5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

1.1.1 不等式的基本性质课件(人教A选修4-5)

返回
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
返回
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求，的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
返回
(5)如果a>b>0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2)．
＞ n b(n∈N，n≥2)． (6)如果a>b>0，那么 a 3．对上述不等式的理解
n
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条
件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如： (1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．
返回
返回
1．不等式的基本性质
返回
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a －b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
π π 解：∵－ ≤α≤ ， 2 2 π π － ≤β≤ ， 2 2 π α＋β π ∴－π≤α＋β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 π π π π 又∵－ ≤α≤ ，－ ≤－β≤ ， 2 2 2 2 π α－β π ∴－π≤α－β≤π.∴－ ≤ ≤ . 2 2 2 α＋β α－β π π ∴ 、的取值范围均为[－， ]． 2 2 2 2

5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是 _______,此时x=___,y= _____
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知求
a, b, x, y R 且
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2

5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。

5.3证明不等式的基本方法(1) 课件(人教A版选修4-5)

2 2
2
ab b ) 0
2
即： 5 b 5 a 2 b 3 a 3 b 2 a 本题变形的方法— 因式分解法
例4
比较a
a
b 和 a
b
b
b 的
a
例5.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
例2.已知 a , b , m 都是正数，并且 a b , 求证
证明：
a m b m a b

b ( a m ) a (b m ) b (b m )
a m b m

a b
m (b a ) b (b m )
∵ a , b , m 都是正数，并且 a b ,
ab>0a>b，ab<0a<b，ab=0a=b
•
比较法是证明不等式的一种最基本、
最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是： • 作差—变形—判断符号—下结论。 • 作商—变形—与1比较大小---下结论。 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。
6.3 不等式的证明（1)--比较法例1.求证： 3 3 x x
b ) b (a
2 3 3
(a
2
b )( a
b ) ( a b )( a b ) ( a
ab b )
2
都是正数， ∴ a b 0 , a 2 a b b 2 0 ∵ a,b 又∵ a b , ( a b ) 0
( a b )( a b ) ( a

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式

1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即

5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时，有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.

5.5.1利用平均不等式求最大(小)值课件(人教A版选修4-5)

1 例2 求函数f ( x ) x (1 3 x ) , x [0, ] 的最大值. 3
2
1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.
简称：和定积最大 2. 高次函数造和定
3 36 3 2 2 1.函数y 2 x ( x 0)的最小值为 ____ . x 16 2 2.函数y 4 x 2 的最小值是 ____ 8 2 ( x 1) 1 3 3.若a , b R 且a b, 则a 最小值为 __ (a - b)b 4 2 4.函数y x (2 x )(0 x 2)的最大值是（ D） 32 16 A、0 B、1 C、 27 D、27
9 9 1 y 4 x 2 2 4 x 2 12 x x x
1. 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的和有最小值. 简称：积定和最小
2. 应用定理时需注意 “一正二定三相等” 这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时，要善于转化; 分式函数造积定的策略:均分.
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 9 解：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 3 3 2x 2x y 4x 2 2x 2x 2 3 3 36 2 x x x 9 9 由2 x 2 及x 0, 得x 3 x 2
当x
3
9 3 时, ymin 3 36 . 2
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x
下面解法是否正确？为什么？
9 解法1：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 y 4 x 2 x 3x 2 33 x 3x 2 9 x x x

2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件

2
基本不等式
我们已经学过重要不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究你能从几何的角度解释定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解释定理1 :
借助几何画板解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,

1.1.1.不等式的基本性质课件(人教A选修4-5)

[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．
[通一类] 3．若已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,
3≤f(1)≤4.求f(－2)的范围．
解：法一：∵f(x)过原点，∴可设 f(x)＝ax2＋bx.
的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 湖南高考)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是 A．① C．②③ B．①② D．①②③ ( )
[命题立意]本题考查不等式性质在比较实数大小中的
应用．
2
[例 2]
[研一题] 下列命题中正确的是
(
)
(1)若 a＞b，c＞b，则 a＞c； a (2)若 a＞b，则 lgb＞0； (3)若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd； 1 1 (4)若 a＞b＞0，则a<b； a b (5)若 c＞d，则 ad＞bc；
(6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5)

1.1.2.基本不等式课件(人教A选修4-5)

a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积 P 取得最大值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和 S 取得最小值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥

每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加，得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．

5.3证明不等式的基本方法1 课件(人教A版选修4-5)

注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）练习：P26 3，5, 9
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b 3 a 2 b ab 2
f (x) x 2 (1 x 1 )(1 x 2 )
,∴ f ( x1 )
ab abm b
f ( x2 ) 0
,
在 [ 0 , ) 为增函数.
⑵∵在△ABC 中有 a + b > c>0,∴ f(a + b)>f(c)，即又∵ a，b R ，∴
例题 2.(课本第 25 页例 4) 已知 a , b , c
0 , 求证:
a b b c c a
2 2 2 2 2 2
abc
≥ abc
.
证明不等式的常用的方法有: 比较法、综合法、分析法，它们各有其优点.解题有法，但无定法，具体运用时，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.当问题比较复杂时,通常用分析法寻找证明的思路,而用综合法来叙述、表达整个证明过程.
1答案
2答案
已知
f ( x ) x px q
2
，求证：|
f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中至少有
一个不小于 .
2 1 分析：设 | f (1) |, | f ( 2 ) |, | f ( 3 ) | 中没有一个大于或等于 2
1
，
观察： f (1) 1 p q , f ( 2 ) 4 2 p q , f ( 3 ) 9 3 p q 得： f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) 2 所以 2= | f (1) 2 f ( 2 ) f ( 3 ) | ≤ | f (1) | 2 | f ( 2 ) | | f ( 3 ) | <

第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝－2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b，求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

高二下学期数学人教A版选修4-5第一讲含绝对值不等式的解法课件

0
-1 0
34
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 |3 2x | 5 3 | 2x 3 | 5
3 2x 3 5，或 5 2x 3 3
3 x 4，或 1 x 0 .
原不等式的解集是 {x | 1 x 0，或3 x 4}.
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解：由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
练习 (1) 3x 1 x 2 ;
{x | 1 x 3}
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式在这里，我们只要把 ax+b 看作是
整体就可以了，此时可以得到：
| ax b | c c ax b c | ax b | c ax b c 或 ax b c
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.解题总结：1、采 Nhomakorabea了整体换元。
2、归纳型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a(a>0) 不等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a f(x)<-a或f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-1-1

【答案】 ①②
规律技巧
论证一个命题是假命题，可用特殊值法，举一
反例即可，但论证真命题不能用特殊值法．
【变式训练 1】
请说出 a>b>0 是下列结论的什么条件：
1 1 b a b ① < ；② <1；③lga>lgb；④ 2> 2. a b a c c
解
1 1 ①是充分非必要条件．当 a>b>0 时，有a<b成立，但
1＋a
>0，
∴C>A.
∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0， ∴A>B.
2 a a －a－1 1 2 ∴B－D＝1－a －＝ 1－a 1－a
＝
12 5 a a－2 －4
1－a
.
1 ∵－2<a<0，∴1－a>0.
12 5 1 12 5 ∵a－2 － <－2－2 － <0，∴B>D. 4 4
证明
1 1 因为 a>b>0，所以 0<a<b，
1 1 因为 c>d>0，所以 0< c<d， 1 1 1 1 所以a－b<0，d－c >0， 1 1 1 1 所以a－b<d－c ， 1 1 1 1 所以a＋c<b＋d，
a＋c b＋d 即 ac < bd ，又 a，b，c，d 均大于 0， a＋c b＋d ac bd 所以 ac >0， bd >0，所以 > . a＋c b＋d
(4)如果 a>b， c>0，那么 ac>bc；如果 a>b， c<0，那么 ac<bc. 即 a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________. (5)如果 a>b>0，那么 an>bn(n∈N，n≥2)．即 a>b>0⇒________(n∈N，n≥2)． (6)如果 a>b>0，那么 a> b(n∈N，n≥2)．即 a>b>0⇒________. n n

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

5.1不等式的基本性质课件(人教A版选修4-5)

(开方法则)
性质是求解和证明不等式的基础. 例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd
c c (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证： a b
1 1 思考已知 a>b, 试判断与的大小关系. a b 1 1 性质 a b, ab 0 ; a b 1 1 a b, ab 0 . a b
(1) a b b a (对称性) (2) a b, b c a c (传递性) (3) a b a c b c (加法法则) (i ) a b c a c b.
(ii ) a b, c d a c b d
B. 必要不充分条件
D. 既不充分也已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。
1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左边时, a<b; 当点A在点B的右边时, a>b。 A a a< b B b
x
B b a>b
A a
x
2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：
a b ab0 a b ab0 a b ab0
c 例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则的取值 a (-2,-0.5) 范围是___________。思考已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1， -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。 [-1, 20] 练习 1.对于实数a, b, c，给出下列命题: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b; (3)若a>b,c<d,则a+c<b+d; (4)若a>b,c>d,则ac>bd; (5)若a<b<0,则 a2>ab>b2 (2) 、(5) 其中,正确命题的序号是________________.

人教A版高中数学选修4-5第一讲二绝对值不等式上课课件

证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工区地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把实际问题划归为数学问题，即归结为求解形如y x a x b 的函数的极值问题，这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称定理1为绝对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况：如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b

1.1.2 基本不等式课件(人教A选修4-5)

3 (2)设 0<x< ，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 2 1 9 (3)已知 x>0，y>0，且＋＝1，求 x＋y 的最小值． x y
[思路点拨]
根据题设条件，合理变形，创造能用基
本不等式的条件，求最值．
2x 2 [解] (1)∵x>0，∴f(x)＝ 2 ＝ . 1 x ＋1 x＋x 1 1 1 ∵x＋x≥2，∴0< ≤ . 1 2 x＋x ∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．即f(x)值域为(0,1] 3 (2)∵0<x< ，∴3－2x>0. 2 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ]＝ . 2 2 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 4 9 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为 . 2
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋1 由已知xa＝360，得a＝ x 3602 所以y＝225x＋ x －360(x＞0)． (2)∵x>0， 3602 ∴225x＋ x ≥2 225×3602＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440， 3602 当且仅当225 x＝时，等号成立． x 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
a2 b2 c2 ∴( b ＋b)＋( c ＋c)＋( a ＋a) ≥2(a＋b＋c)． a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. a2 b2 c2 当且仅当 b ＝b， c ＝c， a ＝a，即a＝b＝c时取等号.

5.5.1利用平均不等式求最大(小)值课件(人教A版选修4-5)

1 例2 求函数f ( x ) x (1 3 x ) , x [0, ] 的最大值. 3
2
1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.
简称：和定积最大 2. 高次函数造和定
3 36 3 2 2 1.函数y 2 x ( x 0)的最小值为 ____ . x 16 2 2.函数y 4 x 2 的最小值是 ____ 8 2 ( x 1) 1 3 3.若a , b R 且a b, 则a 最小值为 __ (a - b)b 4 2 4.函数y x (2 x )(0 x 2)的最大值是（ D） 32 16 A、0 B、1 C、 27 D、27

练习：
3
5.若x , y R , xy 4则x 2 y的最小值是( B )
2

A、4
3 B、 4

3
C、6
D、非上述答案
6.已知a , b, c R , 且a b c 1, 则 1 1 1 9 的值不小于 _____ a b c
1 1 1 7.设M ( 1)( 1)( 1)且a b c 1(a , b, c R ), a b c 则M的取值范围是 ( D ) 1 A. 0 , 8 1 B . , 1 8 1 C . 1 , 8 D. 8 ,
9 例1 求函数 y 4 x 2 ( x 0) 的最小值． x 9 解：由 x 0 知 x 0, 2 0 ，则 x
9 9 9 3 3 2x 2x y 4x 2 2x 2x 2 3 3 36 2 x x x 9 9 由2 x 2 及x 0, 得x 3 x 2

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1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
练习3
1 1、求函数y= x的最小值( x 3)； x-3 2 x 8 2、求函数y= 的值域. x 1 4 3、求证 a 7(其中a 3) a 3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大值．
例4
12 1 若x 0, 求f ( x) 3x的最小值； x 12 (2)若x 0, f ( x) 3 x的最大值。 x
概念
ab 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数
均值定理的几何意义
C
ab ab 2 2
OC CD
ab 2
ab ab

ab
A
a
.o
D
D
B
半径不小于半弦
E
思考 2
当且仅当
a b时
ab 2

ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b ？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
a b c ab bc ca
2 2 2
1 a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
3ab 3bc 3ca
1 ab bc ca 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
1 9 (1)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小值是 _______,此时x=___,y= _____
≤ （2） x log x 10 ？ 2 (0 x 1) lg __ 解：∵ 0 x 1
lg x 0 logx 10 0
于是 ( lg x) ( logx 10) 2 从而 lg x logx 10 2
1 5、求函数y x 的值域. x 解: 1 1 (1)当x 0时, x 2 x 2 x x 1 (2)当x 0时, x, R , x 1 1 x 2 ( x) ( ) 2 x x 1 x 2 y (,2] [2,). x
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2
2
a，b R a b 2ab 成立的条件_______
2 2
ab 2
a，b R ab 成立的条件______
典例探讨
例1 求证：
（1）a b c ab bc ac
2 2 2
变式: 求证:2a +2b +2c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知求
a, b, x, y R 且
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时，有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
变形.
已知
x, y 都是正数，求证：
1 如果积
xy
是定值 P, 那么当 x y 时,和 x y
有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值
S , 那么当 x y 时,积
xy
1 2 S 有最大值 4 证：∵ x, y R ∴ x y xy
x 1当 xy P （定值）时， y P 2
的最小值

x y
a b 1， x y
a b ay xb x 解： y ( x y) 1 ( x y)( ) a b x y x y
ay xb 2 ab2 ( a b) x y
ay xb 当且仅当 x y
即
x a 时 y b
2
x y取最小值( a b )
2、已知 : a b c 1
1 求证： ab bc ca 3
证明：
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
a b c 1 2 (a b c)
1 2 2 a b 2ab 2 2 b c 2bc c 2 a 2 2ca
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
ab ab 2
重要不等式
a, b R ，那么 2 2 a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
定理１：如果号）．
我们可以用比较法证明．
探究
• 你能从几何的角度解释定理１吗？ • 几何解释１－课本第五页．
几何解释２
a 2 b2
b
a
动画
几何解释３
a
b
1 2 b 2

b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

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