初等模型

出版社 B 给作者的报酬为：
0,0 n 4000 , y2 10 %(n 4000 ) p 3( n 4000 ), n 4000
即
0,0 n 4000 , y2 10 %np 3n 400 p 12000 , n 4000

如今，理财已走进千家万户，在花样繁多的理财 产品（如公司债券、银行理财产品、股票、基 金、银行利息、保险、房地产等）中，有的风险 大，投资时间长，收入高；有的风险小，投资时 间短，收入低……如果不考虑投资风险，投资时 间等因素，且预期收益明确，就可以利用初等数 学的方法，建立初等模型，通过计算和比较，在 这些理财产品中做出明智选择，以确保预期收 益。
多元函数模型

在实际建模中，有时由于情况复杂，影 响决策变量的因素有多个，这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电， 四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下： （1）月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00~23:00期间 用电，每千瓦时0.4724元；23:00~次日7:00期间用电， 每千瓦时0.2295元。 （2）月用电量在61kwh至100kwh部分，每千瓦时提高标 准0.08元。 （3）月用电量在100kwh至150kwh部分，每千瓦时提高标 准0.11元。
即
0.4724 x 0.2295 y,0 x y 60, 0.4724 x 0.2295 y ( x y 60) 0.08,60 x y 100, Z 0.4724 x 0.2295 y 3.2 0.11( x y 100),100 x y 150, 0.4724 x 0.2295 y 8.7 0.16( x y 150),150 x y
拓展思考：
1、如果出版社C提供7%的版税，问作者又 该如何做出选择？ 2、如果出版社D提供版权费10万元，问作 者又该如何选择？ 3、请分析书的定价对作者选择出版社有何 影响？
案例多选：

【参观购票策略模型】某展览馆为鼓励 团体消费，门票收费标准为：每人5 元，40人以上（含40人）的团体票6折优 惠。试建立门票费用模型，简单分析购 票策略，并分别计算当有32名、40 名、50名学生入馆参观时需要支付的门 票费。
0.4724 x 0.2295 y,0 x y 60, 0.4724 x 0.2295 y ( x y 60) 0.08,60 x y 100, Z 0.4724 x 0.2295 y 0.08 40 0.11( x y 100),100 x y 150, 0.4724 x 0.2295 y 0.08 40 0.11 50 0.16( x y 150),150 x y
二、模型的分析与建立
事实上，按40人（团体票）购买享受6折优惠 的总门票费用为60%*5*40=120元，而这一 门票总费用相当于只购买了24人的门票。因 此当 24 x 40 时，按40人购买团体打折票 的费用低于按实际人数购买门票的费用；当 0 x 24 时，按实际人数购买门票的费用 低于120元，可以按实际人数购买门票。
一、模型假设与变量说明
1、电表能准确地显示每户居民各时段的月 用电量，且无公摊； 2、假设收费标准按月执行； 3、设Z为“一户一表”居民的月电量，居民 一个月内在时段7:00~23:00期间的用电 量为x，时段23:00~次日7:00的用电量 为y。
二、模型的分析建立与求解
居民的月用电量应为在时段 7:00~23:00 的用电量 x 与 在时段 23:00！次日 7:00 的用电量 y 的总和，当总用 电量超过 60kwh 而未超过 100kwh 时，超过 60kwh 部分的电量，居民需支付额外电费，以此类推。模型 如下：
一、模型假设与变量说明
1、假设一个参观团可以购买参观团人数的 门票数； 2、设参观团有x人，实际购买门票费为y 元，按x人购买x张门票费用为z元。
二、模型的分析与建立
若按参观团实际人数购门票，门票费用模型为：
5 x z 60%
x 40 x 40
在实际购买门票时，当x接近40人时，通过粗略 分析可知，按实际人数购买门票的费用可能高 于按40人购买团体票打折门票的费用。
这里 x=200.y=100， 因为 x+y=300>150， 所以将 x=200， y=100 代入电费模型中的第 4 个，得 Z=150.13 元。
建议： 由于夜间电价不到白天 电价的一半，所以居民应
尽可能地在 23:00~次日 7:00 时段用电， 如一些耗电较 高的电热水器等可设置在夜间工作。另外，由于用电 越高，电价越高，所以，倡议居民养成节约用电 的好 习惯。
初等模型
预备知识：

初等数学的代数、三角、几何、平面解 析几何和排列组合知识
学习目标：
掌握数学建模的基本方法与步骤； 掌握建立初等模型的方法

学习内容

一、一元函数模型 二、多元函数模型 三、排列组合及其它模型


一元函数模型
理财模型
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的 房屋搬进敬老院。有人向她建议将1百万用去 投资，并将投资回报支付各种保险。经过再三 考虑，她决定用其中的一部分去购买公司债 券，剩余部分存入银行。公司的债券的年回报 率是5.5%，银行的存款年利率是3%。 （1）假设老人购买了x万元的公司债券，试建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望获得45000元的年收入，则她至 少要购买多少公司债券。
二、模型的分析、建立与求解
问题（ 1） 刘艳红老人的年收入 I（单位：万元）为购买公司债 券的红利收入 xr1 与银 行存款的利息收入 (100 x) r2 之 和。因此建立模型如下：
I xr1 (100 x) r2 0 x 100
即
I ( r1 r2 ) x 100 r2
于是，得以下结果 （1） 当销量 n （2） 当销量 n
6000 340 p 2% p 1 时，选择 A 出版社；
6000 340 p 2% p 1 时，选择 A、B 出版社所
得的报酬相同，此时，作者可以在 A、B 两家 出版社之间任选一家； （3） 当销量 n
6000 340 p 2% p 1 时，选择 B 出版社。
社会 ” 的口号 。水 、 电 、气 、粮食 等 式 每个家庭 的 必需品 ， 每个家庭 浪费一点 ，全国浪费的数字惊人 。因此 ，有必要了解 每个家庭 的基本
用量 ，制定合理 的 收费方案 ，保障居民 的 基本生活 需要 ，限制铺张浪 费。
排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去 旅游，成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路 线路一 线路二 北京、北戴河、天津 北京、沈阳、哈尔滨
三、模型求解
当x=32时，实际需要支付的门票费 用y=120元；当x=40时，实际需要支付 的门票费用y=120元；当x=50时，实际 需要支付的门票费用y=150元。
拓展思考：
如果门票收费标准为：每人5元，20人以上 （含20人）40人以下（不含40人）的团 体票每人少1元，40人以上（含40人）的 团体票以6折优惠，请建立门票费用的函 数模型，并给出相应的购票策略。
一、模型的假设与变量说明



1、假设该书的定价是固定的，与选择的 出版社无关。 2、假设该书的销售量是固定的，即选择 哪家出版社对销售量没有影响； 3、假设出版社的稿酬均按销售数量计； 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报 酬分别为y1,y2（单位：元），销售量 为n册，书的定价为p元/本。
拓气费 等 的 函数模型 ， 并给出 合 。
请根据 你的调查 确定 一个家庭 （ 按人口算 ） 水 、 电 、 天然气 的 最低月用量 ， 你有更好的价格方案吗 ？
中国人口众多
，各种资源十分匮乏
，因此 ，政府提出了 “ 建立节约型
（4）月用电量在150kwh及以上部分，每千瓦时提高 标准0.16元。 根据以上规定，建立该地区“一户一表”居民用电量与 电费之间的函数关系模型，若某户居民6月份的用电 量为：7:00~23:00期间用了200kwh，23:00~次 日7:00期间用了100kwh，请计算这户居民6月份应 该缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个 合理化的用电建议。
二、模型的分析与建立
出版社给作者的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬和。 出版社 A 给作者的报酬为
6% np,0 n 3000, y1 8%(n 3000) p 2( n 3000) 6% 3000 p, n 3000
即
6% np,0 n 3000, y1 8%np 2n 60 p 6000, n 3000
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版 税；超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为： 前4000册不支付版税，但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社？
二、模型的分析与建立
由以上分析可知，当 x 24 时按实际人数购买门
24 x 40 时选择按 40 人团体票 6 折优惠购 票；当
买门票；当 x 40 时选择团体票 6 折优惠购买门 票。参观团实际需要支付的门票费用模型如下：
5 x y 120 60% 5 x 0 x 24 24 x 40 x 40
将问题中的已知数据代入模型，得
I (5. 5% 3%) x 100 3% 2.5% x 3( 0 x 100 )