高二数学选修不等式的基本性质课件

（二）利用不等式的性质证明不等式
【例2】设a>b,c>d,n>0,求证d-an<c-
bn.
分析：由已知条件中的不等式并结合
不等式的性质进行推理,直至推出欲证不
等式.
证明：因为a>b,n>0,所以an>bn,所以
-an<-bn.
又c>d,所以d-an<c-bn.
变式训练2：

已知a<b<0,c>d>0,x<0,求证 -
证明：因为a<b<0,所以-a>-b>0.
又c>d>0,所以c-a>d-b>0.
所以
1
0<
-
<
1
.因为
-

x<0,所以
-
>

.
-
>

.
-
四、自我完善
1.若x>1>y,则下列不等式不成立的是
(
)
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析：利用不等式的性质易得选项
（x 3） x 7 （x 4） x 6
作差
( x 2 10 x 21) ( x 2 10 x 24) 变形
3 0.
判断
所以（x 3)( x 7) ( x 4)( x 6)
得出结论

9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .8.102 1.8.10 Tuesday , August 10, 2021

不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析

＜ 0；
(1) a ＋ 2 ____
a

＞ 0；
(3) 4 ____
＜ 0；
(5) a3 ____
＞ 0；
(4) a2 ____
例：利用不等式的性质将下列不等式化成
“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－5>‒1;
（2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式 解：(2)根据不等式
的性质1两边都加上5，的性质3两边都除以‒2，
得：
得：
x-5+5 > ‒1+5
-2x÷（‒2）< 3÷（‒2）
3
即x > 4;
即x <- ;
2
巩固练习
将下列不等式化成 x > a或 x < a
的形式.
(1)2x＞-10

(2)- ＞5
3
(3)7x＜6x-6
提升练习
比较2a与5a的大小
对于不知道正负的字母，不能默认为正数，
应考虑到正负不同情况，也有可能为0
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变。
归纳：

如果a>b，c>0，那么ac>bc，

>


不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或
Байду номын сангаас除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b ，c<0，那么ac<bc,

不等式的基本性质2、3有什么不同？
<


练一练
1. 设 a＞b，用“＜”“＞”填空，并回答是根据不
等式基本性质1：在等式两边同时加

堂 双
主
基
导 学
所以xx－2yx2＋x＋1y＞0.
达 标
所以A2＞B2，又A＞0，B＞0，故有A＞B.
课
堂
互 动 探 究
课 时 作 业
菜单
不等式的基本性质
新课标 ·数学 选修4-5
判断下列命题是否正确，并说明理由．
课
当
前 自
(1)若a>b，则ac2>bc2；
堂 双
主
基
导 学
(2)若ca2>cb2，则a>b；
自 主
A．3a>2a
B．a2<2a
双 基
导
达
学
1
C.a<a
标
D．3－2a>1－2a
课
堂 互
【答案】 D
动
探
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
2．已知m，n∈R，则m1 ＞1n成立的一个充要条件是
课 前
A．m＞0＞n
自
主 导
C．m＜n＜0
学
B．n＞m＞0 D．mn(m－n)＜0
()
当 堂 双 基 达 标
课
堂 方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答
互 动
探 此类问题的基础．
究
课 时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-5
课 前 自
已知－6<a<8,2<b<3，分别求a－b，ab的取值范围．
当 堂 双
主
基
导
达
学
【解】 ∵－6<a<8,2<b<3.
标
∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6，

得（ 5）2 2 5(不等式的基本性质2)，
即5 2 5.不等式两边同除以2. 得 5 5(不等式的基本性质2)，
2 所以 5 2.5.
例4.估计 1- 5 与0.5哪个大？与- 1比较呢？
2
解：因为2 5 3,由 5 2,
不等式两边同乘- 1， 得- 5 2(不等式的基本性质3). 两边同加上1，得,1- 5 -1
( √)
6. 若 -2x >0， 则 x > 0
( ×)
7. 若 -2<1， 则 -2a < a
( ×)
8. 若 a >0， 则 3a > 2a
( √)
你认为是这样吗 ？
小辉在学了不等式的基本性质这一节后，他 觉得很容易；并用很快的速度做了一道填空题， 结果如下：
(1) 若 x﹥y， 则 x － z ﹤ y － z ； (2) 若 x﹤0， 则 3x ﹤ 5x ； (3) 若 x﹥y， 则 x z 2 ﹥ y z 2 ；
(3)6> 2 ， 6× 5＞___2×5， 6× (-5)_＜__2× (-5)
(4) -2<3， (-2)×6_＜__3 × 6， (-2)× (6)_＞__3×(-6)
(5) -2<4， (-2)÷2_＜___4÷2， (-2)÷(-2) _＞__ 4÷(-2)
例 题 例3.你能根据 5 2, 利用不等式的基 解 本性质，推出 5 2.5吗？ 析 解： 5 2,不等式两边同乘整数5，
x2 5x- 2与x2 2x 4的值的大小.
解：（x2 5x 2）（x2 2x 4）
3x 6.
当x 1,3x- 6 -3 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2,3x- 6 0, x2 5x- 2 x2 2x 4; 当x 2 2,3x- 6 （6 2- 1） 0, x2 5x- 2 x2 2x 4;

要条件是：a b a b 0 a b a b 0
ab ab0
2．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所 得的式子，叫做不等式．
3. 同向不等式与异向不等式 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如： a>b，c>d，是同向不等式. 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.例如： a>b，c<d，是异向不等式.
例5 已知函数f(x)=ax2-c, -4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5, 求f(3)的取值范围。
不等式的基本性质总结
作业： 习题6.1 4~6.
补充：1.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是
A．a-d>b-c
B．da
b c
C．a+d>b+c
D．ac>bd
2. 如果a、b为非0实数，则不等式
3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的， 相等是相对的。过去我们已经接 触过许多不等式的问题，本章我 们将较系统地研究有关不等式的 性质、证明、解法和应用.一、不等式的几个基本概念
1．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种 关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c． 即a>b ⇒ a+c>b+c
点评：(1)性质3的逆命题也成立； (2)利用性质3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也 就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它 从—边移到另一边．
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相 加法则)

从以上能发现什么？可以得到什么结论？
-
3
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向 不变.
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变.
-
4
例题
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
； https:///huanshoulv/ 换手率 ；
代化の口吻是陆羽教她の,林师兄和导师们全是研习古文学の精英,万万不能被他们看出端倪.婷玉の存在,陆羽对谁都不敢说.既诧异对方の行礼姿势标准,林师兄礼貌而客套地颔首回礼.“你好,陆陆呢？”没有自我介绍,没有和善友好,闺蜜与邻居朋友の分量不同,作为熊孩子家长代表の林师兄对亭 飞の态度比对邻居の严肃多了,跟挑女婿差不多挑剔.毕竟,好闺蜜千金难觅,坏闺蜜随时变小蜜,不得不看仔细.“在楼上收拾书籍.”婷玉并无不悦.林师兄点点头,“你也抓紧收拾收拾,明天一早离开.”恰巧陆羽听见动静赶紧从二楼下来,“这么快？不看日出了？”“没时间了,老师传了一些资料回 来,妙妙搞不定.”唉,如果是她在办公室就好了,他爱什么时候回就什么时候回.“哦,这样,”陆羽想了想,“要不师兄先走？我今晚通知房东明早过来办理钥匙交接,就怕他迟迟不来耽误你の时间.你不用担心我,我跟亭飞自己坐车就好.”卓文鼎师徒没开车来,问问他们要不要一起走,正好有伴.“也 行.”林师兄の确没时间等.不过,他在晚上搬书籍和大件行李去休闲居の时候,拜托大家伙明早帮忙看着以免陆羽又被人刁难.幸运の是,第二天一早,周定康如约前来接收房子,拿过钥匙便兴冲冲地去了何玲家.陆羽无暇理会他去哪儿,她牵着四只汪抱着小

事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.

得 5x－x＞x－x－4，即 4x＞－4，
根据不等式的基本性质 2，两边同时除以 4，得 x＞－1.
(3)15x＞－2.4; 解：根据不等式的基本性质 2，两边同时乘以 5，
得15x·5＞－2.4×5，即 x＞－12. (4)－3x＋4＜－2.
根据不等式的基本性质 1，两边同时减去 4，
得－3x＋4－4＜－2－4，即－3x＜－6.
17．已知 x＞y，请比较下列各组的大小． (1)x3－2 与3y－2；
解：因为 x＞y, 所以x3＞3y，所以x3－2＞3y－2. (2)3－2x 与 3－2y.
因为 x＞y，所以－2x＜－2y，所以 3－2x＜3－2y.
解：a2－2b2＋2－a2－23b2＋1＝3a2－3b2＋6－6 2a2＋4b2－2 ＝a2＋6b2＋4. 因为 a2＋b2≥0，所以a2＋b62＋4＞0，即a2－2b2＋2＞a2－23b2＋1.
11. 【合肥蜀山区期中】若 m＞n，则下列不等式一定成立的是
( D) A．mn ＜1 C．－m＞－n
B．mn ＞1 D．m－n＞0
12. 【易错题】如果 a，b 表示两个负数，且 a＞b，则( B )
A．ab＞1
B．ba＞1
C．1a＞1b
D．ab＜1
13．根据不等式的基本性质，下列变形正确的是( B )
性质 5 如果 a＞b，b＞c，那么 a____＞____c.
1．若 a＜b，则下列结论一定正确的是( C ) A．a＋2＜b＋1 B．a＋1＜b C．a＋2＜b＋2 D．a＞b＋2
2．【易错题】下列说法不一定成立的是( C ) A．若 a＞b，则 a＋c＞b＋c B．若 a＋c＞b＋c，则 a＞b C．若 a＞b，则 ac2＞bc2 D．若 ac2＞bc2，则 a＞b

∴m－n≥0，即 m≥n(当 x＝y 时，等号成立)．
比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤 是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是 关键，常用的方法是分解因式、配方等．
不等式的证明 [例2] 已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．
(2)设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b. 解得λ1＝53，λ2＝－23. ∴－53≤53(a＋b)≤53，－2≤－23(a－2b)≤－23. ∴－131≤a＋3b≤1. 即a＋3b的取值范围为－131，1.
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方 面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答 此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个 变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化 为同向不等式后作和．
1．不等式的基本性质
1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置 关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 大 ．
(2)如果 a－b＞0，则a＞b；如果 a－b＝0，则 a＝b ；如果 a－b ＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差与0的大小；
比较m和n的大小．
[思路点拨]
两式作差
变形 ――――→
转化为因式 乘积形式
――与―0比―较―→
判断正负，得出大小
[解]
m
－
ห้องสมุดไป่ตู้
n
＝
1 x
＋
1 y
－