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第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1 不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z；④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2 不等式的同解原理①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。
③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。
④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式3-3-1 均值不等式1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(nH n21n +++= 2、几何平均数： n 1n 21n )a ...a a (G =3、算术平均数： n)a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qna1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b ，有2ab b a22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥+ (6)对非负数a,b ，有ab )2b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a bc R +∈，有a b c ++≥a b c ==时成立）(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 222b1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。
高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学知识点总结(zǒngjié) 第六章不等式高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本(gēnběn)性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试(kǎoshì)要求：〔1〕理解不等式的性质(xìngzhì)及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2扩展阅读：高中数学知识点总结_第六章不等式[1]高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的根本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：〔1〕理解不等式的性质及其证明．〔2〕掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．〔3〕掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式．〔4〕掌握简单不等式的解法．〔5〕理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│06.不等式知识要点1.不等式的根本概念〔1〕不等〔等〕号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.〔2〕不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.〔3〕同向不等式与异向不等式.〔4〕同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的根本性质〔1〕abba〔对称性〕〔2〕ab,bcac〔传递性〕〔3〕abacbc〔加法单调性〕〔4〕ab,cdacbd〔同向不等式相加〕〔5〕ab,cdacbd〔异向不等式相减〕〔6〕a.b,c0acbc〔7〕ab,c0acbc〔乘法单调性〕〔8〕ab0,cd0acbd〔同向不等式相乘〕(9)ab0,0cdabcd〔异向不等式相除〕(10)ab,ab011〔倒数关系〕ab〔11〕ab0anbn(nZ,且n1)〔平方法那么〕〔12〕ab0nanb(nZ,且n1)〔开方法那么〕3.几个重要不等式〔1〕假设aR,那么|a|0,a20〔2〕假设a、bR,那么a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)〔当仅当a=b时取等号〕〔3〕如果a,b都是正数，那么abab.〔当仅当a=b时取等号〕2极值定理：假设某,yR,某yS,某yP,那么：1如果P是定值,那么当某=y 时，S的值最小；○2如果S是定值,那么当某=y时，P的值最大.○利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.(4)假设a、b、cR,那么abc3abc〔当仅当a=b=c时取等号〕ba(5)假设ab0,那么2〔当仅当a=b时取等号〕ab(6)a0时，|某|a某2a2某a或某a;|某|a某2a2a某a〔7〕假设a、bR,那么||a||b|||ab||a||b|4.几个著名不等式〔1〕平均不等式：如果a,b都是正数，那么211abababa2b2〔当仅当.22a=b时取等号〕即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均〔a、b为正数〕：2222abababab22特别地，ab(〔当a=b时，())ab〕2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)3322...an幂平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).常用不等式的放缩法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)〔2〕柯西不等式：假设a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;那么〔a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)〔3〕琴生不等式〔特例〕与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(某),对于定义域中任意两点某1,某2(某1某2),有f(某1某2f(某1)f(某2))或22f(某1某2f(某1)f(某2)).22那么称f(某)为凸〔或凹〕函数.5.不等式证明的几种常用方法比拟法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法〔1〕整式不等式的解法〔根轴法〕.步骤：正化，求根，标轴，穿线〔偶重根打结〕，定解.特例①一元一次不等式a某>b解的讨论；②一元二次不等式a某+b某+c>0(a≠0)解的讨论.〔2〕分式不等式的解法：先移项通分标准化，那么f(某)0f(某)g(某)0;g(某)f(某)g(某)0f(某)0g(某)g(某)0〔3〕无理不等式：转化为有理不等式求解○1f(某)g(某)g(某)0定义域f(某)g(某)f(某)0○2f(某)0f(某)0○3f(某)g(某)g(某)0或g(某)02f(某)[g(某)]f(某)0f(某)g(某)g(某)02f(某)[g(某)]〔4〕.指数不等式：转化为代数不等式af(某)ag(某)(a1)f(某)g(某);af(某)ag(某)(0a1)f(某)g(某)af(某)b(a0,b0)f(某)lgalgb〔5〕对数不等式：转化为代数不等式f(某)0logaf(某)logag(某)(a1)g(某)0;f(某)g(某)f(某)0logaf(某)logag(某)(0a1)g(某)0f(某)g(某)〔6〕含绝对值不等式1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化○g(某)0|f(某)|g(某)g(某)f(某)g(某)g(某)0|f(某)|g(某)g(某)0(f(某),g(某)不同时为0)或f(某)g(某)或f(某)g(某)注：常用不等式的解法举例〔某为正数〕：①某(1某)(1某)(1某)()2(1某2)(1某2)②y某(1某)y()y类似于ysin某cos某sin某(1sin某)，③|某1||某||1|(某与1同号，故取等)2内容总结（1）○2应用数形思想。
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
选修4-5中的著名不等式内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。
选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。
绝对值的三角不等式（）：定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。
绝对值的三角不等式一般形式：，简记为。
柯西不等式（）定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。
当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。
当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。
定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式（）定理：设为实数，则，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。
闵可夫斯基不等式（）定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。
闵可夫斯基不等式的一般形式：定理：设是两组正数，，则或，当且仅当时，等号成立。
排序不等式（）定理：设为两组实数为的任一排列，则有。
当且仅当或时，等号成立。
排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。
切比晓夫不等式（）：定理：设为任意两组实数，①如果或，则有②如果或，则有①②两式，当且仅当或时，等号成立。
平均值不等式（）定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。
当时，，当且仅当时，等号成立。
加权平均不等式（）定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。
杨格不等式（）：定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。
当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式（）：定理：设，且，为大于1的自然数，则。
贝努利不等式的一般形式：（1）设，且同号，则；（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
