第五章约束优化方法

附件4：管理会计应用指引第504号——约束资源优化第一章总则第一条约束资源优化，是指企业通过识别制约其实现生产经营目标的瓶颈资源，并对相关资源进行改善和调整，以优化企业资源配置、提高企业资源使用效率的方法。

约束资源，是指企业拥有的实际资源能力小于需要的资源能力的资源，即制约企业实现生产经营目标的瓶颈资源，如流动资金、原材料、劳动力、生产设备、技术等要素及要素投入的时间安排等。

第二条约束资源优化一般适用于企业的投融资管理和营运管理等领域。

第二章应用环境第三条企业应用约束资源优化工具方法，约束资源的缺口一般应相对稳定。

第四条企业应用约束资源优化工具方法，相关数据一般应完整并可获取，必要时提供信息技术的支持。

第三章应用程序第五条企业应用约束资源优化工具方法，一般按照识别约束资源、寻找突破方法、协同非约束资源、评价实施效果等程序进行。

第六条企业应用约束资源优化工具方法，应识别出管理过程中制约既定目标实现的约束资源，并对约束资源进行定量分析。

在约束资源难以进行定量分析时，可以通过内部评审法、专家评价法等，识别出管理过程中的约束资源。

内部评审法，是指企业通过内部组织开展评议、审查识别约束资源的方法。

企业通常应组建满足约束资源识别所需的，由财务部门、生产部门和其他相关部门人员组成的内部评审小组或类似评审组织，通过集中研讨等方式，识别出管理过程中的约束资源。

专家评价法，是指利用专家的经验、知识等识别约束资源的方法。

对于企业既定目标的实现形成重大制约影响的约束资源，企业通常采用此方法进行综合评判。

第七条在识别约束资源的基础上，企业应比较约束资源的资源能力差距，搜集约束资源的相关数据等信息，系统分析约束资源形成的原因和涉及的实施责任主体，制定约束资源优化的实施方案，建立实现约束资源优化的长效机制，促进约束资源的资源能力提升。

（一）当约束资源是流动资金时，通常采取企业资金内部调剂、缩短应收账款回收周期、加快存货周转、延长付款周期等方法消除流动资金缺口，也可以通过外部融资扩大企业的资金来源，如债务融资、权益融资等。

第5章 Newton 型方法(Newton-type Method)§5.1 Newton 法对于正定二次函数 1212()(,)TT f X f x x X AX b X c ==++（A 正定矩阵）要具有二次终结性，即在处沿0X )(00X f p −∇=到))((0001X f X X −∇+=λ，再沿某方向直达最优点1p 111*p X X λ+=，则方向具有性质：在处沿方向进行精确一维搜索有，说明与正交，可令1p 1X 1p 010=Ap p T0p 1Ap 1()1f X Ap −∇=，得，或。

111()p A f X −=−∇2111[()](p f X f −=−∇∇1)X 事实上，方向可以理解为从出发沿经一次精确一维搜索便得最优点。

1p 1X 1p 6656556对于一般函数()f X ，记，，有2(),()g f X G f X =∇=∇2(),(k k k g f X G f X =∇=∇)k )()()(21)()()(2k k k k k Tk k X X o X X G X X X X g X f X f −+−−+−+=)()(21)()()(k k T k k Tk k X X G X X X X g X f X −−+−+=ψ)()(X X f ψ≈一、Newton 法定理5-1-1：正定⇒k G )(X ψ有唯一极小值点证明：正定k G ⇒)(X ψ严格凸)(X ψ⇒有唯一极小值点定理5-1-2：正定⇒k G )(X ψ的极小值点11k k k k X X G g −+=−X 极小值点k k k k k k g G X X g X X G X 10)(0)(−−=⇒=+−⇒=∇⇒ψ 注：对于正定二次型，用方向一次到达最优点。

1()()kk k 1k k G g −=−p G X f X −=−∇定义：牛顿方向(Newton direction)1k k k p G g −Δ−注：①一般情况下不一定正定，甚至也不一定可逆；②不正定时不一定下降方向；③步长k G k G k G k p 1≠k λ，可以是不断变化的；④只在的附近有效。

凸优化问题的约束处理算法研究第一章引言1.1 背景凸优化问题是数学优化领域的重要研究方向之一。

在现实生活中，很多问题都可以归结为凸优化问题，因此研究凸优化问题的算法具有重要的实际意义。

然而，很多问题在实际应用中都会存在一些约束条件，这就需要研究如何处理凸优化问题的约束，从而更好地解决实际问题。

1.2 研究目的本文旨在对凸优化问题的约束处理算法进行深入研究，分析不同算法的优缺点，探讨其适用范围和改进方法，为实际问题的求解提供指导。

第二章基本概念和定义2.1 凸优化问题的定义凸优化问题是指目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。

凸函数具有良好的性质，可以通过求解凸优化问题来获得全局最优解。

2.2 凸集和凸函数的定义凸集和凸函数是凸优化问题理论的基础。

凸集是指对于任意两个点在集合内的线段也在集合内。

凸函数是指函数的定义域是凸集，并且对于任意两个点在定义域内的线段，函数值不大于线段的端点的函数值之和。

第三章线性规划问题的约束处理算法3.1 单纯形算法单纯形算法是解决线性规划问题的经典算法之一。

它通过不断移动顶点来搜索最优解。

然而，单纯形算法对于大规模问题计算复杂度较高，且可能出现循环和退化等问题。

3.2 内点算法内点算法是另一种解决线性规划问题的有效算法。

它通过在可行域内搜索的方式逼近最优解。

内点算法相对于单纯形算法具有更好的数值稳定性和收敛性能，在处理约束条件时也更加灵活。

第四章非线性规划问题的约束处理算法4.1 无约束问题的优化算法在处理非线性规划问题之前，首先需要解决无约束问题。

常用的无约束问题的优化算法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。

这些算法可以找到函数的局部最优解，但对于全局最优解的搜索能力有限。

4.2 有约束问题的优化算法对于非线性规划问题，有约束问题的优化算法可以分为等式约束问题和不等式约束问题两类。

针对等式约束问题，可以使用拉格朗日乘子法或者内点法进行求解。

而对于不等式约束问题，可以使用罚函数法或者投影法来处理。

`第五章综合的约束与优化综合的一个很重要的概念就是：单纯的映射是远远不够的，更重要的是设计的整体优化。

一方面设计工程师为综合规定必要的约束，例如对面积、速度、功耗的要求等，从而使优化有所依据；另一方面选择合适的综合器是优化程度的决定性因素。

同一个设计使用不同的综合器所得到的优化结果可以相差3～5倍。

第一节综合约束5-1-1 概述综合约束是对可测量的电路特性所定义的设计目标，比如面积、速度和电容等。

如果没有这些约束，Design Compiler工具将不能有效地对你的设计进行最优化。

在对设计进行优化时，Design Compiler支持两种类型的约束：●设计规则约束（Design rule constraints）●最优化约束（Optimization constraints）设计规则约束是固有的，在工艺库里定义；这些约束条件是为了保证设计的功能正确性，适用于使用工艺库的每一个设计；可以使这些约束比最优化约束更为严格。

最优化约束是外在的，由设计者自己定义；最优化约束描述设计指标，在整个dc_shell 工作期间应用于当前设计；它们必须接近于现实情况。

D esign Compiler试图同时满足设计规则约束和最优化约束，但设计规则约束必须首先被满足。

设计者可以以命令行形式交互式的指定约束或者在一个约束文件里指令约束。

图5.1显示了主要的设计规则约束和最优化约束，以及如何用dc_shell界面命令来设置这些约束。

图5.1 Major Design Compiler Constraints第二节设置设计规则约束这一节将讨论最常用的设计规则约束：•转换时间（Transition time）•扇出负载（Fanout load）•电容（Capacitance）Design Compiler给设计对象赋予属性来表示这些设计规则约束。

表5.1列出了每一个设计规则约束对应的属性名。

表5.1 设计规则属性Design Rule Constraint Attribute NameTransition time max_transitionFanout load max_fanoutCapacitance max_capacitancemin_capacitanceCell degradation cell_degradationConnection class connection_class 设计规则约束是工艺库里指定属性，你也可以明确地、随意地指定这些约束。

第五章线性规划方法线性规划方法是一种数学优化方法，用于解决含有线性约束条件的最优化问题。

它在经济学、管理学、运输学等领域有着广泛的应用。

线性规划问题可以表示为以下形式：\begin{align*}\min \quad & c^Tx \\\text{s.t.} \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}\]线性规划方法的基本思想是找到一个目标函数的最小值，并且满足一组线性不等式约束条件。

解线性规划问题的方法主要有两种：单纯形法和内点法。

单纯形法是线性规划方法中最常用的方法之一、它从一个可行解出发，不断通过改变基变量来寻找目标函数最小值。

单纯形法的基本过程是：选择一个入基变量和一个出基变量，然后通过高斯消元法来更新基变量矩阵，直到找到最优解或确定问题无解。

内点法是一种近年来发展起来的线性规划方法，它相对于单纯形法具有更高的运算效率和更好的数值稳定性。

内点法的基本思想是通过使用一个从初始点开始的迭代序列，逐渐向可行域的内部趋近，最终找到问题的最优解。

内点法的迭代序列是通过在每一步都满足约束条件的一个内部点进行构造的。

线性规划方法还可以用于解决线性规划问题的变种，如混合整数线性规划和多目标线性规划。

混合整数线性规划是指约束条件中既包含线性不等式约束，又包含整数约束的情况。

多目标线性规划是指目标函数有多个要优化的目标的情况。

线性规划方法在实际应用中有广泛的用途。

在经济学中，线性规划方法可以用于制定最优的生产计划、资源配置、供应链管理等。

在管理学中，线性规划方法可以用于项目管理、人力资源管理、营销策略等。

在运输学中，线性规划方法可以用于交通计划、航线规划、货运调度等。

总之，线性规划方法是一种广泛应用于各个领域的优化方法。

它通过寻找目标函数的最小值，在满足一组线性约束条件的前提下，找到问题的最优解。

线性规划方法有着多种解法，其中包括单纯形法和内点法，可以用于解决各类线性规划问题，满足实际应用需求。

约束优化问题建模与算法设计研究第一章简介约束优化问题是指在满足特定约束条件下，寻找一个最优解的问题。

约束优化问题在工业、商业和科学研究领域得到了广泛的应用，例如物流优化、网络计划、资源分配和生产计划等。

本文将探讨约束优化问题的建模和算法设计研究。

第二章约束优化问题的建模在解决约束优化问题之前，需要对问题进行合理的数学建模。

建模的核心是确定目标函数和约束条件，这两个方面的设计需要特别的关注。

2.1 目标函数的设计目标函数是紧密联系着问题类型和求解策略的，为了让目标函数更符合实际问题的需求，我们需要将其设计成不同形式的数学模型，包括线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型等。

2.2 约束条件的设计约束条件可以见诸于问题具体描述中的限制条件，可以是相等约束、不等约束、非负约束等，约束条件的设置需要考虑问题的实际情况和求解策略的选择。

第三章约束优化问题的算法设计本章将介绍约束优化问题的求解方法，包括穷举法、启发式算法、随机优化算法等。

3.1 穷举法穷举法是求解约束优化问题的一种暴力算法，在可行解空间中进行遍历，寻找最优解。

但在一些大型问题中，可行解空间过于庞大，使得穷举法的效率非常低下。

3.2 启发式算法启发式算法能够在保证可行性的情况下，有效地搜索最优或次优解，例如Hill Climbing算法、模拟退火算法、遗传算法等。

3.3 随机优化算法随机优化算法在搜索过程中引入随机性，能够在解空间中更快地定位到全局最优解，例如基于梯度的优化算法、粒子群算法等。

第四章实例分析本章将以一道实例来演示在实际应用中如何使用约束优化问题的建模和算法设计，以帮助读者更好地理解约束优化问题的解法。

4.1 问题描述某公司需要建造一所新工厂，有若干个可选工厂地点和一些相关的约束条件。

为了使得新工厂的建造成本最小，需要确定最优工厂地点。

4.2 建模与算法设计本例采用整数规划模型，设计的目标函数为建造成本，约束条件为可选地点数量、距离范围等等。

第五章线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

在这一章中，我们将深入探讨线性规划的定义、基本概念、解法和应用。

一、线性规划的定义和基本概念线性规划是指在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量的值。

线性规划的基本要素包括决策变量、目标函数、约束条件和可行域。

1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1, x2, ..., xn表示。

2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常用Z表示，可以是最大化利润、最小化成本等。

3. 约束条件：线性规划中的约束条件是一组线性等式或不等式，用来限制决策变量的取值范围。

4. 可行域：满足所有约束条件的决策变量值构成的区域，称为可行域。

二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和内点法等。

下面分别介绍这些解法。

1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到目标函数在可行域上的最优解。

2. 单纯形法：适用于多维的线性规划问题。

通过构造初始可行解，不断迭代寻找可行域内的最优解。

3. 内点法：适用于大规模线性规划问题。

通过迭代逼近可行域内的最优解，避免了对整个可行域的遍历。

三、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。

下面以生产计划为例，介绍线性规划的应用过程。

假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为15元。

公司有两个生产车间，分别能生产产品A和产品B的数量分别为x1和x2。

每个车间的生产时间有限，车间1每天能生产产品A的数量不超过20个，车间2每天能生产产品B的数量不超过30个。

另外，公司还有一个销售部门，每天能销售的产品数量不超过25个。

根据以上信息，我们可以建立如下线性规划模型：目标函数：Z = 10x1 + 15x2（最大化利润）约束条件：1. x1 ≤ 20（车间1的生产能力）2. x2 ≤ 30（车间2的生产能力）3. x1 + x2 ≤ 25（销售部门的销售能力）可行域：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0通过求解以上线性规划模型，我们可以得到最优解，即使得利润最大化的生产计划。

第五章拉格朗日松弛算法拉格朗日松弛算法（Lagrangian relaxation algorithm）是一种数学优化算法，用于求解在约束条件下的最优解。

它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束的问题，进而通过求解该无约束问题的下界或上界，得到原问题的近似最优解。

拉格朗日松弛算法的基本步骤如下：1.构建原问题的拉格朗日函数。

拉格朗日函数通常由原问题的目标函数和约束条件构成，其中引入拉格朗日乘子对应于约束条件。

将原问题的约束条件转化为一个惩罚项，该惩罚项与拉格朗日乘子的乘积表示。

2.对拉格朗日函数进行极小化。

极小化拉格朗日函数相当于求解一个无约束的优化问题。

可以应用原问题的优化技术，如梯度下降法或牛顿法等，来求解该无约束问题。

3.更新拉格朗日乘子。

根据当前的极小化解，更新拉格朗日乘子以接近于原问题的约束条件。

这通常通过计算其中一种形式的梯度或子梯度来进行。

4.判断收敛条件。

判断当前解是否满足约束条件和目标函数的收敛。

如果满足，则算法终止；否则，返回第2步。

拉格朗日松弛算法的优点在于它能够通过引入拉格朗日乘子来简化原始问题，并将复杂的约束条件转化为一个无约束问题进行求解。

由于不再需要考虑原问题的约束条件，使得求解过程更加高效。

然而，拉格朗日松弛算法也有一些限制。

首先，它只能提供原问题的非严格最优解。

其次，算法的求解效果取决于拉格朗日乘子的选择和更新过程。

如果乘子选择不合适或更新不及时，可能会导致算法收敛缓慢或跳过最优解。

总之，拉格朗日松弛算法是一种常用的优化算法，它通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束的问题进行求解。

尽管存在一些限制，但该算法仍然被广泛应用于各种问题的求解中，如线性规划、组合优化等。

第五章 拟牛顿法§5.1 拟牛顿法牛顿法具有收敛速度快的优点，但需要计算Hesse 矩阵的逆，计算量大。

本章介绍的拟牛顿法将用较简单的方式得到Hesse 矩阵或其逆的近似，一方面计算量不大，另一方面具有较快的收敛速度，这类算法是无约束最优化问题最重要的求解方法。

一、拟牛顿条件设()f x 在nR 上二次可微，为了获得Hesse 矩阵2()()G x f x =∇在1k x +处的近似，先研究如下问题。

考虑()f x 在1k x +附近的二次近似：1111111)()()()2()(TT k k k k k k g x x G x f x f x x x x +++++++-+--≈. 两边求导，有 111()()k k k g x g G x x +++≈+- 令k x x =，有 111()k k k k k g g G x x +++≈+- 再令 1k k k s x x +≈-，1k k k y g g +≈-则有 1k k k y G s +≈ 或 11kkk G y s -+≈.因此，我们要求构造出的Hesse 矩阵的近似1k B +或Hesse 矩阵逆的近似1k H +应分别满足：1k k k B s y += 或 1k kk H y s += （5.1）它们均称之为拟牛顿条件。

二、一般拟牛顿算法1） 给出初始点0x R ∈，0H I =，0ε>，:0k =.2） 若k g ε≤，停止；否则，计算k k k d H g =-（拟牛顿方向）.3） 沿方向k d 进行线性搜索，0k α>（可以是精确，也可非精确）.令1k k k k x x d α+=+. 4） 校正k H 产生1k H +，使拟牛顿条件满足. 5） :1k k =+， 转2）拟牛顿法较之牛顿法有下述优点： 1） 仅需梯度（牛顿法需Hesse 矩阵）；2） k H 保持正定，因而方向具有下降性质（而牛顿法中k G 可能不定）； 3） 每次迭代需2()O n 次运算，而牛顿法需3()O n 次运算。