lesson3初等模型

• 参照惯例的结果要解决这个问题必须舍弃所谓惯 例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立 新的分配方法。
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。
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人、狼、羊、菜渡河模型
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问题的提出
• 一摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一 头羊G和一篮白菜C从一条河的左岸渡到右 岸去，而船小只能容纳F、W、G、C中的 两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼 和羊在一起，羊和白菜在一起，
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模型构成
• 记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk， k=l，2，…，xk,yk=0，1，2，3。
• 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态 • 安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，
记作S。不难写出 S=｛(x,y)|x=0, y= 0，1，2，3; x=3, y=0，1，2，3; x=第y6页=/共144，页 2｝
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0，0) √
(1，0，1，0)
(0，0，
7) (1，0，1，0) 十 (1，1，0，0) → (0，1，1，0) ×
1，1) ×
(1，0，0，1)
(0，0，
1，0) √×
(1，0，0，0) (0，0，
• 第7步 已经出现(0，0，0，0)状态，说明经过7
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评注
• 用这种方法的优点易于在计算机上实现。由此可把一个数学游 戏问题转化成为一个在计算机上计算的数学问题(即建模)。
由状态(3，3)经n(奇数)步决策 转移到(0，0)的转移过程
• 具体转移步骤如下:
(0，1)
(3，2) √

原则：使 rA , rB 尽可能小。
确定分配方案 利用 rA 和 rB 讨论，当增加1席时，应该分 配给A还是B。 不失一般性可设 p1 n1 > p2 n2，即对A不公 平。当再增加1席时，关于 pi ni (i = 1, 2)的不等 式有以下可能： 1. p1 (n1 + 1) > p2 n2， ，这说明即使A方增加 1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分 给A方；
模型构成
记第 k 次渡河前此岸的商人数 x k ，随从数为 y k . 将二维向量 s k = ( x k , y k ) 定义为状态。 安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合， 记做 . S x k , y k = 0,1,2,3.
x = 0 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; S = ( x , y ) x = 3 , y = 0 ,1 , 2 , 3 ; x = y = 1, 2
数学模型的特点
折衷 渐近 强健 可转移 非预制 条理 技艺 局限
可转移性
一个模型时现实对象抽象化、 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产 物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移 它不为对象的所属领域所独有， 到另外的领域。在生态、经济、 到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内 建模就常常借用物理领域中的模型。 建模就常常借用物理领域中的模型。
开设目的
对数学教育而言，既应该让学生掌握 准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理， 也需要培养学生用数学工具分析解决实际 问题的意识和能力。传统的数学教学体系 和内容偏重于前者，开设数学建模课程则 是加强后者的一种尝试。 另外，开设本课也是为了一年一度的 “全国大学生数学建模大赛”做一些准备 工作。
建
又设(2) p1 = 1020, p2 = 1000, n1 = n2 = 10, p1 n1 − p2 n2 = 102 − 100 = 2 。 则

‘第一章初等数学模型很多问题只要用到初等数学知识就能完成建模过程，而没有必要用高等数学的方法。

其实，只要能达到建模的目的和要求，所用的数学理论越简单越好，因为要用于解决实际问题，是要给大家看的，当然越简单越好。

只有迫不得以非用高深数学知识不可，才选择高深的数学知识。

下面举几个只要用初等数学就能解决的问题，我们把它称为初等数学模型。

第一节利息的计算与银行的按揭模型一. 资金的时间价值如果你拥有一笔资金，你绝对不会把它长期的放在抽屉里，而是存入银行或进行其他投资，例如买股票、债券或其他的投资。

这是因为资金具有时间价值。

资金的时间价值是指资金随时间推移而发生的增价。

在投资决策中，考察资金的时间价值，正是考察使用该资金进行投资所须放弃的利益，即机会成本。

机会成本是所放弃的诸方案中盈利最大方案的利润值。

例如某资金若投资于某工程，就放弃了将其存入银行或贷给他人的机今。

假设有资金100万元，银行的年利率为10％，贷给他人的年利率为12％，则从机会成本的角度计算，这笔资金的时间价值应为12％（或者说12万元）。

一笔资金如果不用于投资则不会有资金增值，如果资金不存入银行，不购买股票，也不进行其他投资，而是把资金锁在自已的抽屉里，随着时间的推移，不仅不会增值，或许还会贬值。

资金拥有者应当把资金投入到创造增值的活动中去，并有权获得资金时间价值带来的回报。

资金的价值随时间的变化而变化，其原因有如下几种：（1）通货膨胀：在通货膨胀情况下，用商品和劳务购买力所表示的货币价值不断下降。

（2）风险：现在手头的100元是确定的，而明天是否仍是100元是不确定的，这种不确定性就是风险。

风险对于投资者而言，是非常重要的。

（3）个人消费偏好：不同的人有不同的消费习惯（或不同的消费偏好），许多人偏好眼前的消费，而不是将来的消费。

（4）投资的机会：货币（或资金）正如其他商品一样，也具有价值，如现在得到的一万元现金与一年后得到的一万元相比，人们都会选择前者，因为现在的一万元存在投资的机会，如存入银行，假若年利率为6％，则一年后将得到10600元。

第三章初等模型大量的实际问题可以用初等模型的方法去解决，全国大学生数学建模竞赛（乙组）的不少赛题也可用初等模型求解，例如,1999年的“煤矸石堆放”、“钻井布局”，2000年的“空洞探测”，2001年的“基金使用计划”，2007年的“手机套餐”，2008年的“NBA赛程编排”，2009年的“卫星地面监测”等等。

例3.1 有两个乡镇要在河边合建一个自来水厂请设计水厂的位置及铺设水管的方法，使水管总长度最短（单位：千米）。

（本例题可以看成2010年“油管铺设”模型的雏形）。

一. 模型准备（建模的问题来自科学的各个领域，从各行各业中抽象出来。

建模竞赛题摆在我们面前，绝大多数题目的背景我们并不清楚。

三名队员要通过查阅资料，认真学习，进一步讨论分析，才能逐步把问题搞清楚。

磨刀不误砍柴功。

熟悉背景是建模的最重要的环节之一，准备越充分，建模越准确快捷。

）在纸上画出乡镇及河流示意图，发觉水管的铺设布局有”V”型与”Y”两种。

第一种可以用常用的轴反射来解决；第二种则是在一个三角形中如何去找费尔马点的问题。

二．模型假设（现实问题是复杂鲜活的，如何去粗取精、去伪成真，抓住事物的最本质的特征，去解决问题，把问题分析清楚后，合理的假设非常重要。

因此，要对问题作适当的简化。

既要贴近实际问题又要贴近数学方法。

模型假设是极具挑战性的。

）2.1、乡镇A到河边的距离小于等于乡镇B到河边的距离.2.2、水厂C建在河上.2.3、共用的单位长度的管道铺设费用n大于或等于非共用的单位长度的管道铺设费用m.2.4、乡镇B、水厂C、管道节点P均在第一象限，乡镇A点在y轴正半轴上,河道在x轴上.2.5、河道在A、B两厂附近为直线.2.6、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，它们之间的所有管道均是直线。

2.7、乡镇A、B，水厂C，管道节点P，以及点'B共面。

此图中，坐标，A y =4,C(2,0),B(5,6).（单位:千米）若用“V ”型法,作B 点关于轴的对称点B ’(5,-6),则直线AB ’的方程10x+5y-20=0,水厂设在C(2,0)点上。

61 1
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21
理学院
xx
2.5 经济问题中的初等模型
设产品产量为q,产品价格为p,固定成本c0，可变成 本为c1.
（1） 总成本函数： c cq c0 c1q
（2） 供给函数：
Qs f p
（3） 需求函数：
Q0 gp
（4） 价格函数：
p f 1Q0 pq
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
理学院 6
xx
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
理学院 22
xx
（5） 收益函数：
R Rq qpq
（6） 利润函数： Lq Rq Cq
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
（8） 边际收益函数：
Rm R'q
（9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
23
理学院
xx
Q(t)=-t3+9t2+12t
个晶体管收音机。
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率
解：工人的生产率为为Q’(产Rt)量t，Q则关Q问于' 题t时转间化t的3为t 2变求化Q1’8率(tt：)的12
R't Q''最t大值6t 18 0

排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去
旅游，成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路
线路一
北京、北戴河、天津
线路二
北京、沈阳、哈尔滨
另外，旅行社还告知小张，他也可以在两条线路中任选
一个或多个城市旅游。
（1）若北京是小张必选的旅游城市，则他有多少种选 择方式。 （2）若从成都到北京必须在西安转机，从成都到西安 有 2 个航班，从西安到北京有3 个航班，问小张从成都 到北京共有多少种航班安排方式？
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版 税；超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为： 前4000册不支付版税，但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社？
一、模型的假设与变量说明
1、假设该书的定价是固定的，与选择的 出版社无关。
2、假设该书的销售量是固定的，即选择 哪家出版社对销售量没有影响；
3、假设出版社的稿酬均按销售数量计； 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报
酬分别为y1,y2（单位：元），销售量 为n册，书的定价为p元/本。
二、模型的分析与建立
多元函数模型
在实际建模中，有时由于情况复杂，影 响决策变量的因素有多个，这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电， 四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下：
（1）月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00~23:00期间 用电，每千瓦时0.4724元；23:00~次日7:00期间用电， 每千瓦时0.2295元。

r
p p p r n = (n1 , n 2 , L , n s ) ，当且仅当 1 = 2 = L = s 时，分配是公平的。因此当存在不公平 n1 n2 ns
现象时，我们可以使用比值之间的差来衡量不公平程度。 模型建立： （局部不公平度与 Huntington 方法） 1．不公平程度的量化 设 A, B 两集体人数分别为 p1 , p 2 ；分别拥有 n1 和 n 2 个席位，则两方每个席位所代表的
dy < 0。 dx
性质 2：无差异曲线是凹的，
d2y > 0。 dx 2
性质 3：无差异曲线彼此不相交。 性质 4：越往右上方，消费者获得的效用越大。 问题求解： 设二元函数 U 1 ， U 2 分别表示两人的效用函数。设交换前甲拥有商品 X 的量为 x 0 ，甲
5
将其中的 x 交给乙；乙拥有商品 Y 的量为 y 0 ，乙将其中的 y 交给甲。交换后甲拥有的商品 组合为 ( x0 − x, y ) ，效用为 U 1 ( x 0 − x, y ) ；同理乙获得的效用为 U 2 ( x, y 0 − y ) 。
2 p2 p12 < ，则增加的 1 席给 A ， n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
2 p2 p12 > 若 rA (n1 , n2 + 1) < rB (n1 + 1, n2 ) ，即 ，则增加的 1 席给 B 。 n2 (n2 + 1) n1 (n1 + 1)
记 Qi =
pi ，则增加的 1 席应给 Q 值大的一方。 ni (ni + 1)
将 上 述 方 法 推 广 到 m 个 集 体 分 配 席 位 的 情 况 。 设 Ai 方 人 数 为 p i 已 占 有 ni 席

最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1v kv2 0.75v 0.06v2
车速 (英里/小时)
20 30 40 50 60 70 80
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准
车速（英里/小则时”） 0~10
将模型改记作 t an2 bn , 只需估计 a,b
理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可
实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合
现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 80 n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184 n 4004 4545 5051 5525 6061
d1 t1v
F d2= m v2/2 F m
且F与车的质量m成正比
d t1v kv2
d2 kv2
模 型 d t1v kv2
参数估计
• 反应时间 t1的经验估计值为0.75秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
车速 (英里/小时) (英尺/秒)
20
29.3
30
44.0
40
58.7
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

状态sk随决策d k变化的规律
• 记第k次渡船上商人数为u k，随从数为v k • 将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策.允许决策
集合记作D，由小船的容量可知
D=｛(u，u)|u+v=l，2｝ (2)
• 因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数 时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk随决策d k 变化的规律是
• 在xoy平面坐标系上画出图1-3那样的方格，方格点表示状态 s=(x,y)。
• 允许状态集合S是圆点标出的10个格子点。 • 允许决策d是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，
k为偶数时向右、上方移动。 • 要确定一系列的d k使由s 1=(3，3)经过那些圆点最终移至原点
(0，0)。
• 这里用数学模型求解，
▪ 一是为了给出建模的示例， ▪ 二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比
逻辑思索的结果容易推广。
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问题分析：
• 由于这个虚拟的问题己经理想化了，所以不必 再作假设。
• 安全渡河问题可以视为多步决策过程。每一步， 即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要 对船上的人员(商人、随从各几人)作出决策
• 利用穷举法可得到第问18页题/共4的4页解
穷举法求解
• (1)可取(允许)状态A共有10个
(1，1，1，1)
(0，0，0，0)
(1，1, 1，0)
(0，0，0，1)
(1，1，0，1)
(0，0，1，0)
(1，0，1，1)
(0，1，0，0)
(1，0，1，0) (0，1，0，1)
右边5个正好是左边5个的相反状态 。
• 另外，适当地设置状态和决策，并确定状态 转移律，是有效地解决很广泛的一类问题的 建模方法，在以后还可能要用到。

123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23

人口增长模型
总结词
人口增长模型是用来描述人口随时间变化的 规律和趋势的数学模型。
详细描述
该模型通常由一组微分方程组成，表示人口 在不同年龄和性别的增长率。通过求解这组 微分方程，可以预测未来人口数量和结构的 变化，为政策制定提供依据。
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用来描述一个国家或地区经 济随时间变化的规律和趋势的数学模型。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
求解模型
运用数学方法和计算工具对建 立的模型进行求解。
明确问题
首先需要明确建模的目标和问 题，理解实际问题的背景和需 求。
建立模型
根据问题的特点和收集的数据， 选择合适的数学模型进行建模。
验证与优化
对求解结果进行验证，并根据 实际情况对模型进行优化和改 进。
建立数学模型的步骤
收集数据
根据问题收集相关数据，包括 实验数据、观测数据、统计数 据等。
02
它能将现实世界中的问题转化为 数学问题，并运用数学方法进行 求解，进而对现实世界的问题作 出预测和决策。
什么是数学建模
01
数学建模是运用数学语言和方法 ，通过抽象、简化建立能近似刻 画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。

根据收集到的数据，估计模型的参数，使模型能够更好地拟合实际数据。
模型验证
验证方法
选择合适的验证方法，如交叉验证、Bootstrap等，以评估模型的预测能力和可 靠性。
结果评估
根据验证结果，评估模型的性能，如准确率、误差率等，以便进一步优化和完善 模型。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
初等模型的建立
确定研究问题
明确目的
在建立初等模型之前，首先需要 明确研究的目的和目标，以便有 针对性地收集数据和建立模型。
选择主题
根据研究目的，选择一个具有实 际意义和价值的主题进行深入研 究。主题应具有代表性，能够反 映所研究领域的核心问题。
案例三：决策树模型
01
3. 对决策树进行剪枝以防止过拟合；
02
4. 应用决ห้องสมุดไป่ตู้树进行分类或回归预测。
03
注意事项：决策树模型容易过拟合，因此需要采取适当的措施来控制模型的复 杂度，例如限制树的深度或使用剪枝技术。此外，决策树模型对特征的划分可 能过于简单或复杂，需要根据实际情况进行调整和优化。
REPORT
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
《初等模型》ppt课 件
目录
CONTENTS
• 初等模型简介 • 初等模型的建立 • 初等模型的分析 • 初等模型的实践案例 • 初等模型的未来发展
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y

模型1：谁将是胜利者
1805年，英国和法国进行了一场惨烈的海战。其中，尼尔 森担任英国统帅，他的对手则是大名鼎鼎的拿破仑。尼尔森的 舰队有27艘战舰，而拿破仑的舰队却有33艘战舰。根据以往的 战争经验，若两军相遇，一方损失兵力大约是对方兵力的10％。 如果按照这一公式计算，显然人多势众的法军将获胜，而且在 第11次遭遇战中全歼英军，如表所示。
(k3 ∈ R+ ) (k4 ∈ R+ )
⎧⎨⎩TOnn++11
= On + ΔOn = Tn + ΔTn =

= (1 (1 +
+ k1)On k2 )Tn −
− k3OnTn k4OnTn
现在，取k1=0.2、 k2=0.3、 k3=0.001、 k4=0.002，解得平衡 点（O，T）=（150，200）或（0，0）【舍去】
在什么情况下双方的核军备精神才不会无限扩张而存在暂 时的平衡状态，处于这种平衡状态下双方拥有最少的核武器数 量是多大，这个数量受哪些因素影响，当一方采取诸如加强防 御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发 生什么变化？
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
斑点猫头鹰
老鹰 天数 老鹰 斑点猫头鹰 天数
情况4：老鹰仍然成为胜利者， 斑点猫头鹰最后还是灭绝了。与 数量 前面三种情况相比，两个种群的 初始数量相同，可以说是站在同 一条起跑线上。但是，老鹰种群 以绝对的优势赢得胜利，而斑点 10 猫头鹰种群惨遭灭绝。

第三章 初等数学模型所谓初等数学模型主要是指建立模型所用的数学知识和方法主要是初等的，而不是高等的。

在解决实际问题的过程中，往往主要是是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法，对于数学建模也是这样。

本章介绍了量纲分析法、比例与函数建模法，并给出了相应的一些模型。

第一节 量纲分析法量纲分析提出于20世纪初，是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。

它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

1.1 量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l ， 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,；而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ，称为基本量纲。

任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则 用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系。

先看一个具体的例子，再给出。

1.2量纲分析的一般方法例1 （单摆运动）质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。

解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（1.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1.1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T L MT --------------（1.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（1.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（1.4）（1.4）式与单摆的周期公式是一致的1.3 Buckingham Pi 定理下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理（Buckingham Pi 定理） 设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系 ()0,,,21=n x x x f --------------（1.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。

几何模型
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平面几何
平面几何是几何模型的基 础，通过点、线、面等基 本元素描述实际问题，如 三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间 中物体形状和位置关系的 数学模型，如长方体、球 体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转 化为代数问题的数学模型， 通过代数方法解决几何问 题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能 ，可以提高决策的科学性和准确性。通过 数学模型的建立和应用，可以解决实际问 题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社 会、经济、科技等领域的认知度和影响力 。同时，加强国际交流与合作，推动数学 模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程， 解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势， 可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风 险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物 流和运输，降低成本并提高效率。
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解析法
通过数学公式推导求解，适用 于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大 多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难 以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难 以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据 进行验证，确保模型的准确性。

Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
0.06
减少97%的热量损失。
结果分析
0.03 0.02
0 2 4 6h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。
房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。
双层窗的功效不会如此之大
Discussions
墙
Q2 s 2
k2
d Q Q
1
2
k1=410-3 ~8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 ~32
对Q1比Q2的减少量 作最保守的估计，
Q1 1 , h l
取k1/k2 =16
Q2 8h 1
d
模型应用 Q1 1 , h l
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
模型 假设
模型 建立
• w2与帆面平行，可忽略
• f2, p2垂直于船身，可由舵抵消
• 航向速度v与力f=f1-p1成正比
w=ks1, p=ks2
p1
p2 p
w1=wsin(-)
v

f1=w1sin=wsin sin(-) f1 w1
p1=pcos
f2
w2
w
v=k1(f1-p1)
揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。
Discussions
6. 启帆远航
问 帆船在海面上乘风远航，确定 题 最佳的航行方向及帆的朝向
简化问题
航向
北
海面上东风劲吹，设帆船

考虑矩形区域 D:{0<=s<=c,0<=t<=d} 上的二重积分
I f s, tdsdt
D
将D划分作 m n 个相等的小矩形{si-1≤s≤si ,ti-1≤t≤ti} 其中si 和sj分别是 s 和 t 方向的分点:
si ik, t j jhi 0,1,2, , m; j 0,1,2, , n
（1.4.7）
从下图可以看出上述两个公式的差别. 除p = N - C 外，对每一个p , 均有 r1( p)<r2( p) .
r
1
r2( p)
C
N
r1( p)
p
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN-C
根据上述讨论，按照相对公平的原则，应采取r1(p) 和r2(p) 的折衷方案，即度量得票多少的函数q(p)应满足以下三个条件：
设某项成果涉及C个评委，他们回避后该项成果的p票, P≤N-C,则该项成果的得票率为
p r1 ( p) N C
（1.4.6）
上述结果似乎可以接受。因为得票虽然少了，但作为分母 的总人数也少了，所以似乎是公平的。参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意,他们认为:若他们也参加投票，则得票率为
PC r2 ( p) N
xlabel('投票人数-p','FontSize',14,'FontWeight','bold'); ylabel('投票率-r','FontSize',14,'FontWeight','bold'); legend('参与投票' ,'改进方案','不参与投票',0) title('三种方案的曲线图','FontSize',14,'FontWeight','bold') %再改进算法, 取r1和r2的算术平均值: R=(r1+r2)/2; figure(2) plot(p,r2,'.-k','markersize',20); hold on plot(p,R,‘-dr','markersize',10) hold on plot(p,r1,'.-b','markersize',20);