2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数(I)阶段质量检测 新人教A版必修1.doc

2019高中数学 第二章 基本初等函数（I ）阶段质量检测 新人教A版必修1(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．2211+log 52等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋522．已知f (x 3)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 8 C ．lg 18D.13lg 23．函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 4．若0<a <1，且log b a <1，则( ) A ．0<b <a B ．0<a <b C ．0<a <b <1D ．0<b <a 或b >15．已知函数f (x )＝a x，g (x )＝x a，h (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是( )6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围是( ) A ．x 0>8 B ．x 0<0，或x 0>8 C ．0<x 0<8D ．x 0<0，或0<x 0<87．对于函数f (x )＝lg x 的定义域内任意x 1，x 2(x 1≠x 2)有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；③f x 1－f x 2x 1－x 2>0；④f (x 1＋x 22)<f x 1＋f x 22上述结论正确的是( )A ．②③④B ．①②③C ．②③D ．①③④8．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊗2x的图象是( )9．若f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)10．设函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (a ＋1)＝f (2)B ．f (a ＋1)>f (2)C ．f (a ＋1)<f (2)D ．不确定二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012－＝________.12．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3x－，x ≥2，则f [f (2)]等于________．13．函数f (x )＝ax －2 011＋2 011的图象一定过点P ，则P 点的坐标是________．14．若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，则xy＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．) 15．(10分)计算：(1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋ 42－4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2.16.(12分)已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]．(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足：f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．17．(14分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求f (0)，f (1)； (2)求函数f (x )的解析式；(3)若f (a －1)<－1，求实数a 的取值范围．18．(14分)已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围．答 案 阶段质量检测(二)1．选B 2211+log 52＝2×2122log 5＝2×2log ＝2 5.2．选D 令x 3＝2，则x ＝32，∴f (2)＝lg 32＝13lg 2.3．选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5x －，4x －3>0，解得34<x <14．选D 当b >1时，log b a <1＝log b b . ∴a <b ，即b >1成立．当0<b <1时，log b a <1＝log b b,0<b <a <1， 即0<b <a .5．选B 本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，分a >1和0<a <1两种情况，分别画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，对比可得选项B 正确．6．选A 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，3x 0＋1>3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，log 2x 0>3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，x 0＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>0，log 2x 0>log 28.所以x 0∈∅，或x 0>8，故选A.7．选C 由对数的运算性质可得f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)＝f (x 1x 2)，所以①错误，②正确；因为f (x )是定义域内的增函数，所以③正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，f x 1＋f x 22＝lg x 1＋lg x 22＝lg x 1x 2，因为x 1＋x 22>x 1x 2(x 1≠x 2)，所以lgx 1＋x 22>lg x 1x 2，即f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22，所以④错误．8．选A f (x )＝1⊗2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤2x，2x ，1>2x，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，2x，x <0，结合选项知选A.9．选D 用－x 代x ，则有f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x，结合f (x )－g (x )＝e x，可得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝－e －x＋ex2.所以f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0，g (0)＝－1，所以f (3)>f (2)>f (0)>g (0)，故选D.10．选B 易知f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a <1，所以1<a ＋1<2，所以f (a ＋1)>f (2)．11．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012- ＝lg 1100÷10012-＝－2÷110＝－20.答案：－2012．解析：∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，∴f [f (2)]＝f (1)＝2e 1－1＝2.答案：213．解析：当x －2 011＝0，即x ＝2 011时，f (x )＝a 0＋2 011＝2 012，∴定点P 的坐标为(2 011,2 012)． 答案：(2 011,2 012)14．解析：lg(x －y )(x ＋2y )＝lg 2xy⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x ＋2y >0，x >0，y >0，x －y x ＋2y＝2xy ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >y >0，x －2yx ＋y ＝0.∴x ＝2y ，即xy＝2. 答案：215．解：(1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.16．解：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.令h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．17．解：(1)因为当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)，所以f (0)＝0.又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝log 12[－(－1)＋1]＝log 122＝－1，即f (1)＝－1.(2)令x >0，则－x <0，从而f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴x >0时，f (x )＝log 12(x ＋1)．∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log12x ＋，x >0，log 12－x ＋，x ≤0.(3)设x 1，x 2是任意两个值，且x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0，∴1－x 1>1－x 2>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝log 12(－x 2＋1)－log 12(－x 1＋1)＝log 121－x 21－x 1>log 121＝0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )＝log 12(－x ＋1)在(－∞，0]上为增函数．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．∵f (a －1)<－1＝f (1)，∴|a －1|>1，解得a >2或a <0. 故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 18．解：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝x 1－2x2＋2x 1＋2x 2.∵y ＝2x在R 上单调递增，且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1.(或用f (0)＝0求解)∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)．又f (x )在R 上单调递增，∴x <2.(或代入化简亦可) 故x 的取值范围为(－∞，2)．。

2019-2020年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）综合测评（含解析）新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·蚌埠高一检测)指数函数y ＝a x 的图象经过点(2，16)，则a 的值是( )A.14B.12C ．2D ．4 【解析】 依题意16＝a 2，∴a ＝4或a ＝－4(舍去)．【答案】 D2．若log 32＝a ，则log 38－2log 36用a 表示为( )A ．a －2B ．a －1－a 2C ．5a －2D ．3a －2－a 2【解析】 log 38－2log 36＝log 323－2(1＋log 32)＝3a －2－2a ＝a －2.【答案】 A3．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解析】 ∵a ＝log 123＜log 121＝0，0＜b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1， c ＝213＞20＝1，∴c ＞b ＞a .【答案】 A4．已知f (x 6)＝log 2x ，那么f (8)等于( )A.43 B ．8C ．18 D.12 【解析】 令x 6＝8可知x ＝± 2.又∵x >0，∴x ＝2，∴f (8)＝log 22＝log 2212＝12. 【答案】 D5．(xx·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【解析】 A 项，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 项，函数y ＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 项，函数y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 项，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．【答案】 A6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ＜0），2x －1（x ≥0）的图象大致是( ) 【解析】 当x ＜0时，函数的图象是抛物线的一部分，当x ≥0时，只需把y ＝2x (x ≥0)的图象向下平移1个单位即可，故大致图象为B.【答案】 B7．函数f (x )＝log 12(1＋2x －x 2)的值域为( ) A ．[－1，0)B ．[－1，＋∞)C ．(0，1)D ．[1，＋∞)【解析】 f (x )＝log 12(1＋2x －x 2)＝log 12[－(x －1)2＋2]，因为0＜－(x －1)2＋2≤2，且y ＝log 12x 为减函数，因此有f (x )＝log 12[－(x －1)2＋2]≥log 122＝－1，即其值域为[－1，＋∞)． 【答案】 B8．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为( ) A. 3 B ．3 C ．9 D.32【解析】 ∵f (log 124)＝f (log 214)＝f (－2)＝－f (2)＝－a 2＝－3，∴a 2＝3，解得a ＝±3，又a ＞0，∴a ＝ 3.【答案】 A9．(xx·山东高考)图1已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图1，则下列结论成立的是( ) A．a>1，c>1B．a>1，0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1，0<c<1【解析】由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1，0<c<1.【答案】 D10．(xx·湖南高考)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3【解析】 g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．【答案】 C11．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3【解析】 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b ，∴20＋b ＝0，b ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1.∴f (1)＝21＋2×1－1＝3.∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.【答案】 A 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2【解析】 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，（a －2）×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138，选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (9)＝________．【解析】 幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，可得y ＝f (x )＝x 12，所以f (9)＝3. 【答案】 314．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________． 【解析】 由3x －a ＞0得x ＞a 3.因此，函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，所以a 3＝23，a ＝2. 【答案】 215．(xx·天津高考)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．【解析】函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数，且f (x )＝lg x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x ＞0，2lg （－x ），x ＜0. 函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．【答案】 (－∞，0)16．下列说法中，正确的是________．(填序号)①任取x >0，均有3x >2x ；②当a >0，且a ≠1时，有a 3>a 2；③y ＝(3)－x 是增函数；④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称．【解析】 对于①，可知任取x >0，3x >2x一定成立．对于②，当0<a <1时，a 3<a 2，故②不一定正确．对于③，y ＝(3)－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，因为0<33<1，故y ＝(3)－x 是减函数，故③不正确．对于④，因为|x |≥0，∴y ＝2|x |的最小值为1，正确．对于⑤，y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称是正确的．【答案】 ①④⑤三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)化简：(1)(32×3)6＋(22)43－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1649－12－42×80.25－(－2 005)0. (2)log 2.56.25＋lg 1100＋ln(e e)＋log 2(log 216)． 【解】 (1)原式＝(213×312)6＋(212×214)43－4×74－214×234－1 ＝22×33＋2－7－2－1＝100.(2)原式＝2－2＋32＋log 24＝72. 18．(本小题满分12分)(xx·苏州高一检测)已知a >0，且a ≠1，若函数f (x )＝2a x－5在区间[－1，2]的最大值为10，求a 的值．【解】 当0<a <1时，f (x )在[－1，2]上是减函数，当x ＝－1时，函数f (x )取得最大值，则由2a －1－5＝10，得a ＝215， 当a >1时，f (x )在[－1，2]上是增函数，当x ＝2时，函数取得最大值，则由2a 2－5＝10，得a ＝302或a ＝－302(舍)， 综上所述，a ＝215或302. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x 2－2)，f (2)＝1.(1)求a 的值；(2)求f (32)的值；(3)解不等式f (x )＜f (x ＋2)．【解】 (1)∵f (2)＝1，∴log a (22－2)＝1，即log a 2＝1，解得a ＝2.(2)由(1)得函数f (x )＝log 2(x 2－2)，则f (32)＝log 2[(32)2－2]＝log 216＝4.(3)不等式f (x )＜f (x ＋2)，即log 2(x 2－2)＜log 2[(x ＋2)2－2]，化简不等式得log 2(x 2－2)＜log 2(x 2＋4x ＋2)．∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2＞0，x 2＋4x ＋2＞0，x 2－2＜x 2＋4x ＋2，解得x ＞2， ∴原不等式的解集为(2，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m －22x ＋1是R 上的奇函数， (1)求m 的值；(2)先判断f (x )的单调性，再证明之．【解】 (1)据题意有f (0)＝0，则m ＝1.(2)f (x )在R 上单调递增，以下证明之：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝－22x 2＋1＋22x 1＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 2＋1）（2x 1＋1）. ∵x 2>x 1，∴2x 2>2x 1，∴f (x 2)－f (x 1)>0⇒f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在R 上单调递增．21．(本小题满分12分)牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是一种指数型函数，若牛奶放在0 ℃的冰箱中，保鲜时间是200 h ，而在1 ℃的温度下则是160 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式．(2)利用(1)的结论，指出温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间．【解】 (1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是一种指数型函数，可设为y ＝t ·a x，由题意可得： ⎩⎪⎨⎪⎧200＝t ·a 0，160＝t ·a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝200，a ＝45，故函数解析式为y ＝200·⎝ ⎛⎭⎪⎫45x. (2)当x ＝2 ℃时，y ＝200×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝128(h)． 当x ＝3 ℃时，y ＝200×⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝102.4(h)． 故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128小时和102.4小时．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)利用对数函数的单调性，讨论不等式f (x )≥g (x )中x 的取值范围．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，3－x ＞0，得1＜x ＜3.∴函数h (x )的定义域为(1，3)． (2)不等式f (x )≥g (x )，即为log a (x －1)≥log a (3－x )．(*)①当0＜a ＜1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.②当a ＞1时，不等式(*)等价于⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，x －1≥3－x ，解得2≤x＜3.综上，当0＜a＜1时，原不等式解集为(1，2]；当a＞1时，原不等式解集为[2，3)．2019-2020年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）阶段质量评估 新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·重庆高考)函数y ＝1log 2x －的定义域是( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞) C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：利用函数有意义的条件直接运算求解．由⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －，x －2＞0，得x ＞2且x ≠3，故选C.答案：C2．下列关于函数f (x )＝x 3的性质表述正确的是( ) A ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在(－∞，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在(－∞，＋∞)上单调递增 D ．偶函数，在(－∞，＋∞)上单调递减解析：本题主要考查幂函数的性质．函数f (x )＝x 3是奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增，故选A.答案：A3．设集合S ＝{y |y ＝3x，x ∈R }，T ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．∅D ．R解析：本题主要考查指数函数的值域及集合运算，集合S 是指数函数y ＝3x的值域，而集合T 表示函数y ＝x 2－1图象上的点，两个集合中的元素不相同，所以交集是空集，故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( )A ．－18B ．18C ．－8D ．8解析：本题主要考查与指数和对数有关的分段函数的求值．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝－3，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D.答案：D5．若P ＝log 23·log 34，Q ＝lg 2＋lg 5，M ＝e 0，N ＝ln 1，则正确的是( ) A ．P ＝Q B ．Q ＝M C ．M ＝ND ．N ＝P解析：P ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝lg 4lg 2＝2，Q ＝lg (2×5)＝lg 10＝1，M ＝e 0＝1， N ＝ln 1＝0.故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则函数f (x ＋1)的反函数的图象可能是( )解析：∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，f (x ＋1)的反函数为y ＝log 12x －1.故选D.答案：D7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数值的求解．因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，所以f (0)＝20＋b ＝1＋b ＝0，解得b ＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(2＋2－1)＝－3，故选D.答案：D8．(xx·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．ex ＋1B ．ex －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：利用两曲线关于y 轴对称的性质，逆用函数图象的平移变换规则求解． 曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e－(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.答案：D9．函数f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)(x ∈R )的奇偶性为( ) A ．奇函数而非偶函数 B ．偶函数而非奇函数 C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＋x ＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 答案：A10．若log (a －1)(2x －1)＞log (a －1)(x －1)，则有( ) A ．a ＞1，x ＞0 B ．a ＞1，x ＞1 C ．a ＞2，x ＞0D ．a ＞2，x ＞1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，x －1＞0，得x ＞1.因为当x ＞1时，2x －1＞x －1，所以由对数函数性质知a －1＞1，即a ＞2，故选D. 答案：D11．关于x 的方程a x＝log 1ax (a ＞0，且a ≠1)( )A ．无解B ．必有唯一解C ．仅当a ＞1时有唯一解D ．仅当0＜a ＜1时有唯一解解析：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝a x，y ＝log 1ax 的图象，由图象可知，必有唯一的交点．答案：B12．设函数f (x )定义在R 上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝log 2x ，则有( )A ．f (－3)＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (2)＜f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (－3)＜f (2)D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (－3) 解析：本题主要考查对数函数的单调性．由f (x )＝f (2－x )，得f (－3)＝f (5)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.当x ≥1时，函数f (x )＝log 2x 为增函数，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)＜f (5)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (2)＜f (－3)，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．若x 12 ＋x －12 ＝3则x ＋x －1＝______.解析：本题主要考查指数式的运算．对x 12 ＋x －12 ＝3两边平方得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7.答案：714．函数y ＝(2)1x 的单调递减区间是______．解析：本题主要考查指数函数与反比例函数的复合函数的单调性，函数y ＝(2)1x 的单调递减区间即为y ＝1x的单调递减区间，也即为(－∞，0)，(0，＋∞)．答案：(－∞，0)，(0，＋∞) 15．已知函数f (x )＝a2x －4＋n (a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P (m,2)，则m ＋n ＝______.解析：本题主要考查指数函数的图象及图象变换，当2x －4＝0，即x ＝2时，f (x )＝1＋n ，函数图象恒过点(2,1＋n )，所以m ＝2,1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3.答案：316．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (log 14x )＜0的集合为______．解析：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用和对数不等式的解法．因为定义在R上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，由f ⎝⎛⎭⎪⎫log 14x ＜0可得log 14x ＜－12，或log 14x ＞12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪()2，＋∞ 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)计算：(1)2723 －2log 23×log 2 18＋2lg (3＋5＋3－5)；(2)810＋41084＋411. 解：(1)2723 －2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)(3分)＝(33) 23 －3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg 10 ＝19.(7分) (2)810＋41084＋411＝230＋220212＋222＝22010＋21210＋＝28＝16.(12分)18．(本小题满分12分)设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x )，其中0＜a ＜1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1＞y 2，求x 的取值范围． 解：(1)∵y 1＝y 2，∴log a (3x ＋1)＝log a (－3x )， ∴3x ＋1＝－3x .解得x ＝－16，(3分) 经检验x ＝－16在函数的定义域内，∴x ＝－16.(4分) (2)y 1＞y 2，即log a (3x ＋1)＞log a (－3x )(0＜a ＜1)，(6分)∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＞0－3x ＞03x ＋1＜－3x，解得－13＜x ＜－16，(10分)∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13＜x ＜－16.(12分)19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a ＞0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0，在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·ax得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab24＝b ·a 3，结合a ＞0，且a ≠1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3∴f (x )＝3×2x. (6分)(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]时恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56，∴只需m ≤56即可．(12分)20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝(log 2x ＋log 24)(log 2x ＋log 22)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4. (1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x 的值．解：(1)∵t ＝log 2 x 为单调递增函数，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4， ∴t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 214，log 24，即[－2,2]．(4分)(2)记t ＝log 2x ，则y ＝f (x )＝(log 2x ＋2)(log 2x ＋1)＝(t ＋2)(t ＋1)(－2≤t ≤2)．(5分)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－32上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上是增函数，(6分)∴当t ＝log 2 x ＝－32，即x ＝2－32 ＝24时，y ＝f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫24＝－14； (9分)当t ＝log 2x ＝2，即x ＝22＝4时，y ＝f (x )有最大值f (4)＝12. (12分)21．(本小题满分12分)若点()2，2在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x g xg x ，f x ＞g x，求函数h (x )的最大值以及单调区间．解：设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，所以f (x )＝x 2.(2分)又设g (x )＝x β，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以 2β＝12，解得β＝－1，所以g (x )＝x －1.(4分)在同一坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，由题意及图可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＜0或x ＞1x 2，0＜x ≤1， (7分) 根据函数h (x )的解析式及图象可知函数h (x )的最大值为1，(9分)所以h (x )的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(－∞，0)和(1，＋∞)．(12分) 22．(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋2是奇函数．(1)求实数b 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性；(3)若关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈[0,1]上有解，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，此时有f (0)＝－1＋b4＝0，解得b ＝1.经检验，满足题意． (4分)(2)由(1)知：f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1＝－2x ＋12x ＋1＋2.(6分)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1) ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x 1＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22 x 2＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫22 x 2＋1－22 x 1＋1＝2 x 1－2x2 x 1＋x2＋∵x 1＜x 2，∴2 x 1－2 x 2＜0,2 x 1＋1＞0,2 x2＋1＞0， ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )为R 上的减函数；(10分)(3)由(2)知：f (x )为R 上的减函数．x ∈[0,1]时，f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (1)＝－16；故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0.∵关于x 的方程f (x )＝m 在x ∈[0,1]上有解，所以只需要m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，0. (14分)。

word1 / 7第二章 基本初等函数（Ⅰ）注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()0a a >可以化简为（ ）A ．32aB ．18a C ．34aD ．38a2．三个数21log 5，0.12，0.22的大小关系是（ ）A ．0.10.221log <2<25B ．0.20.121log <225<C ．0.10.2212<2log 5< D ．0.10.2212<log 25< 3．设集合2R {|}x A y y x ∈＝＝，，21{|}0B x x <＝－，则A B ＝（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1-∞，+D ．(0)∞，+4．已知23xy＝，则xy=（ ）A ．lg 2lg 3B ．lg 3lg 2C ．2lg 3D ．3lg 25．函数()ln f x x x ＝的图象大致是（ ）6．若函数()33x x f x －＝＋与()33x x g x －＝－的定义域均为R ，则（ ） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 7．函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，则m ＝（ ）A ．1B ．3-C ．3-或1D ．28．下列各函数中，值域为(0)∞，+的是（ ） A ．22x y -=B ．12y x =-C ．21y x x =++D ．113x y +=9．已知函数：①2xy ＝；②2log y x ＝；③1y x －＝；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()22log ()12f f -＋＝（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数()22()1122xa xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有word2 / 7()()1212f x f x x x -<0-成立，则实数a 的取值X 围为（ ）A ．()2-∞，B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(2]-∞，-D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点()1,1M ，()1,2N ，()2,1P ，()2,2Q ，1G 2,2⎛⎫⎪⎝⎭中，可以是“好点”的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知124(0)9a a =>，则23log a =________．14．已知函数2log 0()30xxx f x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．若函数212log (35)y x ax =-+在[)1-∞，+上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．16．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数22logy x =，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2， 则点D 的坐标为________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)()31320.5log 511lg3lg91lg 812730.25-⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭．18．(12分)已知函数1()=2axf x ⎛⎫⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．（1）求a 的值；（2）若()42x g x -－＝，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．word3 / 719．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1)． （1）设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； （2）求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．20．(12分)求使不等式2821x x a a --⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1)．word4 / 721．(12分)已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， （1）求g (x )的解析式及定义域； （2）求函数g (x )的最大值和最小值．22．(12分)若函数f (x )满足21(log )1a a f x x x a ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭ (其中a ＞0且a ≠1)．（1）求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值X 围．word1 / 72018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为0a >，所以B ．2．【答案】A【解析】∵21log <05，0.10.2022<<，∴0.10.221log <2<25，故选A ．3．【答案】C【解析】{}2R {|}0|x A y y x y y ∈>＝＝，＝．2{|}{1011|}B x x x x <<<＝－＝－， ∴{}0111|{|}{|}AB x x x x x x ><<>＝－＝－，故选C ．4．【答案】B【解析】由23x y ＝得lg 2lg3x y ＝，∴lg2lg3x y ＝，∴lg3lg 2x y =，故选B ． 5．【答案】A【解析】由()ln l ()n ||f x x x x x f x --＝-＝-＝-知，函数()f x 是奇函数，故排除C ，D ，又110f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，从而排除B ，故选A ．6．【答案】D【解析】因为()()33x x f x f x --＝＋＝，()()33x x g x g x ---＝＝-，所以()f x 是偶函数， ()g x 为奇函数，故选D ．7．【答案】B【解析】因为函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，所以2221m m -+＝且1m ≠，解得3m ＝-．故选B ．8．【答案】A 【解析】A，22xy x -==⎝⎭的值域为(0)∞，+． B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y =(0],-∞， 所以021x <≤，所以0121x ≤-<，所以y =[)0,1． C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ，因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以113x y +=的值域是()0,11()∞，+．故选A ．9．【答案】D【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D ． 10．【答案】C【解析】221log ()(())223f -+--=＝，()221216log log 2log 12226f －＝＝＝， ∴()22log (19)2f f -＋＝，故选C ．11．【答案】B【解析】由题意知函数()f x 是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩由此解得138a ≤，即实数a 的取值X 围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，选B ．12．【答案】C【解析】设指数函数为()01x y a a a >≠＝，，显然不过点M 、P ，若设对数函数为()log 01b y x b b >≠＝，，显然不过N 点，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）word2 / 713．【答案】4【解析】∵124(0)9a a =>，∴2221223a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴422332log log 4.3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．【答案】19【解析】∵14>0，∴211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴211349f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．【答案】(]86-，-【解析】令()235g x x ax ＝－＋，其对称轴为直线6a x =，依题意，有()1610ag ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩，即68a a ≤-⎧⎨>-⎩，∴86(]a ∈-，-． 16．【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图象可知，点(),2A A x在函数y x =的图象上，所以2A x =，212A x ==⎝⎭， 点(),2B B x 在函数12y x =的图象上，所以122B x =，4B x ＝． 点()4C C y ，在函数xy =⎝⎭的图象上，所以414C y ==⎝⎭． 又12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析． 【解析】原式3310.5log 5253log 1431(3)231lg3lg3lg3(3()03).5---++＝＋＋－＋＋325log 6362531＝＋＝＋＝．18．【答案】（1）1；（2）－1． 【解析】（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a ＝1．（2）由（1）知1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又g (x )＝f (x )，则1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112=42xx⎛⎫⎛⎫--0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得x ＝－1．19．【答案】（1）最小值为2，最大值为6；（2）见解析．【解析】（1）当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2．当x ＝63时f (x )最大值为6． （2）f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x )当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x xx x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1}，0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．【答案】见解析． 【解析】∵22881x x a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴原不等式化为282x x a a -->，当a >1时，函数y ＝a x是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x是减函数，∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4．故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}；当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}．word3 / 721．【答案】（1）g (x )＝2222x x -＋，{x |0≤x ≤1}（2）－3，－4． 【解析】（1）∵f (x )＝2x，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝2222x x -＋．因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3，0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1． 于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． （2）设g (x )＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4．∵x ∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3． 22．【答案】（1）2()()1x x a f x a a a -=-- (x ∈R )，见解析；（2）)(21,23⎡+⎣．【解析】（1）令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t，∴2()()1t ta f t a a a -=--． ∴2()()1x xa f x a a a -=-- (x ∈R )． ∵()22()()()11x xx x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---，∴f (x )为奇函数． 当a ＞1时，y ＝a x为增函数，x y a -=-为增函数，且201aa >-，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数x y a -=-为减函数，且201aa <-， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．（2）∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数． 由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f (2)－4≤0，即2224()1a a a a --≤-，∴422141a a a a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a＋1≤0，∴22a ≤≤a ≠1， ∴a的取值X 围为)(21,23⎡+⎣．。

第二章 单元质量测评(二)对应学生用书P95 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A ．(－x )0.5＝－x (x ≠0) B.6y 2＝y 13(y <0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝ 4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy ≠0)D ．x －13＝－3x答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(xy ≠0)，故选C. 2．函数f (x )＝2－x 1－log 2x 的定义域为( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(－2,2)D ．[－2,2] 答案 B解析 为使函数f (x )＝2－x1－log 2x 有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ≥0，1－log 2x ≠0，x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x ≠2，x >0，∴0<x <2，∴函数f (x )的定义域为(0,2)，故选B. 3．下列函数中，值域为R ＋的是( ) A ．y ＝512－x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 答案 B解析 选项A 函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)，选项C 函数的值域为[0，＋∞)，选项D 函数的值域为[0,1)，故选B.4．函数f (x )＝ln (x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (2a ＋5)＋f (4－b )＝0，则2a －b ＝( )A ．1B ．－1C ．－9D ．9 答案 C解析 由题意，f (－x )＋f (x )＝ln (－x ＋x 2＋1)＋ln (x ＋x 2＋1)＝ln (x 2＋1－x 2)＝0，所以f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，故由f (2a ＋5)＋f (4－b )＝0得2a ＋5＋4－b ＝0，则2a －b ＝－9，故选C.5．函数y ＝log 32x －1的定义域为( ) A ．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 A解析 由log 3(2x －1)≥0，得2x －1≥1，即x ≥1.因此函数的定义域是[1，＋∞)，故选A.6．设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过点(0,0)，其反函数过点(1,2)，则a ＋b 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 由题意可列方程⎩⎪⎨⎪⎧log a 0＋b ＝0，log a 2＋b ＝1，解方程得a ＝3，b ＝1，所以a ＋b ＝4，故答案选B.7．设a ＝50.8，b ＝0.67，c ＝log 0.74，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <c D ．c <b <a 答案 D解析 ∵a ＝50.8>50＝1,0<b ＝0.67<0.60＝1，c ＝log 0.74<0，故c <b <a ，故选D.8．若f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3) 答案 D解析 用－x 代x ，则有f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x，结合f (x )－g (x )＝e x，可得f (x )＝e x－e －x2，g (x )＝－e －x＋ex2.所以f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝0，g (0)＝－1，所以f (3)>f (2)>f (0)>g (0)，故选D.9．若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a答案 C解析 log 512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a ＋b 1－a，故选C.10．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )＋(2⊕2x)，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．3B ．6C ．12D ．20 答案 D解析 依题意，1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，x 2，x >1，2⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≤1，2x 2，x >1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2，x ≤1，x 2＋2x 2，x >1.当x ∈[－2,1]时，f (x )＝1＋2＝3；当x ∈(1,2]时，f (x )＝x 2＋22x ＝x 2＋4x 为增函数，所以f (x )max ＝f (2)＝20.11．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )答案 A解析 对于B ，由对数函数的图象可知a >1，则二次函数的对称轴应大于0，不符舍去；对于选项C ，由对数函数的图象可知0<a <1，则二次函数的对称轴应小于0，不符舍去；对于选项D ，由对数函数的图象可知0<a <1，故二次函数的图象开口向下，不符舍去，故选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 答案 C解析 因y ＝2x与y ＝3x －1在(－∞，1)上没有公共点，故由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2a≥1，解得a 的取值范围是23，＋∞，故选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x ＞1.若f (x )＝2，则x ＝________.答案 log 32解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3x＝2，解得x ＝log 32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，－x ＝2，无解．故x ＝log 32.14．若f (ln x )＝4x ＋5，则f (x )＝________. 答案 4e x＋5解析 由f (ln x )＝4x ＋5＝4e ln x＋5，得f (x )＝4e x＋5.15．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 令t ＝|x －a |，则t ＝|x －a |在区间[a ，＋∞)上单调递增，而y ＝e t在R 上为增函数，所以要使函数f (x )＝e |x －a |在[1，＋∞)上单调递增，则有a ≤1，所以a 的取值范围是(－∞，1]．16．已知函数f (x )＝x 12，给出下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； ④若0<x 1<x 2，则f x 1＋f x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中，所有正确命题的序号是________．答案 ①④解析 ①正确；因为存在x 1＝14<x 2＝1，f (x 2)－f (x 1)＝1－12＝12<1－14，故②错误；因为存在x 1＝14<x 2＝1，x 2f (x 1)＝12>x 1f (x 2)＝14，故③错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－fx 1＋f x 22＝x 1＋x 22－x 1＋x 22，而⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222>⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，所以④正确． 三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(本小题满分10分)(1)计算：(0.25)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫116－0.75＋ 41－24＋ 6－42＋lne ＋22＋log23；(2)已知14a＝6,14b＝7，用a ，b 表示log 4256. 解 (1)原式＝1－(2－4)－34＋(2－1)＋2－22＋ln e 12＋22×2log23＝1－23＋2－1＋2－2＋12＋4×3＝－8＋2＋12＋12＝132；(2)∵14a＝6,14b＝7，∴log 146＝a ，log 147＝b ， ∴log 4256＝log 1456log 1442＝log 1414＋log 144log 146＋log 147＝1＋2log 142a ＋b＝1＋2log 14147a ＋b ＝1＋2log 1414－log 147a ＋b＝3－2log 147a ＋b ＝3－2b a ＋b.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x n－4x，且f (4)＝3.(1)判断f (x )的奇偶性并说明理由；(2)判断f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意实数x 1，x 2∈[1,3]，有|f (x 1)－f (x 2)|≤t 成立，求t 的最小值． 解 (1)f (4)＝4n－1＝3即4n＝4，∴n ＝1， ∴f (x )＝x －4x，∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，f (－x )＝－x ＋4x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数；(2)f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－x 1－4x 2＋4x 1＝x 2－x 1＋4x 1·x 2(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)1＋4x 1x 2，∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1·x 2＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)∴f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (3)依题意，t ≥|f (x 1)－f (x 2)|max ， ∵f (x )在[1,3]上单调递增，∴|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|f (3)－f (1)|＝143，故t ≥143，∴t 的最小值为143.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.(1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出函数f (x )的单调区间． 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .所以函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x <0，0，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x >0；(2)函数图象如图所示，通过函数的图象可以知道，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知奇函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0.(1)求实数m 的值，并画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，|a |－2]上单调递增，试确定实数a 的取值范围． 解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－1，∴m ＝2. 因此，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，所以函数f (x )的图象为：(2)从函数f (x )的图象可知f (x )的单调递增区间是[－1,1]，∴－1＜|a |－2≤1.因此实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤3或－3≤a ＜－1}．21．(本小题满分12分)已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，求实数a 的取值范围．解 ∵当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，即x 2－a x <12，∴当x ∈(－1,1)时，x 2－12<a x .在同一直角坐标系内作出y ＝x 2－12与y ＝a x的图象，如图．y ＝x 2－12过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，⎝⎛⎭⎪⎫1，12，y ＝a x ：①当a >1时，若y ＝a x过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，则a ＝2.∴1<a ≤2时，满足条件．②当0<a <1时，若y ＝a x过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则a ＝12.∴12≤a <1时，满足条件． ∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]． 22．(本小题满分12分)已知定义在区间(－1,1)上的函数f (x )＝x ＋log 121－x1＋x .(1)试判断f (x )的奇偶性；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13时，f (x )是否存在最大值？若存在，求出它的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)对于任意的x ∈(－1,1)，∵f (－x )＝－x ＋log 121＋x 1－x ＝－x ＋log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－x －log 121－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数；(2)设g (x )＝x ，t (x )＝1－x 1＋x ，则f (x )＝g (x )＋log 12t (x )，且g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13为增函数，下证t (x )＝－1＋21＋x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13为减函数，任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13，则t (x 1)－t (x 2)＝－1＋21＋x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21＋x 2＝2x 2－x 11＋x 11＋x 2，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.又x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13，∴1＋x 1>0,1＋x 2>0.∴t (x 1)－t (x 2)>0，即t (x 1)>t (x 2)．∴t (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上是减函数． 而y ＝log 12t 是减函数，∴y ＝log 12t (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上是增函数． ∴f (x )＝g (x )＋log 12t (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上为增函数．∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13时，f (x )有最大值，且f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13＋log 121－131＋13＝43.∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13时，f (x )存在最大值，且最大值为43.。

第二章 基本初等函数（Ⅰ）检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算log 3√3+4-12的值为( ) A .1B .52C .72D .4解析:原式=log 3312+(22)-12=12+12=1.答案:A2.函数y=log 2(3+x )的定义域为( ) A .R B .(0,+∞)C .(-3,+∞)D .[-3,+∞)解析:当函数有意义时,3+x>0,解得x>-3. 答案:C3.下列计算正确的是( ) A .x 3+x 3=x 6B .(3a 2b 3)2=9a 4b 9C .lg(a+b )=lg a lg bD .ln e =1解析:x 3+x 3=2x 3,故A 不正确;(3a 2b 3)2=9a 4b 6,故B 不正确;由对数运算性质易知C 不正确.故选D .答案:D4.下列函数中,在定义域内是减函数的是()A.f(x)=xB.f(x)=√xC.f(x)=12xD.x(x)=ln x解析:一次函数f(x)=x、幂函数f(x)=√x、对数函数f(x)=ln x在各自的定义域内均是增函数,而f(x)=12x =(12)x是指数函数,在定义域内是减函数.答案:C5.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)的增区间为()A.(-∞,+∞)B.(-∞,0]C.[0,+∞)D.(1,+∞)解析:根据题意,幂函数f(x)=xα过点(4,2),故2=4α,∴2=22α,即α=12,则f(x)=x12在第一象限内为增函数,故f(x)的增区间为[0,+∞).答案:C6.设a=40.1,b=log30.1,c=0.50.1,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a解析:∵函数y=x0.1在(0,+∞)上为增函数,∴40.1>0.50.1>0.由函数y=log3x的性质得log30.1<0.∴a>c>b.答案:C7.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,12)B.(12,+∞)C.(12,1)∪(1,+∞)D.(12,1)解析:由于底数3∈(1,+∞),所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同.因为函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<12,从而实数a的取值范围是(-∞,12),选A.答案:A8.函数y=l g(21-x-1)的图象关于()对称.A.原点B.x轴C.y轴D.y=x解析:因y=l g(21-x -1)=lg1+x1-x,定义域为(-1,1),f(-x)=l g1-x1+x=−lg1+x1-x=−x(x),函数为奇函数,故其图象关于原点对称.答案:A9.若log a2<0(a>0,且a≠1),则函数f(x)=log a(x+1)的图象大致是()解析:∵log a 2<0,∴0<a<1,∴f (1)=log a (1+1)=log a 2<0,∴点(1,f (1))在函数f (x )的图象上,且在第四象限,排除选项A,C,D .故选B . 答案:B10.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x;当x <4时,x (x )=x (x +1),则x (2+log 23)等于( ) A .124B .112C .18D .38解析:2+log 23=log 24+log 23=log 212<log 216=4,log 224>log 216=4.由于当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=f (log 212)=f (1+log 212)=f (log 224).又当x ≥4时,f (x )=(12)x,所以f (log 224)=(12)log 224=2log 2124=124,故f (2+log 23)=124.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,则x (x (14))的值是____________________________.解析:x (14)=log 214=−2,则x (x (14))=x (−2)=3−2=19.答案:1912.已知函数y=a 2x-1+1(a>0,且a ≠1),若无论a 取何值,函数图象恒过一点,则该点坐标为 .解析:当x =12时,恒有a2x-1=a 0=1,此时y=1+1=2,所以该定点坐标为(12,2).答案:(12,2)13.已知幂函数f (x )的图象过点(12,√22),则log4x (2)的值为_________________________.解析:设f (x )=x α,则由已知得(12)x=√22, ∴α=12,∴x (x )=x 12.∴log 4f (2)=log 4212=12log42=14.答案:1414.已知函数f (x )=a-log 2x 的图象经过点A (1,1),则不等式f (x )>1的解集为 . 解析:由已知得a=1,不等式f (x )>1, 即1-log 2x>1,即log 2x<0,解得0<x<1. 答案:(0,1)15.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)内单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (−√2),则x 的取值范围是_________________________.解析:由题意知函数f (x )在区间(0,+∞)内单调递减,又f (x )是偶函数,则不等式f (2|a-1|)>f (−√2)可化为f (2|a-1|)>f (√2),则2|a-1|<√2,|x −1|<12,解得12<x <32.故答案为(12,32).答案:(12,32)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)计算:(1)(214)12−(−9.6)0−(338)-23+1.5−2;(2)lg 500+l g 85−12lg 64+(lg 2+lg 5)2.解:(1)原式=(94)12−1−(278)-23+(32)-2=32−1−(32)-2+(32)-2=12. (2)原式=lg5+lg102+lg23-lg5−12lg 26+(lg10)2=lg5+2+3lg2-lg5-3lg2+1=3.17.(8分)已知函数f (x )=2x +2ax+b,且f (1)=52,x (2)=174.(1)求a ,b ;(2)判断f (x )的奇偶性. 解:(1)因为f (1)=52,x (2)=174,所以{2+2x +x =52,22+22x +x =174,即{x +x =-1,2x +x =-2. 解得{x =-1,x =0.(2)由(1)知f(x)=2x+2-x,其定义域是R.又因为f(-x)=2-x+2x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.18.(9分)已知函数f(x)=4x-2·2x+1-6,其中x∈[0,3].(1)求函数f(x)的最大值和最小值;(2)若实数a满足f(x)-a≥0恒成立,求a的取值范围.解:(1)f(x)=(2x)2-4·2x-6(0≤x≤3).令t=2x,∵0≤x≤3,∴1≤t≤8.令h(t)=t2-4t-6=(t-2)2-10(1≤t≤8).当t∈[1,2]时,h(t)是减函数;当t∈(2,8]时,h(t)是增函数.∴f(x)min=h(2)=-10,f(x)max=h(8)=26.(2)∵f(x)-a≥0恒成立,即a≤f(x)恒成立,∴a≤f(x)min恒成立.由(1)知f(x)min=-10,∴a≤-10.故a的取值范围为(-∞,-10].19.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)x m+1为偶函数,g(x)=log a[f(x)-ax](a>0,且a≠1).(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)在区间(2,3)内为增函数,求实数a的取值范围.解:(1)由m2-3m+3=1,得m=1或m=2.当m=1时,f(x)=x2,为偶函数,符合题意;当m=2时,f(x)=x3,为奇函数,不符合题意,舍去,故f(x)=x2.(2)由(1)知f (x )=x 2,g (x )=log a (x 2-ax ).①当a>1时,{x2≤2,4-2x >0,解得1<a<2;②当0<a<1时,{x2≥3,9-3x >0,无解.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2).20.(10分)已知函数f (x )=lg |x|. (1)判断f (x )的奇偶性; (2)画出f (x )的图象草图;(3)利用定义证明函数f (x )在区间(-∞,0)内是减函数.(1)解要使函数有意义,x 的取值需满足|x|>0,解得x ≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).∵f (-x )=lg |-x|=lg |x|=f (x ), ∴f (-x )=f (x ). ∴函数f (x )是偶函数.(2)解由于函数f (x )是偶函数,则其图象关于y 轴对称,将函数y=lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y=lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象,如图所示.(3)证明设x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=lg |x 1|-lg |x 2|=l g|x 1||x 2|=lg |x 1x 2|. ∵x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2, ∴|x 1|>|x 2|>0,∴|x 1x 2|>1,∴lg |x 1x 2|>0,∴x (x 1)>x (x 2),∴函数f(x)在区间(-∞,0)内是减函数.。

阶段质量检测(二)基本初等函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(lg 9－1)2等于()A．lg 9－1 B．1－lg 9C．8 D．2 2解析：因为lg 9<lg 10＝1，所以(lg 9－1)2＝1－lg 9.答案：B解析：方法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a 增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除由于y＝x a递增较慢，所以选D.＝x a的图象不过(0,1)点，故A的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xB错，D对；C项中由对数函数x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，2⎝⎭4a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.答案：A12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x ，x ≥1，a x ，x <1，在R 上为减函数，则实数的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]16．若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则函数g(x)＝log a(x－m)(其中a>0≠1)的图象过定点A的坐标为________．解析：若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则m＝2，则函数g(x)＝log a(x－m)＝log a(x－2)(其中a>0，a≠1)，令x－2＝1，则x＝3，g(x)＝0，其图象过定点A的坐标为(3,0)．答案：(3,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)43所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.19．(12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.⎩⎪g (x )，f (x )>g (x )，解析：(1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示．的解析式及图象可知，函数h (。

第二章检测试题时间：90分钟分值：120分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．计算：log225·log522＝( A )A．3 B．4C．5 D．6解析：log225·log522＝＝3，故选A. 2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( B )A．y＝x 12B．y＝x4C．y＝x－1D．y＝x3解析：选项A中，y＝x 12＝x既不是奇函数也不是偶函数；选项B中，y＝x4是偶函数，且过点(0,0)，(1,1)，满足题意；选项C中，y＝x－1是奇函数；选项D中，y＝x3也是奇函数，均不满足题意．故选B.3．化简的结果是( C )A．6a B．－aC．－9a D．9a2解析：原式＝－9ab0＝－9a.4．函数f(x)＝－2x＋5＋lg(2x＋1)的定义域为( A )A．(－5，＋∞) B．[－5，＋∞) C．(－5,0) D．(－2,0)解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2x＋1>0，所以x >－5，函数f (x )的定义域是(－5，＋∞)．5．函数y ＝a x－a (a >0，a ≠1)的图象可能是( C )解析：当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数图象恒过(1,0)点．故选C. 6．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1解析：因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1. 7．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( C ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：由指数函数y ＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C.8．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )解析：若0<a<1，则函数g(x)＝log a x的图象过点(1,0)，且单调递减，函数y＝x a(x≥0)单调递增，且当x∈[0,1)时图象应在直线y＝x的上方，因此A，B均错；若a>1，则函数g(x)＝log a x的图象过点(1,0)，且单调递增，但当x∈[0,1)时，y＝x a的图象应在直线y＝x的下方，故C选项错误；只有D项正确．9．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝a x(a>0，a≠1)，且f(log0.54)＝－3，则a 的值为( A )A. 3 B．3C．9 D.3 2解析：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝a－x，又f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－a－x(x<0)，因为log0.54＝－2<0，所以f(log0.54)＝－a2＝－3.所以a2＝3，即a＝3，a＝－3(舍去)．10．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．且a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( C )A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．c<b<a解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数得m＝0，则f(x)＝2|x|－1.当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1递增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，则f(0)<f(log23)<f(log25)，则c<a<b.11．已知函数f(x)＝log a(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( A )A ．0<1a<b <1B ．0<b <1a<1C ．0<1b<a <1D ．0<1a <1b<1解析：由图象知函数单调递增，所以a >1，又－1<f (0)<0，f (0)＝log a (20＋b －1)＝log a b ，即－1<log a b <0，所以0<1a<b <1，故选A.12．若f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，那么a ＋b 的值为( D )A ．1B ．－1C ．－12D.12解析：函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即lg(10x＋1)＋ax ＝lg(10－x＋1)－ax ，化简得(2a ＋1)x ＝0对所有的x 都成立，所以a ＝－12；函数g (x )＝4x－b2x 是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即4－x －b 2－x ＝－4x－b 2x ，化简得(b －1)(4x＋1)＝0，所以b ＝1，故a ＋b ＝12.第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝14.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2； 所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.14．若函数f (x )＝(3－a )x与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是(1,2)．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<3－a <1，0<a <1或⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1，a >1，所以1<a <2.所以实数a 的取值范围是(1,2)．15．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是④.(填序号) ①(－∞，1]; ②[－1，43]；③[0，32); ④[1,2)．解析：将函数f (x )化为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (2－x )，x <1，－ln (2－x )，1≤x <2，作出函数的图象如图所示，根据图象可知f (x )在[1,2)上为增函数，其他三个区间都不满足题意．16．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. 解析：设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，∴当x ≥0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. ∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分) 17．(8分)求值：(1)(235)0＋2－2·|－0.064| 13 －(214) 12 ；(2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 33 12 )2＋ln e －lg1. 解：(1)原式＝1＋14×25－32＝－25.(2)原式＝(lg2lg3＋lg22lg3)·(lg32lg2＋lg33lg2)＋14＋12－0＝3lg22lg3·5lg36lg2＋34＝54＋34＝2. 18．(10分)已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 解：(1)因为f (4)＝72，所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝－x ＋2x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝－f (x )．所以函数f (x )是奇函数．(3)函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下： 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0， 所以x 1－x 2>0,1＋2x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．19．(10分)设f (x )＝log 12 (10－ax )，a 为常数．若f (3)＝－2.(1)求a 的值；(2)求使f (x )≥0的x 的取值范围；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (3)＝－2，∴log 12 (10－3a )＝－2.即10－3a ＝(12)－2，∴a ＝2.(2)∵f (x )＝log 12 (10－2x )≥0，∴10－2x ≤1.又10－2x >0，∴x ∈[92，5)．(3)设g (x )＝log 12 (10－2x )－(12)x.由题意知g (x )>m 在x ∈[3,4]上恒成立， ∵g (x )在[3,4]上为增函数，∴m <g (3)＝－178.20．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若f (1)＝g (1)． ①求实数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．解：(1)因为抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1.所以函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，因为函数f (x )在[－1,2m ]上不单调，所以2m >1，得m >12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)①因为f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2. ②因为t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，t 2＝g (x )＝log 2x ，t 3＝2x ，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，所以t 2<t 1<t 3.。

第二章 基本初等函数（Ⅰ）能力检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A ．.12B ．1C ．32 D ．2【答案】C【解析】由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2.已知f (x 3)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 8 C ．lg 18D ．13lg 2 【答案】D【解析】令x 3＝2，则x ＝32，∴f (2)＝lg 32＝13lg 2.3．(2019年湖北武汉期末)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D【答案】B【解析】若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的图象如图所示．故选B.4.下列函数在区间(0,3)内是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x 12C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13xD ．y ＝x 2－2x －15【答案】B【解析】由幂函数、指数函数性质即得.5.设a ＝0.712 ，b ＝0.812 ，c ＝log 30.7，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <c D ．b <a <c【答案】B【解析】由幂函数性质与对数函数性质有b >a >0>C ． 6．(2019年广东中山模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 【答案】C【解析】当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.7.幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为( )A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝－1或2D ．m ≠1±52【答案】A【解析】∵y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x－3在(0，＋∞)上为减函数；当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，y ＝x＝1(x ≠0)在(0，＋∞)上为常数函数(舍去)，∴m ＝2.8.定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1]( )【答案】A【解析】f (x )＝1*2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤2x，2x ，1>2x，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，2x，x <0，故选A.9．(2019年黑龙江哈尔滨期末)已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【答案】C【解析】由题意可知ln a1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－a ×b1－b ＝0，从而a1－a ×b1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0＜a ＜b ＜1，所以0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.10.设函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (a ＋1)＝f (2)B ．f (a ＋1)>f (2)C ．f (a ＋1)<f (2)D ．不确定【答案】B【解析】易知f (x )为偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减.所以0<a <1.所以1<a ＋1<2.所以f (a ＋1)>f (2).11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x，x ≤0，则满足f (a )＜12的实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1)∪(0，2)C ．(0，2)D ．(－∞，－1)∪(0,2)【答案】B【解析】当a ＞0时，由f (a )＜12，可得log 2a ＜12＝log 22，得0＜a ＜2；当a ≤0时，由f (a )＜12，可得2a ＜12＝2－1，因此得a ＜－1.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，2).12．(2019年北京模拟)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度，已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】令f (x )＝y ＝2|x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x ≤a ，2－x，－2≤x ＜0.当a ＝0时，f (x )＝2－x在[－2,0]上为减函数，值域为[1,4]；当a ＞0时，f (x )在[－2,0)上递减，在[0，a ]上递增，①当0＜a ≤2时，f (x )max ＝f (－2)＝4，值域为[1,4]；②当a ＞2时，f (x )max ＝f (a )＝2a＞4，值域为[1,2a]．综上可知[m ，n ]的长度的最小值为4－1＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【答案】－20【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝lg 1100÷100－12＝－2÷110＝－20. 14．(2019年广西贵港期中)若α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为________．【答案】3【解析】∵幂函数y ＝x α是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝13，1,3，即α值的个数为3.15．函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的单调增区间为________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 【解析】函数y ＝lg(4＋3x －x 2)的增区间即为函数h (x )＝4＋3x －x 2的增区间且4＋3x －x 2>0，因此所求区间为⎝⎛⎦⎥⎤－1，32.16．(2019年吉林长春模拟)已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则m 的最大值为________．【答案】56【解析】把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a ＞0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的最大值为56. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分) 17．(10分)已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域．【解析】(1)设f (x )＝x α，由题意可知25α＝5，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]．又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．18.(12分)(1)计算：2log 32－log 3329＋log 38－52log 53；(2)已知x ＝27，y ＝64，化简并计算： 5x －23 y 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 .【解析】(1)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8－5log59＝log 39－9＝2－9＝－7.(2)原式＝5x －23 y 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16＝5x －23 ·y 12 524×x －23 ·y 13 ＝24y 16 .又y ＝64，∴原式＝24×(26)16 ＝48.19.(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数且函数的图象过点(－1,2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.【解析】(1)由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)，知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1.20.(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求不等式f (x )－g (x )＞0成立时x 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2； 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0，即f (x )＞g (x ). 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )， 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，∴0＜x ＜1.当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )， 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，∴－1<x ＜0.综上，a ＞1时，x ∈(0,1)； 0＜a ＜1时，x ∈(－1,0).21.(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1). (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值.【解析】(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，故f (x )的定义域为(－3,1).(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]. ∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －2＝4， ∴a ＝4－12 ＝12.22．(12分)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．【解析】(1)当a >0，b >0时，因为函数y ＝a ·2x和y ＝b ·3x都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，因为函数y ＝a ·2x和y ＝b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋1＋b ·3x ＋1－a ·2x －b ·3x ＝a ·2x ＋2b ·3x>0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x>－a 2b ，解得x >log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<－a 2b ，解得x <log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .。

第二章单元质量测评（一)对应学生用书P91 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分) 1．已知集合M＝{－1,1｝，N＝x错误!〈2x＋1<4，x∈Z，则M∩N为（）A．｛－1,1} B．｛－1｝C．｛0} D．{－1，0｝答案B解析∵错误!<2x＋1<4，∴－1<x＋1〈2，∴－2〈x〈1.又x∈Z，∴N＝{－1，0｝，∴M∩N＝｛－1｝．2．已知幂函数f(x）满足f错误!＝9，则f（x)的图象所分布的象限是( ）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．只在第一象限答案A解析设f(x)＝xα，∴f错误!＝9，即错误!α＝9,∴α＝－2,即f（x）＝x－2，∴f(x)的图象在第一、二象限．3．函数y＝错误!的定义域是( )A．[0，2) B．［0,1）∪（1,2)C．(1,2） D．［0，1)答案B解析若使函数有意义，则错误!解得0≤x〈2且x≠1。

选B。

4．计算log225·log32错误!·log59的结果为( ）A．3 B．4 C．5 D．6答案D解析利用换底公式则,原式＝错误!×错误!×错误!＝错误!×错误!×错误!＝2×错误!×2＝6。

5．若log a2018<log b2018<0，则下面结论正确的是( )A．b>a〉1 B．a>b>1C．0<b<a<1 D．0<a<b<1答案C解析由log a2018〈log b2018〈0，得错误!〈错误!〈0,log2018b<log2018a<0，即0〈b<a<1.6．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是( ）A．15 B．75 C．45 D．225答案C解析∵log a3＝m，∴a m＝3，∵log a5＝n，∴a n＝5,∴a2m＋n＝(a m）2·a n＝32×5＝45，选C。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a <12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a解析：选C.因为a <12，所以2a －1<0.于是，原式＝4（2a －1）2＝1－2a . 2．计算：log 225·log 522＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：选A.log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 812lg 5＝3，故选A.3．下列幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4C ．y ＝x －1D ．y ＝x 3解析：选B.选项A 中，y ＝x 12＝x 既不是奇函数也不是偶函数；选项B 中，y ＝x 4是偶函数，且过点(0，0)，(1，1)，满足题意；选项C 中，y ＝x －1是奇函数；选项D 中，y ＝x 3也是奇函数，均不满足题意．故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127C ．－27D ．－127解析：选B.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127.5．函数y ＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 解析：选C.由函数的解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53. 所以1≤x <53.6．三个数a ＝0.72，b ＝log 20.7，c ＝20.7之间的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C.因为0<a ＝0.72<1，b ＝log 20.7<0，c ＝20.7>1.所以b <a <c .故选C.7．如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么a kg 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t 等于( )A ．lg 0.50.92B ．lg 0.920.5C.lg 0.5lg 0.92D.lg 0.92lg 0.5解析：选C.设t 年后剩余量为y kg ，则y ＝(1－8%)t a ＝0.92t a .当y ＝12a 时，12a ＝0.92ta ，所以0.92t＝0.5，则t ＝log 0.920.5＝lg 0.5lg 0.92.8．已知函数f (x )＝a x，g (x )＝x a，h (x )＝log a x ，其中a ＞0且a ≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，则正确的是( )解析：选B.本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，分a ＞1和0＜a ＜1两种情况，分别画出幂函数、指数函数、对数函数的图象(图略)，对比可得选项B 正确．9．函数f (x )＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选D.因为f (x )＝4x＋12x ＝2x ＋12x ＝2x ＋2－x，所以f (－x )＝2－x＋2x ＝2x ＋2－x＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称．10．若函数f (x )＝4x －3·2x＋3的值域为[1，7]，则f (x )的定义域为( ) A ．(－1，1)∪[2，4] B ．(0，1)∪[2，4] C ．[2，4]D ．(－∞，0]∪[1，2]解析：选D.设t ＝2x，则t >0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34.因为函数f (x )＝4x －3·2x＋3的值域为[1，7]，所以函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1，7]．由y ＝1得t ＝1或t ＝2，由y ＝7得t ＝4或t ＝－1(舍去)，则0<t ≤1或2≤t ≤4，即0<2x≤1或2≤2x≤4，解得x ≤0或1≤x ≤2.所以f (x )的定义域是(－∞，0]∪[1，2]，故选D.11．如图，点O 为坐标原点，点A (1，1)．若函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)及y ＝log b x (b >0，且b ≠1)的图象与线段OA 分别交于M ，N ，且M ，N 恰好是OA 的两个三等分点，则a ，b 满足( )A ．a <b <1B ．b <a <1C ．b >a >1D ．a >b >1解析：选A.因为M ，N 是OA 的两个三等分点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以得a 13＝13，即a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133，log b 23＝23，即b 23＝23，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫633>⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝a ，且b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332<⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝1，即a <b <1.故选A.12．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象与函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象交于点P (x 0，y 0)，如果x 0≥2，那么a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．[8，＋∞)D ．[16，＋∞)解析：选D.由已知中两函数的图象交于点P (x 0，y 0)， 由指数函数的性质可知，若x 0≥2， 则0<y 0≤14，即0<log a x 0≤14，由于x 0≥2，所以a >1且4a ≥x 0≥2，解得a ≥16，故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016，则n m＝________． 解析：因为log 2m ＝2.016，log 2n ＝1.016， 所以m ＝22.016，n ＝21.016，所以n m ＝21.01622.016＝12.答案：1214．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调递增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．解析：当x ≤0时， 3x ＋1>1⇒x ＋1>0，所以－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，所以x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2. 答案：(－1，0]∪(2，＋∞)16．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．解析：画出函数y ＝|log 0.5x |的图象(如图所示)，由0≤|log 0.5x |≤2， 得14≤x ≤4， 所以[a ，b ]长度的最大值为4－14＝154.答案：154三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－0.96)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋1.5－2＋[(－32)－4] －34； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＋7log 72＋1.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋[(32)－4] －34＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋(32)3＝12＋2＝52.(2)原式＝－(lg 4＋lg 25)÷100－12＋14 ＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6.18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明；(3)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)函数f (x )为偶函数．证明如下： 因为函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，又因为f (－x )＝log 2[1＋(－x )]＋log 2[1－(－x )]＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )为偶函数． (3)f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫1－22＝log 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22 ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝log 212＝－1.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3－ax(a >0且a ≠1)．(1)当a ＝2时，f (x )<4，求x 的取值范围；(2)若f (x )在[0，1]上的最小值大于1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝23－2x<4＝22，所以3－2x <2，得x >12.(2)y ＝3－ax 在定义域内单调递减，当a >1时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a 3－a >1＝a 0，得1<a <3；当0<a <1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝a 3>1，不成立． 综上，1<a <3.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4. (1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求y ＝f (x )的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4，所以log 2x ∈[－2，2]，所以t 的取值范围为[－2，2]． (2)记y ＝f (x )＝(log 2x ＋2)(log 2x ＋1) ＝(t ＋2)(t ＋1)＝g (t )(－2≤t ≤2)．因为y ＝g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－32上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上是增函数，所以当t ＝log 2x ＝－32即x ＝2－32＝24时，y ＝f (x )有最小值f ⎝⎛⎭⎪⎫24＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14； 当t ＝log 2x ＝2即x ＝22＝4时，y ＝f (x )有最大值f (4)＝g (2)＝12.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－2x2x ＋1.(1)用定义证明函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数； (2)若x ∈[1，2]，求函数f (x )的值域；(3)若g (x )＝a2＋f (x )，且当x ∈[1，2]时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x22x 2＋1－2x12x 1＋1＝2x2－2x1（2x 1＋1）（2x2＋1）. 因为x 1<x 2，所以2x2－2x1>0. 又2 x1＋1>0，2 x2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以当x ∈[1，2]时，f (x )min ＝f (2)＝－45，f (x )max＝f (1)＝－23.所以当x ∈[1，2]时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－45，－23.(3)由(2)得，当x ∈[1，2]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－45，－23，因为g (x )＝a2＋f (x )，所以当x ∈[1，2]时，g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－45，a 2－23. 因为g (x )≥0在x ∈[1，2]上恒成立，所以a 2－45≥0，所以a ≥85.22．(本小题满分12分)已知f (x )＝lg(a ·4x－3·2x＋2)，a ∈R .(1)若a ＝1，求函数y ＝f (x )的定义域；(2)当x ∈(－∞，1]时，函数y ＝f (x )有意义，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1，f (x )＝lg(4x－3·2x＋2)，则要4x－3·2x＋2>0，解得2x<1或2x>2，即x <0或x >1.所以f (x )的定义域为{x |x <0或x >1}．(2)当x ∈(－∞，1]时，令t ＝2x，则t ∈(0，2]，y ＝g (t )＝lg(at 2－3t ＋2)有意义，即at 2－3t ＋2>0在(0，2]上恒成立，即a >－2t 2＋3t在(0，2]上恒成立．因为－3t 2＋3t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋98，当t ∈(0，2]时，1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，所以－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋98≤98，所以a >98.。

单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下列函数与y ＝x 有相同图象的一个函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝a log a x (a >0有a ≠1)D ．y ＝log a a x解析：y ＝x 2＝|x |，对应关系不同：y ＝x 2x＝x (x ≠0)，定义域不同．y ＝a log a x ＝x (x >0)，定义域不同；y ＝log a a x＝x (x ∈R)．答案：D2．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是( ) A ．y ＝x 5B ．y ＝5xC ．y ＝log 2xD ．y ＝x －1解析：B ，C 不具有奇偶性，D 不具有单调性． 答案：A3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1，则有( ) A ．0<n <mB ．n <m <0C ．0<m <nD ．m <n <0解析：因为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上递减，所以由⎝ ⎛⎭⎪⎫12m<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫120，得m >n >0.答案：A4．函数y ＝2|x |的大致图象是( )解析：易知函数y ＝2|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，最低点为(0，1)，在区间(0，＋∞)上是下凹增函数，观察图象知B选项正确．答案：B5．化简(36a9)4·(63a9)4的结果等于( )A．a16B．a8 C．a4D．a2解析：因为(36a9)4＝(((a9)16)13)4＝a9×16×13×4＝a2，(36a9)4＝a9×13×16×4＝a2，所以(36a9)4·(36a9)4＝a2·a2＝a4.答案：C6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．1 B．－1C．3 D．－3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，所以f(0)＝20＋b＝1＋b＝0，解得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.答案：D7．函数y＝2＋log a x(a＞0，且a≠1)，不论a取何值必过定点( )A．(1，0) B．(3，0)C．(1，2) D．(2，3)解析：因为y＝log a x(a＞0，且a≠1)不论a取何值，必过定点(1，0)，所以函数y＝2＋log a x必过定点(1，2)．答案：C8．函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，1)，且函数在定义域上单调递减．答案：C9．函数y ＝log 0.6(－x 2＋2x )的值域是( ) A ．[0，1] B ．[0，＋∞) C ．(－ ∞，0]D ．[1，＋∞)解析：－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，又－x 2＋2x >0，则0<－x 2＋2x ≤1.函数y ＝log 0.6x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.6(－x 2＋2x )≥log 0.61＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．答案：B10．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．y >x >zD ．z >x >y解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝12log a 6，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7＝12log a 7.因为0<a <1，所以12log a 5>12log a 6>12log a 7，即y >x >z .答案：C11．若对于任意x ∈(－∞，－1]，都有(3m －1)2x<1成立，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：因为2x>0，所以不等式(3m －1)2x<1对于任意x ∈(－∞，－1]恒成立，等价于3m －1<12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x对于任意x ∈(－∞，－1]恒成立．因为x ≤－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.所以3m－1<2，解得m <1，所以m 的取值范围是(－∞，1)．答案：C12．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且满足f (x )－g (x )＝2x，则有( )A ．f (2)<f (3)<f (0)B ．f (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (3)D ．f (0)<f (2)<f (3)解析：因为函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数．所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．由f (x )－g (x )＝2x ，得f (－x )－g (－x )＝2－x，所以－f (x )－g (x )＝2－x，即f (x )＋g (x )＝－2－x，与f (x )－g (x )＝2x联立，得f (x )＝2x －2－x 2，所以f (0)＝0，f (2)＝22－2－22＝158，f (3)＝23－2－32＝6316， 所以f (0)<f (2)<f (3)． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝2x－4的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，只需2x－4≥0，即2x≥22，即x ≥2.所以函数f (x )的定义域为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))＝______． 解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.答案：215．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是________(参考数据：lg 2≈0.301，100.007 5≈1.017)．解析：设原来人口为a ，每年人口平均增长率是x ，则a (1＋x )40＝2a ，(1＋x )40＝2，两边取常用对数得：40lg(1＋x )＝lg 2， lg(1＋x )＝lg 240≈0.30140≈0.007 5，则1＋x ≈100.007 5≈1.017，x ≈0.017＝1.7%.答案：1.7%16．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则mn＝________．解析：根据函数f (x )＝|log 2x |的图象(如图)，得0<m <1<n ，所以0<m 2<m <1.结合函数图象，易知当x ＝m 2时f (x )在[m 2，n ]上取得最大值，所以f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，又0<m <1，所以m ＝12，再结合f (m )＝f (n )，可得n ＝2，所以m n ＝14.答案：14三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)2723－2log 23×log 218×2lg(3＋5＋3－5)；(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＋lg 225×log 34×log 59.解：(1)2723－2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33)23－3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg 10 ＝19.(2)(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＋log 225×log 34×log 59 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＋log 252×log 322×log 532＝lg 5＋lg 20＋8×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝2＋8＝10.18．(本小题满分12分)(1)解不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知a－5x＞ax ＋7(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：(1)因为2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1， 所以原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数， 所以3x －1≥－1，所以x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)当a ＞1时，因为a －5x＞ax ＋7，所以－5x ＞x ＋7，解得x ＜－76；当0＜a ＜1时，因为a －5x ＞ax ＋7，所以－5x ＜x ＋7，解得x ＞－76.综上所述，x 的取值范围是：当a ＞1时，x ＜－76；当0＜a ＜1时，x ＞－76.19．(本小题满分12分)如图所示，函数F (x )的图象是由指数函数f (x )＝a x与幂函数g (x )＝x b 的图象“拼接”而成的．(1)求F (x )的解析式； (2)比较a b 与b a的大小；(3)已知(m ＋4)－b<(3－2m )－b，求实数m 的取值范围．解：将点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12分别代入函数f (x )＝a x与g (x )＝x b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 14＝12，⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝116，b ＝12，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫116x，x ≤14，x 12，x >14.(2)a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11612＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，b a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12116，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12116>⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即a b <b a.(3)由(1)可得(m ＋4)－12<(3－2m )－12，又幂函数y ＝x －12在(0，＋∞)上减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4>0，3－2m >0，m ＋4>3－2m ，解得－13<m <32，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，32.20．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)，g (x )为f (x )的反函数． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式g (x )－log a (2－3x )≤log a 1.解：(1)因为指数函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)， 所以g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． (2)由g (x )－log a (2－3x )≤log a 1， 得log a x ≤log a (2－3x )．当a >1时，因为函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2－3x ，x >0，解得0<x ≤12；当0<a <1时，因为函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2－3x ，2－3x >0，解得12≤x <23.综上，当a >1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12；当0<a <1时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23. 21．(本小题满分12分)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)·x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域． 解：因为函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，所以m 2－5m ＋1＝1， 解得m ＝0或m ＝5. 又h (x )为奇函数， 所以m ＝0.(2)由(1)可知h (x )＝x ，g (x )＝x ＋1－2x .令1－2x ＝t ，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，t ∈[0，1]， 所以y ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.因为函数y ＝－12(t －1)2＋1在[0，1]上单调递增，所以12≤y ≤1，所以g (x )＝h (x )＋1－2h （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x－1＝0，解得2x＝1± 2.因为2x >0，所以x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t－1)．因为22t－1>0，所以m ≥－(22t＋1)．因为t ∈[1，2]，所以－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。

阶段质量测试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y |y ＝2x}，N ＝{x |y ＝log (2x －1)3x －2}，则M ∩N ＝( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >23B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <1或x >1C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <1或x >1 解析：选 D ∵M ＝{y |y ＝2x}＝{y |y >0}＝{x |x >0}，N ＝{x |y ＝log (2x －1)3x －2}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>02x －1>02x －1≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >23且x ≠1，∴M ∩N ＝{x |23<x <1或x >1}．故选D ． 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2（x ≤1），－log 2（x ＋1）（x >1），且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：选A ∵f (a )＝－3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2（a ＋1）＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ∈∅或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ＝7⇒a ＝7. ∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.故选A ．3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <b <aD ．b <c <a解析：选C ∵log 32<log 22<log 23，∴c <b . 又∵log 23<log 22＝log 33<log 3π， ∴b <a ，∴c <b <a ，故选C ． 4．若0<b <1，且log a b <1，则( ) A ．0<a <b B ．0<b <a C ．0<b <a <1D ．a >1或0<a <b解析：选D ∵0<b <1，∴当a >1时，log a b <0<1成立；当0<a <1时，log a b <1＝log a a ，∴0<a <b ，故选D ．5．(2019·浙江宁波高一期末)已知函数f (x )＝|x |·1－2x2x ＋1，x ∈[－2 018，2 018]的值域是[m ，n ]，则f (m ＋n )＝( )A ．22 018B ．2 0182－12 018C ．2D ．0解析：选D f (－x )＝|－x |·1－2－x2－x ＋1＝|x |·2x －11＋2x ＝－|x |·1－2x2x＋1＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称．∵函数f (x )的值域是[m ，n ]，∴m ＋n ＝0，则f (m ＋n )＝f (0)＝0.故选D ．6．已知函数f (x )＝ka x－a －x(a >0且a ≠1)是定义在R 的奇函数，且是增函数，则函数g (x )＝log a (x －1)的大致图象是( )解析：选A ∵f (x )＝ka x－a －x是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝k －1＝0，∴k ＝1，∴f (x )＝a x －a －x .又f (x )＝a x －1ax 是增函数，∴a >1，∴g (x )＝log a (x －1)的图象是将y ＝log a x 的图象向右平移1个单位得到的，故选A ．7．方程2x＝1x的解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 函数y ＝2x的图象与函数y ＝1x的图象只有1个交点，故选B ．8．函数f (x )＝log a (6－ax )在[0，2]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(1，3) C ．(1，3]D ．(3，＋∞)解析：选B ∵a >0且a ≠1，∴u ＝6－ax 是减函数．∵f (x )在[0，2]上是减函数，∴y ＝log a u 是增函数，∴a >1.又在[0，2]上需满足u ＝6－ax >0，∴u (2)＝6－2a >0，∴a <3.综上，1<a <3.故选B ．9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >2），－x 2＋a （x ≤2）的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：选B 当x >2时，f (x )＝log 2x >log 22＝1，当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋a ，且f (x )max＝f (0)＝a ，∵f (x )的值域为R ，f (0)＝a ≥1，故选B ．10．若函数y ＝f [lg(x ＋1)]的定义域为(0，99]，则函数y ＝f [log 2(x ＋2)]的定义域为( )A ．(－1，2]B ．(－1，3)C ．(－2，1]D ．(－1，2)解析：选A ∵y ＝f [lg(x ＋1)]的定义域为(0，99]， 即x ∈(0，99]，∴x ＋1∈(1，100]，∴lg(x ＋1)∈(0，2]．∴在函数y ＝f [log 2(x ＋2)]中，log 2(x ＋2)∈(0，2]，∴x ＋2∈(1，4]，∴x ∈(－1，2]，即函数y ＝f [log 2(x ＋2)]的定义域为(－1，2]，故选A ．11．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选D ∵f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，∴f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝ln 1＋2＝2.∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝2.故选D ． 12．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒有f (x )>0，则函数f (x )的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞C ．(0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选D ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴u ＝2x 2＋x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－18∈(0，1)，依题意，当u ∈(0，1)时，log a u >0恒成立，∴0<a <1，∴y ＝log a u 在u ∈(0，1)上是减函数，∴f (x )的单调增区间应为u (x )＝2x 2＋x 的单调减区间，且保证u (x )>0.故选D ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n ＝________．解析：∵2m ＋n ＝2log a 2＋log a 3＝log a 4＋log a 3＝log a 12， ∴a2m ＋n＝alog a12＝12.答案：1214．若f (x )＝2x－12x ＋1的反函数为g (x )，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝________． 解析：设g ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝t ，则f (t )＝2t－12t ＋1＝35，解得t ＝2.∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝2.答案：215．若不等式3x 2－2ax >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：3x 2－2ax >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1⇔3x 2－2ax >3－x －1⇔x 2－2ax >－x －1⇔x 2－(2a －1)x ＋1>0对一切实数x 恒成立，∴Δ＝(2a －1)2－4<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 16．若函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a（x ≥a ），e －x ＋a （x <a ）在[a ，＋∞)上是增函数，在(－∞，a )上是减函数，又f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4；(2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2.解：(1)原式＝2＋1－1＋23＋e －2＝23＋e.(2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－12lg 26＋50×(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，0.5)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的值域．解：(1)依题意f (2)＝0.5，即a ＝0.5＝12.(2)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，∵x ≥0，∴x －1≥－1， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，即值域为(0，2]．19．(本小题满分12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫22的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )＝log 2(1－x 2)，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝log 22－1＝－1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0得－1<x <1，即函数f (x )的定义域为(－1，1)，是关于原点对称的区间．又f (－x )－f (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )－log 2(1＋x )－log 2(1－x )＝0， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．20．(本小题满分12分)已知定义域为R 的奇函数f (x )＝b －2x2x ＋a.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：f (x )在R 上是减函数；(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即b －2－x 2－x ＋a ＝－b －2x 2x ＋a ⇒b ·2x －1a ·2x＋1＝2x －b2x ＋a恒成立，比较系数得a ＝1，b ＝1，∴f (x )＝1－2x2x ＋1.(2)证明：由(1)可知，f (x )＝1－2x2x ＋1.设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x22x 2＋1＝2（2x2－2x1）（2x 1＋1）（2x2＋1）. ∵x 1<x 2，∴2x1<2x2，∴2x 2－2x 1>0，(2x 1＋1)(2x2＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在R 上是减函数．(3)f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，由(2)知，f (x )是R 上的减函数，∴t 2－2t >k －2t 2⇔k <3t 2－2t 对任意t ∈R 恒成立．令g (t )＝3t 2－2t ，则只需k <g (t )min ，∵g (t )＝3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13，∴g (t )min ＝－13，∴k <－13.21．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝aa 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (其中a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围． 解：(1)设log a x ＝t ，则x ＝a t，且t ∈R ， 则f (t )＝aa 2－1·⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t (t ∈R )，∴f (x )＝aa 2－1·⎝⎛⎭⎪⎫a x －1a x ＝a a 2－1·(a x －a －x)(x ∈R )．∵f (－x )＝aa 2－1·(a －x －a x)＝－aa 2－1·(a x －a －x)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．①当a >1时，y ＝a x 是增函数，y ＝－a －x也是增函数，且aa 2－1>0，∴f (x )是增函数； ②当0<a <1时，y ＝a x是减函数，y ＝－a －x也是减函数，且aa 2－1<0，∴f (x )是增函数；综上可知，f (x )是R 上的增函数．(2)令g (x )＝f (x )－4，由(1)知，g (x )也是R 上的增函数．依题意g (x )<0在x ∈(－∞，2)上恒成立，故只需g (2)≤0，即f (2)－4＝aa 2－1·(a 2－a －2)－4≤0，整理得a 2－4a ＋1≤0，解得2－3≤a ≤2＋3，又a ≠1，∴a ∈[2－3，1)∪(1，2＋ 3 ]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 9(9x＋1)＋kx 是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝12x ＋b 有实数根，求实数b 的取值范围；(3)设h (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·3x －43a ，若函数f (x )与h (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )的定义域是R ，且是偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，即log 9109－k ＝log 910＋k ，∴k ＝－12.(2)由(1)知，f (x )＝log 9(9x＋1)－12x .若方程f (x )＝12x ＋b 有实数根，即log 9(9x＋1)－x ＝b 有实数根，令g (x )＝log 9(9x＋1)－x ＝log 99x＋19x ＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x ， 则函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝b 有交点， ∵1＋19x >1，∴g (x )＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19x >0，∴b >0.(3)由(1)知，f (x )＝log 9(9x ＋1)－12x ＝log 9(9x ＋1)－log 93x＝log 9⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x .依题意，方程3x ＋13x ＝a ·3x－43a 有且只有一个实数根．令3x＝t ，则t >0，∴关于t 的方程3(a －1)t 2－4at －3＝0(*)有且只有一个正实根． ①当a ＝1时，t ＝－34，不合题意，舍去；②当a ≠1时，则方程(*)有两个相异实根或两个相等的正实根， 若方程(*)有两个相异实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2＋36（a －1）>0，x 1x 2＝－1a －1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9a －9>0，a >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <－3或a >34，a >1⇒a >1； 若方程(*)有两个相等的正实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16a 2＋36（a －1）＝0，x 1＋x 2＝4a 3（a －1）>0，x 1x 2＝－1a －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3或a ＝34，a <0或a >1，a <1⇒a ＝－3.综上可知，a ∈{－3}∪(1，＋∞)．。

……内………外…学绝密★启用前|2019-2020学年高一数学人教必修1（第02章）章末检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知2log3x=，则13x-等于（）A.2B.122．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（）A.y=x5B．5xy=C．2logy x=D．1y x-=3. 函数的值域为（）A. B. C. D.4．设2log,0,()1(,0,3xx xf xx>⎧⎪=⎨≤⎪⎩则1((8f f的值（）A. 9B.116C. 27D.1815.已知幂函数()y f x=的图象过点1(,23，则3log(2)f的值为（）A．12B．－12C．2 D．－26．设15log6a=，0.216b⎛⎫= ⎪⎝⎭，165c=，则（）A．a b c<<B．c b a<<C．c a b<< D．b a c<<7．给出四个函数，分别满足：①f(x+y)=f(x)+f(y) ；②g(x+y)=g(x)g(y) ；③h(x·y)=h(x)+h(y)；④t(x·y)=t(x)·t(y)，又给出四个函数图象,它们的正确匹配方案是（）A.①-a,②-b,③-c,④-dB.①-b,②-c,③-a,④-dC.①-c,②-a,③-b,④-dD.①-d,②-a,③-b,④-c8．设12022α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y＝xα的定义域是R，且为偶函数的所有α的值是A．0，2 B．0，–2C．12D．29．已知函数f（x）＝（3m2–2m）x m是幂函数，若f（x）在定义域上为增函数，则m等于A．13-B．–1C．1 D．13-或110．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2），则函数f（x）为A．奇函数，且在（0，+∞）单调递增B．偶函数，且在（0，+∞）单调递减C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）单调递增D．非奇非偶函数，且在（0，+∞）单调递减11．若幂函数f（x）的图象经过点（3A．{x|x∈R，且x>0} B．{x|x∈R，且x<0}C．{x|x∈R，且x≠0}D．R12．若132x x<，则x取值范围为()()2log31xf x=+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣数学试题第1页（共4页）数学试题第2页（共4页）数学试题 第3页（共4页） 数学试题 第4页（共4页）A ．（–∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（–∞，0）第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f （x ）是幂函数，且2f （4）＝f （16），则f （x ）的解析式是_________． 14．已知a 1a+=7，则a 2+a –2＝_________． 15．已知函数f （x ）＝log 2（x +a ）恒过定点（1，1），则a ＝_________． 16．若4m ＝9n ＝6，则11m n+=_________．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）计算：（1）)121023170.0272179--⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1630.2533168-⎛⎫+-⎪⎝⎭．18．（本小题满分12分）计算：（1）25lg72lg2lg 7++； （2）231lg25lg2log 9log 22+-⨯． 19．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝log a （ax –1）（a >0且a ≠1）． （1）当a ＝3时，f （x ）<1，求实数x 的取值范围．（2）若f （x ）在[3，6]上的最大值大于0，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（1）化简求值：（log 32+1og 92）（log 43+1og 83）+2log 52；（2）已知x –x –172=-，求x 3–x –3的值． 21．（本小题满分12分）设f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3–x ）（a >0，a ≠1），且f （1）＝2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域．（2）求f （x ）在区间[0，32]上的值域． 22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝（a 2–2a –2）a x 是指数函数． （1）求f （x ）的表达式；（2）判断F （x ）＝1()()f x f x +的奇偶性，并加以证明； （3）解不等式：log a （1+x ）<log a （2–x ）．。