【三维设计】高中数学 第二章 阶段质量检测 苏教版必修2

三维设计必修二数学答案20221、3.如果两个数的和是正数，那么[单选题] *A.这两个数都是正数B.一个为正，一个为零C.这两个数一正一负，且正数的绝对值较大D.必属上面三种情况之一(正确答案)2、1．(必修1P5B1改编)若集合P={x∈N|x≤2 022}，a=45，则( ) [单选题] *A．a∈PB．{a}∈PC．{a}?PD．a?P(正确答案)3、15．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（）[单选题] *A 56gB .60gC．64gD.68g(正确答案)4、43、长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm的四根木棒，能搭成（首尾连结）三角形的个数为[单选题] *A．1B．2C．3(正确答案)D．45、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（1）的值为（）。

[单选题] *12283(正确答案)6、6.若x是- 3的相反数，|y| = 5，则x + y的值为（）[单选题] *A.2B.8C. - 8或2D.8或- 2(正确答案)7、9．点(－3，4)到y轴的距离是（）[单选题] *A．3(正确答案)B．4C．-3D．-48、3.检验4个工作，其中超出标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，则最接近标准质量的克数是（）[单选题] *A.4B.3C.-1(正确答案)D.-29、41．若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（）[单选题] *A．25(正确答案)B．5C．10D．1510、4．同一条直线上三点A，B，C，AB＝4cm，BC＝2cm，则AC的长度为（）[单选题] *A．6cmB．4cm或6cmC．2cm或6cm(正确答案)D．2cm或4cm11、10. 已知方程组的解为，则、对应的值分别为（）[单选题] *A、1，2B、1，5C、5，1(正确答案)D、2，412、-60°角的终边在（）. [单选题] *A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(正确答案)13、15．如图所示，下列数轴的画法正确的是（）[单选题] *A．B．C．(正确答案)D．14、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为000037毫克，已知1克=1000毫克，那么000037毫克可用科学记数法表示为[单选题] *A. 7×10??克B. 7×10??克C. 37×10??克D. 7×10??克(正确答案)15、5.在数轴上点A，B分别表示数-2，-5，则A，B两点之间的距离可表示为（）[单选题] *A.-2+(-5)B.-2-(-5)(正确答案)C.(-5)+2D(-5)-216、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线17、设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( ) [单选题] *A. M＜NB. M＞N(正确答案)C. M=ND. 不能确定18、下列说法错误的是[单选题] *A.+（-3）的相反数是3B.-（+3）的相反数是3C.-（-8）的相反数是-8(正确答案)C.-（+八分之一）的相反数是819、3．下列命题中，为真命题的是( ) [单选题] *A．6的平方根为±3B．若x2>0，则x>0C．无理数是无限小数(正确答案)D．两点之间直线最短20、8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示图形，则∠BFD的度数是( ) [单选题] *A．15°(正确答案)B．25°C．30°D．10°21、42．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m?8n＝（）[单选题] *A．16B．25C．32(正确答案)D．6422、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、12023、28．下列计算结果正确的是（）[单选题] *A．（a3）4＝a12(正确答案)B．a3?a3＝a9C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（ab）2＝ab224、7.下列运算正确的是（）[单选题] *A.-2(3X-1)=-6X-1B.-2(3X-1)=-6X+1C.-2(3X-1)=-6X-2D.-2(3X-1)=-6X+2(正确答案)25、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x226、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] * -3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] * 27、27．下列计算正确的是（）[单选题] *A．（﹣a3）2＝a6(正确答案)B．3a+2b＝5abC．a6÷a3＝a2D．（a+b）2＝a2+b228、9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A1的坐标为（4，2），则点C1的坐标为（）[单选题]*A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（3，4）D、（3，3）29、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃30、60°用弧度制表示为（）[单选题] *π/3(正确答案)π/6 2π/3 2π/5。

必修2解析几何初步检测题2一 、填空题一、过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线的倾斜角是1350，则y=_______-5 二、直线122=-by a x 在y 轴上的截距是 2b - 3、过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为072=+-y x4、若直线210ax y +-=与210x y +-=垂直,则a =_____-1_____5、已知点)1,6(),5,4(---B A ，则以线段AB 为直径的圆的方程__(x-1)2+(y+3)2=29六、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y-1=0的距离为___________27、已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为 22(6)(5)10x y -+-=八、平行于直线012=+-y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是_____ 2x －y+5=0或2x －y －5=0 _。

九、已知圆:C ()()4222=-+-y a x ()0>a 及直线03:=+-y x l ，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，=a _____12-10、若(x P ，)y 在圆()3222=+-y x 上运动，则4-x y 1一、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为 60° 。

1二、已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是________（2，3）13、已知直线 024=-+y mx 与 052=+-n y x 相互垂直，垂足为 (1，)p 则=+-p n m _________20___。

14、在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的极点别离为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 别离交AC , AB 于点E ,F ，一同窗已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： （ ）110x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 11b c - 本小题考查直线方程的求法。

章末过关检测卷(二)第2章 平面解析几何初步(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是(A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为(A )A ．(－2，1)B ．(2，1)C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为(x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.3．过点(3，4)且与两点(4，－2)、(－2，2)等距离的直线方程是(C )A ．2x ＋3y －18＝0和2x ＋y －2＝0B ．3x －2y ＋18＝0和x ＋2y ＋2＝0C ．2x ＋3y －18＝0和2x －y －2＝0D ．3x －2y ＋28＝0和2x －y －2＝04．(2013·重庆卷)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为(B )A ．6B ．4C ．3D ．25．(2013·陕西卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是(B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x 轴的对称点的坐标是(B )A ．(－2，1，－4)B ．(－2，－1，－4)C ．(2，－1，4)D ．(2，1，－4)7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是(D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：利用数形结合思想及圆的几何性质求解．方法一 如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，OA ＝1，则sin a ＝12，所以a ＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3.故选D. 方法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1. 解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π3.8．以A (－2，－2)、B (－3，1)、C (3，5)、D (7，－7)为顶点的四边形是(D )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形9．(2013·广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是(A )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝010．(2013·天津卷)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝(C )A ．－12B ．1C ．2 D.12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)11．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________． 解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126. 答案：212612．(2013·湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________. 解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：413．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，数形结合解答．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.答案：214．(2013·四川卷)在平面直角坐标系内，到点A (1，2)、B (1，5)、C (3，6)、D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又kAC ＝6－23－1＝2， ∴直线AC 的方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又kBD ＝5－（－1）1－7＝－1， ∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.∴M (2，4)． 答案：(2，4)三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过A (－2，3)、B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解析：过A 、B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x－4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)， 斜截式为：y ＝－23x ＋53， 截距式为：x 52＋y 53＝1， 一般式为：2x ＋3y －5＝0.16．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＝0交于一点，求k 的值． 解析：l 1与l 2的相交，由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点坐标为(－1，－2)，此点在l 3上，故－1－2k ＝0，得k ＝－12.17．(本小题满分14分)(2013·江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解析：如图，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上，所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R .因为圆与直线y ＝1相切，所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52.所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.18．(本小题满分14分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解析：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点． ∴|3＋3－t |2≤ 6. ∴6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.19．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0，2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA→＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6，0)，过P (0，2)且斜率k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0.整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A ，B 等价于Δ＝2－4×36×(1＋k 2)＝42×(－8k 2－6k )＞0，解得－34＜k ＜0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA→＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得：x 1＋x 2＝－4（k －3）1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因为P (0，2)，Q (6，0)，PQ→＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k .20．(本小题满分14分)(2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，请将n 表示为m 的函数．(1)解析：将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0得k 2＞3.所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M 、N 在直线l 上，可设点M 、N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 22.又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2，由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)知x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2， 所以m 2＝365k 2－3，因为点Q 在直线上l 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3可得5n 2－3m 2＝36，由m 2＝365k 2－3及k 2＞3得0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．依题意，点Q在圆C内，则n＞0，所以n＝36＋3m25＝15m2＋1805.于是，n与m的函数关系为n＝15m2＋1805．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．复数z 满足(3－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限A [由题意得，z ＝4＋3i 3－2i ＝(4＋3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝613＋17i 13，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.]2．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为( )A.112B.19C.16D.14B [将先后两次的点数记为有序实数对(x ，y )，则共有6×6＝36(个)基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4种，则满足条件的概率为436＝19.故选B. ]3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6D [设2名男生为a ，b,3名女生为A ，B ，C, 则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，AB ，AC ，BC 共10种，其中恰有一名女生为aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC 共6种， 故恰有一名女同学的概率P ＝610＝0.6 .故选D.]4．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC上的动点，则AP→(AB →＋AC →)( ) A ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4D [如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD →＋DP →)·2AD→＝2AD →2＋2DP →·AD→＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.] 5．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形A [因为lg sin A －lg cosB －lg sinC ＝lg 2，所以lg sin A cos B sin C＝lg 2. 所以sin A ＝2cos B sin C .因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2cos B sin C ，所以sin(B －C )＝0.所以∠B ＝∠C ，所以△ABC 为等腰三角形．]6．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AB ＝BC ＝2，鳌臑P -ABC 的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．64πC [四棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形，∵AB ＝BC ＝2，∴AB ⊥BC ，又P A ⊥平面ABC ，∴AB 是PB 在平面ABC上的射影，P A ⊥CA ，∴BC ⊥PB ，取PC 中点O ，则O 是P -ABC外接球球心．由AB ＝BC ＝2得AC ＝22，又P A ＝4，则PC ＝8＋16＝26，OP ＝6， 所以球表面积为S ＝4π(OP )2＝4π×(6)2＝24π.故选C.]7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 A [∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线， ∴a cos B 2＝b cos A 2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A 2.∴2sin A 2cos A 2 cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A 2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B 2，即A ＝B .同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.]8．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连接A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sin α的最大值为( )A.22B.255C.265D.266B [连接EF ，因为EF ∥平面ABCD ，所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF 平行的直线，过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连接EH ，FG ，则平行四边形EFGH 即为截面，则五棱柱A 1B 1EHA -D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH -FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连接A 1N ， 则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N ＝α.因为sin α＝MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意．故(sin α)max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN A 1M max ＝HN A 1H ＝255.故选B.] 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．如图是2020年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论其中结论正确的是( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；B ．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；C ．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；D ．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海．ABC [对于A.由图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A 正确；对于B.由图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B 正确； 对于C 由图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C 正确；对于D 由图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D 错误．故选ABC.]10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的高为1B ．三角形P AB 为等腰三角形C．三角形P AB面积的最大值为3D．直线P A与圆锥底面所成角的大小为π6ABD[如图所示：PO＝22－()32＝1，A正确；P A＝PB＝2，B正确；易知直线P A与圆锥底面所成的角为∠P AO＝π6，D正确；取AB中点为C，设∠P AC＝θ，则θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2，S△P AB＝2sin θ·2cos θ＝2sin 2θ，当θ＝π4时，面积有最大值为2，C错误．故选ABD.]11．以下对各事件发生的概率判断正确的是()A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为1 3B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为1 15C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是5 36D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12BCD[对于A，连续抛两枚质地均匀的硬币，其样本区间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}；有4个基本事件，出现一正一反事件A包含的样本点为(正，反)，(反，正)，所以A错误；对于B，从集合{2,3,5,7, 11,13}中取出两个数，其样本空间Ω＝{(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)}，即包含15个基本等可能事件，“两个数的和为14”的事件B仅包含一个样本点(3,11)，所以P(B)＝115，所以B正确；对于C，样本空间有36个样本点，“点数和为6”的事件C包含5个样本点(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即P(C)＝536，所以C正确；对于D，从四件产品中取出两件，其样本空间为Ω＝{(正1，正2)，(正2，正3)，(正1，正3)，(正1，次)，(正2，次)，(正3，次)}，故共有6个基本等可能事件，“全是正品”的事件的样本点为3个，所以P(D)＝12，所以故选BCD.]12．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z，z1，z2结论正确的是()A. |z＋2i|表示点A到点(0,2)的距离B. 若|z－1|＝|z＋2i|，则点A的轨迹是直线C. ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|D. |z1z2|＝|z1||z2|BCD[对于A，|z＋2i|表示点A到点(0，－2)的距离，所以A错误；对于B, |z－1|＝|z＋2i|表示A点到M(1,0)和N(0，－2)的距离相等，所以A的轨迹是MN的垂直平分线，是一条直线，所以B正确；由复数模的性质知，C、D均正确，故选BCD.]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．2019年国际山地旅游大会于8月29日在贵州黔西南州召开，据统计有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是________．512[“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为2 0006 000×3 0004 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝16，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝512.]14．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy 的最大值是________．2524[∵a∥b，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥26xy，∴xy≤2524，当且仅当3y＝2x时取等号．]15．掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，则事件P(AB)＝__________，P(A＋B)＝________.1 959[由掷红、白两颗骰子，向上的点数共6×6＝36种可能，红色骰子的点数分别记为红1，红2，…，白色骰子的点数分别记为白1，白2，…其中红骰子点数小于3的有1,2二种可能，其中白骰子点数小于3的有1,2二种可能，事件A＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红1，白3}，{红1，白4}，{红1，白5}，{红1，白6}，{红2，白1}，{红2，白2}，{红2，白3}，{红2，白4}，{红2，白5}，{红2，白6}，共12种事件B＝{白1，红1}，{白1，红2}，{白1，红3}，{白1，红4}，{白1，红5}，{白1，红6}，{白2，红1}，{白2，红2}，{白2，红3}，{白2，红4}，{白2，红5}，{白2，红6}，共12种，事件AB＝{红1，白1}，{红1，白2}，{红2，白1}，{红2，白2}，共4种，故P(AB)＝436＝19，事件A＋B共有12＋12－4＝20种，故P(A＋B)＝2036＝59.]16．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝1，BC＝2，四棱锥外接球的球心为O，点E是棱AD上的一个动点．给出如下命题：①直线PB与直线CE是异面直线；②BE与PC一定不垂直；③三棱锥E-BCO的体积为定值；④CE＋PE的最小值为2 2.其中正确命题的序号是________．(将你认为正确的命题序号都填上)①③④[对于①，∵直线PB经过平面ABCD内的点B，而直线CE在平面ABCD内不过B，∴直线PB与直线CE是异面直线，故①正确；对于②，当E在线AD上且AE＝14AD位置时，BE⊥AC，因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE，又P A∩AC＝A，P A⊂平面P AC，AC⊂平面P AC，∴BE⊥平面P AC，则BE垂直PC，故②错误；对于③，由题意知，四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O是PC的中点，则△BCE的面积为定值，且O到平面ABCD的距离为定值，∴三棱锥E-BCO的体积为定值，故③正确；对于④，设AE＝x，则DE＝2－x，∴PE＋EC＝1＋x2＋1＋(2－x)2.由其几何意义，即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④.]四、解答题(本大题共6小题，共10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算)17．(本小题满分10分)benti从青岛市统考的学生数学考试试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷成绩的中位数；(2)从总分在[55,65)和[135,145)的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率．[解](1)记这100份数学试卷成绩的中位数为x(95<x<105)，则0.002×10＋0.008×10＋0.013×10＋0.015×10＋(x－95)×0.024＝0.5，解得x＝100，所以中位数为100.(2)总分在[55,65)的试卷共有0.002×10×100＝2(份)，记为A，B，总分在[135,145)的试卷共有0.004×10×100＝4(份)，记为a，b，c，d，则从上述6份试卷中随机抽取2份的结果为{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，{B，d}，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，共计15个样本点，且是等可能的．至少有一份总分少于65分的有：{A ，B }，{A ，a }，{A ，b }，{A ，c }，{A ，d }，{B ，a }，{B ，b }，{B ，c }，{B ，d }，共计9个样本点，所以抽取的2份至少有一份总分少于65分的概率P ＝915＝35.18．(本小题满分12分)已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1,2)．(1)若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α＋cos α的值； (2)若|m －n |＝2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． [解] (1)因为m ∥n ，所以sin α＝－2cos α.所以原式＝－2cos α－2cos α－2cos α＋cos α＝－4cos α－cos α＝4. (2)因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2.所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以sin α＝35，cos α＝－45. 所以原式＝－7210.19．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .[解] (1)证明：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6.20．(本小题满分12分)如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A ，B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB ＝2AD ＝2.(1)求证：EA ⊥EC ；(2)设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F .①证明：EF ∥AB ；②若EF ＝1，求三棱锥E -ADF 的体积．[解] (1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE .又∵AE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥AE .∵E 在以AB 为直径的半圆上，∴AE ⊥BE ，又∵BE ∩BC ＝B ，BC ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥平面BCE .又∵CE ⊂平面BCE ，∴EA ⊥EC .(2)①证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面CED ，CD ⊂平面CED ，∴AB ∥平面CED .又∵AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面CED ＝EF ，∴AB ∥EF .②取AB 的中点O ，EF 的中点O ′，在Rt △OO ′F 中，OF ＝1，O ′F ＝12，∴OO ′＝32.由(1)得BC ⊥平面ABE ，又已知AD ∥BC ，∴AD ⊥平面ABE .故V E -ADF ＝V D -AEF ＝13·S △AEF ·AD ＝13·12·EF ·OO ′·AD ＝312.21．(本小题满分12分)已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .(1)证明：a cos B ＋b cos A ＝c ；(2)在①2c －b cos B ＝a cos A ，②c cos A ＝2b cos A －a cos C ，③2a －b cos C cos A ＝c cos B cos A 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a ＝7，b ＝5，________，求△ABC 的周长．[解] (1)根据余弦定理：a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 2＋b 2＋c 2－a 22c＝c ，所以a cos B ＋b cos A ＝c . (2)选①：因为2c －b cos B ＝a cos A ，所以2c ·cos A ＝b cos A ＋a cos B ，所以由(1)中所证结论可知，2c cos A ＝c ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选②：因为c cos A ＝2b cos A －a cos C ，所以2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ， 由(1)中的证明过程同理可得，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以2b cos A ＝b ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3；选③：因为2a －b ·cos C cos A ＝c ·cos B cos A ，所以2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，由(1)中的证明过程同理可得，b cos C ＋c cos B ＝a ，所以2a cos A ＝a ，即cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋c 2－10c ·12＝49，即c 2－5c －24＝0，解得c ＝8或c ＝－3(舍)，所以a ＋b ＋c ＝7＋5＋8＝20，即△ABC 的周长为20.22. (本小题满分12分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处，且小区里有一条平行于 BO 的小路CD .(1)已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了10分钟，从D 沿DA 走到 A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)(2)若该扇形的半径为OA ＝a ，已知某老人散步，从 C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长．[解] (1)法一：设该扇形的半径为r 米，连接CO . 由题意，得CD ＝500(米)，DA ＝300(米)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60 °＝OC 2，即5002＋()r －3002－2×500×()r －300×12＝r 2， 解得r ＝4 90011≈445(米)．法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD ＝500(米)， AD ＝300(米)，∠CDA ＝120° ，在△CDA 中，AC 2＝CD 2＋AD 2－2·CD ·AD ·cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002.AC ＝700(米). cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22·AC ·AD＝1114. 在直角△HAO 中，AH ＝350(米)，cos ∠HAO ＝1114，OA ＝AH cos ∠HAO＝4 90011≈445(米)． (2)连接OC ，设∠DOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3， 在△DOC 中，由正弦定理得CD sin θ＝DO sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝OC sin π3＝2a 3， 于是CD ＝2a 3sin θ，DO ＝2a 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ，则 DC ＋DO ＝2a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6 ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3 所以当θ＝π3时，DC ＋DO 最大为2a ，此时C 在弧AB 的中点处．。

阶段质量检测（二） 平面解析几何初步(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析：选C k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1.2．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1 B ．2 C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22. 3．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.4．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.5．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3，∴其倾斜角为60°.∴－3n＝－3，－m n＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：选D 直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝4，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴弦长为2 22－1＝2 3.7．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 因为l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.8．已知三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋ny ＋5＝0交于一点，则坐标(m ，n )可能是( ) A ．(1，－3) B ．(3，－1) C ．(－3,1)D ．(－1,3)解析：选A 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得交点坐标M (1,2)，而M (1,2)又在直线mx ＋ny ＋5＝0上，∴m ＋2n ＋5＝0，结合选项可知选项A 中m ＝1，n ＝－3符合方程．9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.10．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆C 1，C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点，则PM 的最小值为PC 1－1，同理PN 的最小值为PC 2－3，则PM ＋PN 的最小值为PC 1＋PC 2－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连结C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连结PC 1，可知PC 1＋PC 2的最小值为C 1′C 2＝(3－2)2＋(4＋3)2＝52，则PM ＋PN 的最小值为52－4.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12(3－1)2＋(1－0)2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长AB ＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD ­A1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23. 答案：－2315．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1，∴m ＝1.答案：116．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求BG .解：∵正四棱锥P ­ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3， ∴正四棱锥的高为 1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12 ∴BG ＝32＋32＋14＝732.18．(本小题满分12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．19．(本小题满分12分)已知直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，则点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5. 点C 到直线l 3的距离是d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.20．(本小题满分12分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：若l 在两坐标轴上截距为0，设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2. 解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋y a ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2. 解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 综上，直线l 的方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.21．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝2.22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，且OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得：2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)， ②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)． ③ 把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立， 故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.。

章末综合测评(二)平面解析几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．直线l：x－3y＋1＝0的倾斜角为________．【解析】l：y＝33x＋33，k＝33，∴α＝30°.【答案】30°2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．【解析】直线方程为y＝3x, 圆的方程化为x2＋(y－2)2＝22，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝3x的距离为d＝1，∴半弦长为22－1＝3，∴弦长为2 3.【答案】2 33．(2016·常州高一检测)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是__________．【解析】圆心(0,1)到直线l的距离d＝|－1－m＋1|m2＋1＝|m|m2＋1<1＝r.故直线l与圆C相交．【答案】相交4．关于x的方程4－x2＝12(x－2)＋3解的个数为________个. 【导学号：60420097】【解析】作出y＝4－x2和y＝12(x－2)＋3＝12x＋2的图象．可看出直线与半圆有两个公共点．【答案】 25．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．【解析】 因为直线3x ＋y －1＝0的斜率为－3，所以直线l 的斜率为13.又直线在x 轴上的截距为－2，即直线l 与x 轴的交点为(－2,0)，所以直线l 的方程为y －0＝13(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0.【答案】 x －3y ＋2＝06．(2016·南京高一检测)若曲线(x －1)2＋(y －2)2＝4上相异两点P ，Q 关于直线kx －y －2＝0对称，则k 的值为__________．【解析】 依题意得，圆心(1,2)在直线kx －y －2＝0上，于是有k －4＝0，解得k ＝4.【答案】 47．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为________． 【解析】 a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 38．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为________．【解析】 (x ＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝86， 解得x ＝2或－8. 【答案】 2或－89．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.【解析】 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1.满足题意，所以a 2＋b 2＝2. 【答案】 210．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】 设平面上的点为P ，易知ABCD 为凸四边形，设对角线AC 与BD 的交点为P ′，则|P A |＋|PC |≥|AC |＝|AP ′|＋|P ′C |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|BP ′|＋|P ′D |，当且仅当P 与P ′重合时，上面两式等号同时成立，由AC 和BD 的方程解得P ′(2,4)．【答案】 (2,4)11．若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0平行，则l 1与l 2距离为________．【解析】 由l 1∥l 2可知a 2＝3a ＋1≠11，解得a ＝－3或a ＝2(舍)， ∴a ＝－3.∴l 1：－3x ＋3y ＋1＝0，即x －y －13＝0， l 2：2x －2y ＋1＝0，即x －y ＋12＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13－122＝5212.【答案】 521212．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________．【解析】 由圆C 的方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0可得圆心C (－2,2)，由题意知直线l 过OC 的中点(－1,1)，又直线OC 的斜率为－1，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.【答案】 x －y ＋2＝013．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．【解析】 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程． 【答案】 2x ＋y －3＝014．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}，当A ∩B ＝B 时，r 的取值范围是________．【解析】 ∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r >0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0<r ≤2－ 2.【答案】 (0,2－2]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0， (1)求m 的取值范围；(2)若直线x －2y －1＝0与圆C 相切，求m 的值．【解】 (1)由圆的方程的要求可得，22＋42－4m ＞0，∴m ＜5. (2)圆心(1,2)，半径r ＝5－m ， 因为圆和直线相切，所以有|1－4－1|12＋(－2)2＝5－m ，所以m ＝95.16．(本小题满分14分) 直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．【解】 若l 在两坐标轴上截距为0， 设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k 2＝3 2. 解得k ＝－6±3214.此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0， 设l ：x a ＋ya ＝1， 即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝3 2.解得a ＝1或13.此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0. 17．(本小题满分14分)一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，(0,1,9)．(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体； (2)求这个长方体外接球的球心坐标； (3)求这个长方体外接球的体积． 【解】 (1)如图．(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径， 所以球心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋02，0＋12，0＋92，即⎝⎛⎭⎪⎫32，12，92. (3)因为长方体的体对角线长d ＝(－3)2＋12＋92＝91， 所以其外接球的半径r ＝d 2＝912.所以其外接球的体积V 球＝43πr 3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫9123＝91π691. 18．(本小题满分16分)已知圆C 的圆心与P (0,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y ＋1＝0与圆C 相交于E ，F 两点，且|AB |＝4.(1)求圆C 的标准方程；(2)设直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R )与圆C 的交点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 (1)点P (0,1)是关于直线y ＝x ＋1的对称点，即圆心C 的坐标为(0,1)， 圆心C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离为d ＝|0＋4＋1|5＝1. 所以r 2＝12＋22＝5，得圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝5.(2)联立得⎩⎨⎧y ＝m (x －1)＋1，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.由于Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，故l 与圆C 必交于两点．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝m 21＋m 2，y 0＝m (x 0－1)＋1.消去m ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋(y 0－1)2＝14.∴M 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝14.19．(本小题满分16分)(2016·盐城月考)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．【解】 (1)由题意知，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝[2－(－2)]2＋(7－3)2＝42>22，∴|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率， 所以设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝n －3m ＋2， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.由题意知直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.20．(本小题满分16分)如图1，已知△ABC 中A (－8,2)，AB 边上的中线CE所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．图1【解】 设B (x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎨⎧2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎨⎧x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5， 即4x －y －20＝0.。

【三维设计】2013高中数学 第二章 阶段质量检测 苏教版必修2(时间120分钟，总分160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，)1．(2012·嘉兴高一检测)点A (2，－3,1)关于点B (－1,0,3)的对称点A ′的坐标是____________．解析：由中点坐标公式的A ′的坐标是(－4,3,5)． 答案：(－4,3,5)2．(2011·瑞安高一检测)已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则该直线l 的倾斜角为________．解析：由题意知，k ＝－1，故倾斜角为135˚. 答案：135˚3．直线l 1：y ＝－x ＋1和l 2：y ＝－x －1间的距离是________． 解析：将两直线方程分别化为x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0 故两直线间的距离d ＝|－1－1|2＝ 2.答案： 24．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相平行，则实数m ＝________. 解析：由于两直线平行，故m ＋4＝0，从而m ＝－4，当m ＝－4时，两直线平行． 答案：－45．(2012·南通高一检测)若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为________．解析：由a 2＝(a ＋2)2，解得a ＝－1，此时方程变为x 2＋y 2－2x －1＝0，表示圆． 答案：－16．(2011·深圳高一检测)过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则AB 的值为________．解析：由k AB ＝1，得b －a ＝1， ∴AB ＝－2＋b －a2＝1＋1＝ 2.答案： 27．(2012·杭州高一检测)已知两圆C 1：x 2＋y 2＝10，C 2：x 2＋y 2－2x ＋2y －14＝0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为__________．解析：将两圆方程相减得x －y ＋2＝0，此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程．答案：x －y ＋2＝08．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q (x ，y )，由题意可知k PQ ＝2，又k PQ ＝x ＋2x ，由x ＋2x＝2，得x ＝2，∴Q (2,3)． 答案：(2,3)9．已知以点M (1,3)为圆心的圆C 与直线3x －4y －6＝0相切，则该圆C 的方程为____________．解析：圆心到直线的距离d ＝|3×1－4×3－6|32＋－2＝3， 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝910．从点P (4，－1)向圆x 2＋y 2－4y －5＝0作切线PT (T 为切点)，则PT 等于________． 解析：因为圆的方程可化为x 2＋(y －2)2＝9， 所以圆心为(0,2)，半径为3，所以PT 2＝[(4－0)2＋(－1－2)2]－9＝16， 所以PT ＝4. 答案：411．(2011·嘉兴高一检测)经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是____________．解析：直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，所求方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝012．(2011·杨州高一检测)与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条． 答案：413．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________．解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3×－12＝－1，a ＋32＋2×b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝195，b ＝35.∴所求圆的方程为(x －195)2＋(y －35)2＝1.答案：(x －195)2＋(y －35)2＝114．(2012·蒲田高一检测)设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}，当A ∩B ＝B 时，r 的取值范围是________．解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0＜r ≤2－ 2.答案：(0,2－ 2 ]二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． 解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则(x －a )2＋(y －6)2＝r 2，得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2，而r ＝|a －13|5∴(a －1)2＋16＝a －25，解得a ＝3或a ＝－7，r ＝25或r ＝4 5.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80. 16．(14分)(2012·泰州高二检测)求分别满足下列条件的直线方程．(1)经过直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋y ＋1＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.解：(1)将2x ＋y ＋2＝0与3x ＋y ＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4)． 由所求直线与直线2x ＋3y ＋5＝0平行， 则所求直线斜率为－23，从而所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0. (2)设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0， 令y ＝0得到x ＝－m 4，令x ＝0得到y ＝m3，则S ＝12×m212＝6，解得m ＝±12.从而所求直线方程为4x －3y ±12＝0.17．(14分)(2012·蚌埠高一检测)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当I 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．(16分)(2012·盐城模拟)已知直线l 过点A (6,1)与圆C ：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋21＝0相切，(1)求该圆的圆心坐标及半径长；(2)求直线l 的方程．解：(1)∵(x －4)2＋(y ＋3)2＝4，∴圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝2.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x －6)，即kx －y －6k ＋1＝0， 则圆心到此直线的距离为d ＝|4k ＋3－6k ＋1|k 2＋1＝2|k －2|k 2＋1＝2.由此解得k ＝34，此时方程为3x －4y －14＝0.当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝6. 故直线l 的方程为：3x －4y －14＝0或x ＝6.19．(16分)(2011·南通高一检测)已知P 是直线上一点，将直线l 绕P 点沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点旋转90°－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)已知实数x ，y 满足直线l 的方程，求x 2＋y 2的最小值．解：(1)依题意，直线l 过直线l 1：3x －y －4＝0与l 2：x ＋2y ＋1＝0的交点P ， 故可设l 方程为3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0.又直线l 1绕点P 逆时针方向旋转角α到l 1，再绕点P 逆时针方向旋转90°－α到l 2，知l ⊥l 2，由两条直线垂直的条件得3＋λ1－2λ(－12)＝－1⇒λ＝－15，代入3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0得：l 的方程为2x －y －3＝0(2)x 2＋y 2的最小值即为原点O 到直线l 的距离d ＝35＝355. 20．(16分)(2012·淮安高一检测)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解：(1)∵k ＝mm 2＋1，∴km 2－m ＋k ＝0(*)， ∵m ∈R ，∴当k ≠0时Δ≥0，解得－12≤k ≤12且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程(*)有解．所以，综上所述－12≤k ≤12.(2)假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°. ∵圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心C (4，－2)到l 的距离为1. 故有|4m ＋m 2＋－4m |m 2＋m 2＋2＝1，整理得3m 4＋5m 2＋3＝0. ∵Δ＝52－4×3×3＜0，∴3m 4＋5m 2＋3＝0无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①频率分布折线图与总体密度曲线无关；②频率分布折线图就是总体密度曲线；③样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；④如果样本容量无限增大、分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近总体密度曲线．【解析】由总体密度曲线定义知④正确．【答案】④2．为了解高二年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，所得结果如下：(单位：cm)149159142160156163145150148151156144148149153143168168152155在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4 cm，那么组数为________．【解析】极大值为168，极小值为142，极差为168－142＝26， 根据组距＝极差组数，知组数为7. 【答案】 73．一个容量为40的样本数据，分组后，组距与频数如下：[5,10)5个；[10,15)14个；[15,20)9个；[20,25)5个；[25,30)4个；[30,35]3个．则样本在区间[20，＋∞)上的频率为________．【解析】 由题意知在区间[20，＋∞)上的样本数为5＋4＋3＝12个，故所求频率为1240＝0.3.【答案】 0.34．如图2-2-5是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据填空．图2-2-5(1)样本数据在范围[6,10)内的频率为________； (2)样本数据落在范围[10,14)内的频数为________． 【解析】 (1)样本数据在[6,10)内频率为0.08×4＝0.32. (2)在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36. 【答案】 (1)0.32 (2)365．在样本频率分布直方图中，共有11个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积的和的14，且样本容量为100，则中间一组的频数为________．【解析】 设中间一个小矩形的面积为x ，由题意得x 1－x ＝14，解得x ＝15，故中间一组的频数为100×15＝20.【答案】 206．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图2-2-6.根据图示，请你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是________．图2-2-6【解析】 依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000.【答案】 4 0007．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图2-2-7，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________.【导学号：11032040】图2-2-7【解析】 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m ＝0.3，m ＝50.【答案】 508．对某市“两学一做”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图2-2-8)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：图2-2-8(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“两学一做”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．【解析】 设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800＝440.【答案】 (1)0.04 (2)440 二、解答题9．某工厂对一批产品进行了抽样检测，图2-2-9是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是多少？图2-2-9【解】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.10．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位：cm).分组 [122， 126) [126， 130) [130， 134) [134， 138) [138， 142) 人数58102233分组 [142， 146) [146， 150) [150， 154) [154， 158] 人数201165(1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134 cm 的人数占总人数的百分比． 【解】 (1)样本频率分布表如下：分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计1201(2)其频率分布直方图如下：(3)由样本频率分布表可知身高小于134 cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134 cm 的人数占总人数的19%.[能力提升]1．某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下，则表中字母m、n、M、N所对应的数值分别为________、________、________、________.组别频数频率[145.5,149.5)80.16[149.5,153.5)60.12[153.5,157.5)140.28[157.5,161.5)100.20[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]m n合计M N【解析】由题意知样本容量为80.16＝50，故M＝50，从而m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，所以n＝450＝0.08；N＝1.【答案】40.0850 12．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图2-2-10)．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．图2-2-10【解析】由题意知1－(0.005＋0.035＋0.020＋0.010)×10＝0.3，故a＝0.3 10＝0.030；由分层抽样的方法知，在[140,150]内的学生中选取的人数为18×0.010.03＋0.02＋0.01＝18×16＝3人．【答案】 0.030 33．某市数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图2-2-11所示，已知130～140分数段的人数为90人，求90～100分数段的人数a ＝________，则下边的流程图(图2-2-12)的功能是________．图2-2-11 图2-2-12【解析】 ①在频率分布图中，由题意可得900.05＝a0.45，∴a ＝810. ②在图2中，∵a ＝810， n ←1时，S ←1，S ←1×1， n ←2时，S ←1×1，S ←1×1×2， n ←3时，S ←1×2，S ←1×2×3， 依此循环，n >810时终止循环，输出S . 此时S ＝1×2×3×4× (810)故该流程图的功能是计算并输出1×2×3×4×…×810的值． 【答案】 810 计算并输出1×2×3×…×810的值4．从某学校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，被抽取的学生的身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，如图2-2-13是按上述分组方法得到的频率分布直方图．图2-2-13(1)根据已知条件填写下面表格：组别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级800名学生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数．【解】(1)由频率分布直方图得第七组的频率为1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.同理可得各组人数如下：组别12345678样本数2410101543 2(2)由频率分布直方图得后三组的频率为0.016×5＋0.06＋0.008×5＝0.18.估计这所学校高三年级身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．与y轴垂直的直线L，它的倾斜角是________．解析画出直线L，它与x轴平行或就是x轴，故倾斜角为0°.答案0°2．下列命题：①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大．其中错误的有________(填序号)．解析①当倾斜角为90°时，斜率不存在；故①是错误的．②当倾斜角由锐角增大为钝角时，斜率由正数变化为负数；故②也是错误的．答案①，②3．已知过P(－2，m)和Q(m,4)两点的直线斜率等于1，那么m的值为________．解析由直线的斜率定义得k＝4－mm－(－2)＝1，解得m＝1.答案 14．过点(3,1)在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．解析(1)若截距为0，设直线方程为y＝kx.∵直线过点(3,1)，∴1＝k×3.∴k＝13，∴直线方程为y＝13x；(2)若截距不为0，设在x轴上截距为a，则在y轴上截距也为a，直线方程为x a ＋y a ＝1，∵直线过点(3,1)，∴3a ＋1a ＝1，解得a ＝4，∴直线方程为y ＝－x ＋4；综上，所求直线方程为y ＝x 3或y ＝－x ＋4.答案 y ＝x 3或y ＝－x ＋45．若直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析 由A 1A 2＋B 1B 2＝0得，1×a ＋a [－(2a －3)]＝0得a ＝2或a ＝0.答案 2或06．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．解析 (x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离，而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax ＋by＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b 2＝a 2＋b 2. 答案 a 2＋b 27．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是________．解析 r 2＝4＋k 2－4k 24＝1－34k 2，∴当k ＝0时，r 2最大，从而圆的面积最大．此时圆心坐标为(－1,0)．答案 (－1,0)8．圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0与圆x 2＋y 2＝64的位置关系是________． 解析 圆x 2＋y 2－8x ＋6y ＋16＝0即为(x －4)＋(y ＋3)2＝9，故圆心为(4，－3)，半径为3，而圆x 2＋y 2＝64的圆心为(0,0)，半径为8；故两圆的圆心距为d ＝42＋32＝5，半径之差为R －r ＝5，故圆心距d ＝R －r ，所以两圆内切．答案 内切9．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析 依题意，设直线l 的方程是y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，因此由题意得圆心(2,0)到直线l 的距离不超过该圆的半径，即有|2k －4k |k 2＋1≤1，由此解得－33≤k ≤33. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析 ∵圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2，且圆C 上任意一点关于直线l 的对称点都在圆C 上，∴点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线l 上．∴－1＋a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案 －211．已知点P (－1,1)和点Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 不相交，则实数m 的取值范围是________．解析 如图，因为直线l ：x ＋my ＋m ＝0斜率为－1m ，且恒过点A (0，－1)，直线l 与线段PQ 不相交，即将图中的直线AQ 顺时针旋转到AP 位置，这个过程中的所有直线都是符合条件的直线l ；故符合条件的直线l 的斜率范围是(k AP ，k AQ )，即k AP ＜－1m ＜k AQ ，而k AP ＝1－(－1)－1－0＝－2，k AQ ＝2－(－1)2－0＝32，故－2＜－1m ＜32，解得实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞12．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于两点A 、B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为________．解析 由已知条件得圆心坐标为(－1,2)，圆心与AB 中点连线的斜率k 1＝2－1－1－0＝－1，连线与AB 垂直，故直线L 的斜率k 满足k ·k 1＝－1，即k ＝1，故L 的方程为y －1＝1·(x －0)，即为x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝013．已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线3x ＋4y ＋4＝0相切，则圆的方程是________．解析 设圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，由直线3x ＋4y ＋4＝0与圆相切，可得圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝|3a ＋4|5＝2，解得a ＝2或a ＝－143(舍去)，故所求的圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.答案 x 2＋y 2－4x ＝014．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为________．解析 如图所示，过O 作OS ⊥PQ 于S ，由∠POQ ＝120°，结合图形可求得圆心O 到直线y ＝kx ＋1的距离OS ＝12，再由点到直线的距离公式，得1k 2＋1＝12，解得k ＝±3.答案 －3或 3二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)垂直．解 由A 1B 2＝A 2B 1得1×3＝m (m －2)解之：m ＝－1 m ＝3当m ＝－1时，⎩⎨⎧ 直线l 1：x －y ＋6＝0直线l 2：3x －3y ＋2＝0∴l 1∥l 2 当m ＝3时，⎩⎨⎧直线l 1：x ＋3y ＋6＝0直线l 2：x ＋3y ＋6＝0∴l 1与l 2重合． 因此，当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交，又因A 1A 2＋B 1B 2＝0得，1×(m －2)＋m ×3＝0∴m ＝12.∴当m ＝12时，直线l 1与l 2垂直．16．(本小题满分14分)一圆过点(1,3)，且在x 轴上的截距之和为2，在y 轴上的截距之积为－2，求此圆方程．解 设此圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∵圆过点(1,3)，∴1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0①∵圆在x 轴上的截距之和为2，∴令y ＝0得方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根之和为2，即－D ＝2；②∵圆在y 轴上的截距之积为－2，∴令x ＝0得方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根之积为－2，即F ＝－2；③由①②③解得D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2；∴此圆方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.17．(本小题满分14分)直线l 经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程．解 设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1∵直线l 过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab .又由已知有12|a ||b |＝5，即|ab |＝10，解方程组⎩⎨⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2， 故所求直线l 的方程为：x－52＋y 4＝1，或x 5＋y －2＝1；即为8x －5y ＋20＝0，或2x －5y －10＝0.18．(本小题满分16分)已知直线(m ＋2)x －(2m －1)y －3(m －4)＝0.(1)求证：不论m 怎样变化，直线恒过定点；(2)求原点(0,0)到直线的距离的最大值．(1)证明 直线方程变形为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋12＝0，则由⎩⎨⎧ x －2y －3＝0，2x ＋y ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－215，y ＝－185，∴不论m 怎样变化，直线恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，－185. (2)解 原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到直线所恒过的定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，－185的距离d .而d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1852＝3855，所以原点(0,0)到直线距离的最大值为3855. 19．(本小题满分16分)已知：以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解 (1)∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，k OC ＝12∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得：t ＝2或t ＝－2当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0,0)(－2,0)，这与题设不符．由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b ＞0，即b ＜1.所以b 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)．(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是二次函数f (x )的图象与坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1＋b ，0)，(0，b )．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ (－1－1－b )2＋D (－1－1－b )＋F ＝0，(－1＋1－b )2＋D (－1＋1－b )＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.解上述方程组，因b ≠0，得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－(b ＋1)，F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点．证明如下：设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式，得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝1或⎩⎨⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上．所以圆C 过定点．。

苏教2021课标版必修2第1章立体几何初步本章测试讲评教案设计说明学情分析：所授班级为高一普通班，学生对空间中点、线、面位置认识不准确，空间想象力参差不齐，讲评以典型题为例，提高学生对空间中点、线、面位置认识，培养学生空间想象力，提升推理论证能力．讲评目标：〔1〕通过讲评，教会学生根据题目条件画出适宜的图形帮助判断，进而利用定理进行正确推理；〔2〕培养学生空间想象推理论证能力．学情难点：对题型的研判分析和解法的选择讲评选题：【例1】〔书的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为________cm．选题理由：圆锥的侧面展开图是扇形，要用到弧长公式〔此题特殊〕．变式一张长为4cm，宽为2cm矩形纸片，将该纸片某边为高卷成一个圆柱筒，那么这个圆柱筒的体积为__________．设计意图：圆柱的侧面展开图是矩形，有两解情形．【例2】〔书，N，K分别为线段ANK∥平面ABCD．选题理由：学生错误利用KN∥平面A1B1C1D1且平面ABCD∥平面A1B1C1D1来证明KN∥平面ABCD．设计意图：也可连接K∥AT稳固训练，b是异面直线，直线a∥c，那么b，c的位置关系是_________．，BD的平面截此四面体，那么截面EFGH是________四边形．个平面与平面α垂直．设计意图：前三个小题分别对应三个知识点①空间两直线位置关系，②线面平行的性质及公理4，③线面垂直的判定定理．中，AB∥CD，AB⊥平面P AD，PD=AD，AB=2DC，E是PB的中点．求证：〔1〕CE∥平面P AD；〔2〕平面PBC⊥平面P AB．设计意图：〔1〕线面平行的三种证明方法：【法1】线线平行推导线面平行；【法2】面面平行推导线面平行；【法3】利用线面平行的性质寻找过直线的某个面与平面的交线，再证直线与交线平行，从而得线面平行．〔2〕面面垂直的判定定理。

阶段质量检测（一）立体几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.2．直线l与平面α不平行，则()A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对解析：选C直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．因为直线l与平面α不平行，所以l与α相交或l⊂α.3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.4．设BD1是正方体ABCD-A1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条解析：选C 每个面中各有一条对角线与BD 1异面，它们是：AC ，A 1C 1，B 1C ，A 1D ，AB 1，DC 1.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1D ．A 1E ⊥AC解析：选C 法一：由正方体的性质，得A 1B 1⊥BC 1，B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD . 又A 1E ⊂平面A 1B 1CD ， 所以A 1E ⊥BC 1.法二：∵A 1E 在平面ABCD 上的投影为AE ，而AE 不与AC ，BD 垂直，∴B 、D 错； ∵A 1E 在平面BCC 1B 1上的投影为B 1C ，且B 1C ⊥BC 1， ∴A 1E ⊥BC 1，故C 正确；(证明：由条件易知，BC 1⊥B 1C ，BC 1⊥CE ， 又CE ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面CEA 1B 1. 又A 1E ⊂平面CEA 1B 1，∴A 1E ⊥BC 1.) ∵A 1E 在平面DCC 1D 1上的投影为D 1E ， 而D 1E 不与DC 1垂直，故A 错．6．已知在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若AB ＝2，CD ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角的度数为( )A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°解析：选D 取BC 的中点G ，连结EG ，FG ，则EG ＝1，FG ＝2，EF ⊥EG ，则EF 与CD 所成的角等于∠EFG ，为30°.7．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )A ．3034B ．6034C ．3034＋135D ．135解析：选A 由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为 ⎝⎛⎭⎫922＋⎝⎛⎭⎫1522＝3234，则这个直棱柱的侧面积为4×3234×5＝3034. 8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l解析：选D 由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，则交线平行于l ，故选D.9．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.10.如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 显然OM ∥PD ，又PD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PDA .∴OM ∥平面PCD ，OM ∥平面PDA .∴①②③正确．11．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π解析：选C 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.12．在正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选C连结AC，BD交于点O，连结OE，OP，BE.因为E为PC的中点，所以OE∥PA，所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.所以在Rt△EOB中∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确★★答案★★填在题中的横线上)13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________．解析：过点E作EG∥AB，交BB1于点G，连结GF，则B1EB1A＝B1GB1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.★★答案★★：平行14.(2018·天津高考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M -EFGH 的体积为________．解析：连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M -EFGH 的体积为13×222×12＝112.★★答案★★：11215．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则A 到平面PBC 的距离为________．解析：如图所示，取BC 中点E ，连结AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ， ∴BC ⊥平面PAE . ∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ， 则AF ⊥平面PBC . 则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .★★答案★★：217a 16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，又AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确；②设正方形的边长为a ，则AE＝CE＝2 2a.由①知∠AEC是直二面角A-BD-C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等边三角形，故②正确；③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，故③不正确；④分别取BC，AC的中点为M，N，连结ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝12AB＝12a，ME∥CD，且ME＝12CD＝12a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴NE＝12AC＝12a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．★★答案★★：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.证明：∵E是以DC为直径的半圆周上一点，∴CE⊥DE.又∵平面CDE⊥平面ABCD，且AD⊥DC，∴AD⊥平面CDE.又CE⊂平面CDE，∴AD⊥CE.又DE∩AD＝D，∴CE⊥平面ADE.18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．解：(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ， 故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P -ABCD 的体积 V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积． 解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2， 即DE ⊥A 1D .所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.20．(本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q -ABP 的体积．解：(1)证明：由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又因为BA ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面ACD . 因为AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.21．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．解：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.如图，设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝ 6.所以PCFC＝ACEC，又∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.由此知PC⊥EF.又BD∩EF＝F，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A-PB-C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.又PA⊥BC，PA∩AG＝A，故BC⊥平面PAB，又AB ⊂平面ABC ， 于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形， 又AC ＝22，故AD ＝2， PD ＝PA 2＋AD 2＝2 2. 设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等， 即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α， 则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.22．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF ； (3)求二面角B -EF -A 的正切值． 解：(1)因为四边形ADEF 是正方形， 所以FA ∥ED .故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD . 故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3， 故cos ∠CED ＝ED CE ＝223. 所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明：过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点．取EF的中点N，连结GN，则GN⊥EF. 因为BC∥AD，所以BC∥EF.过点N作NM⊥EF，交BC于M，则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．连结GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM.从而BC⊥GM.由已知，可得GM＝2 2.由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM.在Rt△NGM中，tan∠GNM＝GMNG＝14.所以二面角B-EF-A的正切值为1 4.。

阶段质量检测(一)立体几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]题号一二总分151617181920得分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．4．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．6．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是________．7．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则直线a与平面β的位置关系为________．8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m，则全面积的最大值为________．9．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．10．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．11．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.14．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？16．(14分)如图所示，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆周上一点，且平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE⊥平面ADE.17.(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C -A1DE的体积．18．(16分)已知等腰梯形PDCB中(如图①)，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝2，A为PB边上一点，且DA⊥PB.现将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD(如图②)．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA∶V M－ACB＝2∶1.19.(16分)(江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.20．(16分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明CD ⊥平面ABF ； (3)求二面角B-EF-A 的正切值．★★答案★★1．①④2．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． ★★答案★★：平行或异面3．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. ★★答案★★：74．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π. ★★答案★★：823π5．解析： 如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62， 所以CO ＝2O ′C ′＝ 6. ∴S △ABC ＝12×1×6＝62.★★答案★★：626．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .★★答案★★：垂直7．解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. ★★答案★★：a ∥β或a ⊂β8．解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm .∴当r ＝πm 2(π2－π)＝m2(π－1)时，S 全有最大值πm 24(π－1).★★答案★★：πm 24(π－1)9. 解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.★★答案★★：16π10. 解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.★★答案★★：3411．解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．★★答案★★：①②③12．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V 圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V 圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.★★答案★★：3∶2∶113．解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a .整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . ★★答案★★：a 或2a14．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33. ★★答案★★：3315.解：如图，底面半径为52 cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝(52π)2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42 cm.16．证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点， ∴CE ⊥DE .又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC -A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ， ∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ， 则V M －ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×12×2×1×h ＝h3.V P －ABCD ＝13S 梯形ABCD ·P A ＝13×(1＋2)2×1×1＝12.要使V PDCMA ∶V M －ACB ＝2∶1， 即(12－h 3)∶h 3＝2∶1，解得h ＝12. 易得M 为PB 中点．19．证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD . 所以直线EF ∥平面PCD .(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BF ⊥平面P AD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD . 20．解：(1)因为四边形ADEF 是正方形，所以F A ∥ED . 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为F A ⊥平面ABCD ，所以F A ⊥CD . 故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中，CD ＝1，ED ＝22， CE ＝CD 2＋ED 2＝3， 故cos ∠CED ＝ED CE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明：过点B 作BG ∥CD ，交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°，可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥F A ，F A ∩AB ＝A ，所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知，可得AG ＝2，即G 为AD 的中点． 取EF 的中点N ，连结GN ，则GN ⊥EF . 因为BC ∥AD ，所以BC ∥EF . 过点N 作NM ⊥EF ，交BC 于M ， 则∠GNM 为二面角B -EF -A 的平面角． 连结GM ，可得AD ⊥平面GNM ，故AD ⊥GM . 从而BC ⊥GM . 由已知，可得GM ＝22. 由NG ∥F A ，F A ⊥GM ，得NG ⊥GM . 在Rt △NGM 中，tan ∠GNM ＝GM NG ＝14.所以二面角B -EF -A 的正切值为14.。

【三维设计】⼈教版⾼中数学必修2练习：阶段质量检测2（含答案解析）第⼆章
(时间90分钟，满分120分)
⼀、选择题(共10⼩题，每⼩题5分，共50分)
1．下列说法不正确的是()
A．空间中，⼀组对边平⾏且相等的四边形⼀定是平⾏四边形
B．同⼀平⾯的两条垂线⼀定共⾯
C．过直线上⼀点可以作⽆数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同⼀平⾯内D．过⼀条直线有且只有⼀个平⾯与已知平⾯垂直
答案：D
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平⾯()
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案：C
3.如右图所⽰，在四⾯体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点⼀定()
A．在直线DB上B．在直线AB上
C．在直线CB上D．都不对
答案：A
4.如右图所⽰，在正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()
A．AC B．BD
C．A1D D．A1D1
答案：B。

高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）姜堰市溱潼中学2005-2006学年度上学期第二次月质量检测高一数学试卷一、选择题（第小题5分，满分60分）1．()f x 与()g x 表示同一函数的是：A 、2(), ()()f x x g x x ==B 、(), ()lg10x f x x g x ==C 、22(), ()x f x g x x x ==D 、2(), ()x f x g x x x== 2．函数22()|1||1|f x x x =++-，则下列坐标表示的点一定在函数()f x 图象上的是：A 、(, ())a f a -B 、(, ())a f a -C 、(, ())a f a --D 、(, ())a f a ---3．函数()f x 是奇函数，在(0, )+∞上为减函数，那么(1.4)f ，(2)f --，(1.5)f 的大小是：A 、(1.4)(2)(1.5)f f f <--<B 、(2)(1.4)(1.5)f f f --<<C 、(1.5)(2)(1.4)f f f <--<D 、(1.5)(1.4)(2)f f f <<--4．若()23, ()13f x x x g x x x =-+-=---，则()()f x g x +的定义域是：A 、[1, 3]B 、[2, 3]C 、[1, )+∞D 、[2, )+∞5．设()f x 为幂函数，若{()|()A f x f x =为奇函数}，{()|()B f x f x =在R 上递增}， {()|()C f x f x =的图象经过原点}，则：A 、ABC = B 、B A C = C 、C A B =D 、A B C =6．若P 不在△ABC 所在的平面内，过P 作平面α使△ABC 的三个顶点到平面α的距离相等，这样的平面α最多有几个：A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个7．已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为4cm ，过BC 作一个截面，截面与底面成60°角，则截面面积是：A 、4cm 2B 、32cm 2C 、332cm 2 D 、23cm 2 8．一个三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角为30°，此三棱锥的底面面积为S ，则它的三个侧面面积之和为：A 、32SB 、233SC 、2SD 、2S 9．设α、β表示平面，l 为直线，且l α⊄，l β⊄；有下列三个事实：①l α⊥；②α∥β；③l β⊥．以其中任意两个为条件，另一个为结论可构成三个命题，其中正确的命题个数是：A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个10．正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2；则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是：A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°11．△ABC 的边AB =5，BC =3，AC =4；设分别以此三边为轴，把△ABC旋转一周，所得旋转体的体积为AB V ，BC V ，AC V ，则它们的大小关系是：A 、AB AC BC V V V >> B 、AC BC AB V V V >>C 、AB BC AC V V V >>D 、BC AC AB V V V >>12．A 、B 是二面角l αβ--棱l 上的两点，以AB 为斜边在α内作Rt △ABC ，过A 在β内作一条直线，直线上有一点P 在α内的射影恰好与C 重合，则AP 与BC 所成的角为：A 、90°B 、60°C 、45°D 、30°二、填空题：（每小题4分，满分16分）13．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0, )+∞上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <；则x ∈ ．14．正三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两成40°角，侧棱长为a ，D 、E 为PB 、PC 上的点，则△ADE 周长的最小值为 ．15．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是 ．16．当投射线不平行于直角三角板时，直角三角板在平面α上的平行投影可以是： ．（写出以下情况中所有你认为可能的情况的序号）①一点；②线段；③直角三角形；④锐角三角形；⑤钝角三角形．三、解答题：（满分74分）17．（本题满分12分）若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两个实根α，β满足012αβ<<<<，求实数t 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，P 是边长为1的等边△ABC 的AB 边上的一点（不与点A 或点B 重合），过P 点作AB 的垂线交AC 边于D ，PD 将△ABC 分成两个部分；设AP 的长为x ，△ABC 中含A 点的那部分图形的面积为y ，试建立y 与x 的函数关系，并写出该函数的定义域．19．（本题满分12分）如图，已知P 是△ABC 所在平面外一点，PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，求证：PC ⊥AB ．20．（本题满分12分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角B 1―AA 1―C 1的大小；（2）二面角B ―A 1C ―A 的大小．21．（本题满分12分）已知正四棱锥S-ABCD的棱长均为13，E、F分别是SA、BD上的点，且SE∶EA=BF∶FD=5∶8；（1）求证：直线EF∥平面SBC；（2）求正四棱锥S-ABCD的体积．22、（本题满分14分）已知边长为2的等边△ADE垂直于矩形ABCD所在平面，F为AB的中点，EC和平面ABCD 成30°角；（1）求四棱锥E-AFCD的体积；（2）求D到平面EFC的距离．姜堰市溱潼中学2005-2006学年度上学期第二次月质量检测高一数学试卷参考答案一、 BBC BBA DBC BDA二、13：1(0, )(10, )10+∞ 14：3a 15：13 16：③④⑤三、17解：考虑函数2()3(37)4f x tx t x =+-+；由于(0)40f =>，故只有一种情况，如右图所示：7(1)033740754(2)0126144045f t t t t f t t t ⎧<+-+<>⎧⎧⎪⇒⇒⇒<<⎨⎨⎨>+-+>⎩⎩⎪<⎩∴实数t 的取值范围是754t <<．18解：根据图形可知有两种情况：（1）当102x <≤时， 21133222APD y S AP PD x x x ∆====； （2）当112x <<时，设'D 为PD 与BC 的交点；''22131 1(1)3(1)22233 (1)4233 324APD C ABC BPD y S S S x x x x x ∆∆==-=⨯⨯-⨯-⨯-=--=-+- 综合可知，y 与x 的函数关系是2231, 0223313, 1242x x y x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩，其定义域为(0, 1)． 19证明：过点P 作平面ABC 的垂线PH ，垂足为H ；连结AH 交BC 于E ，连结BH 交AC 于F ，连结CH 交AB 于G ；∵PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ；∴PH ⊥BC ；∵PA ⊥BC ，且PH PA P =；∴BC ⊥平面PAH ；而AH ⊂平面PAH ；∴BC ⊥AH ，即BC ⊥AE ；同理可证：AC ⊥BF ；因此，H 为△ABC 的垂心；所以，AB ⊥CG ；再由PH ⊥平面ABC 即PH ⊥AB ，及PHCG P =；∴AB ⊥平面PHC ；从而，PC ⊥AB ．20解：（1）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， A 1B 1⊥A 1A ，A 1C 1⊥A 1A ；∴∠B 1 A 1 C 1是二面角B 1―AA 1―C 1的平面角；又在正方形A 1B 1C 1D 1中，∠B 1 A 1 C 1=45°；∴二面角B 1―AA 1―C 1的大小是45°．（2）连结BD ，交AC 于O ；在△AA 1C 中过O 作OG ⊥A 1C ，垂足为G ；连结BG ，则由BD ⊥平面AA 1C 1C ，可得A 1C ⊥BG ，从而∠BGO 为二面角B ―A 1C ―A 的平面角；设正方体的棱长为2，则2OB =；在矩形AA 1C 1C 中，△CGO ∽△CAA 1，有OG ∶AA 1=OC ∶A 1C ，因此226323OG ==； 在△BGO 中，tan 3OB BGO OG∠==； ∴∠BGO = 60°． 21（1）证明：连结AF 并延长交BC 于G ，连结SG ；∵AD ∥BC ，BF ∶FD =5∶8，∴GF ∶FA =5∶8，∵SE ∶EA =5∶8，∴GF ∶FA = SE ∶EA ，∴EF ∥SG ，而SG ⊂平面SBC ；∴EF ∥平面SBC ．（2）解：设SO ⊥底面ABCD ，则由棱长均为13可知：2213211313()1691692222SO =-=-⨯=； 211321971322326S ABCD V -=⨯⨯=． 22解：（1）取AD 的中点M ，连结EM 、CM ；由等边△ADE 可知：EM ⊥AD ，∵△ADE 所在平面垂直于矩形ABCD 所在平面，∴EM ⊥平面ABCD 即EM 为四棱锥E -AFCD 的高；∴∠ECM 是EC 和平面ABCD 成的角；即∠ECM=30°； ∵22213EM =-=,∴在△EMC 中，MC =3；从而22CD =,1()21 (222)2232AFCD S AF CD AD =+⨯=+⨯=, ∴四棱锥E -AFCD 的体积为132363⨯⨯=． （2）由（1）知三棱锥E -DCF 的体积是四棱锥E -AFCD 体积的三分之二即E DCF V -=632； 又易知：AB ⊥平面ADE ，CD ⊥平面ADE ； ∴222(2)6EF =+=，222(22)12EC =+=，222(2)6FC =+=；∴由勾股定理的逆定理得：△EFC 是等腰直角三角形，∠EFC =90°； ∴16632EFC S ∆==；又设D 到平面EFC 的距离为h ，则由：E DCF D EFC V V --=，得263D EFC V -=； ∴632331=⨯⨯h 即632=h ； ∴D 到平面EFC 的距离为632．。

第2章平面解析几何初步（B）(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共70分)1．若直线l1：ax＋3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值为________．2．下列说法正确的是________(填序号)．①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示；③不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示；④经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x －x1)·(y2－y1)表示．3．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且MP＝MQ，则l的方程是____________．4．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标为__________．5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过第________象限．6．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为________．7．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是________．8．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为__________．9．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值为__________．10．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．11．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为____________．12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个公共点，则b的取值范围是__________．13．两圆x2＋y2＋4y＝0，x2＋y2＋2(a－1)x＋2y＋a2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a的值为________．14．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过点P的最短弦所在直线方程是________，过点P的最长弦所在直线方程是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2．若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使EC最小．16．(14分)如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．17．(14分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．18．(16分)已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．19．(16分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y －6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．20．(16分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM＝PO，求使得PM取得最小值的点P的坐标．第2章 平面解析几何初步(B) 答案1．－3 2．④3．x ＋2y －4＝0解析 由题意可知M 为线段PQ 的中点，Q(0,2)，P(4，0)，可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0．4．(－2,1)解析 将原直线化为点斜式方程为y －1＝m(x ＋2)，可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1)．5．三解析 将原直线方程化为斜截式为y ＝－A B x －C B，由AC<0且BC<0，可知AB>0，直线斜率为负，截距为正，故不过第三象限．6．2x －y ＋5＝0解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x －y ＋5＝0．7．2x ＋5y ＝0或x ＋y ＋3＝0解析 不能忽略直线过原点的情况．8．73或37解析 由题意知P(0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．9．30－10 5解析 配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．10．(－1，－2,3)11．x －y ＋2＝0解析 l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2，2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x－y＋2＝0．12．－1<b≤1或b＝－ 2解析如图，由数形结合知．－1<b≤1或b＝－2．13．－2解析两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．14．x＋y－3＝0x－y－3＝0解析点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．15．解如图所示，以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0,2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，∴EC＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z－1)2＝(z－1)2＋5．故当z＝1时，EC取得最小值为5．此时E(0,2,1)为线段BB ′的中点．16．解 设B(x 0，y 0)，则AB 中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22， 由条件可得：⎩⎨⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0－82＋2·y 0＋22－5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0x 0＋2y 0－14＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6y 0＝4，即B(6,4)，同理可求得C 点的坐标为(5,0)．故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0． 17．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A(3，5)，B(－1,3)，C(－3,1)， ∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 18．(1)证明 方法一 设圆心C(3,4)到动直线l 的距离为d ，则d ＝|(m ＋3)·3－(m ＋2)·4＋m|(m ＋3)2＋(m ＋2)2＝12⎝⎛⎭⎫m ＋522＋12≤2． ∴当m ＝－52时，d max ＝2<3(半径)．故动直线l 总与圆C 相交．方法二 直线l 变形为m(x －y ＋1)＋(3x －2y)＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A(2,3)．而AC ＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小． ∴最小值为232－(2)2＝27．19．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T(－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM ＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22， ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．20．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2， 即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6．∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a|2＝2， 即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1．∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵PO ＝PM ，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当PM 取最小值时，即OP 取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧ x ＝－310，y ＝35，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。