高二数学古典概型1

【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼⼆数学必修3知识点整理：古典概型，如果觉得很不错，欢迎点评和分享～感谢你的阅读与⽀持！ 古典概型的基本概念 1.基本事件：在⼀次试验中可能出现的每⼀个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件：若在⼀次试验中，每个基本事件发⽣的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型：满⾜以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率：如果⼀次试验的等可能基本事件共有n个，那么每⼀个等可能基本事件发⽣的概率都是 1，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发⽣的概率为nP(A)?m.n 知识点⼀：古典概型的基本概念 *例1：从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件?思路分析： 题意分析：本试题考查⼀次试验中⽤列举法列出所有基本事件的结果，⽽画树状图是列举法的基本⽅法. 解题思路：为了了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.或者利⽤树状图将它们之间的关系列出来.解答过程：解法⼀：所求的基本事件共有6个： A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法⼆：树状图 解题后的思考：⽤树状图求解⼀次试验中的基本事件数⽐较直观、形象，可做到不重不漏.掌握列举法，学会⽤数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. **例2：(1)向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点，如该点落在圆内任意⼀点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图，某同学随机地向⼀靶⼼射击，这⼀试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析： 题意分析：本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路：结合古典概型的两个基本特征可进⾏判定解决.解答过程： 答：(1)不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点，试验的所有可能结果数是⽆限的，虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件. (2)不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，⽽命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满⾜古典概型的第⼆个条件. 解题后的思考：判定是不是古典概型，主要看两个⽅⾯，⼀是实验结果是不是有限的;另⼀个就是每个事件是不是等可能的. ***例3：单选题是标准化考试中常⽤的题型，⼀般是从A，B，C，D四个选项中选择⼀个正确答案.如果考⽣掌握了考查的内容，他可以选择正确的答案.假设考⽣不会做，他随机的选择⼀个答案，问他答对的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路：解本题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考⽣掌握了全部或部分考查内容，这都不满⾜古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考⽣不会做，随机地选择了⼀个答案的情况下，才可将此问题看作古典概型. 解答过程：这是⼀个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考⽣随机地选择⼀个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的.从⽽由古典概型的概率计算公式得： P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25 基本事件的总数4解题后的思考：运⽤古典概型的概率公式求概率时，⼀定要先判定该试题是不是古典概型，然后明确试验的总的基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，再借助于概率公式运算.⼩结：本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第⼀个关键点;理解⼀次试验中的所有基本事件数，和事件A发⽣的基本事件数，是解决概率问题的第⼆个关键点. 知识点⼆：古典概型的运⽤ *例4：同时掷两个骰⼦，计算：(1)⼀共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)为什么要把两个骰⼦标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析： 题意分析：本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路：先分析“同时掷两个骰⼦的所有事件数”，然后分析事件A：向上的点数之和为5的基本事件数，最后结合概率公式运算.同时可以运⽤举⼀反三的思想⾃⾏设问、解答. 解答过程： 解：(1)掷⼀个骰⼦的结果有6种，我们把两个骰⼦标上记号1，2以便区分，由于1号骰⼦的结果都可与2号骰⼦的任意⼀个结果配对，我们⽤⼀个“有序实数对”来表⽰组成同时掷两个骰⼦的⼀个结果(如表)，其中第⼀个数表⽰掷1号骰⼦的结果，第⼆个数表⽰掷2号骰⼦的结果.(可由列表法得到)1号骰⼦2号骰⼦1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2) (4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5) (5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)123456由表中可知同时掷两个骰⼦的结果共有36种.(2)在上⾯的结果中，向上的点数之和为5的结果有4种，分别为：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) (3)由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A所包含的基本事件的个数41== 基本事件的总数369(4)如果不标上记号，类似于(1，2)和(2，1)的结果将没有区别.这时，所有可能的结果将是： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)(4，4)(4，5)(4，6)(5，5) (5，6)(6，6)共有21种，和是5的结果有2个，它们是(1，4)(2，3)，则所求的概率为 P(A)=A所包含的基本事件的个数2= 基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满⾜古典概型的要求了.可以通过展⽰两个不同的骰⼦所抛掷出来的点，感受第⼆种⽅法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考：考查同学们运⽤古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满⾜古典概型的第⼆个条件. 对于同时抛掷的问题，我们要将骰⼦编号，因为这样就能反映出所有的情况，不⾄于把(1，2)和(2，1)看作相同的情况，保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决，这样就有顺序了，则基本事件的出现也是等可能的. **例5：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运⽤ 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“不放回的，连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数，然后求事件A的基本事件数，利⽤概率公式求解.解答过程： 解法1：每次取出⼀个，取后不放回地连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品. ⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)]事件A由4个基本事件组成，因⽽P(A)= 42=63解法2：可以看作不放回3次⽆顺序抽样，先按抽取顺序(x，y)记录结果，则x有3种可能，y有2种可能，但(x，y)，(y，x)是相同的，所以试验的所有结果有3×2÷2=3种，按同样的⽅法，事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2，因此P(B)= 23解题后的思考：关于不放回抽样，计算基本事件的个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是⽆顺序的，其结果是⼀样的，但⽆论选择哪⼀种⽅式，观察的⾓度必须⼀致，否则会导致错误. ***例6：从含有两件正品a1，a2和⼀件次品b1的三件产品中，每次任取⼀件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析： 题意分析：本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路：⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“有放回的，连续的取两次”. 解答过程：每次取出⼀个后放回，连续取两次，其⼀切可能的结果组成的基本事件有9个，即 (a1，a1)，(a1，a2)和(a1，b1)(a2，a1)，(a2，b1)和(a2，a2)(b1，a1)，(b1，a2)和(b1，b1) 其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品，右边的字母表⽰第2次取出的产品.⽤A表⽰“取出的两件中，恰好有⼀件次品”这⼀事件，则A=[(b1，a1)，(b1，a2)，(a2，b1)，(a1，b1)]事件A由4个基本事件组成，因此P(A)= 4.9解题后的思考：对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候，总数是不变的，且同⼀个体可被重复抽取，同时，在求基本事件数时，要做到不重不漏.⼩结： (1)古典概型概率的计算公式是⾮常重要的⼀个公式，要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运⽤，为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三：随机数产⽣的⽅法及随机模拟试验的步骤 **例7：某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40%，那么在连续三次投篮中，恰有两次投中的概率是多少?思路分析： 题意分析：本题考查的是近似计算⾮古典概型的概率. 解题思路：其投篮的可能结果有有限个，但是每个结果的出现不是等可能的，所以不能⽤古典概型的概率公式计算，我们⽤计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程： 我们通过设计模拟试验的⽅法来解决问题，利⽤计算机或计算器可以⽣产0到9之间的取整数值的随机数. 我们⽤1，2，3，4表⽰投中，⽤5，6，7，8，9，0表⽰未投中，这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为⼀组. 例如：产⽣20组随机数： 812，932，569，683，271，989，730，537，925，488907，113，966，191，431，257，393，027，556，458 这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个数在1，2，3，4中，则表⽰恰有两次投中，它们分别是812，932，271，191，393，即共有5个数，我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考： (1)利⽤计算机或计算器做随机模拟试验，可以解决⾮古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验，如果亲⼿做⼤量重复试验的话，花费的时间太多，因此利⽤计算机或计算器做随机模拟试验可以⼤⼤节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a，b)产⽣从整数a到整数b的取整数值的随机数. ⼩结：能够简单的体会模拟试验求解⾮古典概型概率的⽅法和步骤.⾼考对这部分内容不作更多的要求，了解即可.5=25%.20 【同步练习题】 1.(2014•惠州调研)⼀个袋中装有2个红球和2个⽩球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同⾊的概率为()A.12；B.13；C.14；D.25 答案：A[把红球标记为红1、红2，⽩球标记为⽩1、⽩2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同⾊的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，⽩1、⽩1，⽩1、⽩2，⽩2、⽩1，⽩2、⽩2，故所求概率为P=816=12.] 2.(2013•江西⾼考)集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取⼀个数，则这两数之和等于4的概率是 ()A.23B.12C.13D.16 答案：C[从A，B中各任取⼀个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率为26=13.故选C.] 3.(2014•宿州质检)⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦，其六个⾯上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这⼀颗骰⼦连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108 答案：A[基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1，1，1)，(1，2，3)，(3，2，1)，(2，2，2)，(1，3，5)，(5，3，1)，(2，3，4)，(4，3，2)，(3，3，3)，(2，4，6)，(6，4，2)，(3，4，5)，(5，4，3)，(4，4，4)，(4，5，6)，(6，5，4)，(5，5，5)，(6，6，6)共18个，所求事件的概率P=186×6×6=112.] 4.(2013•安徽⾼考)若某公司从五位⼤学毕业⽣甲、⼄、丙、丁、戊中录⽤三⼈，这五⼈被录⽤的机会均等，则甲或⼄被录⽤的概率为 ()A.23B.25C.35D.910 答案：D[五⼈录⽤三⼈共有10种不同⽅式，分别为：{丙，丁，戊}，{⼄，丁，戊}，{⼄，丙，戊}，{⼄，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲，丙，丁}，{甲，⼄，戊}，{甲，⼄，丁}，{甲，⼄，丙}. 其中含甲或⼄的情况有9种，故选D.] 5.(理)(2014•安徽⽰范⾼中联考)在棱长分别为1，2，3的长⽅体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选取的概率相同，则选到两个顶点的距离⼤于3的概率为()A.47B.37C.27D.314 答案：B[从8个顶点中任取两点有C28=28种取法，其线段长分别为1，2，3，5，10，13，14.①其中12条棱长度都⼩于等于3;②其中4条，棱长为1，2的⾯对⾓线长度为5<3;故长度⼤于3的有28-12-4=12，故两点距离⼤于3的概率为12C28=37，故选B.]。

6.2 古典概型及条件概率（精讲）（基础版）思维导图考点呈现例题剖析考点一古典概型【例1】（2022·河南安阳）某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员､医疗人员､志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄（单位：岁）进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后（每组为左开右闭区间），得到的频率分布直方图如图所示.(1)求m 的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；（精确到1，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)在年龄处于(]70,90的老人中，用分层随机抽样的方法选取9人，再从9人中随机选取2人，求2人中恰有1人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率. 【答案】(1)0.016m =，平均数为80岁(2)59【解析】（1）解：由图可得()0.0320.0400.012101m +++⨯=，解得0.016m =.估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为650.16750.32850.4950.1279.880⨯+⨯+⨯+⨯=≈岁.（2）解：(]70,80，(]80,90两组的人数之比为0.032:0.0404:5=，∴在(]70,80，(]80,90的老人中抽取的人数分别为4，5，分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，从9人中随机选取2人，样本空间()()()()()()()(){1213141112131415Ω,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a ab a b a b a b a b =()()()()()()()23242122232425,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a b a b a b ()()()()()()343132333435,,,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b ()()()()()4142434445,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()12131415,,,,,,,,b b b b b b b b ()()()232425,,,,,,b b b b b b ()()3435,,,,b b b b ()}45,b b ，共有36个样本点，恰有一人年龄超过80岁，即恰有一人年龄在(]80,90，令“恰有一人年龄在(]80,90”为事件B ，则()()()()(){1112131415,,,,,,,,,,B a b a b a b a b a b =()()()()()2122232425,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()3132333435,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ()()()()()}4142434445,,,,,,,,,a b a b a b a b a b ，共有20个样本点，∴()205369P B ==.【一隅三反】1．（2022河北省）某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.【答案】(1)35(2)815【解析】（1）高一年级志愿者有121628+=人，其中女同学12人，高二年级志愿者有82432+=人，其中女同学24人.故抽到的这人是女同学的概率1224328325+==+P .（2）在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4.记从高一年级中抽取的志愿者为a ，b ，从高二年级中抽取的志愿者为A ，B ，C ，D ，样本空间{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}Ω=ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15个样本点.设事件M =“这两人中恰有一人来自高一年级”，则{(),(),(),(),(),(),(),()}=M aA aB aC aD bA bB bC bD ，共8个样本点.故所求概率为8()15P M =. 2．（2022·广东）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在[)70,90的居民有660人．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)根据频率分布直方图估计本次评测分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，并精确到0.1）；(3)为了今后更好地完成当地的防疫工作，政府部门又采用比例分配的分层抽样的方法，从评分在[)40,60的居民中选出6人进行详细的调查，再从中选取两人进行面对面沟通，求选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的概率．【答案】(1)0.025(2)80.7(3)115【解析】（1）()0.0020.0040.0140.0200.035101a +++++⨯=，0.025a ∴=.（2）平均数为()450.002550.004650.014750.020850.035950.0251080.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（3）评分在[)40,50和[)50,60的频率之比为1:2，∴应在评分在[)40,50的居民中应抽取2人，记为,A B ；在[)50,60的居民中应抽取4人，记为a b c d ,,,，则从中选取两人有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共15种情况；其中选出的两人恰好都是评分在[)40,50之间的有AB ，仅有1种；∴所求概率115p =. 3．（2022·四川眉山）某校高二（2）班的一次化学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图：(1)求全班人数及全班分数的中位数；(2)根据频率分布直方图估计该班本次测试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)若从分数在[)80,90及[]90,100的答题卡中采用分层抽样的方式抽取了5份答题卡，再从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡了解学生失分情况，求这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率. 【答案】(1)50人，76.5分(2)77.2(3)710【解析】（1）解：由茎叶图可知，分数在[)50,60内的频数为3，由频率分布直方图可知，分数在[)50,60内的频率为0.006100.06⨯=，所以， 全班人数为3500.06=人，因为分数在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，所以，全班分数的中位数767776.52+=. （2）解：由茎叶图知，分数在[)50,60内的频数为3，在[)60,70内的频数为11，分数在[)70,80内的频数为16，在[]90,100内的频数为8，所以，分数在[)80,90内的频数为5031116812----=，所以，该班本次测试的平均成绩为550.06650.22750.32850.24950.1677.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）解：因为分数在[)80,90内的频数为12，在[]90,100内的频数为8，所以，由分层抽样抽取了5份答题卡中，分数在[)80,90内的有3份，分别记为,,a b c ，分数在[]90,100内的有2份，分别记为,m n ，所以，从抽取的这5份答题卡中随机抽取2份答题卡的所有情况有：()()()(),,,,,,,a b a c a m a n ，()()(),,,,,b c b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共10种，其中，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100内的情况有：()(),,,a m a n ，()(),,,b m b n ，()(),,,c m c n ，(),m n 共7种，所以，这2份答题卡至少有一份分数在[]90,100的概率为710P =. 考点二 条件概率【例2-1】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）设()()()11,||32P P P B A A B A ===，则()P B =（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】因为()()()1|3P AB P B A P A ==，且()12P A =，所以()16P AB = ()()()1|3P AB P A B P B ==，所以()12P B =，故选：D. 【例2-2】（2022·陕西渭南·高二期末（文））甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝、唯怡豆奶、雪碧这3种饮品中随机选择一个，且两人的选择结果互不影响．记事件A =“甲选择唯怡豆奶”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则条件概率()P B A =________． 【答案】23【解析】由题意得，设加多宝、唯怡豆奶、雪碧分别标号为1,2,3，则两人的选择结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)，，，，，,(3,1,)(3,2)(3,3)，，，则事件A 的可能结果为：(2,1)(2,2)(2,3)，，，共3个， 在事件A 的条件下发生事件B 的结果有(2,1)(2,3)，，共2个，所以2()3P B A =.故答案为: 23.【例2-3】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求： (1)第一次取到正品的概率；(2)在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率.【答案】(1)35(2)12【解析】（1）解：设A =“第一次取到正品” B =“第二次取到正品”，所以()11341154C C 3C C 5P A ==，第一次取到正品的概率为35；（2）解：()11321154C C 3C C 10P AB ==，所以()()()3110|325P A P AB P B A ===，故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为12. 【一隅三反】1．（2022·福建）设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（ ） A ．0.24B ．0.375C ．0.4D ．0.5【答案】B 【解析】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B 2．（2022·陕西西安）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为（ ） A ．45B ．15C ．35D ．320【答案】A【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A ，且()0.3P A =，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过2h 记为事件B ，且由题可知，()0.60.40.24P AB =⨯=，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2h 的概率为：()0.244(|)()0.35P BA P B A P A ===.故B ，C ，D 错误.故选：A.3．（2022·福建三明）有3箱同一品种的零件，每箱装有10个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：(1)第1次取出的零件是一等品的概率；(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率． 【答案】(1)25(2)1127【解析】(1)设i A ＝“被挑出的是第i 箱”()i 1,2,3=，i B ＝“第i 次取出的零件是一等品”()i 1,2=， 则()()()12313P A P A P A ===， 因为()()()311121634221|,|,|105105105P B A P B A P B A ======，()()()()()()()223111111313212|||35555P B P A P B A P A P B A P A P B A ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭，所以第1次取出的零件是一等品的概率是25．(2)由（1）得()125P B =， 因为()()()222642121122123222101010C C C 121|,|,|C 3C 15C 45P B B A P B B A P B B A ======，所以()()()()()()()12112212231231|||P B B P A P B B P A P B B A P A P B B A A =++1112112233315345135=⨯+⨯+⨯=，所以()()()1221111|27P B B P B B P B ==．故在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率为1127． 考点三 综合运用【例3】（2022·江苏扬州·高三期末）为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为1；(2)257. 【解析】(1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.(2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15.【解析】记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，则从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Da ，Db ，ab ，共15种情况.（1）记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A ，事件M 所包含的基本事件为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，共有5个，∴()51153P M ==. （2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设男生甲为A ，女生乙为b ，则()115P M N ⋂=. 又由（1）知：()13P M =，故()()()15P M N P N M P M ⋂==. 2．（2022·辽宁沈阳·二模）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种．(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为12．设X 为甲在3次挑战中成功的次数，求X 的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1．（∴）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率； （∴）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率． 【答案】(1)分布列见解析，32(2)（∴）0.4；（∴）0.62． 【解析】(1)由题意得，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3311C 122k kk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,1,2,3k =， 则X 的分布列为：则()13322E X =⨯=. (2)设事件i A 为“乙在第i 次挑战中成功”，其中1,2,3i =．（∴）设事件B 为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则1212B A A A A =+， 则()()()()()()()1212121121P B P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+()()0.510.610.50.40.4=⨯-+-⨯=．即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4．（∴）因为()()()()()()21212121121P A P A A A A P A P A A P A P A A =+=+0.50.60.50.40.5=⨯+⨯=，且()()()()23123123123123P A A P A A A A A A P A A A P A A A =+=+0.50.60.70.50.40.50.31=⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()233220.310.620.5P A A P A A P A ===． 即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.62．。

6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）题组一古典概型1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表.分组频数频率[)6,6.550.10[)6.5,780.16[)7,7.5x0.14[)7.5,812y(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率． 5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．232（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B =B ．1()6P C =C ．()()P C P AB = D ．(|)(|)P A C P B C =3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B =D ．()1|2P A B =题组二 条件概型4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．275．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．1106．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．147．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．498．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）A ．()()()P M N P M P N ⋃=+ B ．()()1P MN P MN =- C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B =D ．()922P B =题组三 古典与条件综合运用1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）A．14，14，12B．14，14，14C．13，13，12D．14，13，122．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版）1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：(1)求a ；(2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率.【答案】(1)0.020a =(2)74.4分钟(3)310【解析】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，解得0.020a =.（2）因为(0.0100.020)100.30.5+⨯=<，(0.0100.0200.045)100.750.5++⨯=>.则中位数位于区间[70,80)内，设中位数为x ，则0.3(70)0.0450.5x +-⨯=，解得74.4x ≈，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟.（3）由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[60,70)的人数为1000.220⨯=，阅读时间位于[80,90)的人数为1000.220⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[60,70)有2人，设为1b ，2b ，位于区间[80,90)有2人，设为1c ，2c .则从5人中任取3人，样本空间()()()(){12111221Ω,,,,,,,,,,,,a b b a b c a b c a b c =()()()()()()}2212121122112212,,,,,,,,,,,,,,,,,a b c a c c b b c b b c b c c b c c .含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅题组一 古典概型读时间在[80,90)”，()()(){}12112212,,,,,,,,A a c c b c c b c c =，含有3个样本点.所以3()10P A =，所以恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率为310. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h ）的频率分布表.(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值；(2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.【答案】(1)1800人，7,0.24,8x y z ===(2)35【解析】(1)设该校学生总数为n ，由题意1501505045660n --=，解得1800n =， ∴该校学生总数为1800人.由题意0.1450x=，解得127,0.2450x y ===，()505812108.z x =-----= (2)记“选中的2人恰好为一男一女”为事件A ，记5名高二学生中女生为12,F F ，男生为123,,M M M ， 从中任选2人有以下情况：()()()()()()()12111213212223,,,,,,,,,,,,,F F F M F M F M F M F M F M ，()()()121323,,,,,M M M M M M ，基本事件共有10个，其中事件A 包含的基本事件有6个，故()63105P A ==， 所以选中的2人恰好为一男一女的概率为35.3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100人的平均成绩；(2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率.【答案】(1)73分(2)35【解析】(1)由频率分布直方图可知()0.0050.040.030.005101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以这100人的平均成绩为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 即这100人的平均成绩为73分.(2)依题意可知成绩在[]90,100的有1000.005105⨯⨯=人，其中2位男生、3位女生，设3位女生分别为a 、b 、c ，2位男生为A 、B ，从中任取3人的取法有(),,a b c 、(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,a A B ，(),,b c A ，(),,b c B ，(),,b A B ，(),,c A B 共10种取法，其中恰有一个男生的有(),,a b A 、(),,a b B 、(),,a c A 、(),,a c B ，(),,b c A ，(),,b c B 共6种， 所以恰有一位男生的概率63105P ==. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下：假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法共抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取3人进一步了解情况，求抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次的概率．【答案】(1)25(2)23（元）(3)35【解析】(1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20105540+++=（位）， 所以该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率4021005P == (2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为603030-=（元）， 第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.953027⨯-=（元）， 第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.903024⨯-=（元）， 第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.853021⨯-=（元）， 第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润为600.803018⨯-=（元） 所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为302724211818236+++++=（元）(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人， 这6人中，将消费3次的会员分别记为a ，b ，c ，d ，消费4次的会员分别记为e ，f 从6人中随机抽取3人的情况有(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b e a b f ;(,,),(,,),(,,)a c d a c e a c f ;(,,),(,,)a d e a d f ;(,,)a e f ;(,,),(,,),(,,)b c d b c e b c f ;(,,),(,,)b d e b d f ；(,,)b e f ；(,,),(,,)(,,)c d e c d f c e f ；(,,)d e f ，共20种设“抽取的3人中恰有一人的消费次数为4次”为事件A ，则事件A 包含的情况有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b e a b f a c e a c f a d e a d f b c e b c f b d e b d f c d e c d f ，共12种．根据古典概型的概率计算公式可得，()123205P A ==5．（2022·广西柳州）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分.上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[)0,20，第二组[)20,40，第三组[)40,60，第四组[)60,80，第五组[]80,100，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计所打分数的众数，平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）(2)该部门在第一､二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率. 【答案】(1)众数为70，平均数为65；(2)815【解析】(1)由频率分布直方图可知，众数为6080=702+； 5个组的频率分别为0.05，0.1，0.2，0.35，0.3，所以平均数为 100.05300.1500.2700.35900.365⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由频率分布直方图可知第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.1， 则第一组的人数为5人，第二组的人数为10人， 所以按分层抽样的方法抽到的6人中，第一组抽2人，记为12、a a ；第二组抽4人，记为1234b b b b 、、、，则121112131421222324121314232434{,,,,,,,,,,,,,,}a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b b b b b Ω=， 设事件A 为抽到的2人来着不同的组，则1112131421222324{,,,,,,,}A a b a b a b a b a b a b a b a b =，所以8()15P A =. 1．（2022·吉林）先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（ ） A ．1318B ．712C ．310D ．23【答案】D【解析】设事件A 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数为奇数”，题组二 条件概型事件B 表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，两次点数和不大于7”， 则1()2P A =，121()363P AB ==,所以1()23()1()32P AB P B A P A ===.故选：D. 2（2022·江西·高三阶段练习（理））从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件A =“恰好抽取的是2，4”，B =“恰好抽取的是4，5”，C =“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（ ） A ．()()()P AB P A P B = B ．1()6P C =C ．()()P C P AB =D ．(|)(|)P A C P B C =【答案】D【解析】由题知，从6个数中随机抽取2个数，共有2615C =种可能情况，则1()15P A =，1()15P B =．对于A 选项，“恰好抽取的是2，4”和“恰好抽取的是4，5”为互斥事件，()0P AB =，()()0≠P A P B ，故A 错误；对于B 选项，1526C 1()C 3P C ==，故B 错误； 对于C 选项，()0P AB =，故C 错误；对于D 选项，由于1()()15P AC P BC ==，故由条件概率公式得()()()()(|)(|)P AC P BC P A C P B C P C P C ===，故D正确． 故选:D ．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A 表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（ ） A ．()25P A =B ．()3|5P B A =C ．()1325P B = D ．()1|2P A B =【答案】C 【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以()25P A =，故选项A 正确； 因为236()5525P AB =⨯=，所以()()()6325|255P AB P B A P A ===，故选项B 正确； 因为()233212555525P B =⨯+⨯=，故选项C 错误；因为()2365525P AB =⨯=，所以()()()6125|12225P AB P A B P B ===，故选项D 正确. 故选：C .4．（2022·山东济宁）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A ．128B ．110 C ．19D ．27【答案】D【解析】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为27.故选：D 5．（2022·黑龙江）已知()12P AB =，()35P A =，则()P B A 等于（ ）．A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】A【解析】()()()152365P AB P B A P A ===.故选：A. 6．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A ．716B ．38C ．516 D ．14【答案】A【解析】令事件1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P A P A P B A P B ====∣， 依题意，()()()()()()112220.20.50.80.45P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=∣∣∣， 解得()2716P BA =∣，所以所求近视的概率为716. 故选：A .7．（2022·河北张家口·高二期末）某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为34，连续闯过前两关的概率为12，连续闯过前三关的概率为13，且各关相互独立.事件A 表示小明第一关闯关成功，事件C 表示小明第三关闯关成功，则()|P C A =（ ）A ．18B ．23C ．13D ．49【答案】D【解析】设事件B 表示小明第二关闯关成功，可得()()P AC P ABC =， 由条件概率的计算公式，可得()()()143394P ABC P CA P A ===∣.故选：D. 8．（2022·山东济宁）（多选）设M 、N 是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ） A ．()()()P M N P M P N ⋃=+B ．()()1P MN P MN =-C ．()()()|P MN P M P N M =D ．()()()()||P N M P M P M N P N =【答案】CD【解析】对A ，当,M N 不互斥时，()()()P M N P M P N ⋃=+不成立，故A 错误；对B ，当,M N 为对立事件时，()()0P MN P MN ==，则()()1P MN P MN =-不成立，故B 错误； 对C ，当()0P M =时，()()()|0P MN P M P N M ==成立，当()0P M ≠时，根据条件概率的公式()()()|P MN P N M P M =可得()()()|P MN P M P N M =成立，故C 正确；对D ，根据条件概率的公式，结合C 选项可得()()()()()()||P MN P N M P M P M N P N P N ==成立，故D 正确；故选：CD 9．（2022·福建福州）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（ ） A ．事件B 与事件3A 相互独立 B ．()159P A B =C ．()2655P A B = D ．()922P B =【答案】BD【解析】由题意知：()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =，()1511P B A =，()2411P B A =，()3411P B A =， ()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A ∴=++1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=，D 正确；()()()()()()11111552119922P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，B 正确；()()()22214451155P A B P A P B A ==⨯=，C 错误；()()()333346101155P A B P A P B A ==⨯=，()()339271022220P A P B =⨯=， ()()()33P A B P A P B ∴≠，∴事件B 与事件3A 不相互独立，A 错误.故选：BD. 1．（2022·河南）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）A ．14，14，12B ．14，14，14C ．13，13，12D ．14，13，12【答案】A【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”114P =， “第二次被抽到的概率”2311434P =⨯=，“在整个抽样过程中被抽到的概率”313114432P =+⨯=． 故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习（理））一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？题组三 古典与条件综合运用(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅰ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)答案见解析 (2)（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】（1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅3．（2022·全国·高三专题练习）现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.【答案】(1)23(2)25(3)35【解析】(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB ，从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为()26A 30n Ω==，根据分步计数原理有()1145A A 20n A ==，所以()()()202303n A P A n Ω===.(2)由(1)知，()24A 12n AB ==，所以()()()122305n AB P AB n Ω===. (3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 ()()()235253P AB P B A P A ===.。

高二数学概率知识点总结
一、随机事件的概率
1. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

2. 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。

3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

4. 概率的定义：对于一个随机事件A，它发生的概率P(A)满足0 ≤ P(A) ≤ 1。

如果P(A)=1，则事件A 为必然事件；如果P(A)=0，则事件A 为不可能事件。

二、古典概型
1. 古典概型的特征：
-试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

-每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的概率计算公式：P(A)=事件A 包含的基本事件数÷总的基本事件数。

三、几何概型
1. 几何概型的特征：
-试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。

-每个基本事件出现的可能性相等。

2. 几何概型的概率计算公式：P(A)=构成事件A 的区域长度（面积或体积）
÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。

四、互斥事件和对立事件
1. 互斥事件：如果事件A 和事件B 不能同时发生，那么称事件A 和事件B 为互斥事件。

-互斥事件的概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)（A、B 互斥）。

2. 对立事件：如果事件A 和事件B 必有一个发生，且仅有一个发生，那么称事件A 和事件 B 为对立事件。

-对立事件的概率计算公式：P(A)=1 - P(A 的对立事件)。

高二各知识点数学题高二数学要怎么学好?刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。

今天小编在这给大家整理了高二数学题大全，接下来随着小编一起来看看吧!高二数学题(一)古典概型(习题课)本节是学生们在学习完古典概型的一节习题课，本节的主要任务是通过处理教材上的习题使学生进一步理解古典概型的概念及其计算方法，本着新课程的教学理念，为提高课堂效率，本节课我把讲台让给学生，以学习小组为单位，来进行本节课的教学。

(必修3、P134,第4题)A、B、C、D四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：①A在边上;②A和B都在边上;③A或B在边上;④A和B都不在边上教师：同学们，准备好了吗?现在给大家一分钟的时间看看题，各小组选好自己的代表。

(稍作停留，给学生准备时间)，现在请第一组派代表来讲解第一小问。

学生1：题目中说4名同学站成一排，那么我们就考虑他们站队的情况，也就是基本事件个数有24种，用列举法表示出来就是：ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCBBACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCACABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBADABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA其中A在边上包括有最左边和最右边两种情况：共12种情况所以A在边上的概率学生2：老师，刚才同学1在计算基本事件的时候用列举法表示，考虑了四个人的顺序，而这道题在题目中说按任意的次序站，是没有顺序的，他的做法是不是不对?老师：(心中一惊，看来学生对基本事件中顺序有无的考虑还有所欠缺，还需要加以强调)：那么同学们考虑考虑刚才这位同学的担心对不对?学生3：同学1在刚才考虑的时候，基本事件的24种有顺序，但是所要求的事件A在边上包括12种基本事件也有了顺序，两者都考虑了顺序，所以甲的计算是对的，结果就应该是。

古典概型第一课时学习目标1.了解基本事件的特点。

2.了解古典概型的定义。

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题。

一复习旧知：1.概率必须满足的两个基本条件是什么?2.我们可以用什么来刻画事件A发生的概率?二．课堂导航（一）认识事件的特征材料一：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大?问题1：试验的基本事件是什么？问题2：抽到红心“为事件B，那么事件B发生是什么意思？问题3：这5种情况是等可能的吗？问题4：抽到红心的概率是多大？材料二：投掷一个骰子，观察它落地时向上的点数，则出现的点数是3的倍数的概率是多大？问题1：试验的基本事件是什么？问题2：“出现的点数是3的倍数”为事件A，则事件A的发生是什么意思？问题3：这几种情况的发生是等可能的吗？问题4：点数为3的倍数的概率为多大？问题5：以上两段材料的基本事件有什么共同特征？（1）（2）（二）认识古典概型的计算公式（三）理解古典概型及其计算公式例1:一只口袋内装有大小相同的五只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球。

(1) 共有多少个基本事件?(2) 摸出两只球都是白球的概率是多少?问题1：共有哪些基本事件？问题2：是古典概型吗？为什么？问题3“抽出两只求都是白球”为事件A，事件A的发生是什么意思？问题4：事件A的概率是多大？问题5：你能否总结一下运用古典概型解决实际问题的步骤？例2: 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因d,则杂交所得第一代的一对基因为Dd。

若第二子代的D, d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率。

请你按照上题的解题思路解决本题。

思考:你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗?例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问:(1) 共有多少种不同的结果?(2) 两数之和是3的倍数的结果有多少种?(3) 两数之和是3的倍数的概率是多少?（四）巩固练习:1. 某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。

第1课时　古典概型的概率计算公式及其应用A级必备知识基础练1.下列事件属于古典概型的是( )A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和作为基本事件B.篮球运动员投篮,观察他是否投中C.测量一杯水分子的个数D.在4个完全相同的小球中任取1个2.(2021浙江杭州期中)从一副52张的扑克牌中任抽一张,“抽到K或Q”的概率是( )A.1 26B.113C.326D.2133.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为( )A.1 12B.19C.136D.1184.(多选题)以下对各事件发生的概率判断正确的是( )A.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏,则玩一局甲不输的概率是13B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的概率是536D.从三件正品、一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是125.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽到高一学生的概率是 ,抽到高二学生的概率是 ,抽到高三学生的概率是 .6.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为 .7.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为 .8.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(所有的球除颜色外都相同).(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.9.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛.(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率;(2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.B级关键能力提升练10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为( )A.5 8B.18C.38D.1411.若集合A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是( )A.2 9B.13C.89D.112.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(　)A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为1613.天气预报说,今后三天每天下雨的概率相同,现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率,用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率,可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨;投三次骰子代表三天;产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下:613,265,114,236,561,435,443,251,154,353.则在此次随机模拟试验中,每天下雨的概率的近似值是 ,三天中有两天下雨的概率的近似值为 .14.有6根细木棒,长度分别为1,2,3,4,5,6,从中任取3根首尾相接,能搭成三角形的概率是 .15.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.16.某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60), [60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的中位数;(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.C级学科素养创新练17.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616 (1)求这5天发芽数的中位数;(2)求这5天的平均发芽数;(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,的概率.用(m,n)的形式列出所有基本事件,并求满足{25≤m≤30,25≤n≤3018.从某商场随机抽取了2 000件商品,按商品价格(单位:元)进行统计,所得频率分布直方图如图所示.记价格在[800,1 000),[1 000,1 200),[1 200,1 400]对应的小矩形的面积分别为S1,S2,S3,且S1=3S2=6S3.(1)按分层随机抽样从价格在[200,400),[1 200,1 400]的商品中共抽取6件,再从这6件中随机抽取2件作价格对比,求抽到的两件商品价格差超过800元的概率;(2)在节日期间,该商场制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场商品优惠如下表,如果你是消费者,你会选择哪种方案?为什么?(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)商品价格[200,400)[400,600)[600,800)[800,1 000)[1 000,1 200)[1 200,1 400]优惠/元3050140160280320第1课时　古典概型的概率计算公式及其应用1.D　判断一个事件是否为古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性. A选项,任意抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得点数之和对应的概率不全相等,如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等,不属于古典概型,故A排除;B选项,“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等,不属于古典概型,故B排除;C选项,杯中水分子有无数多个,不属于古典概型,故C排除;D选项,在4个完全相同的小球中任取1个,每个球被抽到的机会均等,且包含的基本事件共有4个,符合古典概型,故D正确.故选D.2.D　设“抽到K或Q”为事件A,∵基本事件总数为52,事件A包含的基本事件数为8,∴P(A)=8 52=2 13.3.D　样本点总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为236=1 18.4.BCD　对于A,如图所示:由图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜)=13,P(乙获胜)=1 3,故玩一局甲不输的概率是23,故A错误;对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7), (2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,15),共有15种样本点,其中和等于14的只有(3,11)一组,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为115,故B正确;对于C,基本事件总共有6×6=36(种)情况,其中点数之和是6的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种情况,则所求概率是536,故C正确;对于D,记三件正品为A1,A2,A3,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为A1A2,A1A3,A1B,A2A3,A2B,A3B,共6种,其中两件都是正品的有A1A2,A1A3,A2A3,共3种,则所求概率为P=36=12,故D正确.故选BCD.5.4 151325　任意抽取一名学生是等可能事件,样本点总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的样本点的个数分别为20,25和30.故P(A)=2075=415,P(B)=2575=13,P(C)=3075=25.6.15　“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8), (2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9),共10个样本点,又“它们的长度恰好相差0.3m”包括(2.5,2.8),(2.6,2.9),共2个样本点,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为210= 1 5.7.23　甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙), (丙,乙,甲),共6种样本点,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种样本点.所以甲、乙两人相邻而站的概率为46= 2 3.8.解(1)所有可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2), (B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13.故这种说法不正确.9.解根据题意可知其样本空间Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6个样本点.(1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A,事件A包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),共2个,所以P(A)=26=13.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.(2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件B,事件B包含的样本点有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4个,所以P(B)=46= 2 3.所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为23.10.A　甲、乙所猜数字的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种情况,其中满足|a-b|≤1的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种情况,故所求概率为1016= 5 8.11.C　随着a,b的取值变化,集合B有32=9(种)可能,如表.经过验证很容易知道其中有8种满足A∩B=B,所以概率是89.故选C.12.ACD　记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.A选项,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1), (3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},共12种样本点,B错误;C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2), (1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},共16种样本点,D正确.故选ACD.13.1315　每个骰子有6个点数,出现1或2为下雨天,共有6种,则每天下雨的概率的近似值为13,10组数据中,114,251,表示3天中有2天下雨,所以从得到的10组随机数来看,3天中有2天下雨的有2组,则3天中有2天下雨的概率近似值为210= 1 5.14.720　从这6根细木棒中任取3根首尾相接,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4), (1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6), (3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共20个样本点,能构成三角形的取法有(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7个样本点,所以由古典概型概率公式可得所求概率为P=720.15.解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.16.解(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.(2)设中位数为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.(3)可得满意度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满意度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1), (a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)},共10个样本点,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事件A,A包含的样本点个数为4,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4. 17.解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.(2)这5天的平均发芽率为23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%.(3)用(m,n)表示所求基本事件,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26), (25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个基本事件.记满足{25≤m≤30,25≤n≤30为事件A,则事件A包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26),共有3个基本事件.所以P(A)=310,即事件{25≤m≤30,25≤n≤30的概率为310.18.解(1)根据频率和为1的性质知0.00050×200+0.00100×200+0.00125×200+S1+S2+S3=1,又S1=3S2=6S3,得到S1=0.30,S2=0.10,S3=0.05.价格在[200,400)的频率为0.00050×200=0.10,价格在[1200,1400]的频率为S3=0.05.按分层随机抽样的方法从价格在[200,400),[1200,1400]的商品中抽取6件,则在[200,400)上抽取4件,记为a1,a2,a3,a4,在[1200,1400]上抽取2件,记为b1,b2.现从中抽出2件,所有可能情况为:a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共计15个样本点,其中符合题意的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2共8个样本点,因此抽到的两件商品价格差超过800元的概率为P=815.(2)对于方案一,优惠的价钱的平均值为:(300×0.10+500×0.20+700×0.25+900×0.30+1100×0.10+1300×0.05)×20%=150;对于方案二,优惠的价钱的平均值为:30×0.10+50×0.20+140×0.25+160×0.30+280×0.10+320×0.05=140.因为150>140,所以选择方案一更好.。

高二数学古典概型试题1.某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是则在这段时间内吊灯能照明的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这段时间内吊灯不能照明的概率，因此这段时间内吊灯能照明的概率【考点】独立事件的概率.2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则P()= ,因此P（A）1-P()=故选D．【考点】古典概型及其概率计算公式．3.某家电专卖店在五一期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：奖次一等奖二等奖三等奖商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，并产生了20个随机数组，试验结果如下：247，235，145，124，754，353，296，065，379，118，520，378，218，953，254，368，027，111，358，279．（1）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率；（2）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：（ⅰ）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率；（ⅱ）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值．【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）400.【解析】解题思路：(1)利用对立事件的概率与古典概型的概率公式求解即可；（2）（ⅰ）根据二项分布的概率公式求解；（ⅱ）平均奖金即随机奖金的数学期望.规律总结：1.遇到“至少”、“至多”，且正面情况较多时，可以考虑对立事件的概率；2.利用概率或随机变量的分布列以及期望、方差解决应用题时，要注意随机变量的实际意义.试题解析：（1）在20组数中，获奖的数组有8组，记“至少有1组获奖”为事件A，则．（2）（ⅰ）购买一台电视机获奖的概率为，则购买的四台电视恰好有两台获奖的概率．（ⅱ）记每台电视的奖金为随机变量，则0，m，2m，5m．由题；；；．则，由于平均每台电视的奖金不超过260元，所以，解得，故本次活动平均每台电视的奖金不超过260元时，m的最大值是400元.【考点】1.古典概型；2.二项分布；3.随机变量的数学期望.4.集合，，点P的坐标为（，），，，则点P在直线下方的概率为 .[【答案】【解析】这是一个古典概型，基本事件总数为个，点P在直线下方这个事件包括共10个基本事件，故该事件的概率为。

高二数学古典概型知识点1.基本事件：试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.基本事件的特点：(1)每个基本事件的发生都是等可能的.(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.2.古典概型的定义：(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.3.计算古典概型的概率的基本步骤为：(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m;(2)计算基本事件的总数n;(3)应用公式P(A)?m计算概率. n4.古典概型的概率公式：P(A)?A包含的基本事件的个数基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.高二数学随机事件知识点随机现象在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类：确定性现象随机现象对随机现象进行大量的重复试验(观测)其结果往往能呈现出某种统计规律性l随机试验为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验.如果试验具有下述特点：(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个;(3)每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。