群论第三章

群论-第三章连续转动群 2011.12.7

8
O
(φ)
1 0 –1
Cz(φ)
9
反演：反演：
，由引理1，由引理， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。。正当操作：正当操作：非正当操作：非正当操作：；。
10
引理2 引理2 证明：证明：
的正交矩阵A对应一个定轴转动。的正交矩阵对应一个定轴转动。对应一个定轴转动
所以可作为SO(2)群不可约表示的基矢，群不可约表示的基矢，可作为群不可约表示的基矢的本征函数。同时也是和的本征函数。对某力学系统，先分析其对称性，对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转对称，则角动量守恒，对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项。
22
θ
17
群的不可约表示和特征标系：群的不可约表示和特征标系：群是Abel群，不可约表示都是维的。维的。群是群不可约表示都是1维的
两边对
求导：求导：
18
（
）
即而 ∴要求不可约表示：不可约表示：特征标：特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。群不同值对应不同不可约表示，无穷多个。前面但不能认为，这里，算符 ≠ 数。，
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。：是表征群元的一个连续参数。与，类似，类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。范围内的群元密度。范围内的群元密度
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。是群元算符，是一个算符，称为无穷小算符。无穷小算符是群元算符，其一阶导数仍然对应一个算符（其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷小量，起生成元作用）。小量，起生成元作用）。为有限值时，为有限值时，可写为 n为正整数为正整数当时，

p144-173讲稿北师大的群论

p144-173讲稿北师大的群论第一篇：p144-173 讲稿北师大的群论第三章完全转动群复习：正当转动矩阵为⎛cosϕ+λ2(1-cosϕ)λμ(1-cosϕ)-νsinϕ2R=μλ(1-cosϕ)+νsinϕcos ϕ+μ(1-cosϕ) ⎝νλ(1-cosϕ)-μsinϕνμ(1-cosϕ)+λsinϕλν(1-cosϕ)+μsin ϕ⎫⎪μν(1-cosϕ)-λsinϕ⎪⎪2cosϕ+ν(1-cosϕ)⎭可以验证满足detR=1，χ(R)=1+2cosϕ用欧拉角表示的正当转动矩阵⎛cosαR(α,β,γ)=sinα0⎝-sinαcosα00⎫⎛cosβ⎪0⎪0 -sinβ1⎪⎭⎝0sin β⎫⎛cosγ⎪10⎪sinγ00cosβ⎪⎭⎝-sinγcosγ00⎫⎪0⎪⎪1⎭⎛cosαcosβcosγ-sinαsinγ=sinαcosβcosγ+cosαsinγcosγsinβ⎝cos αcosβ⎫⎪-sinγsinαcosβ+cosαcosγsinαsinβ⎪⎪sinβsinγcosβ⎭-sinγcosαcosβ-sinαcosγ可以验证 detR(α,β,γ)=1 三维空间中全部的正当转动，构成三维空间中的正当转动群，或称为三维完全转动群。

记作SO(3).三维空间中全部的正当转动与非正当转动，构成一个群，称为三维空间中的正交群，或称为三维转动反演群。

记作O(3).§3.2 完全转动群SO(3)的不可约表示函数变换算符PR Pz,θ=e-iηˆθLz（3.2-5）（3.2-18）Pωˆ,θ=e-iηϖˆθω⋅L下面构造SO(3)群的2l+1维的表示：l一定的2l+1个球谐函数Ylm(θ,ϕ)，构成一个2l+1维的完备的表示空间Pωˆ,αYl(θ,ϕ)=mˆ,α)m'm∑Yl(θ,ϕ)D(ωm'm'l 表示的特征标：Pz,αYl(θ,ϕ)=Pl(cosθ)emmim(ϕ-α)=Yl(θ,ϕ)em-imα得到第m列的表示矩阵元D(z,α)m'm=el-imαδm'm（3.2-28）表示矩阵为⎛e-i(-l)α0 MlD(z,α)=0 M0 0⎝0e-i[-(l-1)]αΛΛO000M001O eΛ-i(l-1)α00⎫⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪M⎪0⎪⎪-ilα⎪e⎭则第l个表示中，转角为α类的特征标为lsin(l+e-imα122)αχ(α)=l∑=sinm=-lα特征标表（示意）α0601212010-11180Λl=01l=13l=25l=37M1Λ局限性：只有奇数维的不可约表示。

群论第三章A

设G{E, A, B, …}有两组表示：{D(1)(E), D(1)(A), D(1)(B), …} {D(2)(E), D(2)(A), D(2)(B), …}
则超矩阵（块状对角矩阵）
D(1) ( 0
E
)
D
0 (2) (E
)
,
D(1) ( 0
A)
D
0 (2) (
A)
,
D
(1) ( 0
B)
D
0 (2) (B)
3
2
0
1
0
0
3 2
,
D(C
)
0
1 2
3 2
,
1
0
3
1
2
2 2
1
0
0
1
0
0
D(D)
0
1 2
3 2
,
D(F
)
0
1 2
3 2
0
3
1
0
3
1
2 2
2 2
定义：群 GE, A, B, 表示 DGDE, DA, DB,
则
m
trDE DEii E
i 1
m
trDA D A ii A i 1
定义：可约化的表示称为可约表示，
不可约化的表示称为不可约表示。
3.1.4 伴随表示与复共轭表示
设GE, A, B, 有表示 DGDE, DA, DB, ，
若有D~1G D~1E, D~1A, D~1B ，则D~1G 仍是G的表示。
证明：
D~AB 1 DADB1 D~(B)D~A 1 D~1AD~1B
若 DG ~ G ，则D(G)——非真实表示

群论第三章‘作业’

（2）证明群元和无穷小算符之间的关系为 gˆ( ,a,b) expiapˆ x bpˆb exp iJˆ 。
10．
三维空间的 N
T j1 j2jN
阶张T量j1 j2 按jN转动R群(的)直j1 j1积 R表(示) j变2 j2换，R()
jN
j ,m,m
m1 ,m2
,m3
D j1 m1m1
(
,

,
)D j2 m2 m2
(
,

,

)D j3 m3 m3
(
,

,
)
j1 m1
j2 m2
j3 m3

j1 m1
j2 m2
j3 m3

13．设 2 j 1个向量{ jm | m j, j 1, , j.}在空间转动下满足

xy''

g(
, a, b)
x y

求群上的不变积分。
csoins
sin cos

x y

ab
5．作 SE(2) 群在函数空间的表示，
（1)证明低于 n 次的多项式全体构成群表示的不变子空间。
（2）幂次≤1 的多项式（x y ）构成 3 维线性空间，求群相应的三维线性表示。
trJ j JM J j JM 0 ；
M
tr(J
jJk )

J(J
1)(2J 3
1)
jk
；
tr(J
jJk Jl )

i
J(J
1)(2J 6
1)

第三章群论的应用(A)

O 原子的轨道 2s 2pz 2px 2py
H 原子的轨道 -1
(2) 2 (1sa +1sb )
—
-1
(2) 2 (1sa 1sb )
分子轨道 1a1,2a1,3a1
1b1 1b2, 2b2
分子的能级图概括于图3.1.2所示
图3.1.2 H2O 分子能级图概况
由图可见，有两个成键轨道(1a1和1b2)，两个实际上是非键轨道(2a1 和1b1)。这四个轨道均填满电子，其基态的电子组态为
+1sb
1sc
1sd
)
3.1.15
方程3.1.11+3.1.13=
1 2
(1sa
1sb
+1sc
1sd
)
3.1.16
方程3.1.11+3.1.14=
1 2
(1sa
1sb
1sc
+1sd
)
3.1.17
由方程3.1.11到3.1.14组合得到具有T2对称性的三者组合可以有许多途径，这里选择的一种是由方程3.1.15到3.1.17分别和C 原子的2pz，2px和2py轨道有效的叠加的函数，如图3.1.7所示。
=4(1sa +1sb +1sc ) (3)1/2 (1sa +1sb +1sc ) (归一化之后)
3.1.5
PE' (1sa )=2(1sa ) 1(1sb +1sc )+2(1sa ) 1(1sb +1sc )
=4(1sa ) 2(1sb +1sc )
(6)1/2[2(1sa ) 1sb 1sc ] (归一化之后)
对于具有oh对称性的八面体羰基配合物mco6则为由于羰基配合物的结构和co伸缩振动谱带的数目间有着直接的联系当用群论方法对每个可能的结构计算出羰基配合物中co伸缩谱带的数目并和它们的光谱进行比较通常可以直接推断在配合物中co基团的排列

群论第三章-线性代数

CCME
11
(5)方阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
12
CCME
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
15
CCME
2、矩阵加法的运算规律
1 A B B A
2 A B C A B C
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij a mn
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,, m; j 1,2,, n ,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
13
CCME
第二节矩阵的运算
1、矩阵的加法
设有两个 m n 矩阵 A=(aij), B=(bij)，那么矩阵 A 与B 的和为C=(cij )，记作 A + B ，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
cij=aij+bij
cos
0 sin z
0
1 0
–sin
0 cos
z'= sin x+ 0 y+cos z

群论基础-第3章特征标理论(2)

可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有

群论(1)第三章

2
3.3 SO(3)群的欧拉角表示
绕n轴转动w角也可通过下述步骤实现
1. 绕z轴转动alpha角 R(ez; ®)~r = ~r 0; 0 · ® < 2¼
2. 绕y’轴转动beta角 R(e0y; ¯)~r 0 = ~r 00; 0 · ¯ · ¼
3. 绕z’’轴转动gamma角 R(e0z0; °)~r 00 = ~r 000; 0 · ° < 2¼
y
¡ sin μ
0
cos μ
Á
x
三维转动群的基础表示
R(n^; w) = S(μ; Á)R(ez; w)S¡1(μ; Á)
0
=
B@
n2x(1 ¡ cos w) + cos w nxny(1 ¡ cos w) + nz sin w
nxny(1 ¡ cos w) ¡ nz sin w n2y(1 ¡ cos w) + cos w
¡i 2
(a2
¡
a¤2
+
b2
¡
b¤2)
1 2
(a2
+
a¤2
+
b2
+
b¤2)
i(a¤b ¡ ab¤)
nxnz(1 ¡ cos w) ¡ ny sin w nynz(1 ¡ cos w) + nx sin w
1 nxnz(1 ¡ cos w) + ny sin w nynz(1 ¡ cos w) ¡ nx sin w CA
n2z(1 ¡ cos w) + cos w
nx = sin μ cos Á; ny = sin μ sin Á; nz = cos μ
二维幺模幺正矩阵

群论第三章C

C
B
F
0
0
0
0
0
1
B
D E 1 0 0 0 0 0 C
C F
A B
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
00
D F
EA
F B
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
10
E A
F
B D
C A
0 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 B 0 C
C E 1 0 0 0 0 0 D F D 0 0 0 0 1 0 F
则
DR
S21DRS2
x11 0
0 x21
D
1 R
0
D
0
2R
x1 0
0 x2
D11
0
D12
D21
0
D22
证明：设完全约化后，分解为：
a1个不可约表示矩阵D(1)(R)，其特征标为 (1)(R)
a2个不可约表示矩阵D(2)(R) ，其特征标为 (2)(R)
……………
aC个不可约表示矩阵D(c)(R) ，其特征标为 (c)(R) c
D2(R)
0
D(
R)
D 3 ( R)
0
DS (R)
而且，若不计及D1R, D2R,的次序，则这种分解形
式是唯一的。
若
DR
S11D RS1
D 1 R
0
0
D 2 R
而
x11D1 R x1
D 11 R
0
0
D 12 R
x21D2 R x2

课程思政教学设计-《群论》

课程思政教学设计-《群论》1. 课程简介本课程旨在引导学生深入了解群论的基本概念、原理和应用，培养学生的逻辑思维和抽象推理能力，以及加强学生的团队合作和沟通能力。

2. 教学目标- 熟悉群论的基本概念和术语- 掌握群论的基本性质和操作方法- 能够运用群论解决实际问题- 培养学生的团队合作和沟通能力3. 教学大纲第一章：群论基础- 群的定义- 群的性质和基本运算- 子群和陪集第二章：群同构和同态- 同构和同态的概念和性质- 同构定理和同态定理第三章：正规子群和商群- 正规子群的定义和性质- 商群和商映射- 商群定理第四章：群的生成和循环群- 子群的生成- 循环群的定义和性质- 循环群的分类第五章：群的作用和置换群- 群的作用和轨道- 置换群的定义和性质- 置换群的分类第六章：有限群和群的分类- 有限群的性质和分类- 有限单群的定理- 素数阶群和有限循环群4. 教学方法本课程将采用以下教学方法：- 讲授理论知识，结合具体例子进行解释和演示- 引导学生进行小组讨论和合作实践- 布置作业和课堂练，检验学生的理论掌握情况- 设计案例分析和实际应用任务，培养学生的问题解决能力5. 教学评估- 平时成绩：包括出勤情况、课堂表现、小组合作等因素，占总评成绩的30%- 作业和课堂练：包括理论题和计算题，占总评成绩的40% - 期末考试：综合考核学生对群论理论和应用的掌握情况，占总评成绩的30%6. 参考书目- 高等数学（第七版），北京师范大学出版社- 群论导论（第三版），清华大学出版社- Abstract Algebra, David S. Dummit and Richard M. Foote, Wiley以上为《群论》的课程思政教学设计，旨在提供学生全面掌握群论基本知识和方法的机会，并培养学生的逻辑思维和团队合作能力。

希望学生通过本课程的学习，能够拓展思维视野，运用群论解决实际问题，并在日常生活中体现出对共同社会价值的思考和追求。

群论group theory_3

1 1 exp(2i / 3) exp(4i / 3) exp(4i / 3) exp(2i / 3)
1 1
( 3) C3
z C
( 3) 2
(1) C3
( 2) C3
( 4) C3
T群有1个3维表示:
S4 3
y
( 2) C2 (1) C2
x
(1) ( 2) ( 3) E C2 C2 C2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
表示可由第一类点群的表示与二阶循环群表示直积得到
7）与Dn同构的P型第二类点群。
2 3 n 1 n (1) ( 2) ( n) Dn {Cn , Cn , Cn ,...,Cn , Cn E , C2 , C2 ,...,C2 } 2 n 1 n (1) ( 2) (n) {Cn , Cn ,...,Cn , Cn E} {C2 , Cn ,...,C2 }

(1) C3 C3( 2) C3(3) C3( 4) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
4) 八面体群O群:
l 3, n1 2, n2 3, n3 4, n 24
3条极点G轨道: 第一条轨道上有(n/2)=12个点, 对应于6 个二阶轴, 共有(12/2)=6条;第二条轨道上有(n/3)=8个点, 对应于4个3阶转动轴的8个极点；第三条轨道上有 (n/4)=6个点, 对应于3个4阶转动轴的6个极点. 正八面体对称转动群, 称为八面体群.

群论-1 群论基础

群论-群论基础-子群及其陪集
例：D3只有三阶子群和二阶子群，即H1和H2
H1 = { e, a, b }
左陪集（两个）
右陪集（两个）
eH1 = aH1 = bH1 = { e，a，b }
H1 e = H1 a Βιβλιοθήκη H1 b = { e，a，b }
kH1 = lH1 = mH1 = { k，l，m }
同一个类的矩阵有相同的迹
第二十五页，共66页。
群论-群论基础-共轭元素类
群G 中任何一个类Ci 满足： ∀x ∈G，xCi x-1 = Ci 。
因为所有形如xgix-1 的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，
个数与Ci 中一样，所以xCi x-1 = Ci 。
逆类：若 Ci = { g1, g2, …, gm } 是群 G 的一个共轭类，集合 Ci' =
是 G 的子群。
第十八页，共66页。
群论-群论基础-子群及其陪集
2 陪集
设 H = { e, h2, …, hm } 是 G 的一个子群，对于某个元素g∈ G，集合
gH = {g, gh2, …, ghm } 称为 H 的一个左陪集。
陪集的代表元
若某个 q∈gH，则有 qH = gH
（因 q= ghi）
2) {1，-1 }：这个集合对普通乘法构成一个群。
e 为恒等操作，I 为反演操作；乘法：变换合成。
{e，I }：
3) {1，i，-1，-i }：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。{e,
a, b, c }：乘法定义为：a2 = b2 = c2 = e, ab = c, bc = a,
ca = b ，其中乘法可交换次序。

群论基础-第3章特征标理论(1)

D ( R ) = i D i ( R ) ai ( i = 1 ------ r ) ------ (3) *
(3) 例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6 前面给出过) 5
类群元
D4
4
D5
5
D6
6
┌1 0 0┐
┌1 0 0┐
┌1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣0 1 0∣ 3 ∣
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r h / nj (1) 取对角元, 即 = , = [ 思考题: 为什么? ]
则有
R D i * ( R ) D j ( R ) = ij h / nj
(2) 对求和
[ 思考题: 是何目的? ]
1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1
1 -1
D5 2 -2 0
0
0
________________________________________________________
D6 6 2 2
2
0
*
(五) 不可约表示特征标完全性定理
14
一, 关系式 [ 对照(4)’式 C hC i * (C) j (C) = ij h --- (4)’ ] i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn ------------------- (8)
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•1•2 + 3•(-1)•0 + 2•1•(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
C hC i * ( C ) j ( C ) = 1•2•2 + 3•0•0 + 2•(-1)•(-1) = 4 + 2 = 6 *

群论课件

12
2.舒尔引理二设D1,D2是群G在L1,L2空间的不可约表示，他们的维数分别为n1,n2,若它们同n1×n2阶的矩阵A满足下面关系 D1(R)A=AD2(R) R∈G 那么(1)若n1≠n2，A=0 (2)若n1=n2，A=0或者detA≠0且D1和D2是等价表示
13
第三节正交性定理（大正交定理）
X (R)

j
X ( R )a j
18
j
(4)不可约表示特征标的正交性定理定理：一个群G的两个不等价不可约表示 D(i) 和D(j)的特征标X(i)和X(j)满足关系式

R
X
(i)
(R) X
( j )*
( R ) g ij
其中，g是群阶，R是群G中的任一元， X(i),X(j)代表第i和第j个不可约表示的特征标。
*
D (R) U
'
1
D ( R )U
R G
6
(4)可约表示和不可约表示可约表示：取群G的两个表示矩阵D1(A)及D2(A) 来构造一个新的矩阵D(A)
D 1( A) D ( A) 0 2 D ( A) 0
这种形式的矩阵称为块状对角矩阵，D(A)称作可约表示否则，称为不可约表示注：D1(A)及D2(A)的维数不一定相等 D(A)是G的一个表示
设D(i)(R)和D(j)(R)是群G的两个ni，nj维的不等价不可约表示（R代表群G中的任一元）,则有

R
D ap ( R ) D q ( R ) g ij a
(i) ( j )*
pq
/ ni
其中，g是群G的阶，求和对一切群元进行。 ni是不可约表示D(i)(R)的维数

群论第三章B

x + D (1) R −1 = D (2 ) R −1 x +
( )
( )
x + D (1) (R ) = D (2 ) (R )x +
左乘x得：
xx + D (1) (R ) = xD (2 ) (R )x +
∵ D(1)(R)x = xD(2) (R) ，上式为： + D (1) (R ) = D (1) (R )xx + (∀R ∈ G ) xx 据Schur引理1，xx+必为常数矩阵：
∴ 得： D' (R )d = dD' (R )
设对角矩阵d有p个对角矩阵元相等，其他n-p个对角元互不相等，作
d11 相等 d 22 ⋱ d ' = xdx −1 = d pp d p +1 p +1 ⋱ 0 d nn 0
§3.3 关于有限群表示的基本定理
3.3.1 么正化定理
定义：定义：若一个群G的表示矩阵都是么正矩阵，则这个表示称为G 的么正表示。定理1：定理：群的任何一个表示都可以经过适当的相似变换，而变为与原表示等价的么正表示。证：对于给定的表示D(G)，要找出相似变换x，使得：
D (R ) = x −1 D(R )x
(
+1 −1
)
= H ，定理得证。
∴以后的所有表示均看成么正表示。
定理2：若群G{A1, A2, …Ak, … Ah}有两组等价的么正表示： D(1)(A1), D(1)(A2), … D(1)(Ak), … D(1)(Ah) D(2)(A1), D(2)(A2), … D(2)(Ak), … D(2)(Ah) 且有矩阵M (或CM，C为常数) 使得 MD(1)(Ak)M-1= D(2)(Ak)(∀Ak ∈G) 则D(1)(G)和D(2)(G)之间相似变换可以借助于一个么正矩阵来实现。（证明时用定理：与矩阵元各不相同的对角矩阵可对易的矩阵必为对角矩阵）

e2′
e3′ )
=
gCk
(α
)g −1(e1′
e2′
e3′ )
=
gCk
(α )(e1
e2
e3 )
( )[ ] [ ] ( ) = g e1 e2 e3 Cij = e1′ e′2 e3′ Cij 。 (2)
比较上述(1)(2)两式可见，Ck
(α
)
在
o
−
xyz
下的矩阵与
C k1
(α1
)
在
o
−
x′y′z′
1. o − xyz 为右手系，坐标向量为 e1 ， e2 ， e3 。
2. 点操作保持原点不动，镜面与转轴通过原点，原点即反演中心。
3. Ck (α )，σ k ， Sk (α )中的 k 为单位矢。
§ 2 旋转群 SO(3)
设 T 是一个保持原点不动的点操作，即 T e j = e ′j = t1 j e1 + t2 j e2 + t3 j e3 ( j = 1 ,2 ,3)，写成
所以 det M (T ) = ±1 。
定理 1 每一个点操作对应于一个行列式为 + 1 或 − 1的正交矩阵。
例如单位操作 E 、反演操作 I 分别对应于行列式为 + 1 和 − 1的正交矩阵：
M
(E
)
=

1 0
0 1
0 0 ，
0 0 1
M
(I
)
=

−1 0
0 −1
0 0 ，
0
0 1
更一般结论：
引理 2 每一个旋转对应于一个行列式为 + 1 的正交矩阵。

群论第3章

群的表示理论.
3.1 群的矩阵表示 1 定义设 G ( E, A, B, C , , ) 为 g 阶群，而
T (T ( E),T ( A),T ( B),T (C ), , )
为一组阶数相同的非奇异方阵，且满足：若 AB C 则 T ( A)T ( B) T (C ) 且方矩阵组与群同态，即对 G 的每一个元 A ，对应着方矩阵群的一个矩阵 T ( A), 则称矩阵组 T 是群 G 的一个矩阵表示。
(3) 镜面反映 ( 镜面通过 e3 轴, 且与 e1, e3 平面成角 ) 基矢的变换: e1’ = e1 = cos2 e1 + sin2 e2 + 0 e3 e2’ = e2 = sin2 e1 - cos2 e2 + 0 e3 e3 ’ = e1 = 0 e1 + 0 e 2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos2 sin2 0 ┐ ┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣=D’( )∣e2 ∣=∣ sin2 -cos2 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1┘ └ e3 ┘ 因此有 ┌ cos2 sin2 0 ┐ D ( ) = D’ ( ) = ∣ sin2 -cos2 0∣ └ 0 0 1┘
例：H2O分子对称操作群的表示矩阵.
(1) 基矢的选取 (基矢不同, 表矢矩阵也不同)
v’ C2 v
(2) 群元: E , C2 , v , v
(3) 表示矩阵
1 0 0 D( E ) D( E ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( C 2 ) D ( C 2 ) 0 1 0 0 0 1

群论-3群的表示理论

n阶方阵实际上是n维线性空间上的一个线性变换；给定表示空间的一组基矢，线性变换可以用矩阵形式描述
——线性表示和矩阵表示只是说法不同
群论-群的表示理论-群的线性表示基本性质
1) D(e) = E ，E是l×l的单位矩阵；
2) D(a -1) = [D(a)] -1
3) 一个群的表示必然自动地就是其子群的一个表示。
i
利用基矢的正交归一条件(ei,ej) = δij（也可写为<ei|ej> = δij），可得：
Aij = <ei|Â|ej> ≡ (ei, Âej)，i,j = 1, 2, …,n
n×n阶的矩阵A ——算符Â在基{e1, e2, …,en}中的矩阵表示。
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
x1
x
=
x2
x3
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
线性算符
线性空间Vn上任意一个矢量x → Vn′上有唯一的矢量 y
对应规则 Â称为Vn到Vn'的一个算符： y = Âx
如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符Â-1： x = Â-1y
如果空间Vn'就是空间Vn时，Â称为空间Vn上的一个算符。
物理学中的群论
——群的表示理论
主讲翦知渐
群论-群的表示理论
第三章群的表示理论
抽象群 → 线性变换
§3.1 线性算符及其矩阵表示 §3.2 群的线性表示 §3.3 舒尔引理和正交性定理 §3.4 表示的构造 §3.5 群表示的特征标 §3.6 投影算符 §3.7 正则表示 §3.8 特征标表的计算 §3.9 直积表示
群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示
基矢变换

群论第三章

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群论-第三章连续转动群 2011.12.7

p144-173讲稿北师大的群论

群论第三章A

群论第三章‘作业’

第三章群论的应用(A)

群论第三章-线性代数

群论基础-第3章特征标理论(2)

群论(1)第三章

群论第三章C

课程思政教学设计-《群论》

群论group theory_3

群论-1 群论基础

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群论第三章B

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