初等模型补充

第七章初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。

本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题，介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。

需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。

也就是说，一个问题可用初等数学构造和求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么前者是好的。

§7.1 椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

请用数学模型证明为什么能放稳。

二、问题分析此问题与数学有关吗？由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。

同样地，如果地面某处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。

所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。

通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的“面”，椅子在地面上放稳是四脚同时着地，而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。

移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。

其中旋转要设1个变量；平移要2个；平移加旋转要3个。

为了简单起见采用旋转法。

如何旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。

三、假设1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

四、建立模型以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系（见图7.1.1），使得四脚A 、B 、C 、D 共圆的圆心与坐标原点重合。

用θ表示旋转，则四脚与地面的距离随θ的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于θ的一元函数，分别用)(θA h 、)(θB h 、)(θC h 、)(θD h 表示旋转θ后脚A 、脚B 、脚C 、脚D 与地面的距离。

记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
5.1 公平席位分配
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
• 空右轮盘半径记作 r ；
• 时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
5.2 录像机计数器的用途
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法
1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
5.3 双层玻璃窗的功效
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
5.1 公平席位分配
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A

第一节初等模型解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。

下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。

一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？模型假设：（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。

（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动。

建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。

假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示，将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。

引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。

图8.1.1人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。

设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角，如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。

则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。

因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。

不失一般性，设于是椅子问题抽象成如下数学问题：假设：，是的连续函数，且对任意，。

求证：存在，使得。

证明：令，则将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。

而在上连续，由介值定理，必存在使得。

即。

又因对任意，从而。

即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。

椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）；由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。

最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
Bn Fn
0.1Fn 0.1Bn
B1 27, F1 33
但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。
当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。
Fra 18.0 16.7 15.4 14.2 … 4.7 3.8 2.8 1.9
战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）
n
1
2
3
4 … 14 15 16 17
Bri 19.0 18.3 17.6 17.0 … 13.2 13.0 12.8 12.7
Fra 14.0 13.1 12.1 11.3 … 3.8 3.1 2.4 1.8
乙地 7000 4900 4270 4081 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656
经过模拟（表2－表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。｛Jn｝的极限是3000， ｛Yn｝的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！

求实
黄
创新
团结
奉献
x (t 0 )
I
L
问题解答： 问题解答：
求实
创新
团结
奉献
黄灯状态应持续的时间包括驾驶员的反应时间，车通过交叉路口的时间以及通 过刹车距离所需要的时间
假设法定速度为 v0 ，交叉路口的宽度为 I ，典型的车身长度为 L 。考虑到车通过路口实际是指车 的尾部必须通过路口，因此，通过路口的时间为 I + L 。
于是
A=
求实
创新
团结
奉献
假设 T = 1 s, L = 4.5 m, I = 9 m. 另外 我 们选 取代 表性的 µ = 0.2. 当 v0 = 45km / h, 65km / h, 80km / h 时，黄灯时间如下表所示，同时表中也给出了经验法的值。
v0 (km / h)
45 65 80
求实
创新
团结
奉献
车速 (英里/小时) 20 30 40 50
刹车时间 （秒） 1.6 2.5 3.3 4.1 4.9 5.7 6.5
200
150
100
60
50
70 80
30 40 50 60 70 80 90 100 11பைடு நூலகம் 120
0 20
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 秒准则” 秒准则 则” 0~10 10~30 40~60 车速（英里/小时）
那么,黄灯状态应多长时间才最为合适呢？
求实
创新
团结
奉献
分析： 分析 对于驶进交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号 灯后要做出决定：是停车还是通过路口。如果他以法 定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他 必须有足够的停车距离。当决定通过路口时，必须有 足够的时间使他能完全通过路口。这包括做出停车决 定的反应时间以及通过停车所需要的最短距离的驾驶 时间。能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离 将车停下。

第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。

需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。

进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。

§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。

那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。

当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。

首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。

即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。

当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。

这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。

但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。

例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。

若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。

1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3

342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
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21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
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28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
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14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
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29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1

k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb

‘第一章初等数学模型很多问题只要用到初等数学知识就能完成建模过程，而没有必要用高等数学的方法。

其实，只要能达到建模的目的和要求，所用的数学理论越简单越好，因为要用于解决实际问题，是要给大家看的，当然越简单越好。

只有迫不得以非用高深数学知识不可，才选择高深的数学知识。

下面举几个只要用初等数学就能解决的问题，我们把它称为初等数学模型。

第一节利息的计算与银行的按揭模型一. 资金的时间价值如果你拥有一笔资金，你绝对不会把它长期的放在抽屉里，而是存入银行或进行其他投资，例如买股票、债券或其他的投资。

这是因为资金具有时间价值。

资金的时间价值是指资金随时间推移而发生的增价。

在投资决策中，考察资金的时间价值，正是考察使用该资金进行投资所须放弃的利益，即机会成本。

机会成本是所放弃的诸方案中盈利最大方案的利润值。

例如某资金若投资于某工程，就放弃了将其存入银行或贷给他人的机今。

假设有资金100万元，银行的年利率为10％，贷给他人的年利率为12％，则从机会成本的角度计算，这笔资金的时间价值应为12％（或者说12万元）。

一笔资金如果不用于投资则不会有资金增值，如果资金不存入银行，不购买股票，也不进行其他投资，而是把资金锁在自已的抽屉里，随着时间的推移，不仅不会增值，或许还会贬值。

资金拥有者应当把资金投入到创造增值的活动中去，并有权获得资金时间价值带来的回报。

资金的价值随时间的变化而变化，其原因有如下几种：（1）通货膨胀：在通货膨胀情况下，用商品和劳务购买力所表示的货币价值不断下降。

（2）风险：现在手头的100元是确定的，而明天是否仍是100元是不确定的，这种不确定性就是风险。

风险对于投资者而言，是非常重要的。

（3）个人消费偏好：不同的人有不同的消费习惯（或不同的消费偏好），许多人偏好眼前的消费，而不是将来的消费。

（4）投资的机会：货币（或资金）正如其他商品一样，也具有价值，如现在得到的一万元现金与一年后得到的一万元相比，人们都会选择前者，因为现在的一万元存在投资的机会，如存入银行，假若年利率为6％，则一年后将得到10600元。

第三章初等模型大量的实际问题可以用初等模型的方法去解决，全国大学生数学建模竞赛（乙组）的不少赛题也可用初等模型求解，例如,1999年的“煤矸石堆放”、“钻井布局”，2000年的“空洞探测”，2001年的“基金使用计划”，2007年的“手机套餐”，2008年的“NBA赛程编排”，2009年的“卫星地面监测”等等。

例3.1 有两个乡镇要在河边合建一个自来水厂请设计水厂的位置及铺设水管的方法，使水管总长度最短（单位：千米）。

（本例题可以看成2010年“油管铺设”模型的雏形）。

一. 模型准备（建模的问题来自科学的各个领域，从各行各业中抽象出来。

建模竞赛题摆在我们面前，绝大多数题目的背景我们并不清楚。

三名队员要通过查阅资料，认真学习，进一步讨论分析，才能逐步把问题搞清楚。

磨刀不误砍柴功。

熟悉背景是建模的最重要的环节之一，准备越充分，建模越准确快捷。

）在纸上画出乡镇及河流示意图，发觉水管的铺设布局有”V”型与”Y”两种。

第一种可以用常用的轴反射来解决；第二种则是在一个三角形中如何去找费尔马点的问题。

二．模型假设（现实问题是复杂鲜活的，如何去粗取精、去伪成真，抓住事物的最本质的特征，去解决问题，把问题分析清楚后，合理的假设非常重要。

因此，要对问题作适当的简化。

既要贴近实际问题又要贴近数学方法。

模型假设是极具挑战性的。

）2.1、乡镇A到河边的距离小于等于乡镇B到河边的距离.2.2、水厂C建在河上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、乡镇B、水厂C、管道节点P均在第一象限，乡镇A点在y轴正半轴上,河道在x轴上.2.5、河道在A、B两厂附近为直线.2.6、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，它们之间的所有管道均是直线。

2.7、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，以及点'B共面。

此图中，坐标，A y =4,C(2,0),B(5,6).（单位:千米）若用“V ”型法,作B 点关于轴的对称点B ’(5,-6),则直线AB ’的方程10x+5y-20=0,水厂设在C(2,0)点上。

r
p p p r n = (n1 , n 2 , L , n s ) ，当且仅当 1 = 2 = L = s 时，分配是公平的。因此当存在不公平 n1 n2 ns
现象时，我们可以使用比值之间的差来衡量不公平程度。 模型建立： （局部不公平度与 Huntington 方法） 1．不公平程度的量化 设 A, B 两集体人数分别为 p1 , p 2 ；分别拥有 n1 和 n 2 个席位，则两方每个席位所代表的
dy < 0。 dx
性质 2：无差异曲线是凹的，
d2y > 0。 dx 2
性质 3：无差异曲线彼此不相交。 性质 4：越往右上方，消费者获得的效用越大。 问题求解： 设二元函数 U 1 ， U 2 分别表示两人的效用函数。设交换前甲拥有商品 X 的量为 x 0 ，甲
5
将其中的 x 交给乙；乙拥有商品 Y 的量为 y 0 ，乙将其中的 y 交给甲。交换后甲拥有的商品 组合为 ( x0 − x, y ) ，效用为 U 1 ( x 0 − x, y ) ；同理乙获得的效用为 U 2 ( x, y 0 − y ) 。
2 p2 p12 < ，则增加的 1 席给 A ， n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
2 p2 p12 > 若 rA (n1 , n2 + 1) < rB (n1 + 1, n2 ) ，即 ，则增加的 1 席给 B 。 n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
记 Qi =
pi ，则增加的 1 席应给 Q 值大的一方。 ni (ni + 1)
将 上 述 方 法 推 广 到 m 个 集 体 分 配 席 位 的 情 况 。 设 Ai 方 人 数 为 p i 已 占 有 ni 席

市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)

优化模型二 货机装运问题
某架货机有三个货舱：前 舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的最大重量和体积 都有限制。为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载 货物的重量与其最大容许重 量成比例。现有四类货物供 该货机本次飞行装运，其有 关信息如右表。应如何安排 装运，使该货机本次飞行获 利最大？ 前舱 中舱 后舱
优化模型四 选课问题
某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少要学 习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机。这 些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程 由下表给出，那么毕业时学生最少可以学习这些课 程中的哪些课程。 如果某个学生既希望选修的课程数量少，又希望 所获的学分多，他可以选修哪些课程。
求量300千吨，此时水库供水量不能全部卖出，因 而不能将获利最多问题转化成引水管理费用为最少 的问题。 为此，我们首先计算A、B、C三个水库向各居 民区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减 去其它管理费用450元，再减去引水管理费用，得
净利润元/千吨 A B C 甲 290 310 260 乙 320 320 250 丙 230 260 220 丁 280 300 ---
利用数学建模方法来处理一个优化问题 第一步：需要确定优化的目标； 第二步：确定需要做出的决策； 第三步：写出决策需要受哪些条件的限制。 在建模的过程中，需要对实际问题作若干合理的 简化假设。 然后用相应的数学方法去求解。 最后对结果作一些定性、定量的分析和必要的检 验
优化模型一
生产安排问题
某工厂有三种原料 B1，B2，B3，其储量 分别170kg,100kg和 原料 150kg；现用来生产A1， 产品 A2两种产品；每单位 A1 产品的原料消耗量及各 产品的单位利润由右表 A2 给出，问工厂在现有资 资源限额 源的条件下，应如何安 排生产，可使工厂获利 最多？

假设(1)、(2)是解剖学(((123)))中LAB的=-=k根来Bk越k统o12据比Al=大b计ak的,,较3成b规al大<3<选绩律21小手越，成好在L绩。假的因设L优而(（B劣建3。议）3中5)O13’
Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
最小二乘法 插值方法
最小二乘法
设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很
象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而
利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的
如则关y果可系建作式模变，者量故y判替=断ya换ix-(变+使abx量i之+间b转)=的化0关一为i系n般线1 并不[性y此非成关i 式线立系对性，(或aa关但用和xi系我类b的而们似b偏是希方)导]其望2数法他均拟类最合型为小。的0，函数，
h 1 gt 2 2
来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5 米。
我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。
除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻
力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下
落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可
得：
F m dv mg Kv
块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出 崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21 秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。
§2.4 经验模型
当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。

~状态转移律
dk D, S k S 按照以上规 使状态 问题: 求决策 ,0 ) 律由初始状态 S1 ( 3,3)经过有限步到达状态 S n 1 ( 0 ．
当然n 越小越好．
(3,2) (0,1) (3,1) (0,2) • 穷举法 S1 (3,3) d1 (1,0) S 2 ( 2,3) ( 2,2) (1,1) (1,3) ( 2,0) (3,3)循环 (0,1) (0,2) (3,4) S2 (3,2) d 2 (1,0) S 3 ( 4,2) ( 4,3) (1,1) ( 2,0) (5,2)
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
2 2 3
4
结论 动物的体重与躯干长度的4次方成正 比．当然，比例系数与动物的种类有关．
评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法．在 这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大 胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细 检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度 与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转 化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲 问题的作法，是值得借鉴的． (2)使用该模型时，要注意其条件．在建立此 模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体 的，也就是说，对于躯干太不近似圆柱体的四 足动物，该模型就不适用了，比如乌龟．

初等模型初等模型是指运用初等数学知识如函数、方程、不等式、简单逻辑、向量、排列组合、概率统计、几何等知识建立起来的模型，并且能够用初等数学的方法进行求解和讨论。

对于机理比较简单的研究对象，一般用初等方法就能够达到建模目的。

但衡量一个模型的优劣，主要在于它的应用效果，而不在于是否采用了高等数学方法。

对于用初等方法和高等方法建立起来的两个模型，如果应用效果相差无几的话，那么受到人们欢迎和被采用的一定是初等模型。

2.1 人行走的最佳频率2.1.1 问题的提出行走是正常人每天工作、学习以及从事其他大多数活动的一项肢体运动。

人行走时的两个基本动作是身体重心的位移和腿部的运动，所做的功等于抬高身体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。

试建立模型确定人行走时最不费力（即做的功最小）所应保持的最佳频率。

2.1.2 模型假设1.基本假设（1）不计人在行走时的空气阻力。

（2）人行走时所做的功为人体重心抬高所需的势能与两腿运动所需的动能之和。

（3）人的行走速度均匀。

2.符号及变量l ：腿长；d ：步幅；δ：人体重心位移；v ：行走速度；m ：腿的质量；M ：人体质量；g ：重力加速度；u ：两腿运动动能；W ：人行走所做的功；n ：人的行走频率。

2.1.3 模型建立1.重心位移的计算人行走时重心位置的升高近似等于大腿根部位置的升高，如图2.1所示。

图2.1 人行走时重心位置的变化示意图由图2.1容易看出，人行走时重心位置的位移为2lδ=由于d l <l ，从而28d l δ≈. (0.1)2.两腿运动功率的计算 人的行走是一种复杂的肢体运动，下面主要基于两种不同的假设计算行走时两腿运动的功率。

补充假设1 将腿等效为均匀直杆，行走设为两腿绕髋部的转动。

由均匀直杆的转动惯量计算公式，得到行走时两腿的转动惯量为213J ml =. 于是两腿的转动动能为 221126u J mv ω==. 而人每行走一步所需时间为/t d v =，则单位时间内两腿的运动动能亦即运动功率为 36u mv p t d ==. (0.2)补充假设2 将行走视为脚的匀速直线运动，腿的质量主要集中在脚上。

h
48
问题分析
制定这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前 车, 即要保持汽车的刹车距离. 显然刹车距离与车速有关. 先看汽车在10英里/小时（约16km/h）的车速下两秒钟内 汽车能行驶的距离:
1 0 5 2 8 0 2 1 2 / 3 6 0 0 3 5 2 i n c h ,
所以, 行驶距离用公制来表示为:
f0.73200.0001.
f (*) 21（米）.
下面是函数及导函数的大致图形.
h
15
导函数曲线
h
16
函数曲线
h
17
分析 从导函数曲线图中可以看到, 导函数的零点是唯一的, 因而问题有唯一的极值. 再从函数曲线图中看到, 该曲线 是个“单谷”曲线, 因而该点即为我们所要求的极小点.
h
18
直观上,
解 在MatLab下完成下列操作:
h
42
程序如下
h
43
图形如下:
h
44
例 求解下面的最小二乘问题
x
0 10 20 30 40 80 90 95
y
68 67.1 66.4 65.6 64.6 61.8 61.0 60.0
解 由求解公式, 在MatLab下编制程序并进行求解, 得
a 0 .0 7 9 9 ,b 6 7 .9 5 9 3 .
400l
h
33
d2 y dk2 k 1
8000l 0,
此说明当k
1
400l
时, y 取最大值, 相应的最大高度为
400l
y 1 40000l 米.
4l
这里l
g
2
V
2 0
.

用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
第21席
Q1最大，第20席给甲系
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4
席
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p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
p1/n1– p2/n2=5
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
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进一步的讨论
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整；
[qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
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问题分析
录像机计数器的工作原理
左轮盘
右轮盘 主动轮
0000 计数器
录像带 磁头
压轮
录像带运动
录像带运动方向 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢