它成为正方形.（1）求三棱柱AA F DD E ''-的外接球的表面积；（2）求 B A D EF V ''-.26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 27．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ；（Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离．28．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，226AB PD ==，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=2123()242----=，故选B .考点：圆的几何性质，点到直线距离公式.2．B解析：B 【详解】设AB 中点为D ，则⊥OD AB ，∵33OA OB AB +≥，∴323OD AB ≥，∴23AB OD ≤，∵221||44OD AB +＝，∴2||1OD ≥，∵直线0x y k +-=（0k >）与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，∴224,4||1OD OD <∴≥>，∴241>≥，∵0k >，∴k ≤< B.3．A解析：A 【分析】由圆外的点和圆上的点的连线长度的最值关系，转化为求max minPN PM -.【详解】由条件可知||||PN PM -的最大值是max minPN PM-，2max 114PN PC =+==，1min111PMPC =-==,所以||||PN PM -的最大值是()415-=- 故选：A 【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r +；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -.4．A解析：A 【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r 的取值范围即可. 【详解】解：圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=的圆心为()1,6-，半径为5. 圆2C :222(17)(30)x y r -+-=的圆心为()17,30，半径为r .30=.如图：因为||2||PA AB =，可得||AB 的最大值为直径，此时220C A =，0r >. 当半径扩大到55时，此时圆2C 上只有一点到1C 的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足||2||PA AB =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，直线与圆的综合应用，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 24PA MP =-当直线MP l ⊥时，min 5MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．D解析：D 【分析】由已知得(0,1)P ，(3,0)Q -，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=垂直，M 位于以PQ 为直径的圆上，由此能求出22||||MP MQ +的值即可．【详解】在平面内，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=相交于点M ，(0,1)P ∴，(3,0)Q -，过定点P 的直线10ax y +-=与过定点Q 的直线30x ay -+=垂直，M ∴位于以PQ 为直径的圆上，||9110PQ =+=， 22||||10MP MQ ∴+=，故选：D ．【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．7．B解析：B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图，利用等体积法，11C EBD D C EB V V --=，设点1C 到平面EBD 的距离为d ，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，故22,5BD BE ED ===2215232h ED BD ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离，即D 到平面11C CBB 的距离，为CD =2，111212EBC S=⨯⨯=，由11C EBD D C EB V V --=得，1161233d =⨯⨯，故636d ==. 故选：B. 【点睛】方法点睛：空间中求点到平面的距离的常见方法：（1）定义法：直接作垂线，求垂线段长；（2）等体积法：利用三棱锥换底求体积，结合两个面积和另一个高求未知高，即得距离；（3）向量法：过点的一个斜线段对应的向量a ，平面法向量n ，则a n d n⋅=.8．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=，故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.9．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O 的半径R 满足2222688164R =++= 所以球O 的表面积24164S R ππ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.10．C解析：C 【分析】首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点F ，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值. 【详解】延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.11．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】因为3169V d =，所以33941632d d V π⎛⎫==⎪⎝⎭，所以278π=，所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.12．A解析：A 【分析】把1AD 平移到1BC ，把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角．【详解】连接1,BD BC ，∵四边形ABCD 为菱形， 60,4BAD AB ︒∠==，4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形，22211BD BD DD ∴=+，得14DD =，∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1BC 于点O 11//BC AD ，BOC ∴∠（或其补角)为异面直线1BC 与1AD 所成的角，由于11BCC B 为正方形， 90BOC ︒∴∠=，故异面直线1BC 与1AD 所成的角为90°.故选：A. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】方程左边是圆心为原点半径为3的上半圆右边为恒过的直线当直线与半圆相切时求出的值直线过点时求得的值利用图象即可确定出实数的范围【详解】设图象如图所示当直线与半圆相切时圆心到直线的距离即解得：当解析：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】方程左边是圆心为原点，半径为3的上半圆，右边为恒过(3,4)的直线，当直线AB 与半圆相切时，求出k 的值，直线过点(3,0)-时，求得k 的值，利用图象即可确定出实数k 的范围．【详解】设1y =，2(3)4y k x =-+，图象如图所示，当直线与半圆相切时，圆心O 到直线AB 的距离d r =3=，解得：724k =，当直线过点(3,0)-时，可求得4023(3)3k -==--，则利用图象得：实数k 的范围为72(,]243，故答案为：72(,]243. 【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．14．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位解析：340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-3030(1)BC k -==--，13k ∴=-又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-= 故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.15．1【分析】由直线是圆的一条对称轴得到直线过圆心求得得到再根据得到点的直线必过圆心利用斜率公式即可求解【详解】由题意圆的圆心坐标半径为因为直线是圆的一条对称轴则直线过圆心即解得此时点又由直线与圆交于两解析：1 【分析】由直线l 是圆C 的一条对称轴，得到直线l 过圆心，求得2a =-，得到(1,2)P --，再根据4AB =，得到点P 的直线必过圆心(2,1)C ，利用斜率公式，即可求解.【详解】由题意，圆22:4210C x y x y +--+=的圆心坐标(2,1)C ，半径为2r，因为直线():0l x ay a R +=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的一条对称轴，则直线l 过圆心(2,1)C ，即210a +⨯=，解得2a =-，此时点(1,2)P --，又由直线m 与圆C 交于,A B 两点，且4AB =，可得过点P 的直线必过圆心(2,1)C ，所以直线m 的斜率为1(2)12(1)k --==--.故答案为：1. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16．【分析】根据题意画出示意图进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆以及点B （61）的图象如图作B 关于x 轴的对称点连接圆心与则与圆的交点A 即为的最小值为点（02）到点（6-1）的距离减圆的半径即故答案解析：351-【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆()2221x y +-=，以及点B （6，1）的图象如图，作B 关于x 轴的对称点B '，连接圆心与B '，则与圆的交点A ，AB 即为AW BW +的最小值，AB 为点（0，2）到点B '（6，-1）的距离减圆的半径，即11AB ==，故答案为：1．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B 点的对称点是解决本题的突破点；17．【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得即解得或解析：2] 【分析】根据斜率的几何意义，()32g x x =-表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()g x =为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x ∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-，最小值为过A点与[0,1]y x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入[0,1]y x =∈得，320,0,14(32)0kx k k k k -=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得k =k =当k =3[0,1]==，当34k =3[0,1]==+ 不合题意，舍去，()g x值域为3[2]4+.故答案为:2].【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.18．【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为：【点睛解析：165-【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】解：因为圆1C ：220xyax by c ，即22224224ab a b cxy ，圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径224a b c r +-=由题意，得111,22C a b ⎛⎫--⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，则112,122112221,22b a ba ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45b =，圆1C 的半径2242a bc r +-==，解得165c =-. 故答案为：165- 【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.19．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积．【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=．故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．20．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平解析：66【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论．【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥，又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥，又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以2BO =，2AO EO ==，22AE =，//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,22EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，22222cos 4542242102OD AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 22222cos135********OF EF EO EF EO =+-⋅︒=++⨯⨯⨯=， 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos 2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅128286621222+-==-⨯⨯，所以异面直线BD 和AE 所成角的余弦为66．故答案为：66.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．21．【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展得到异面直线所成角即BD 与所成的角再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可【详解】如图设平面平面平面平面因为平面所以故异面直线与所成的角即与所成的角延长AD 解析：2613【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展，得到异面直线所成角即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠，再结合长方体棱长的条件在1A BD 中求其余弦值即可.【详解】如图，设平面11CB D ⋂平面1ABCD l '=，平面11CB D ⋂平面112ABB A l '=，因为//α平面11CB D ，所以1122//,//l l l l ''，故异面直线1l 与2l 所成的角，即1l '与2l '所成的角.延长AD 至E ，使AD DE =，连接CE ，则易见BD 与CE 平行且相等，又BD 与11B D 平行且相等，故BD 与11B D 平行且相等，即四边形11D B CE 是平行四边形，CE 就是交线1l '.同理可知1B F 就是交线2l '.又知BD //CE ，11//B F A B ，故1l '与2l '所成的角，即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠，依题意可知，2AB BC ==，13AA =，故1A BD中，11A B A D BD ===故1112cos BDA BD AB ∠===. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.22．【分析】由第二个图可知水的体积占整个圆锥体积的在第一个图中水的体积占圆锥的上面小圆锥体积占大圆锥体积的根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比即可解得a 的值【详解】在图②中水形成的小圆锥和大圆解析：(2a【分析】由第二个图可知，水的体积占整个圆锥体积的18，在第一个图中，水的体积占圆锥的18，上面小圆锥体积占大圆锥体积的78，根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比，即可解得a 的值. 【详解】在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为12，故其底面积的比为14，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为22a h a-，体积比为327(=28a h a -），解的h=(2a .故答案为: 3(27)a - 【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，属于中档题目，解题中的关键是要准确利用圆锥体积公式得到大小圆锥体积比与大小圆锥的高比的关系.23．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值. 【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得3232h =；所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为43π故答案为：43π. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.24．【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析：163π【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面，即过球心的截面且球心在PO 上，由等边三角形性质有Rt AO O '△，即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ，进而求外接球的表面积. 【详解】设外接球球心为O '，连接AO '，设外接球的半径为R ，依题意可得1AO =，3PO =，在Rt AO O '△中，有222O A AO O O ''=+，即)22213R R =+，解得3R =，故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为：163π. 【点睛】本题考查了求圆锥体的外接球面积，由截面是等边三角形，结合等边三角形的性质求球半径，进而求外接球面积，属于基础题.三、解答题25．（1）200π（2）80 【分析】（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥A BEF V '-即可. 【详解】（1）因为截面A D EF ''为正方形，所以10A F BC A D '===''，在Rt A AF '△中，222AA AF A F ''+=，即222610AF +=，解得8AF =，在直三棱柱AA F DD E ''-中，底面Rt A AF '△的外接圆半径为1110522A F '=⨯=，直三棱柱AA F DD E ''-的外接球球心到面A AF '的距离为11052⨯=，设三棱柱的外接球半径为R ，则225552R =+=，24200S R ππ∴==（2）因为22B A EF A B B A D EF EF V V V ''-'--'==，在长方体中AA '⊥平面BEF ，所以三棱锥A BEF '-的高为6AA '=，所以B A D EF V ''-111226332BEF S A A EF BF ⎛⎫'=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭△11210468032=⨯⨯⨯⨯⨯=.【点睛】关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.26．（1）证明见解析；（2）32. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，可证明四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，由线面平行的判定定理即可求证；（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，在EGC 中即可求EGC ∠的余弦值.【详解】（1）取AB 中点G ，连结OG ､EG ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1OG BB ∥，则OG EF ∥，又112EF CC =，则OG EF =，所以四边形OGEF 为平行四边形，则 OF EG ∥，又EG ⊂平面ABE ，OF ⊄平面ABE ，故//OF 平面ABE .（2）由（1）可知，OF EG ∥，则直线OF 与平面ABC 所成角即为直线EG 与平面ABC 所成角，连接CG ，由直三棱柱111ABC A B C -可得EC ⊥平面ABC ，则EGC ∠即为直线EG 与平面ABC 所成的角，设2AB =，则114AA CC ==，又1CE C F =，则1CE =，CG ，得2EG =，所以，直线EG 与平面ABC 所成角的余弦值为2，故直线OF 与平面ABC 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行的常用方法（1）定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明；（2）判定定理：在利用判断定理时，关键找到平面内与已知直线平行的直线，常考虑利用三角形中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明；（3）利用面面平行的性质定理：直线在一平面内，由两平面平行，推得线面平行；直线在两平行平面外，且与其中一平面平行，这这条直线与另一个平行.27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13．【分析】（Ⅰ）由余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再由1DD BD ⊥可得BD ⊥平面1ADD ，即得证；（Ⅱ）在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，可得1C F ⊥平面BDE ，则1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离，求出即可. 【详解】（Ⅰ）由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=，所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又因为1ADDD D =，所以BD ⊥平面1ADD ，因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ．（Ⅱ）如图，在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，垂足为F ．。

北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》检测(含答案解析)

一、选择题1．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．若直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，则b 的取值范围为（）A ．[]22-,B．2,22⎡⎤-⎣⎦C ．22,22-⎡⎤⎣⎦D ．()2,22-3．已知方程2234-+=-kx k x 有两个不同的解，则实数k 的取值范围是（）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．53,124C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（） A ．9B ．11C ．13D ．155．若直线0x y b +-=与曲线210x y -+=有公共点，则b 的取值范围是（） A ．[1,2]-B ．[2,1]-C ．[1,1]-D ．[2,2]-6．直线l 经过()2,1A ，()2(,)1B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围为（）A ．0,B ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭7．已知平面,αβ，直线l ，记l 与,αβ所成的角分别为1θ，2θ，若αβ⊥，则（） A ．12sin sin 1θθ+≤B ．12sin sin 1θθ+≥C ．122πθθ+≤D ．122πθθ+≥8．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为（）．A ．25B 5C ．155D ．1059．现有一个三棱锥形状的工艺品P ABC -，点P 在底面ABC 的投影为Q ，满足12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =品放入一个球形容器（不计此球形容器的厚度）中，则该球形容器的表面积的最小值为（） A ．42πB ．44πC ．48πD ．49π10．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确命题的序号是( )） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱1AA 的中点，截面1CD E 交棱AB 于点F ，则四面体1CDFD 的外接球表面积为（） A ．394πB ．414πC ．12πD ．434π12．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A ．43 B ．83C ．3D ．4二、填空题13．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．14．已知直线l 斜率的取值范围是()3,1-，则l 的倾斜角的取值范围是______． 15．已知点(1,0),(3,0)M N .若直线:0l x y m +-=上存在一点P 使得0PM PN ⋅=成立，则m 的取值范围是_____________.16．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．已知点()3,2A ，()2,3B -，直线():32260l k x y k ---+=.若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是________.18．已知A 是直角坐标平面内一定点，点(0,0)O ，若圆22()(–12)3x y -+=上任意一点M 到定点A 与点(0,0)O 的距离之比是一个定值λ，则这个定值λ的大小是________．19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．如图所示，Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图，其中A C B C ''''⊥，2B O O C ''''==，则ABC ∆的面积是________________.21．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．22．表面积为16π的球与一个正三棱柱各个面都相切，则这个正三棱柱的体积为___________.23．三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，给出如下命题：①ACB △是直角三角形；②此球的表面积等于11π； ③AC ⊥平面PBC ；④三棱锥A PBC -的体积为3. 其中正确命题的序号为______.（写出所有正确结论的序号）24．如图①，一个圆锥形容器的高为2a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水面的高恰为a （如图②），则图①中的水面高度为_________．三、解答题25．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAC ∠=，沿BD 将三角形BCD 向上折起到PBD 位置，E 为PA 中点，若F 为三角形ABD 内一点（包括边界），且//EF 平面PBD .（1）求点F 轨迹的长度；（2）若EF ⊥平面ABD ，求证：平面PBD ⊥平面ABD ，并求三棱锥P ABD -的体积. 26．在所有棱长均为2的直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，O ，M 分别为1,BD B C 的中点．（Ⅰ）求证：直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）求二面角1D AC D --的余弦值．27．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）；（2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ， ①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值； ②求点1A 到平面ABD 的距离28．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C D ，的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P 的位置．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0，所以1211d k ==+，2221d k ==+，解之得k ＝0或43k =-，所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B.2．B解析：B 【分析】直线y x b =+与曲线24y x =-y x b =+与半圆()224,0x y y +=≥有交点，分析几何图形得出有交点的临界情况．【详解】由24y x =-()224,0x y y +=≥，表示圆心 (0,0),2r =的半圆，当y x b =+经过(2,0)时，此时2b =-；当y x b =+与此半圆相切时，222221(1)r b ==⇒=+-，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线y x b =+与曲线24y x =-有公共点，则2,22b ⎡⎤∈-⎣⎦.故选：B 【点睛】关键点点睛：由24y x =-变形可知其图象为半圆，找出直线y x b =+与其有公共点的临界情况，是解决问题的关键.3．B解析：B 【分析】如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22002321k k --+=+解得k 值，即得实数k 的取值范围．【详解】由题意得，半圆24y x =-与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+.当直线和半圆相切时，由半径2=解得512k =，故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B 【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键．4．B解析：B 【分析】设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()225124a b -+-=，再利用点与点的距离公式求解【详解】半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()224x a y b -+-= ，由其过点()5,12，则()()225124a b -+-=，即()()225124a b -+-=可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径，213211=-=，故选：B ．【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()225124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x 2+y 2＝1的下半部分，结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，y 21x =--，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，若直线x +y ﹣b ＝0与曲线y 21x =--有公共点，则当直线经过点A 时，直线x +y ﹣b ＝0与曲线y 21x =-有公共点此时b ＝1，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有2b -=1，解可得b ＝±2，又由b <0，则b 2=-，则b 的取值范围为[2,1]-；故选：B ．【点睛】关键点点睛：曲线y 21x =--，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，数形结合解决即可.6．D解析：D 【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围. 【详解】解：直线l 的斜率为2212121121y y m k m x x --===---，因为m R ∈，所以(],1k ∈-∞，所以直线的倾斜角的取值范围是0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用两点求直线的斜率以及倾斜角的应用问题，属于基础题.7．C解析：C 【分析】如图，作出1θ和2θ，再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ，m αβ=，AD m ⊥，BC m ⊥，连结BD ，AC ，1ABD θ=∠，2BAC θ=∠，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭，12,2πθθ-都是锐角， 122πθθ∴≤-，即122πθθ+≤故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作图，并利用线段AD AC ≤，传递不等式，12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 8．D解析：D 【分析】先取正方形的中心O ，连接OE ，由PC//OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ，BD 相交于点O ，连OE 、BE ，因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，有PC//OE ，可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角，不妨设正方形中，2AB =，则2PA =，由PA ⊥平面ABCD ，可得,PA AB PA AD ⊥⊥，则145BE DE ==+=，1122222OD BD ==⨯=，因为BE DE =，O 为BD 的中点，所以90EOD ∠=︒，210sin 55OD OED DE ∠===．故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.9．D解析：D 【分析】作QM AB ⊥，连接PM ，易证AB PM ⊥，由112122QAB PABAB QMS S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△,得到2PM QM =，再根据12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，由对称性得到AB BC AC ==，然后根据22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，93ABCS =，求得6,23AB AQ ==，在AOQ△中，由222AO OQ AQ =+求解半径即可.【详解】如图所示：作QM AB ⊥与M ，连接PM ，因为PQ ⊥平面ABC ，所以PQ AB ⊥，又QM PQ Q ⋂=，所以AB ⊥平面PQM ，所以AB PM ⊥，所以112122QAB PABAB QM S S AB PM ⨯⨯==⨯⨯△△, 2PM QM =,因为12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△，由对称性得AB BC AC ==,又因为22222213QA QB QC AB BC CA ++=++，ABCS =所以21sin 60932ABCSAB =⨯⨯= 解得6,ABAQ ==所以3QM PM PQ ===，设外接球的半径为r ，在AOQ △中，222AOOQ AQ =+，即()(2223r r =-+，解得72r =，所以外接球的表面积为2449S r ππ==，即该球形容器的表面积的最小值为49π. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由12QAB QAC QBC PABPACPBCS S S S S S ===△△△△△△得到三棱锥是正棱锥，从而找到外接球球心的位置而得解..10．D解析：D 【分析】①根据//n α或n ⊂α判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据m β⊂，或//m β，或m 与β相交判断；④利用线面角的定义判断．【详解】①若//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，因此不正确；②若//m β，则β内必存在一条直线//m m '，因为m α⊥，所以m α'⊥，又因为m β'⊂，所以αβ⊥，正确；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，因此不正确；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，正确．其中正确命题的序号是②④．故选：D ．【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.11．B解析：B 【分析】可证F 为AB 的中点，设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的球心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径，从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ，DFC △的外接圆的圆心为1O ，四面体1CDFD 的外接球的球心为O ，连接11,,,OG OF OO A B ，因为平面11//A ABB 平面11D DCC ，平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =，平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =，故1//EF D C ，而11//A B D C ，故1//EF A B ，故F 为AB 的中点，所以145DF CF ==+=，故3cos 5255DFC ∠==⨯⨯，因为DFC ∠为三角形的内角，故4sin 5DFC ∠=，故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=，1OO ⊥平面ABCD ，1DD ⊥平面ABCD ，故11//OO DD ，在平面1GDO O 中，111,OG DD O D DD ⊥⊥，故1//OG O D ，故四边形1GDO O 为平行四边形，故1//OO GD ，1OO GD =，所以四面体1CDFD 的外接球的半径为25411164+=，故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=，故选：B. 【点睛】方法点睛：三棱锥的外接球的球的半径，关键是球心位置的确定，通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定.12．A解析：A 【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC -，该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．二、填空题13．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ．【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，．设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =，2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =，则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．14．【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解【详解】因为直线斜率的取值范围是所以当斜率时倾斜角当斜率时倾斜角综上倾斜角的取值范围故答案为：【点睛】本题主要考查了直线的斜率直线的倾斜角属于中档题解析：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线l 斜率的取值范围是()，所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <<时，倾斜角23παπ<<，综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭，故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.15．【分析】根据可确定点轨迹为以为圆心为半径的圆利用直线与圆有交点可知由此构造不等式求得结果【详解】点轨迹是以为圆心为半径的圆上存在点与以为圆心为半径的圆有交点圆心到直线距离解得：即的取值范围为：故答案解析：[22【分析】根据PM PN ⊥可确定P 点轨迹为以()2,0为圆心，1为半径的圆，利用直线l 与圆有交点可知d r ≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】0PM PN ⋅=，PM PN ∴⊥，P ∴点轨迹是以()2,0为圆心，1为半径的圆.:0l x y m +-=上存在点P ，l ∴与以()2,0为圆心，1为半径的圆有交点，∴圆心()2,0到直线l 距离1d =≤，解得：22m ≤+即m 的取值范围为：22⎡-+⎣.故答案为：22⎡+⎣.【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题；关键是能够根据平面向量数量积得到垂直关系，进而确定动点轨迹，从而将问题转化为直线与圆位置关系的求解问题.16．【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查了直解析：1934011x y ++=【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程. 【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-，平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．【分析】首先求出直线恒过定点表示出直线的斜率再结合图形即可求出参数的取值范围【详解】解：因为直线所以令解得故直线恒过点直线的斜率为则依题意直线与线段有公共点由图可知或解得或即故答案为：【点睛】本题考解析：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【分析】首先求出直线恒过定点()2,0P ，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为直线():32260l k x y k ---+= 所以()()23260k x x y -+--+=令203260x x y -=⎧⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩故直线():32260l k x y k ---+=恒过点()2,0P直线l 的斜率为32k -则20232AP k -==-，303224BP k -==--- 依题意直线l 与线段AB 有公共点，由图可知322k -≥或3324k -≤- 解得7k ≥或32k ≤，即[)3,7,2k ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦故答案为：[)3,7,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.18．【分析】设按距离之比为定值求出点的轨迹方程它就是方程比较后可得【详解】设则整理得：易知方程化为已知圆的一般式方程为所以解得故答案为：【点睛】本题考查平面轨迹方程解题时由点到两点距离之比为常数求出的轨 15【分析】设(,)A m n ，(,)M x y ，按距离之比为定值求出M 点的轨迹方程，它就是方程22()(–12)3x y -+=，比较后可得λ．【详解】设(,)A m n ，(,)M x y ，则2222()()MA x m y n MOx yλ-+-==+，整理得：222222(1)(1)220x y mx ny m n λλ-+---++=，易知210λ-≠，方程化为2222222220111m n m n x y x y λλλ++--+=---，已知圆22()(–12)3x y -+=的一般式方程为222420x y x y +--+=，所以2222222124121mnm n λλλ⎧=⎪-⎪⎪=⎨-⎪⎪+=⎪-⎩，解得2545m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．．【点睛】本题考查平面轨迹方程，解题时由M 点到,A O 两点距离之比为常数λ，求出M 的轨迹方程，它就是已知圆，比较系数可得结论．19．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面解析：4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形，11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，求出1PD 可得面积．【详解】4,AB BC AC ===90ABC ∠=︒，设1,D D 分别是11,AC A C 的中点，则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心，由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC ，所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上，如图，24()41OA ππ=，则2OP OA ==，32OD ===，所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=，12PD ===， P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆，是以1D 为圆心，1D P 为半径的圆，其面积为224S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．20．【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为：【点睛】关键点点睛：根解析：82【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ，如图所示，ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====，242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为：2【点睛】关键点点睛：根据斜二测画法的规则，可得出三角形的直观图，并求出对应边长，根据面积公式求解．21．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考解析：3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AE DE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==，112ME BC ==，又1133233EO DE ==⨯⨯=，由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥， ∴3cos EO MEO ME ∠==．故答案为：3．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤． 22．【分析】求出正三棱柱的高底面三角形的边长和高即可求出正三棱柱的体积【详解】设球的半径为r 由得则球的半径为2正三棱柱的高为正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是2所以正三角形的边长是高是6正三棱柱的体积解析：3【分析】求出正三棱柱的高、底面三角形的边长和高，即可求出正三棱柱的体积.【详解】设球的半径为r ，由2416r π=π，得2r ，则球的半径为2，正三棱柱的高为24r =，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是2，所以正三角形的边长是6，正三棱柱的体积为1642⨯⨯=故答案为：【点睛】本题考查正三棱柱的内切球、正三棱柱的体积，考查空间想象能力与计算能力. 23．①③【分析】①先求出再得到最后判断①正确；②先判断三棱锥的外接球就是以为顶点以棱的长方体的外接球再求半径最后求出球的表面积判断②错误；③先证明最后证明平面判断③正确；④直接求出三棱锥的体积判断④错误解析：①③.【分析】①先求出BC =222AB BC AC =+，最后判断①正确；②先判断三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球，再求半径r ，最后求出球的表面积，判断②错误；③先证明AC PC ⊥，AC BC ⊥，⋂=PC CB C ,最后证明AC ⊥平面PBC ，判断③正确；④直接求出三棱锥A PBC -的体积，判断④错误.【详解】解：①在ACB △，因为1AC =，2AB =，且60BAC ∠=︒，所以2222cos 3BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=，则BC =所以222AB BC AC =+，所以ACB △是直角三角形，故①正确；②由（1）可知AC BC ⊥，又因为PC ⊥底面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以C 为顶点，以CA ，CB ，CP 棱的长方体的外接球，则2r ==，则此球的表面积等于245S r ππ==，故②错误； ③因为PC ⊥底面ABC ，所以AC PC ⊥，由（1）可知AC BC ⊥，⋂=PC CB C , 所以AC ⊥平面PBC ，故③正确；④三棱锥A PBC -的体积11(1132V =⨯⨯⨯=，故④错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查判断三角形是直角三角形、求三棱锥的外接球的表面积、求三棱锥的体积、线面垂直的证明，是中档题.24．【分析】由第二个图可知水的体积占整个圆锥体积的在第一个图中水的体积占圆锥的上面小圆锥体积占大圆锥体积的根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比即可解得a 的值【详解】在图②中水形成的小圆锥和大圆解析：(2a【分析】由第二个图可知，水的体积占整个圆锥体积的18，在第一个图中，水的体积占圆锥的18，上面小圆锥体积占大圆锥体积的78，根据小圆锥体积与大圆锥体积比是其高的三次方的比，即可解得a 的值.【详解】在图②中，水形成的小“圆锥”和大圆锥形容器高的比为12，底面半径比为12，故其底面积的比为14，所以体积比为18，则在图①中，无水部分形成的小“圆锥”和大圆锥形容器的体积比为78，设水面高度为h ，则小“圆锥”和大圆锥形容器的高的比为22a h a-，体积比为327(=28a h a -），解的h =(2a .故答案为: (2a【点睛】本题考查了圆锥的体积的计算，属于中档题目，解题中的关键是要准确利用圆锥体积公式得到大小圆锥体积比与大小圆锥的高比的关系.三、解答题25．（1；（2）证明见解析，三棱锥P ABD - 【分析】（1）取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，证明出平面//PBD 平面EMN ，可得出点F 的轨迹为线段MN ，求出BD 的长，可求得线段MN 的长，即可得解；（2）连接AF 延长交BD 于点O ，利用面面平行的性质定理可得出//EF PO ，可得出PO ⊥平面ABD ，利用面面垂直的判定定理可证得平面PBD ⊥平面ABD ，可得出三棱锥P ABD -的高为PO ，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图，取AB 、AD 中点为M 、N ，连接MN ，则点F 在线段MN 上，证明如下：连接EM 、EN ，因为E 为PA 中点，M 为AB 中点，所以//EM PB ，EM ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，//EM ∴平面PBD ，同理可证//EN 平面PBD ，又EM EN E =，所以平面//PBD 平面EMN ，EF ⊂平面EMN ，所以//EF 平面PBD ，所以点F 的轨迹为线段MN ，因为60BAC ∠=，所以120BAD ∠=，2sin 23BD AB BAC ∴=∠=，所以132MN BD ==，即点F 的轨迹的长度为3；（2）连接AF 延长交BD 于点O ，因为平面//PBD 平面EMN ，且平面APO平面EMN EF =，平面APO 平面PBD PO =，所以//EF PO ，因为EF ⊥平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD ，又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD ，可得PO 为三棱锥P ABD -的高，且cos 1PO AO AB BAC ==∠=，1113231332P ABD ABD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ5．【分析】（Ⅰ）由中位线定理证明1//OM C D ，即可得线面平行；（Ⅱ）连1D O ，证明1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，在直角1D DO △中计算可得．【详解】解：（Ⅰ）连1BC ，则M 也为1BC 的中点，又M 为BD 的中点，所以1//OM C D ，因为OM ⊄平面11DB C ，1C D ⊂平面11DC B ，所以直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）连1D O ，因为ABCD 是菱形，所以DO AC ⊥，又1111ABCD A B C D -为直棱柱，底面为菱形，所以11D A D C =，而O 为AC 中点，所以1D O AC ⊥，所以1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，因为ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，所以1DO =，又12DD =，由直棱柱知1DD DO ⊥，所以15DO =，所以115cos DO D OD D O ∠==．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法：（1）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）． 27．（1）2a ；（2）①519；30．【分析】（1）直接由体积公式计算；（2）取AB 的中点F ，连接1,,,EF FC EC BG ，得1EFCC 是矩形，由G 是DAB 的重心，EG ⊥平面DAB ，求出a ， ①EBG ∠是直线EB 与平面DAB 所成的角，在直角三角形中计算可得；②由点1A 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离可得．【详解】（1）由题意111221122ABC A B C ABC V S AA a a -=⋅=⨯=△；（2）如图，取AB 的中点F ，连接1,,,EF FC EC BG ，由AC BC =，90ACB ∠=︒，F 是AB 中点得CF AB ⊥，12CF AB =，由直三棱柱111ABC A B C -可得1EFCC 是矩形，设CF x =，则21ED FD x ==+，2EF =．11C D =，G 是DAB 的重心，则222133DG DF x ==+，2113GF x =+，又EG ⊥平面DAB ，DF ⊂平面DAB ，∴EG DF ⊥，∴2222EF FG ED DG -=-，即222144(1)(1)(1)99x x x -+=+-+，解得5x =， ∴10AC AB a ===，①由EG ⊥平面DAB ，知EBG ∠是直线EB 与平面DAB 所成的角， 21304(1)93EG x =-+=，()22523EB =+=， ∴1017933BG =-=， ∴17513cos 9BG EBG BE ∠===． ②∵1//A E AB ，AB 平面DAB ，1A E ⊄面DAB ，∴1//A E 面DAB ，∴点1A 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离为30EG =．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱柱的体积，求直线与平面所成的角及点到平面的距离．本题关键是由点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G 求出a ，然后根据直线与平面所成角的定义得出这个角后计算即可得．28．（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P 为AM 中点．。

高中数学必修二答案及解析：阶段质量检测(二)平面解析几何初步

阶段质量检测（二）平面解析几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点P (3,6,7)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A ．(－3,6,7)B ．(－3，－6,7)C ．(3，－6，－7)D ．(－3,6，－7)解析：选A 纵、竖坐标相同．故点P (3,6,7)关于yOz 平面对称的点的坐标为(－3,6,7)． 2．已知圆O 以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断解析：选B 点M (5，－7)到圆心(2，－3)的距离d ＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M 在圆O上．3．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是 ( )A ．相交B ．相切C ．相交且过圆心D ．相离解析：选D 圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，则圆心到直线的距离d ＝|1－1－4|2＝22>2，故直线与圆相离．4．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.5．已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且它们间的距离是5，则m ＋n ＝() A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A 由题意，所给两条直线平行，∴n ＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0. 6．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( )A.2x ＋y －5＝0B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.7．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 8．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线，∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a的值为( ) A ．－3 B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|32＋(－4)2＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.10．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.11．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D 依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0.12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：114．已知点M (5,3)和点N (－3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和－74，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －5＝2，y －2x ＋3＝－74，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－5.答案：(1，－5)15．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：416．两圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0上的点之间的最短距离是________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，由x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0得(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，两圆圆心距为(－1－2)2＋(2＋1)2＝32>2 2.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是32－2－2＝ 2. 答案： 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系中，PA ⊥平面OAB ，PA ＝OA ＝2，∠AOB ＝30°.(1)求点P 的坐标．(2)若PB ＝22，求点B 的坐标．解：(1)过A 作AE ⊥OB 于E ，则AE ＝1，OE ＝3，所以点A 的坐标为(1，3，0)，所以点P 的坐标为(1，3，2)．(2)因为点B 在y 轴上，因此可设点B 的坐标为B (0，b,0)，则PB ＝1＋(b －3)2＋4＝22，解得b ＝23或b ＝0(舍去)，所以点B 的坐标为(0,23，0)．18．(本小题满分12分)在x 轴的正半轴上求一点P ，使以A (1,2)，B (3,3)及点P 为顶点的△ABP 的面积为5.解：设点P 的坐标为(a,0)(a >0)，点P 到直线AB 的距离为d .由已知，得S △ABP ＝12|AB |·d ＝12(3－1)2＋(3－2)2·d ＝5，解得d ＝2 5. 由已知易得，直线AB 的方程为x －2y ＋3＝0，所以d ＝|a ＋3|1＋(－2)2＝25，解得a ＝7或a ＝－13(舍去)，所以点P 的坐标为(7,0)．19．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)，半径为12|OP |＝ 12(4－0)2＋(6－0)2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由{x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y －3)2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.20．(本小题满分12分)已知以点C 为圆心的圆经过点A (3,1)和B (1,3)，且圆自身关于直线2x ＋y －3＝0对称．(1)求圆C 的方程．(2)在圆C 上，若到直线l ：y ＝x ＋m 的距离等于1的点恰有4个，求m 的取值范围．解：(1)依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线2x ＋y －3＝0的交点，AB 中点M (2,2)，其垂直平分线为y ＝x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心C (1,1)，半径r ＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)当圆心到l ：y ＝x ＋m 距离小于1时，此时圆上恰有4点到l ：y ＝x ＋m 的距离等于1，所以|m |2＜1，|m |＜2，－2＜m ＜ 2.故m 的取值范围为(－2，2)．21．(本小题满分12分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)．(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－(－2)－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)． ∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20. ∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－2－b )2＝R 2，(－1－a )2＋(4－b )2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切． (1)求圆O 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k 2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3kk 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

高中数学第二章解析几何初步单元质量评估必修2 试题

卜人入州八九几市潮王学校【世纪金榜】高中数学第二章解析几何初步单元质量评估北师大必修2〔120分钟150分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.空间两点A(4,6,1),B(1,2,1),那么两点间的间隔为()〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕62.〔2021·高一检测)圆x2+y2+2x-4=0的半径为()〔A〕1〔B〔C〕2〔D3.直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2,那么实数k=()〔A〕12〔B〕-12〔C〕24〔D〕-244.〔易错题)假设直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=-7+a平行,那么实数a=()〔A〕3〔B〕-2〔C〕-2或者3〔D〕-3或者22+y2=1和圆x2+y2-4x+3=0的位置关系是()〔A〕外切〔B〕内切〔C〕相离〔D〕内含6.〔2021·高考)假设直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,那么a的值是()〔A〕-1〔B〕1〔C〕3〔D〕-37.直线x-y+5=0被圆x2+y2-2x-4y-4=0所截得的弦长等于()〔A〕1〔B〕2〔C D〕38.假设空间直角坐标系中,x轴上一点P到点Q(3,1,1),那么点P的坐标为()〔A〕(3,0,0)〔B〕(2,0,0)〔C〕(4,0,0)〔D〕(2,0,0)或者〔4，0，0〕9.假设点A(-2,3),B(3,-2),C(12,m)三点在同一直线上,那么m=()〔A〕-2〔B〕2〔C〕-12〔D〕1210.〔2021·高一检测)假设(-1,0)是(k,0),(b,0)的中点,那么直线y=kx+b必经过定点()〔A〕(1,-2)〔B〕(1,2)〔C〕(-1,2)〔D〕(-1,-2)2+y2=9的弦,PQ的中点是M(1,2),那么直线PQ的方程为()〔A〕x+2y-3=0〔B〕x+2y-5=0〔C〕2x-y+4=0〔D〕2x-y=012.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的HY方程是()〔A〕(x-2)2+(y-2)2=2〔B〕(x+2)2+(y+2)2=2〔C〕(x-2)2+(y+2)2=2〔D〕(x+2)2+(y-2)2=2二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把正确答案填在题中的横线上〕13.〔2021·高二检测〕假设一圆的方程为x2+y2-2x+10y+23=0，那么此圆的圆心和半径分别为_________.14.〔2021·高一检测)x2+y2-4x-2y-11=0上的点到直线x+y-13=0的最大间隔与最小间隔之差是_________.15.〔2021·高二检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点〔1，2〕的圆的方程为_________.16.假设实数m,n满足4m-3n=10，那么m2+n2的最小值为__________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17.(10分)求经过点A〔3，2〕,与直线x+3y+1=0垂直的直线方程.18.(12分)〔2021·高一检测)点A(32,0),B(3,0),动点M到A与B的间隔比为常数12,求点M的轨迹方程.19.(12分)圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.20.(12分)过点M(0,1)的直线l被l1:x-3y+10=0与l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求l的方程.21.〔12分〕〔2021·高一检测)直线l 经过点P 〔5，5〕，且与圆C ：x 2+y 2=25相交，截得弦长为求l 的方程.22.〔才能题〕〔12分〕半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.〔1〕求圆的方程；〔2〕设直线ax-y+5=0(a ＞0)与圆相交于A ，B 两点，务实数a 的取值范围；〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P 〔-2，4〕，假设存在，求出实数a 的值；假设不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选C..==AB 52.【解析】选D.因为圆的HY 方程为(x+1)2+y 2=5,所以,.3.【解题指南】用k 表示出直线在两个坐标轴上的截距,进而求出k 的值.【解析】选D.直线3x-4y+k=0在x 轴上的截距为-k 3,在y 轴上的截距为k 4,由题意知k 4-k 3=2,解得k=-24.4.【解析】选A.因两直线平行,所以a(a-1)-2×3=0，解得a=3或者a=-2.经检验,当a=-2时,两直线重合.【误区警示】在解答此题时,容易忘记检验,导致错选C.5.【解析】2+y 2=1的圆心为C 1(0,0),半径r 1=1；圆x 2+y 2-4x+3=0的圆心为C 2(2,0),半径r 2=1.因为|C 1C 2|=2=r 1+r 2,所以两圆外切.6.【解题指南】将圆的方程化为HY 形式,得到圆心坐标,代入直线方程求出a.【解析】2+y 2+2x-4y=0可变形为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心坐标为(-1,2),代入直线方程得a=1. 7.【解析】2+y 2-2x-4y-4=0的圆心为C(1,2),半径为r=3,圆心到直线的间隔为 8.【解析】选D.由题意,设P 〔a,0,0〕,那么PQ ==解得a=2或者a=4.9.【解析】选D.()AB 23k 1，32--==---,AC 3m k 122-=--因为A,B,C 三点在同一直线上, 所以,.AC 3m 1k 1解得m 1222-==-=-- 10.【解析】选A.由题意知,k+b=-2,故b=-2-k ，直线方程为y=kx-2-k,即y+2=k(x-1)，故直线经过定点(1,-2).11.【解析】选B.由题意知,圆心与点M(1,2)连线与PQ 垂直.因为圆心与点M 连线斜率为2,所以PQ 的斜率为-12,又PQ 过点M(1,2),所以PQ 所在的直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0. 12.【解析】选A.设所求圆的HY 方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.如图，当圆与所求圆圆心连线垂直于直线时，半径最小，此时2r 32+等于圆圆心到直线的间隔，即6622r 32，2+-=+解得r=2,那么b 61，a 6a b 22，2-⎧=⎪-⎪⎨+-⎪=⎪⎩解得a=2,b=2.∴所求圆的HY 方程为〔x-2)2+(y-2)2=2. 13.【解析】把圆的方程化成HY 方程为(x-1)2+(y+5)2=3， ∴圆心为〔1，-5〕，半径为3. 答案：〔1，-5〕，314.【解题指南】圆上的点到直线的间隔最大值与最小值分别为圆心到直线的间隔加上半径与减去半径.【解析】圆的HY 方程为(x-2)2+(y-1)2=16, 圆心到直线的间隔为,222113d 5211+-==+所以,圆上的点到直线的最大间隔为52+4, 圆上的点到直线的最小间隔为52-4,所以,最大间隔与最小间隔之差是8.答案:815.【解析】设圆心坐标为〔0，b 〕，由1，=得b=2，因此所求圆的方程为x 2+(y-2)2=1. 答案：x 2+(y-2)2=1 16.【解题指南】把m 2+n 2转化为直线4m-3n=10上的动点到原点间隔的平方，显然当m 2+n 2最小时，其值恰好为原点到直线4m-3n=10的间隔的平方. 【解析】原点〔0,0〕到直线4m-3n=10的间隔为001025--= ∴〔m 2+n 2〕min =22=4. 答案：417.【解析】与直线x+3y+1=0垂直的直线可设为3x-y+m=0.因为点A(3,2)在直线3x-y+m=0上,所以3×3-2+m=0,解得m=-7,所以所求直线方程为3x-y-7=0.18.【解析】设动点M 的坐标为(x,y),那么由题意得,MA 11MB 22==两边平方整理得(x-1)2+y 2=1. 19.【解析】设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),那么点P,Q 的坐标满足方程组即点P(1,1),Q(-3,3),线段PQ 的中点坐标为(-1,2)，故以PQ 为直径的圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=5. 【一题多解】设所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3+λ(x+2y-3)=0，整理得x 2+y 2+(1+λ)x+(2λ-6)y+3-3λ=0. 此圆的圆心坐标是(λ12+-,3-λ),由圆心在直线 x+2y-3=0上,得 λ12+-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1，故所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.20.【解析】设l 与l 1的交点为A(a,b),l 与l 2的交点为B,如图:那么A,B 关于M 对称,得B(-a,2-b).由A ∈l 1,B ∈l 2，a 3b 100，a 4，得得2a 2b 80，b 2，-+==-⎧⎧⎨⎨-+--==⎩⎩ 所以A(-4,2),l 过M(0,1),A(-4,2)，所以k=14-,所以y-1=14-x, 化简得直线l 方程为x+4y-4=0.21.【解析】由题意可知直线的斜率不存在时，直线和圆相切，不满足题意.所以直线的斜率存在，可设l 的方程为：y-5=k(x-5),即kx-y+5-5k=0.又由圆C ：x 2+y 2=25截直线l的弦长为那么圆心到直线l=解得k=2或者k=12, ∴直线l :2x-y-5=0或者x-2y+5=0.22.【解析】〔1〕设圆心为M(m,0)〔m ∈Z 〕.由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以||,4m 2955-=即|4m-29|=25.因为m 为整数，故m=1.故所求圆的方程为〔x-1〕2+y 2=25.(2)把直线ax-y+5=0，即y=ax+5代入圆的方程，消去y整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)＞0.即12a2-5a＞0,由于a＞0,解得a＞5 12.所以实数a的取值范围是〔512，+∞〕.〔3〕设符合条件的实数a存在，由于AB⊥l，那么直线l的斜率为1 a -.l的方程为y=1a-(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB，故圆心M〔1，0〕必在l上，所以1+0+2-4a=0，解得a=3 4.由于34∈(512,+∞),故存在实数a=34使得过点P〔-2，4〕的直线l垂直平分弦AB.【方法技巧】直线与圆的位置关系〔1〕研究直线与圆的位置关系，要联络圆的几何特性，尽可能地简化运算，如“垂直于弦的直径必平分弦〞，“圆的切线垂直于过切点的半径〞，“两圆相交时连心线必垂直平分其公一共弦〞等.在解题时应注意灵敏运用.〔2〕直线与圆相交是解析几何中的一类重要问题，解题时注意运用“设而不求〞的技巧.另外，涉及到弦的最长、最短问题时要考虑圆的有关性质.。

高中数学解析几何初步阶段质量评估北师大版

2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步阶段质量评估北师大版必修2(A)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析：由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.答案： C2．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0解析： AB 的中点(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13，中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案： B3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25) 解析：设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋－22＝255.若直线与圆没有公共点，则0＜r ＜255，故选A.答案： A4．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.因为k ＜0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交，故选A. 答案： A5．点P 在圆C 1：x 2＋(y ＋3)2＝4上，点Q 在圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上，则|PQ |的最大值为( )A ．5B ．10C ．7D ．8解析：可得C 1(0，－3)，r 1＝2，C 2(－3,1)，r 2＝3.|C 1C 2|＝32＋42＝5. ∴|PQ |的最大值为5＋r 1＋r 2即10. 答案： B6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：由题意得直线方程y ＝3x ，即3x －y ＝0. 圆方程x 2＋(y －2)2＝4.圆心到直线的距离是d ＝23＋1＝1. ∴弦长|AB |＝24－1＝2 3. 答案： D7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2解析： ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. 答案： D8．已知点P (x ，y )是直线y ＝22x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A.43 B ．23C.53D ．56解析：由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，故|PC |2＝|PN |2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN |×1＝|PN |，故当|PN |最小时，四边形PMCN 的面积最小，此时|PC |最小，又|PC |的最小值即为点C 到直线的距离d ＝5222＋1＝53，此时|PN |＝43，故四边形PMCN 面积的最小值为43.故选A.答案： A9．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则存在x ∈R ，使得|MP |≤2＋2成立，即|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.答案： D10．一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( )A ．32－1B ．2 6C ．4D ．5解析： A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则|A ′C |＝2＋12＋3＋12＝5.∴所求最短路程为5－1＝4. 答案： C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝5，B ′D ′与A ′C ′交于P ，则点P 的坐标为________．解析：由已知可得B ′的坐标为(3,4,5)，D ′的坐标为(0,0,5)，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，5.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，512．两圆x 2＋y 2＝1，(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 解析：由a 2＋16＝6，得a ＝±2 5.由a 2＋16＝4，得a ＝0. 答案： 0，±2 513．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________. 解析：若两直线垂直，则3a 2－3＝0，∴a ＝±1. 答案： ±114．若圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0的过点P (－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝________.解析：圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25， ∴圆心C 为(2，－3)，∴过点P 的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP 时弦长最短， |CP |＝32＋32＝3 2. ∴最短弦长为225－322＝27，即m ＝10，n ＝27， ∴m －n ＝10－27. 答案： 10－27三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解析： (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.16．(本小题满分12分)(1)求平行于直线3x ＋4y －12＝0，且与它的距离是7的直线的方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0，且与点P (－1,0)的距离是3510的直线的方程．解析： (1)由题意可设所求直线的方程为3x ＋4y ＋m ＝0 由两平行线间的距离得|m ＋12|5＝7，解得m ＝23或m ＝－47，故所求直线的方程为3x ＋4y ＋23＝0或3x ＋4y －47＝0.(2)由题意可设所求直线的方程为3x －y ＋n ＝0，由点到直线的距离得|n －3|10＝3105，解得n ＝9或n ＝－3.故所求直线的方程为3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.17．(本小题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线I 交圆C 于A 、B 两点．(1)当I 经过圆心C 时，求直线I 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线I 的方程．解析： (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线I 的斜率为2，直线I 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，I ⊥PC ，直线I 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝x ，y p ＝5y4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，整理得x 2－3x －8＝0，∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴线段AB 的长度为 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. (B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：过点(1,2)，(4,2＋3)的直线的斜率k ＝2＋3－24－1＝33，由k ＝tan α得直线的倾斜角α＝30°.答案： A2．直线l 过点P (－1,2)，且倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：直线l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，则由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y －2＝1×[x －(－1)]，化为一般式方程为x －y ＋3＝0.答案： D3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析： l 1与l 2之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|1－－1|2＝2，故选B.答案： B4．若点(1，a )到直线x －y ＋1＝0的距离是322，则实数a 为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3解析：由已知得|1－a ＋1|12＋－12＝322，则a ＝5或－1. 答案： C5．若直线(m －2)x ＋y －4＝0的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是( ) A ．m >－2 B ．m >2 C ．m <－2D ．m <2解析： ∵直线倾斜角为钝角， ∴斜率小于零， ∴2－m <0， ∴m >2. 答案： B6．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0 解析：设直线方程为x －2y ＋m ＝0，把(－1,3)代入得－1－2×3＋m ＝0，∴m ＝7. 故直线方程为x －2y ＋7＝0. 答案： A7．在同一坐标系中，能正确表示直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 的图像的是( )解析：在选项A 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均大于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距小于零，即ab <0，这与ab >0矛盾，所以A 可以排除．同理可知，在选项B 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均小于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距等于零，即ab ＝0，这与ab >0矛盾，所以B 可以排除．在选项C 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均小于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距小于零，即ab <0，这与ab >0矛盾，所以C 可以排除．答案： D8．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为( ) A ．4 B ．34 C ．5 2D ．41解析：如下图所示，MA ⊥面xOy ，AB ⊥x 轴，则|MB |＝52＋－32＝34.答案： B9．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案： B10．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆方程为x 2＋y 2－1＝0，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．±2解析：即两圆的圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－1与C 2(0,0)关于直线x －y －1＝0对称，∴a ＝2.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 11．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，则切线长为________．解析：圆心Q (1,1)，∴切线长l ＝|PQ |2－12＝2－12＋3－12－1＝2.答案： 212．在经过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程为________．解析：经过A (－3,1)所有直线中，与原点的距离最远的是与OA 垂直的直线，k OA ＝－13，所以k ＝3，故所求直线方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.答案： 3x －y ＋10＝013．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值为________．解析：若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则有a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，原方程变为2x 2＋2y 2＋2x ＋1＝0，配方得2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2y 2＝－12，不表示圆；当a ＝－1时，原方程变为x 2＋y 2－2x －1＝0，配方得(x －1)2＋y 2＝2，它表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆．答案：－114．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积等于________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－32x －22＋y ＋32＝9可得5x 2－10x －11＝0，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 1x 2＝－115∴|EF |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝4又由点到直线距离公式，得d O －EF ＝35，∴S △OEF ＝655.答案：655三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0可得直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －913＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1913，即26x ＋13y －47＝0.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．解析： (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1.∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y ＋7＝0. (2)∵|BC |＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513，∴S △ABC ＝12×d ×|BC |＝12×1513×117＝452.17．(本小题满分13分)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程．解析：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0，因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.18．(本小题满分13分)已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解析：设圆B 的半径为r .文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11 ∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②∴②－①得两圆的公共弦方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得 r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋352＋215≥215. ∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215.。

北师大版高中数学必修二创新演练阶段质量检测第一部分第二章解析几何初步圆的标准方程

1．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13 πB ．213πC ．2 πD ．2 3π解析：由圆的标准方程知r ＝13.∴周长C ＝2πr ＝213π.答案：B2．(2011·山西大同期中)经过A (－1,1)，B (2,2)，C (3，－1)三点的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝5 解析：由已知条件可得，线段AC 的垂直平分线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2，线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝－3(x －12)，这两条直线的交点坐标为M (1,0)，又由|MA |＝5，可得过三点A ，B ，C 的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5.答案：D3．(2012·临沂高一检测)过点C (－1,1)和点D (1,3)，且圆心在x 轴上的圆的方程是 ( )A ．x 2＋(y －2)2＝10B ．x 2＋(y ＋2)2＝10C ．(x ＋2)2＋y 2＝10D ．(x －2)2＋y 2＝10 解析：∵圆心在x 轴上，∴可设方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，r 2＝10. 故方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：D4．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，O 为坐标原点，则|OP |的最大值为( ) A.26＋2B.26 C ．5 D ．6解析：∵圆心(0，－4)到原点O 的距离为d ＝4.∴|OP | 的最大值为d ＋r ＝6.答案：D5．(2012·珠海高一检测)圆心在第二象限，半径为1，并且与x 、y 轴都相切的圆的方程为________．解析：由条件知，|a |＝|b |＝r ＝1.∵圆心在第二象限，∴a ＝－1，b ＝1，∴所求的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1.答案：(x ＋1)2＋(y －1)2＝16．已知△ABC 的顶点A (－1,0)，B (1,0)，C 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．解析：∵|AB |＝2为定长．∴当△ABC 的高即C 到AB 的距离最小时，S △ABC 最小，又圆心为(2,2)，半径为1.所以此时C 的坐标为(2,1)，S △ABC 的最小值为1.答案：17．已知直线l 与圆C 相交于点P (1,0)和点Q (0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程．解：(1)PQ 中点M (12，12)，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .(2)由条件可设圆的方程为：(x －a )2＋(y －a )2＝1，由圆过P 点得：(1－a )2＋a 2＝1.解得a ＝0或a ＝1.所以圆C 的方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.8．已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)，求以P 1P 2为直径的圆C 的方程，设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求 (x －1)2＋(y －1)2的最大值和最小值．解：根据已知条件，圆心C (a ，b )是P 1P 2的中点，则a ＝4＋62＝5, b ＝9＋32＝6. 再根据两点间的距离公式，得圆的半径是r ＝|CP 1|＝ (4－5)2＋(9－6)2＝ 10，即所求圆的方程是(x －5)2＋(y －6)2＝10. ∵(x －1)2＋(y －1)2表示P (x ，y )到A (1,1)的距离|PA |，又|CA |＝(5－1)2＋(6－1)2＝ 41，∴|PA |的最大值为41＋10，最小值为41－10.。

北师大版高中数学必修二创新演练阶段质量检测第一部分第二章解析几何初步直线方程的点斜事

1．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线是 ( )A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝2 2(x ＋1)解析：由已知得所求直线的斜率k ＝2×22＝ 2.则所求直线方程为y －1＝ 2(x ＋1)．答案：C2．直线y ＝ax －1a 的图像可能是( )解析：当a >0时，－1a <0，直线过一、三、四象限．当a <0时，－1a >0，直线过一、二、四象限，可得B 正确．答案：B3．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点 () A ．(0,0) B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)解析：将直线方程化为y －1＝k (x －3)可得过定点(3,1)．答案：C4．(2012·佛山一检)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2，令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋a a. ∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.答案：D5．过点P (2,1)，以－ 3 为斜率的直线方程为________．解析：由已知得，y －1＝－3(x －2)，即y ＝－3x ＋23＋1. 答案：3x ＋y －23－1＝06．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．解析：由已知得直线方程y ＋1＝ tan 45°(x －4)，即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5.∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.答案：5 27．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截距是－2；(2)倾斜角是30°，过点(2,1)；(3)在x 轴截距为4，在y 轴截距为－2.解：(1)y ＝3x －2.即3x －y －2＝0.(2)斜率为tan 30 °＝33， ∴直线方程的点斜式为y －1＝33(x －2)，可化为x －3y －2＋3＝0.(3)在x 轴截距为4，在y 轴截距为－2，∴过点(4,0)，又过点(0，－2)，∴k ＝－2－00－4＝12， ∴直线方程为y ＝12x －2.即x －2y －4＝0.8．如图，直线l ：y －2＝3(x －1)过定点P (1,2)，求过点P 且与直线l所夹的锐角为30°的直线l′的方程．解：设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程：y－2＝3(x－1) 知直线l的斜率为3，则倾斜角为60°.当α′＝90°时满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝33(x－1)，即x－3y＋2 3－1＝0.综上，所求l′的方程为x＝1或x－3y＋2 3－1＝0.。

北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题1．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=2．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则线段MN 的长为A ．4B C D 3．已知半径为2的圆经过点()5,12，则其圆心到原点的距离的最小值为（） A ．9B ．11C ．13D ．154．已知点(,0)A m -，(,0)B m ，R m ∈，若圆22:(3)(3)2C x y -+-=上存在点P ，满足PA PB ⊥，则m 最大值是（）A ．B ．C ．D ．5．已知圆C 与直线30x y ++=相切，直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则圆C方程为（） A ．2222x y y +-= B ．2222x y y ++= C ．2221x y y +-= D ．2221x y y ++=6．直线3y x m =-+与圆221x y += 在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．B ．C ．⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1204BAC AP AB AC ∠====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π8．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中错误的是（） A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥ B ．若m α⊂，//αβ，则//m βC ．若m n ⊥，m α⊥，βn//，则αβ⊥D ．若l αβ=，//m α，//m β，则//m l9．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -中AC 长为（）A ．32B ．3C ．10 D ．210．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 11．已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（） A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π12．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（） A ．1B ．32C ．2D ．3二、填空题13．当点P 在圆221x y +=上运动时，它与定点()30Q -，的连线PQ 的中点的轨迹方程是________________.14．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．15．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线10y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.16．直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，则11a b+的最小值为__________ 17．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,3)M -的直线l 与圆223x y +=交于A ，B 两点，且2MB MA =，则直线l 的方程为________.18．过点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l 满足原点到它的距离最大，则直线l 的一般式方程为___________.19．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB所成角的大小为______.20．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且所有顶点都在球O 的表面上，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==，120APB ∠=︒，4=AD ，则球O 的表面积为_______.21．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且12A A AB =，E 在棱1AA 上，112AE A A =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________.22．将半径为3，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为________． 23．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，π2DPA ∠=，AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为________.24．在矩形ABCD 中，1AB =，AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题25．已知四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，AD =，2CD =，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（1）设平面PAB ⋂平面PCD m =，求证：CD //m ；（2）若E 是PA 的中点，求四面体PBEC 的体积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//PB 平面ACM ；（2）求三棱锥P ACM -的体积.27．在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，3AB =，2CB CD ==.（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ；（Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.28．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =P ABCD -的体积为1，求证：平面PAC ⊥平面PBD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程．【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ∴|MC|﹣d=222(2)x y ++2﹣x ）=2，化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0．故选B ．【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．2．C解析：C 【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长．【详解】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y=0①，x 2+y 2+2x ﹣8=0，② ①﹣②可得：x ﹣2y+4=0．∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y=0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为∴圆心到公共弦的距离为=∴公共弦长==故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.3．B解析：B 【分析】设圆心坐标为(),a b ，则圆的圆心轨迹方程()()225124a b -+-=，再利用点与点的距离公式求解【详解】半径为2的圆经过点()5,12，设圆心坐标为(),a b ，则其方程为()()224x a y b -+-= ，由其过点()5,12，则()()225124a b -+-=，即()()225124a b -+-=可得该圆的圆心轨迹是以()5,12为圆心，2为半径的圆，故圆心到原点的距离的最小值为()5,12到原点的距离减半径， 213211=-=，故选：B ．【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题和点与圆上的点的距离的最值，解答本题的关键是由题意得到圆心的轨迹方程()()225124a b -+-=，再根据点与圆上的点的距离的最值的求法得出答案，属于中档题.4．C解析：C 【分析】首先设点(),P x y ，利用0AP BP ⋅=，转化为m =m 的最大值. 【详解】由圆的方程可知，圆的圆心()3,3C (),P x y 则(),AP x m y =+，(),BP x m y =-，()()20AP BP x m x m y ⋅=+-+=，即222m x y m =+⇒=的几何意义可知，m 的最大值就是圆上的点到原点的距离的最大值，即圆心到原点的距离加半径，即OC r +== 故选：C 【点睛】结论点睛：与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -；（2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；5．D解析：D 【分析】计算出直线10mx y ++=所过定点的坐标，由题意得出定点是圆C 的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆C 的半径长，即可得出圆C 的方程. 【详解】在直线10mx y ++=的方程中，令0x =，则1y =-，则直线10mx y ++=过定点()0,1-.由于直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则点()0,1-是圆C 的圆心，又圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的半径r ==.因此，圆C 的方程为()2212x y ++=，即2221x y y ++=.故选D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.6．D解析：D【分析】求出直线过(0,1)时m 的值，以及直线与圆相切时m 的值，即可确定出满足题意m 的范围．【详解】解：如图所示：当直线过(0,1)时，将(0,1)代入直线方程得：1m =；当直线与圆相切时，圆心到切线的距离d r =，即21313=⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：233m =或233m =-（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，m的范围为231m <<．故选：D ．【点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合法是解本题的关键，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，12ON AP ==4AN =，故R =2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.8．C解析：C 【分析】利用直二面角可判断A 的正误，利用面面平行或线面平行性质定理即判断定理可判断BD 的正误，从而可得正确的选项，利用反例可判断C 是错误的. 【详解】对于A ，如图，设l αβ=，空间中取一点O （O 不在平面,αβ内，也不在直线,m n上），过O 作直线,a b ，使得,////a m b n ，且,a A b B αβ⋂=⋂=，故a b ⊥. 因为m α⊥，故a α⊥，而l α⊂，故a l ⊥，同理b l ⊥, 因为a b O ⋂=，故l ⊥平面OAB . 设平面OAB 交l 与C ，连接,AC BC ，因为,AC BC ⊂平面OAB ，故,,l AC l BC ⊥⊥所以ACB ∠为l αβ--的平面角. 因为a α⊥，AC α⊂，故OA AC ⊥，同理OB BC ⊥，而OA OB ⊥，故在四边形OACB 中，90ACB ∠=︒即αβ⊥，故A 正确.对于B ，由面面平行的性质可得若m α⊂，//αβ，则//m β，故B 正确. 对于D ，如图，过m 作平面γ，使得a γα=，过m 作平面η，使得b ηβ⋂=，因为//m α，m γ⊂，故//a m ，同理//b m ，故//a b ，而a β⊄，b β⊂，故//a β，而a α⊂，l αβ=，故//a l ，所以//m l ，故D 正确.对于C ，在如图所示的正方体中，//AD 平面11A D CB ，1AA ⊥平面ABCD ，1AD AA ⊥，但是平面11A D CB 与平面ABCD 不垂直，故C 错误.故选：C. 【点睛】思路点睛：对于立体几何中与位置有关的命题的真假判断，一般根据性质定理和判定定理来处理，反例一般可得正方体中寻找.9．C解析：C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ，把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图，还原后得到三棱锥的直观图如图示，由图可知：平面ABD ⊥平面CBD ，过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD ， ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中，AB =1，AD 3∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°，∠ADB=30°，则在直角三角形ABM 中，AB =1，∠ABM=60°，∴13,2BM AM ==同理，在直角三角形CBD 中，13,2DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()12CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中，22227310()22AC CM AM ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度：①、把线段放在特殊三角形中，解三角形；②、用等体积法求线段.10．D解析：D 【分析】过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，然后在CFG △中求解. 【详解】如下图所示，在平面ABFE 中，过点F 作//FG AE 交AB 于点G ，连接CG ，则异面直线AE 与CF 所成角为CFG ∠或其补角，设1EF =，则3AB =，2BC CF AE ===，因为//EF AB ，//FG AE ，所以，四边形AEFG 为平行四边形，所以，2FG AE ==，1AG =，2BG =，由于2ABC π∠=，由勾股定理可得2222CG BC BG =+=所以，222CG CF FG =+，则2CFG π∠=.故选：D. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．11．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=，所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.12．C解析：C 【分析】首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点F ，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值. 【详解】延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，又点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，∴点F 是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.二、填空题13．【分析】设动点的中点由中点坐标公式可解出将点点的坐标代入已知圆的方程化简可得到所求中点的轨迹方程【详解】解：设动点的中点由题意可得：解得：又点在圆上运动化简得：即为所求的轨迹方程故答案为：【点睛】方解析：()22+3124y x +=【分析】设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由中点坐标公式可解出0x ，0y ，将点P 点的坐标代入已知圆的方程，化简可得到所求中点的轨迹方程. 【详解】解：设动点00(,)P x y ，P ，Q 的中点(,)M x y ，由题意可得：032x x -+=，02y y =，解得：023x x =+，02y y =，又点P 在圆221x y +=上运动，22(23)(2)1x y ∴++=，化简得：()22+3124y x +=，即为所求的轨迹方程. 故答案为：()22+3124y x +=.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设(,)P x y 是轨迹上的任意一点；②寻找动点(,)P x y 所满足的条件；③用坐标(,)x y 表示条件，列出方程0(),f x y =；④化简方程0(),f x y =为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.14．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6，则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.15．①④【分析】根据直线方程直线的倾斜角的定义方差公式对立事件的概念分别判断各命题【详解】①直线中令则∴直线必过定点①正确；②直线的斜率为倾斜角为②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后解析：①④ 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题．【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②310x y ++=的斜率为3k =-120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确．故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．16．【分析】由得可知圆心为半径为2而所以可得直线过圆心由此得所以可化为然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由得所以曲线表示圆其圆心为半径为2因为直线与曲线交于且所以直线过圆心所以所以当且仅当即时解析：3+【分析】由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，可知圆心为(1,2)，半径为2，而AB 4=，所以可得直线过圆心，由此得21a b +=，所以11a b+可化为112a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()，然后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：由222410x y x y +--+=得，22(1)(2)4x y -+-=，所以曲线222410x y x y +--+=表示圆，其圆心为(1,2)，半径为2，因为直线()10,0ax by a b +=>>与曲线222410x y x y +--+=交于A 、B ，且AB 4=，所以直线()10,0ax by a b +=>>过圆心(1,2)，所以21a b +=，所以11112a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭()2333b a a b =++≥+=+当且仅当2b aa b =，即212a b ==时，取等号故答案为：3+【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，属于中档题17．【分析】根据题意知点为的中点设再由得利用韦达定理建立方程解得即可【详解】由题知点为的中点设直线设将直线带入圆的方程得则由得即所以解得故直线方程为：故答案为：【点睛】本题考查直线和圆的位置关系属于基础题解析：3y =-【分析】根据题意知，点A 为MB 的中点，设()11,A x y ，()22,B x y ，再由2MB MA =得122x x =，利用韦达定理建立方程，解得即可.【详解】由题知，点A 为MB 的中点，设直线:3l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线带入圆的方程得()221660k x kx +-+=，则12261k x x k +=+，12261x x k⋅=+，由2MB MA =，得122x x =，即2221k x k =+，1241kx k =+，所以，21222246111k k x x k k k ⋅=⨯=+++，解得k =3y =-.故答案为：3y =-. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，属于基础题.18．【分析】过作于连接可得直角三角形中从而得到当时原点到直线的距离最大利用垂直求出的斜率从而得到的方程【详解】设点过坐标系原点作于连接则为原点到直线的距离在直角三角形中为斜边所以有所以当时原点到直线的距解析：2450x y --=【分析】过O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，可得直角三角形AOB 中OB OA <，从而得到当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，利用垂直，求出l 的斜率，从而得到l 的方程. 【详解】设点1,12A ⎛⎫-⎪⎝⎭，过坐标系原点O 作OB l ⊥于B ，连接OA ，则OB 为原点O 到直线l 的距离，在直角三角形AOB 中，OA 为斜边，所以有OB OA <，所以当OA l ⊥时，原点O 到直线l 的距离最大，而1212OA k -==-，所以12l k =，所以l 的直线方程为11122y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得：2450x y --=【点睛】本题考查根据点到直线的距离求斜率，点斜式写直线方程，属于简单题.19．60°【分析】根据AB∥CD得到异面直线与所成角即为∠VCD由△VCD为等边三角形即可求解【详解】如图示因为是正方形所以AB∥CD所以异面直线与所成角即为∠VCD又各条棱长均为2所以△VCD为等边三解析：60°【分析】根据AB∥CD,得到异面直线VC与AB所成角即为∠VCD,由△ VCD为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为ABCD是正方形，所以AB∥CD,所以异面直线VC与AB所成角即为∠VCD.又各条棱长均为2，所以△ VCD为等边三角形，所以∠VCD=60°，异面直线VC与AB所成角的大小为60°.故答案为：60°【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．【分析】首先利用垂直关系和底面和侧面外接圆的圆心作出四棱锥外接球的球心再计算外接球的半径以及球的表面积【详解】连结交于点取中点连结并延长于点点是外接圆的圆心侧面底面侧面底面平面过点作平面侧面所以点是解析：64π【分析】首先利用垂直关系和底面ABCD 和侧面ABCD 外接圆的圆心，作出四棱锥P ABCD -外接球的球心，再计算外接球的半径，以及球O 的表面积. 【详解】连结,AC BD ，交于点M ，取AB 中点N 连结AN ，MN ，并延长于点E ，点E 是PAB △外接圆的圆心，侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，MN AB ⊥MN ∴⊥平面PAB ，过点M 作MO ⊥平面ABCD ，//EO MN ，EO ∴⊥侧面PAB ，所以点O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心，可知四边形MNEO 是矩形，右图，PA PB ==，120APB ∠=，2cos306AB PB ∴==，点E 是PAB △外接圆的圆心，sin303PN PB ∴==，PBE △是等边三角形，PE =NE ∴==MO ∴=12MC AC ==4R OC ∴===， ∴球O 的表面积2464S R ππ==故答案为：64π 【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2222R a b c =++，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.21．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所解析：310【分析】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】取11AC 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ，因为112AE A A =，所以11//EO AC 且111=2EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，设1AB =，则12AA =，所以111=2EO AC ==，BE == 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以11B O == 因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，所以1BO === 在1BEO中，22211115192cos 220BE EO BO BEO BE EO +-+-∠===-⨯，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线1AC 与BE所成角的余弦值为20，【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．22．【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 结合轴截面图形计算得最后计算体积即可【详解】解：设圆锥底面半径为R 则所以设内切球半径为r ﹐圆锥高为h 则如图是圆锥轴截面三解析：3【分析】根据圆锥底面圆周长为扇形弧长得圆锥底面半径1R =，设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，结合轴截面图形计算得22r，最后计算体积即可.【详解】解：设圆锥底面半径为R ，则2233R ππ=⨯，所以1R =．设内切球半径为r ﹐圆锥高为h ，则9122h =-=，如图，是圆锥轴截面三角形图，所以3r Rh r =-，解得：2r ，故3442223383r V πππ==⨯=．故答案为：23π【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，圆锥的内切球的体积，考查空间想象能力，是中档题.23．【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心由题意可得外接球的半径进而求出外接球的体积【详解】解：取矩形的对角线的交点解析：323π【分析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由PAD △为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面PAD ⊥平面ABCD 可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】解：取矩形的对角线的交点O 和AD 的中点E ，连接OE ，OP ，OE ，则O 为矩形ABCD 的外接圆的圆心，而2DPA π∠=，23AD =2AB =，PA PD =，则//OE AB ，112OE AB ==，132PE AD ==，所以E 为PAD △的外接圆的圆心，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以O 为外接球的球心，OP 为外接球的半径，在POE △中，222222(3)14R OP PE OE ==+=+=，所以2R =，所以外接球的体积343233V R ππ==，故答案为：323π．【点睛】本题考查四棱锥的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式，属于中档题．24．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案. 【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD ，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =，所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==，故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、解答题25．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）先证//CD 平面PAB ，然后由线面平行性质定理可得结论；（2）由线面平行的性质，把体积利用等高进行转换PBEC C PBE D PBE V V V --==，然后由体积公式计算，【详解】（1）证明：因为//AB CD ，CD ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，所以//CD 平面PAB .因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB ⋂平面PCD m =，所以//CD m .（2）解：1114222PBE PBA S S PA AB ==⨯⨯⨯=△△， ∵//CD 平面PAB ，所以,C D 两点到平面PAB 的距离相等.由条件易得DA ⊥平面PAB 且AD =∴114333PBEC C PBE D PBE PBE V V V S DA --===⋅=⨯⨯=△．【点睛】关键点点睛：本题考查证明线线平行，考查求棱锥的体积．在立体几何的证明中，注意掌握线面间关系的判定定理和性质定理，下结论时需要满足定理的所有条件，一个不缺，一一列举，然后得出结论，否则证明过程不完整． 26．（1）证明见解析；（2）23．【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，由中位线定理得//OM PB ，从而得证线面平行；（2）由M 是PD 中点，得12M ACD P ACD V V --=，求出三棱锥P ACD -的体积后可得．【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，则O 是BD 中点，又M 是PD 中点， ∴//OM PB ，又PB ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以//PB 平面ACM ；（2）由已知12222ACDS=⨯⨯=，11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△，又M 是PD 中点，所以1223M ACD P ACD V V --==，所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=．【点睛】思路点睛：本题考查证明线面平行，求三棱锥的体积．求三棱锥的体积除掌握体积公式外，还需要注意割补法，不易求体积的三棱锥（或一个不规则的几何体）的体积可通过几个规则的几何体（柱、锥、台等）的体积加减求得．三棱锥的体积还可通过转化顶点，转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积，从而得出结论． 27．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6π. 【分析】（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH ，即可得到2BHHG=，又2BF FA =，所以//FH AG ，从而得证；（Ⅱ）依题意利用余弦定理求出EF ，从而得到EF BD ⊥，即可证明BD ⊥平面CEF . 过F 作AD 的平行线FP ，交BD 于P .则PE ⊥平面CEF .所以直线FP 与平面CEF 所成角为PFE ∠，再利用锐角三角函数计算可得；【详解】解：（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH . 则点H 为BCD △的重心，有2BHHG=. 因为2BF BHFA HG==，所以//FH AG ，且FH ⊂平面CEF ，AG ⊄平面CEF ，所以//AG 平面CEF .。

北师大版高中数学必修二第二章解析几何初步单元检测(附答案)

数学北师版必修2第二章解析几何初步单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( )．A．32B．2C．－1D．2或－12．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( )．A．8B．12C．16D．193．已知直线l1和l2的夹角平分线为y＝x，如果l1的方程为ax＋by＋c＝0，那么直线l2的方程为( )．A．bx＋ay＋c＝0B．ax－by＋c＝0C．bx＋ay－c＝0D．bx－ay＋c＝04．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为( )．A．1B．2C．1D．5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C 的方程为( )．A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝27．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )．A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝208．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．．C．．二、填空题(每小题6分，共18分)9．光线从点M(3，－2)照射到y轴上一点P(0,1)后，被y轴反射，则反射光线所在的直线方程为____________．10．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为__________．11．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率取值范围是________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.求：(1)直线l的方程；(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.13．(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，点O 为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．14．(12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案1答案：D 解析：由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0，∴a ＝2或－1.2答案：A 解析：A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)，∴|AA 2|＝8.3答案：A 解析：因为夹角平分线为y ＝x ，所以直线l 1和l 2关于直线y ＝x 对称，其方程为bx ＋ay ＋c ＝0.4答案：C 解析：圆方程化为标准形式为(x －2)2＋(y －2)2＝1，圆心为(2,2)，所以圆心到直线的距离d =d －1＝1. 5答案：D 解析：由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令20,630,x y x +=⎧⎨-=⎩得2,1,x y =⎧⎨=-⎩∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．6答案：B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ==，解得a ＝1，r =∴圆C ：(x －1)＋(y ＋1)2＝2.7答案：A 解析：由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，半径1|2r OP =(x －2)2＋(y －1)2＝5.8答案：B 解析：由(x －1)2＋(y －3)2＝10，可知圆心为O (1,3)，过E (0,1)的最长弦为圆的直径最短弦为以E 为中点的弦，其长为.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为12⨯ 9答案：x －y ＋1＝0 解析：点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1(2)0(3)x ----＝x ，即x －y ＋1＝0.10答案：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 解析：圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得，即|5|=25D +，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 11答案：[0,2] 解析：方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)，r =，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，220=210k -=-， ∴0≤k l ≤2.12答案：解：(1)由3420,220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1. 13答案：解：设点P ，Q 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝－1，即1212=1y y x x ⋅-，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组22230,60x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩的实数解，即x 1，x 2是方程5x2＋10x ＋4m －27＝0 ②的两个根．∴x 1＋x 2＝－2，124275m x x -=.③∵P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]．将③代入，得12125m y y +=.④将③④代入①，解得m ＝3，代入方程②，检验Δ＞0成立， ∴m ＝3.14答案：解：(1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，，解得34k =-.所以直线方程为3(2)4y x =--，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |d ==，所以d ＝|CP |所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0.由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)＞0，即－2a ＞0，解得a ＜0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)．设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝1PCk -，所以12a =.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。

同步北师大高中数学必修二培优新方案阶段质量检测二解析几何初步含解析

阶段质量检测（二）解析几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析：选C k AB ＝m －4－2－m ＝tan 45°＝1，∴m ＝1.2．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.3．已知圆C 以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M (5，－7)与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．无法判断解析：选B 点M (5，－7)到圆心(2，－3)的距离d ＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M在圆C 上．4．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.又k ＜0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交，故选A.5．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3解析：选C 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3.6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝4，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴弦长为222－1＝2 3.7．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 因为l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a ＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.8．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( ) A ．(1，－3) B ．(3，－1) C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：选A 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得交点坐标M (1,2)，而M (1,2)又在直线mx ＋ny ＋5＝0上，∴m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知选项A 中m ＝1，n ＝－3符合方程．9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.10．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.11．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－34，0 B ．⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤0，34 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 解析：选D 依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.答案：－2315．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：依题意，知圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1×a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.答案：4±1516．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)如图，在空间直角坐标系中，PA ⊥平面OAB ，PA ＝OA ＝2，∠AOB ＝30°.(1)求点P 的坐标．(2)若|PB |＝5，求点B 的坐标．解：(1)过A 作AE ⊥OB 于E ，则AE ＝1，OE ＝3，所以点A 的坐标为(1，3，0)，所以点P 的坐标为(1，3，2)． (2)因为点B 在y 轴上，因此可设点B 的坐标为B (0，b,0)，则|PB |＝1＋(b －3)2＋4＝5，解得b ＝3，所以点B 的坐标为(0，3，0)．18．(12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．19．(12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.20．(12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，点C 到直线y ＝3x 的距离为d ，则12d ·2d ＝10，∴d ＝10. ∵直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，∴直线l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设直线l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线，则直线l ′与l 的交点就是C 点，设直线l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， ∴|m |32＋(－1)2＝10，∴m ＝±10，∴直线l ′的方程是3x －y ±10＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得点C 的坐标是⎝⎛⎭⎫125，－145或⎝⎛⎭⎫－285，－345.21．(12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.22．(12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，切点为A .(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标．(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当点P 运动时，圆N 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：(1)由题可知圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.设P (2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP ＝90°. 在Rt △MAP 中，|MP |2＝|AM |2＋|AP |2，故|MP |＝22＋(23)2＝4.又|MP |＝ (0－2b )2＋(4－b )2＝5b 2－8b ＋16，所以5b 2－8b ＋16＝4，解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫165，85. (2)设点P 的坐标为(2b ，b )．因为∠MAP ＝90°，所以△PAM 的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆，且MP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫b ，b ＋42，所以圆N 的方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以圆N 过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，45.。

北师大版高中数学必修二创新演练阶段质量检测第一部分第二章解析几何初步章末小结知识整合与阶段检测

(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)1．在空间直角坐标系O －xyz 中，点M 的坐标是(1,3,5)，则其关于x 轴的对称点的坐标是( )A ．(－1，－3，－5)B ．(－1，－3,5)C ．(1，－3，－5)D ．(1,3，－5)解析：M (1,3,5)关于x 轴对称的点，在x 轴上的坐标不变，其它是其相反数，即为(1，－3，－5)．答案：C2．(2012·惠州统考)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是 ( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3解析：由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1. 答案：C3．（2012·临沂期末）以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是 ( )A ．3x －y ＋8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0解析：AB 的中点(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13，中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程得y －2＝－3(x ＋2) 即：3x ＋y ＋4＝0. 答案：B4．（2012·贵港模拟）过点(－1,0)的直线l 与圆x 2＋y 2－23y ＋2＝0相切，则直线l 的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．30°或90°解析：圆方程可化为x 2＋(y －3)2＝1，易知(－1,0)在圆外，当直线l 的斜率k 存在时可设为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. 则|k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝33，这时倾角为30°.当直线l 的斜率k 不存在时，直线x ＝－1满足题意，此时倾斜角为90°.答案：D5．点P在圆C1：x2＋(y＋3)2＝4上，点Q在圆C2：(x＋3)2＋(y－1)2＝9上，则|PQ|的最大值为()A．5 B．10C．7 D．8解析：可得C1(0，－3)，r1＝2，C2(－3,1)，r2＝3.|C1C2|＝32＋42＝5.∴|PQ|的最大值为5＋r1＋r2即10.答案：B6．(2012·南宁模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：由题意得直线方程y＝3x，即3x－y＝0.圆方程x2＋(y－2)2＝4.圆心到直线的距离是d＝23＋1＝1.∴弦长|AB|＝24－1＝2 3.答案：D7．（2012·惠州统考）圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是() A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2解析：∵(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.答案：D8．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是() A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 2解析：圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1. ∵圆心到直线x－y－2＝0的距离为d＝|1－1－2|2＝2>1.∴圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为1＋ 2. 答案：B9．圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x －10y ＋28＝0关于直线l 对称，则l 的方程为( )A ．2x －3y ＋6＝0B ．2x －3y －6＝0C ．3x ＋2y －4＝0D ．3x ＋2y ＋4＝0解析：圆C 1化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆C 2化为(x ＋2)2＋(y －5)2＝1，则C 1(2，－1)，C 2(－2,5)的中点为(0,2)，kC 1C 2＝－32.由题意知l 是C 1C 2的中垂线，方程为y －2＝23x 即2x －3y ＋6＝0.答案：A10．(2012·梅州高一检测)一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( )A ．32－1B ．2 6C ．4D ．5解析：A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，则|A ′C |＝(2＋1)2＋(3＋1)2＝5. ∴所求最短路程为5－1＝4. 答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2012·南师大附中检测)如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝5，B ′D ′与A ′C ′交于P ，则点P 的坐标为________．解析：由已知可得B ′的坐标为(3,4,5)，D ′的坐标为(0,0,5)，∴P 的坐标为(32，2,5)．答案：(32，2,5)12．两圆x 2＋y 2＝1，(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.解析：由a2＋16＝6，得a＝±2 5.由a2＋16＝4，得a＝0.答案：0，±2 513．如果直线ax＋3y＋2＝0与直线3ax－y－2＝0垂直，那么a＝________.解析：若两直线垂直，则3a2－3＝0，∴a＝±1.答案：±114．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m －n＝________.解析：圆方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，∴圆心C为(2，－3)，∴过点P的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP时弦长最短，|CP|＝32＋32＝3 2.∴最短弦长为225－(32)2＝27，即m＝10，n＝27，∴m－n＝10－27.答案：10－27三、解答题(本大题共4个小题，共50分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)、C(6，－5)、BC边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD边所在直线的方程；(2)对角线BD所在直线的方程．解(1)k BC＝2，∵AD∥BC，∴k AD＝2.∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.(2)k AC＝－6 5，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴k BD＝5 6，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，∴直线BD的方程为y－1＝56(x－1)，即5x－6y＋1＝0.16(本小题满分12分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．解：因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. 17．（2012·吉林市高三摸底）已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN | ＝4 55，求m 的值．解：(1)方程C 可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，显然只要5－m >0，即m <5时方程C 表示圆．(2)因为圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ，其中m <5，所以圆心C (1,2)，半径r ＝5－m ，则圆心C (1,2)到直线l ：x ＋2y －4＝0的距离为d ＝|1＋2×2－4|12＋22＝15，因为|MN |＝4 55，所以12 |MN |＝2 55，所以5－m ＝(15)2＋(2 55)2，解得m ＝4.18．(本小题满分14分)(2011·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0，直线l ：(2m＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0.(1)求圆C 的圆心坐标和圆C 的半径； (2)求证：直线l 过定点；(3)判断直线l 被圆C 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值，以及最短长度．解：(1)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0，可变为：(x －1)2＋(y －2)2＝52.由此可知圆C 的圆心O ′坐标为(1,2)，半径为5. (2)证明：由直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，可得(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0.对于任意实数m ，要使上式成立，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以直线l 过定点A (3,1)．(3)当圆心(1,2)在直线l 上，圆C 截得的弦为直径，此时弦最长；当圆心O ′(1,2)与定点A (3,1)的连线与l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦为最短．由条件得：(－12)(－2m ＋1m ＋1)＝－1.解得m ＝－34.则直线l 的方程为2x －y －5＝0. 弦心距d ＝|2×1－2－5|22＋12＝ 5.则弦长为 2r 2－d 2＝4 5.∴当m ＝－34时，截得弦长最短，最短为4 5.。

(常考题)北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》检测卷(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（） A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO2．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（）A B C ．D ．3．如果圆()()228x a y a -+-=的点，则实数a 的取值范围是（）A ．()()3,11,3--⋃B ．()3,3-C ．[]1,1-D ．[][]3,11,3--⋃ 4．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于a ）A B C ．2 D 5．已知圆()()()222:0C x a y a a a -++=>和直线:20l x y ++=，则2a =是圆C 和直线l 相交的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（）A ．5B ．5+C ．3+D ．3-7．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．[2B ．C ．]D ．，] 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A ．2211B ．2211-C ．277D ．21111 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．16B ．13C ．1D ．210．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（）A 43B 23C ．83D ．4312．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．16B ．13C ．23D ．2二、填空题13．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．14．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为,,a b c ，若圆222:()()A x a y b c -+-=与圆223:()254B x m y m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭外切，则实数m 的值为______________.15．已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是__________.16．已知圆221:9C x y +=，圆222:4C x y +=,定点(1,0)M ,动点A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=,则线段AB 的取值范围_______.17．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．18．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足2PA PB =，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 19．已知直三棱柱111ABC A B C -，14AB BC AA ===，42AC =，若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π，则此时点P 构成的图形面积为________．20．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.21．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====，平面11AA B B ⊥平面ABC ，则该三棱台外接球的表面积为___________.22．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.23．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．24．如图，已知正四面体P ABC -的棱长为2，动点M 在四面体侧面PAC 上运动，并且总保持MB PA ⊥，则动点M 的轨迹的长度为__________.三、解答题25．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB =π3，AB =2，EF //AC ，EA =ED =3，BE =5.（1）求证：平面EAD ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥F -BCD 的体积.26．在三棱锥A BCD -中，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC .（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）证明：BE CD ⊥.27．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.28．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起使平面ADM ⊥平面ABCM .（1）求证：BM AD ⊥；（2）求直线DC 与平面DAB 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ；在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=，当a 变化时，0x =，1y =恒成立，所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立，所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确.对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==≤，所以MOD 正确.故选：C.【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题. 2．C解析：C【分析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解.【详解】因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0，两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程.圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为d =所以公共弦长为：l ==.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．D解析：D【详解】圆心(),a a ，半径r =d ，因为圆()()228x a y a -+-=，则圆()()228x a y y a -+-=与圆222x y +=有公共点，'''r r r r r ∴=∴-≤≤+，，即13a ≤≤，解得13a ≤≤或31a -≤≤-，所以实数a 的取值范围是[][]3,11,3--⋃，故选D.4．A解析：A【分析】依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐标，根据D 到直线BC 的距离等于a .【详解】依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，()()22,AC BD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c ab y xc a b --=-①，直线CD ：()()22a c a b y x c a b-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直线BC 的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以()42D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为.故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．A解析：A【分析】由圆C 和直线l 相交，解出a 的范围，结合选项判断即可．【详解】圆C 和直线l 相交，即圆心(),a a -到:20l x y ++=的距离小于半径，()0a a <>，解得a >则2a =是圆C 和直线l 相交的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．6．B解析：B【分析】先求出动点P 轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定PQ 的最大值取法，计算即可得结果.【详解】设(,)P x y ，因为2PA PB ==22(2)4x y ∴-+=因此PQ 故选：B【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题.7．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AAA M =+=+=，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=，则△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()2+=，当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣．故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题. 8．D解析：D【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒= 22211cos (7)2BC PCB PC ∠===+，所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111．故选：D ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．B解析：B 【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果. 【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC -，如图所以：所以该几何体的体积为111121323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.10．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.11．D解析：D 【分析】在BCD △中，利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤，由三角形的面积公式可得33BCDS≤，由二面角A BC D --的大小为60，可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅，所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立， 111634sin120322323BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯=，因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==，所以1144333333A BCD BCDV S h -=⋅≤⨯⨯=，所以四面体ABCD 体积的最大值是43，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值，再由二面角求出高的最大值.12．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.二、填空题13．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6，则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.14．0或16【分析】根据分层抽样的性质得出的值从而得出圆的方程根据圆与圆的位置关系即可得出实数的值【详解】由分层抽样方法知所以分别为所以圆的圆心为（86）半径为5圆的圆心为半径为5由两圆外切知：解得或故解析：0或16【分析】根据分层抽样的性质得出,,a b c 的值，从而得出圆A 的方程，根据圆与圆的位置关系，即可得出实数m 的值. 【详解】由分层抽样方法知，400:300:2508:6:5=，所以,,a b c 分别为8,6,5 所以圆A 的圆心为（8,6），半径为5，圆B 的圆心为3(,)4m m ，半径为555=+，解得0m =或16m =. 故答案为：0或16 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用以及由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.15．8【分析】先求出直线与坐标轴的交点然后用表示出三角形的面积最后利用基本不等式即可求得本题答案【详解】由直线可得与x 轴y 轴的交点坐标分别为所以三角形的面积当且仅当时取等号所以的最小值是8故答案为：8【解析：8 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，然后用λ表示出三角形的面积，最后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】由直线22(2)0x y y λ+++-=，可得与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22(1,0),0,1λλλ+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，(1,)λ∈+∞，所以三角形的面积1224()(1)(1)448211S λλλλλλ+=+⋅=-++≥=--，当且仅当3λ=时取等号，所以()S λ的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用问题，考查学生的转化能力和运算求解能力.16．【分析】因为可得根据向量和可得即由分别在圆和圆上点设求得由可得即可得到设中点为求得的取值范围即可求得答案【详解】分别在圆和圆上点设则由可即整理可得：设中点为则即点的轨迹是以为圆心半径等于的圆的取值范解析：1,1]【分析】因为90AMB ︒∠=，可得MA MB ⊥，根据向量和可得AB MA MB =+，即2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB +=++⋅=，由A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，求得()21212||132AB x x y y -+=，由MA MB ⊥，可得1212121x x y y x x +=+-，即可得到()212||152AB x x =-+，设AB 中点为()00,N x y ，求得0x 的取值范围，即可求得答案. 【详解】90AMB ︒∠=MA MB ∴⊥，2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB ∴+=++⋅=，A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，∴2211222294x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 则()()()22221211212||132AB x x y y x x y y =-+-=-+，由MA MB ⊥，可()()11221,1,0x y x y -⋅-=，即()()1212110x x y y --+=，整理可得：1212121x x y y x x +=+-，()()21212||1321152AB x x x x ∴=-+-=-+，设AB 中点为()00,N x y ，则20||154AB x =-，∴0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，()()()2200121212041321321114x y x x y y x x x ∴+=++=++-=+即2200132x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，点()00,N x y 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ∴的取值范围是1122⎡⎢⎣，20||154AB x ∴=-的范围为13⎡-+⎣，故：||AB的范围为1,1]故答案为：1,1]．【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到d =距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为2d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：章末综合测评2 平面解析几何初步 Word版含答案

章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A.12 B ．－12 C ．－2D ．2【解析】由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12.【答案】 A3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )【解析】当a >0时，A ，B ，C ，D 均不成立；当a <0时，只有C 成立．【答案】 C4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A.213 B.113 C.126D.526【解析】5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d＝|6－5|102＋242＝126.【答案】 C5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圆心C(1,0)，k PC＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.【答案】 D7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.【答案】 A8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2.【答案】 C9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4 B．2C.85 D.125【解析】P为圆上一点，则有k OP·k l＝－1，而k OP＝4－1－2－2＝－34，∴k l＝43.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4.【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()图1A．(1,1,1) B．(1,1, 2)C．(1,1, 3) D．(2,2, 3)【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为3，则第五个顶点的坐标为(1,1，3)．故选C.【答案】 C11．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为()A．2x－y－3＝0B．x＝2C．2x－y－3＝0或x＝2D．以上都不对【解析】满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，所以直线x＝2满足条件．由题意知k AB＝5－13－1＝2.所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.【答案】 C12.已知圆O ：x 2＋y 2－4＝0，圆C ：x 2＋y 2＋2x －15＝0，若圆O 的切线l 交圆C 于A ，B 两点，则△OAB 面积的取值范围是( )图2A ．[27，215]B ．[27，8]C ．[23，215]D ．[23，8]【解析】 S △OAB ＝12|AB |·2＝|AB |，设C 到AB 的距离为d ，则|AB |＝242－d 2，又d ∈[1,3]，7≤42－d 2≤15，所以S △OAB ＝|AB |∈[27，215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.【解析】令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝83. 【答案】 8314．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________.【解析】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.【答案】 2x ＋3y －2＝015．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【解析】 ∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 【答案】 x ＋2y －5＝016．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】法一 ∵圆心在y 轴上，设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)如图3所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：图3(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程．【解】(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，∴AD边所在的直线的斜率k AD＝－3，而点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为x－3y＋m＝0(m≠－6)．而M到直线AB的距离d＝410＝2510.∴M到直线DC的距离为2 510，即|2＋m|10＝2510⇒m＝2或－6，又m≠－6，∴m＝2，∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE 所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.(1)求点A的坐标；(2)求直线AC的方程．【解】(1)设点A(x，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋9y －3＝0，y ＋3x ＋1·13＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3.故点A 的坐标为(－3,3)． (2)设点C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧m －3n －1＝0，8·m －12＋9·n －32－3＝0，解得m ＝4，n ＝1，故C (4,1)，又因为A (－3,3)，所以直线AC 的方程为y －13－1＝x －4－3－4，即2x ＋7y －15＝0.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |. ∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD 交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长.【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y－1＝34(x－2)，即3x－4y－2＝0.点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2，所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝2.22. (本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．图5(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的1 4，求直线m的方程．【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，又圆N的圆心在直线y＝x上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2，解得a＝3，所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝32，故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14，所以CP⊥CQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，即kx－y＋6＝0.所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5，解得k＝4855.所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。

2019_2020学年高中数学阶段测试2(含解析)北师大版必修2

解析几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 经过原点与点(－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45° B．135°C ．45°或135° D．0°解析：易知直线l 的斜率为－1－0－1－0＝1，设倾斜角为α，则tan α＝1，∵α∈[0°，180°)，∴α＝45°.答案：A2．两条平行线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：ax ＋6y ＝5间的距离等于( ) A.415 B.75 C.715 D.23解析：据题意两直线平行，则－34＝－a 6⇒a ＝92，即l 2：92x ＋6y ＝5，故l 1：9x ＋12y －6＝0， l 2：9x ＋12y －10＝0，l 1与l 2间距离d ＝|－6＋10|92＋122＝415，故选A. 答案：A3．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴的对称点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在坐标平面xOz 上的射影是(－4,0，－6)，故选C.答案：C4．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0，必过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12解析：当x ＝12时，直线可化为12a ＋3y ＋b ＝0，即a ＋2b ＋6y ＝0，得y ＝－16，所以直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16.答案：B5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任意一点坐标为(x 1，y 1)，其与点P 所连线段的中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.故选A. 答案：A6．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心为A (0,0)，半径为r ＝2，圆x 2＋y 2－6x ＋8y －24＝0的圆心为B (3，－4)，半径为R ＝7，因为|AB |＝5＝R －r ＝7－2，故两圆内切．答案：C7．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：C8．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，直线l ：3x －4y ＋m ＝0，圆上存在两点到直线l 的距离为1，则m 的取值范围是( )A ．(－17，－7)B ．(3,13)C ．(－17，－7)∪(3,13) D．[－17，－7]∪[3,13]解析：当圆心到直线的距离d 满足r －1<d <r ＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<|2＋m |5<3，解得m ∈(－17，－7)∪(3,13)．答案：C9．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.又k <0，所以k＝－1.于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交，故选A.答案：A10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则在直线l 上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线l 的距离为|4m ＋2|m 2＋1，则|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.答案：D11．从点A (－2,1)发出的光线l 经过x 轴反射，其反射光线所在直线正好与圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0相切，则所有反射光线所在直线的斜率之和为( )A.43B.83 C ．2 D ．4解析：圆M ：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0可化为(x －2)2＋(y －3)2＝4，圆心为M (2,3)，半径r ＝2.又点A (－2,1)关于x 轴的对称点为A ′(－2，－1)，则可设反射光线所在的直线方程为y＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由反射光线正好与圆M 相切，得|2k －3＋2k －1|k 2＋1＝2，即3k 2－8k ＋3＝0，由根与系数的关系，得该方程的两根之和为83，即所有反射光线所在直线的斜率之和为83，故选B.答案：B12．直线3ax ＋by ＝1(a ，b ∈R )与圆x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间距离的最大值是( )A.174B ．4C ．2 D.73解析：由△AOB 是直角三角形，得∠AOB ＝90°，|OA |＝|OB |＝2，所以|AB |＝2，则圆心O (0,0)到直线3ax ＋by ＝1的距离为13a 2＋b 2＝1，即3a 2＋b 2＝1，从而b 2≤1.于是点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离d ＝a 2＋b －12＝23b 2－2b ＋43＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322－16，因为b ∈[－1,1]，所以当b ＝－1时，距离最大，即d max ＝2，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把正确答案填在题中横线上) 13．点M (－1,0)关于直线x ＋2y －1＝0的对称点M ′的坐标是________．解析：过点M (－1,0)与直线x ＋2y －1＝0垂直的直线方程为2x －y ＝－2，可解得两垂直直线的交点坐标为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则点M (－1,0)关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45的对称点坐标为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，85. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，85 14．过点P (1,3)的直线分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线的方程为________________________________________________________________________．解析：设A (m,0)，B (0，n )．由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6，即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)．由两点式直接得方程y －06－0＝x －20－2，即3x ＋y －6＝0.答案：3x ＋y －6＝015．若P (2,1)是圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________________．解析：由圆的方程得圆心坐标为O (1,0)，所以k PO ＝12－1＝1，则直线AB 的斜率为k ＝－1，由点斜式方程得x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝016．已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2，O 为坐标原点，则当|OC |最小时，圆C 的一般方程是________________．解析：方法一由题知C (m,4－m )，则|OC |＝m 2＋4－m 2＝2m －22＋8，∴当m＝2时，|OC |最小，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2，其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.方法二设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m ，消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y－4＝0.当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2，即圆心C 的坐标为(2,2)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2，其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系中，PA ⊥平面OAB ，PA ＝OA ＝2，∠AOB ＝30°. (1)求点P 的坐标；(2)若|PB |＝5，求点B 的坐标．解析：(1)过A 作AE ⊥OB 于E ，则AE ＝1，OE ＝3，所以点A 的坐标为(1，3，0)，所以点P 的坐标为(1，3，2)． (2)因为点B 在y 轴上，因此可设点B 的坐标为B (0，b,0)，则|PB |＝1＋b －32＋4＝5，解得b ＝3，所以点B 的坐标为(0，3，0)．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边所在直线的方程分别是l AB ：4x －3y ＋10＝0，l BC ：y ＝2，l CA ：3x －4y ＝5.(1)求∠BAC 的平分线所在直线的方程； (2)求AB 边上的高所在直线的方程．解析：(1)设P (x ，y )是∠BAC 的平分线上任意一点，则点P 到AC ，AB 的距离相等，即|4x －3y ＋10|42＋32＝|3x －4y －5|32＋42，所以4x －3y ＋10＝±(3x －4y －5)．又因为∠BAC 的平分线所在直线的斜率在34和43之间，所以7x －7y ＋5＝0为∠BAC 的平分线所在直线的方程． (2)设过点C 的直线系方程为3x －4y －5＋λ(y －2)＝0，即3x －(4－λ)y －5－2λ＝0.若此直线与直线l AB ：4x －3y ＋10＝0垂直，则3×4＋3(4－λ)＝0，解得λ＝8.故AB 边上的高所在直线的方程为3x ＋4y －21＝0.19．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B 为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线长|PA |； (3)求直线AB 的方程．解析：(1)设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，又C (1,2)，半径r ＝2，由点到直线的距离公式得：2＝|k －2－2k －1|k 2＋1，解得，k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0. (2)在Rt△APC 中，|AC |＝r ＝2，|PC |＝2－12＋－1－22＝10，所以|PA |＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(x 1－1)2＋(y 1－2)2＝2，(x 2－1)2＋(y 2－2)2＝2.因为k CA ·k AP ＝－1，即y 1－2x 1－1·y 1＋1x 1－2＝－1，所以(y 1－2)(y 1＋1)＝－(x 1－1)(x 1－2)，变形得(y 1－2)(y 1－2＋3)＝－(x 1－1)(x 1－1－1)，(y 1－2)2＋3(y 1－2)＝－(x 1－1)2＋(x 1－1)，(x 1－1)2＋(y 1－2)2＋3(y 1－2)－(x 1－1)＝0.因为(x 1－1)2＋(y 1－2)2＝2，所以上式可化简为x 1－3y 1＋3＝0.同理可得：x 2－3y 2＋3＝0. 因为A ，B 两点的坐标都满足方程x －3y ＋3＝0，所以直线AB 的方程是x －3y ＋3＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解析：将圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0化为标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则圆C 的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝4，解得a ＝－7或－1.DA ＝12AB ＝2，∴直线l 的方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.21．(本小题满分12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0 (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度．解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，化为(x －3)2＋y 2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为15，圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0化为x 2＋(y －2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径为10.圆心距为：32＋22＝13，因为15 －10 ＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．(2)将两圆的方程相减，得－6x ＋4y ＝0，化简得：3x －2y ＝0，∴公共弦所在直线的方程是3x －2y ＝0；(3)由(2)知圆C 1的圆心(3,0)到直线3x －2y ＝0的距离d ＝99＋4＝913，由此可得，公共弦的长l ＝215－8113＝2118213.22．(本小题满分12分)已知线段AB 的端点B 的坐标是(－1,0)，端点A 在圆(x －7)2＋y 2＝16上运动，(1)求线段AB 中点M 的轨迹方程；(2)设点C (2，a )，记M 的轨迹方程所对应的曲线为Ω，若过点C 且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线Ω相切，求a 的值及切线方程．解析：(1)设A (m ，n )，M (x ，y )，因为M 为线段AB 中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －12，y ＝n2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x ＋1，n ＝2y ，又点A 在圆(x －7)2＋y 2＝16上运动，所以(2x ＋1－7)2＋(2y )2＝16，即(x －3)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)设切线方程为y ＝a2x 和x ＋y ＝2＋a ，则|3a |a 2＋4＝2和|1－a |2＝2，解得：a ＝±455或a ＝1±22，所以切线方程为y ＝±255x 和x ＋y ＝3±2 2.。

(常考题)北师大版高中数学必修二第二章《解析几何初步》检测(含答案解析)

一、选择题1．已知两直线20ax y -+=与2(1)0x a y a -++=平行，则a = （）A ．2-B ．0C ．2-或1D ．12．已知直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点，则实数ｍ的取值范围是（）A ．2[0,5)5B ．2[5,0]5-C ．22(5,5)55-D ．14[0,) 3．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（）A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,4．当k 变化时，直线30kx y k -+=和圆2216x y +=的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定 5．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对 6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（）A ．2：1B ．4：1C ．8：1D ．8：38．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE △，BCF △，CDG ，ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE △，BCF △，CDG ，ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π 9．三个平面将空间分成n 个部分，则n 不可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．810．在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中，点M 、N 、P 均为所在棱的中点，过M 、N 、P 作正方体截面，则下列图形中，平面MNP 不与直线A C '垂直的是（） A ． B ． C ． D ． 11．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，12AA =，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（）A ．33-B ．3C ．33D ．3212．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，若点(1,2,3)A ，(1,1,4)B -，点C 是点A 关于平面yOz 的对称点，则点B 与C 的距离为_________.14．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．15．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线310x y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.16．经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．17．已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于,A B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为_________．18．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 19．如图，在一个底面面积为410的正四棱锥P ABCD -中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的体积为___________.20．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________． 21．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 2②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）22．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -27，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 23．将底面直径为8，高为23为______.24．水平放置的ABC ∆的斜二测直观图如图所示,已知''4,''3B C A C ==,则ABC ∆中AB 边上的中线的长度为_______ .三、解答题25．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PAB 为等腰直角三角形，,2PA PB AB ⊥=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）设E 为CD 的中点，求点E 到平面PBC 的距离．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒且AC a =，侧棱12AA =，D ，E 分别是1CC ，11A B 的中点．（1）求直三棱柱111ABC A B C -的体积（用字母a 表示）；（2）若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ，①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值；②求点1A 到平面ABD 的距离27．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理出．28．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V —ABC 的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】∵直线20ax y -+=与()210x a y a -++=平行∴21a a =+，且21a a ≠+ ∴1a =故选D点睛：（1）当直线的方程存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意,x y 的系数不能同时为零的这一隐含条件；（2）在判断两条直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.2．A解析：A【分析】由直线方程得到直线过定点()3,0P -，且斜率为m ，又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内画出它们的图象，结合图象求解，即可得到答案.【详解】由题意，直线()33y mx m m x =+=+，则直线必过定点()3,0P -，斜率为m ，又由曲线24y x =-是以原点为圆心，半径2r =的圆的上半圆，在同一坐标系内做出它们的图象，如图所示，当直线与半圆切与点A 时，它们有唯一的公共点，此时，直线的倾斜角α满足2sin 3α=，所以25cos 1sin αα=-=，可得直线的斜率为sin 25tan cos m ααα===，当直线3y mx m =+的倾斜角由此变小时，两图象有两个不同的交点，直线的斜率m 变化到0为止，由此可得2505m ≤<，所以直线3y mx m =+和曲线24y x =-有两个不同的交点时，实数m 的取值范围是250,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，及直线方程的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象和三角函数的基本关系式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．C解析：C【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒． ∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．4．A解析：A【分析】由题知直线30kx y k -+=过定点3,0，再根据点3,0在圆2216x y +=内即可得答案.【详解】由直线30kx y k -+=得：()3y k x =+，故直线30kx y k -+=过定点3,0，由于点3,0在圆2216x y +=内，故直线30kx y k -+=和圆2216x y +=的位置关系是相交.故选：A.【点睛】本题考查直线过定点，直线与圆的位置关系，解题的关键在于由题知直线30kx y k -+=过定点3,0，是中档题.5．A解析：A【分析】以点P 为坐标原点，OP 所在直线为y 轴、过点P 且平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，求得点A 的坐标，设所求圆的半径为r ，由勾股定理可列等式求得r 的值，进而可求得圆的方程，然后将30x =-代入圆的方程，求出点N 的纵坐标，可计算出MN 的长，即可得出结论.【详解】以点P 为坐标原点，OP 所在直线为y 轴、过点P 且平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，由题意可知，点A 的坐标为()50,10--，设圆拱桥弧所在圆的半径为r ，10OP =，由勾股定理可得()222r OP OA r -+=，即()2221050r r -+=，解得130r =，所以，圆心坐标为()0,130-，则圆的方程为()222130130x y ++=，将30x =-代入圆的方程得()()2221301303016000y +=--=， 10y >-，解得4010130y =，()()4010130104010120 6.48MN ∴=--=≈（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6．B解析：B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)2CP =-+-= 根据弦长公式得最小值为29||982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7．A解析：A【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式得出答案．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由~AOE ACF 可得：22(1)11h r --=，即22r h h =-， ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--．当且仅当22h -=，即4h =时取等号．∴该圆锥体积的最小值为83π．内切球体积为43π．该圆锥体积与其内切球体积比2:1．故选：A ．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8．D解析：D【分析】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-，求出x 的值，再利用勾股定理求R ，代入球的表面积公式，即可得答案.【详解】连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x （0x >）cm ，则2x OI =，62x IE =-，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得4x =.设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，如图，则QP QC R ==，22OC =16423OP =-= 所以()(2222322RR =+，解得3R =，所以外接球的表面积为2100433S ππ==（2cm ）.故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，四棱锥外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置.9．A解析：A 【分析】三个平面不重合，先按其中平行的平面的个数分类：三个平面两两平行，两个平面平行，没有平行的平面(两两相交)，对两两相交的情况，再根据三条交线互相平行，重合，交于一点，分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，故选：A.10．A解析：A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项，利用假设法推出矛盾，可判断A 选项. 【详解】对于A 选项，连接B C '，假设A C '⊥平面MNP ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，A B ''⊥平面BB C C ''，B C '⊂平面BB C C ''，A B B C '''∴⊥，所以，A B C ''为直角三角形，且A CB ''∠为锐角，因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点，则//MN B C '，所以，MN 与A C '不垂直，这与A C '⊥平面MNP 矛盾，故假设不成立，即A C '与平面MNP 不垂直；对于B 选项，连接B D ''、A C ''，如下图所示：因为四边形A B C D ''''为正方形，则A C B D ''''⊥，CC '⊥平面A B C D ''''，B D ''⊂平面A B C D ''''，CC B D '''∴⊥，A C CC C ''''=，B D ''∴⊥平面A CC ''，A C '⊂平面A CC ''，ACB D '''∴⊥，M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点，则//MN B D ''，可得MP A C '⊥，同理可证A C MN '⊥，MP MN M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP ；对于C 选项，连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ，取A B ''的中点E ，连接C E '、PE ，因为四边形CC D D ''为正方形，则CD C D ''⊥，A D ''⊥平面CC D D ''，C D '⊂平面CC D D ''，C D A D '''∴⊥，CD A D D ''''=，C D '∴⊥平面A CD ''，A C '⊂平面A CD ''，A C C D ''∴⊥，M 、N 分别为DD '、C D ''的中点，//MN C D '∴，A C MN '∴⊥，在正方形A B C D ''''中，E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点，//A E C N ''∴且A E C N ''=，所以，四边形A EC N ''为平行四边形，所以，//A N C E ''且A N C E ''=，同理可证四边形CC EP '为平行四边形，//C E CP '∴且C E CP '=，所以，//A N CP '且A N CP '=，所以，四边形A PCN '为平行四边形，易得A N CN '=，所以，四边形A PCN '为菱形，所以，A C PN '⊥，MN PN N =，A C '∴⊥平面MNP ；对于D 选项，连接AC 、BD ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，AA '⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AA BD '∴⊥，AC AA A '⋂=，BD ∴⊥平面AAC '， A C '⊂平面AAC'，A C BD '∴⊥， M 、N 分别为CD 、BC 的中点，则//MN BD ，A C MN '∴⊥，同理可证A C MP '⊥，MN MP M ⋂=，A C '∴⊥平面MNP .故选：A. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．11．C解析：C 【分析】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，可证EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，通过计算可得结果.【详解】取11A B 的中点F ，过F 作1FG A B ⊥，垂足为G ，连EG ，因为,E F 分别为1111,C D A B 的中点，所以11//EF A D ，在长方体1111ABCD A BC D -中，因为11A D ⊥平面11ABB A ，所以EF ⊥平面11ABB A ，因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以1EF A B ⊥，因为1FG A B ⊥，且FGEF F =，所以1A B ⊥平面EFG ，因为EG ⊂平面EFG ，所以1A B EG ⊥，所以EGF ∠为二面角11B A B E --的平面角，因为12AB AA ==，所以14FA G π∠=，因为11A F =，所以12222FG A F ==，在直角三角形EFG 中，221612EG EF FG =+=+=，所以cos FGEGF EG ∠==2326=. 所以二面角11B A B E --3. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键.12．C解析：C 【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，∴四边形ONMB为平行四边形，∴MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.二、填空题13．【分析】求出的坐标由空间中两点间的距离公式即可计算与的距离【详解】由题意知则故答案为：【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算解题的关键点是正确求出的坐标14【分析】求出C的坐标，由空间中两点间的距离公式即可计算B与C的距离.【详解】由题意知，()1,2,3C -，则BC ==【点睛】关键点点睛：该题考查了空间中两点间的距离计算，解题的关键点是正确求出C 的坐标.14．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：,1(4,)⎛-∞-+∞ ⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论．【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即d ==，∴min 11PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413，∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为,1(4,)⎛⎫-∞+∞ ⎝⎭．故答案为：,1(4,)⎛-∞+∞ ⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．15．①④【分析】根据直线方程直线的倾斜角的定义方差公式对立事件的概念分别判断各命题【详解】①直线中令则∴直线必过定点①正确；②直线的斜率为倾斜角为②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后解析：①④ 【分析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题．【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；②310x y ++=的斜率为3k =-120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确．故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．16．或【分析】直接求两直线的交点与等距离的直线一条过AB 的中点一条平行AB 【详解】两直线和的交点为的中点为因为所求直线过且与等距离故所求直线过的中点或与直线平行当直线过的中点时直线方程为即当直线与直线平解析：790x y +-=或210x y ++= 【分析】直接求两直线的交点，与(3,2),(1,6)A B --等距离的直线，一条过AB 的中点，一条平行AB . 【详解】两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点为(2,5)-，(3,2),(1,6)A B --的中点为(1,2)，因为所求直线过(2,5)-且与()3,2A -，()1,6B -等距离，故所求直线过AB 的中点或与直线AB 平行，当直线过AB 的中点时，2(5)712k --==--，直线方程为27(1)y x -=--，即790x y +-=，当直线与直线AB 平行时，26823(1)4k ---===---，直线方程为52(2)y x +=--，即210x y ++=. 故答案为：790x y +-=或210x y ++= 【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题.17．0或6【分析】计算得到圆心半径根据得到利用圆心到直线的距离公式解得答案【详解】即圆心半径故圆心到直线的距离为即故或故答案为：或【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数意在考查学生的计算能力和转解析：0或6 【分析】计算得到圆心()1,2C -，半径3r =，根据AC BC ⊥得到2d =，利用圆心到直线的距离公式解得答案. 【详解】222440x y x y ++--=，即()()22129x y ++-=，圆心()1,2C -，半径3r =.AC BC ⊥，故圆心到直线的距离为d =2d ==，故6a =或0a =. 故答案为：0或6. 【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。

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阶段质量检测（二）解析几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3 解析：选C k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1. 2．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( )A ．1B ．2 C.22 D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22. 3．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12. 4．(北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.5．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB <0，BC <0，得－A B >0，－C B >0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3B ．2 C. 6 D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝4，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴弦长为2 22－1＝2 3.7．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 因为l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b ＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.8．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( )A ．(1，－3)B ．(3，－1)C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：选A 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得交点坐标M (1,2)，而M (1,2)又在直线mx ＋ny ＋5＝0上，∴m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知选项A 中m ＝1，n ＝－3符合方程．9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2. 10．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小，∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12， ∴直线l 的方程为x －2y ＋3＝0.11．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2 C.85 D.125解析：选A P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34， ∴k l ＝43，∴a ＝4， ∴m ：4x －3y ＝0，l ：4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋32＝4. 12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23. 答案：－2315．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1， ∴m ＝1.答案：116．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图，在空间直角坐标系中，PA ⊥平面OAB ，PA ＝OA ＝2，∠AOB ＝30°.(1)求点P 的坐标．(2)若|PB |＝5，求点B 的坐标．解：(1)过A 作AE ⊥OB 于E ，则AE ＝1，OE ＝3，所以点A 的坐标为(1，3，0)，所以点P 的坐标为(1，3，2)．(2)因为点B 在y 轴上，因此可设点B 的坐标为B (0，b,0)，则|PB |＝1＋(b －3)2＋4＝5，解得b ＝3，所以点B 的坐标为(0，3，0)．18．(12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)．(1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．19．(12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5. 点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5. 由题意，得⎩⎨⎧ |7a ＋11|5＝r ，⎝⎛⎭⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.20．(12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2.解得k ＝－6±3214. 此时l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x ；若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 21．(12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点，∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1， ∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2. 22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，且OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0 消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0，∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ② y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立，故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。

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