第一届学而思数理化全国联考数学卷试题

首届全国中学生数理化学科能力展示活动初赛八年级数学学科能力解题技能展示试题试卷说明：1、本试卷共计15题，满分为120分；2、考试时间为120分钟姓名分）5分，合计30一、选择题（每题“力”这四个汉字中每个汉字分别代表一个非零个位数，对于、“科”、“能”1、如果“学”、?????212341＝科学能力；学科能力12运算符号“＝能力科学，那么”有：学科能力）。

＝（3412 D．C．4321 B．3421 A．4312?后两位字符不变，”运算法则为从左向右数，D。

“前两位上的字符互换位置，1解析：答案?后两位前后顺序不变，”运算法则是从左向右数，“后两位数字和前两位数字互换位置，2 前两位交换位置。

PP yPP?的坐标是关于）2、已知点，则点关于原点对称点的对称点的坐标是（2，312 )。

(D．(－2，3)C．(－2，－3) A．(－3，－2) B．(2，－3)PPPP PP关于与点点C。

关于与点y关于原点对称，点轴对称，则点与点解析：答案1122x轴对称。

x?y?3?3、方程组的非负整数解有（）个。

?x?yz?6?A．1 B．2 C．3 D．无数，x=0。

枚举法，满足题目要求的只有两组解：解析：答案B。

z=2，y=1z=2，y=3；x=3，n6个的线段可构成边长为2 cm4、由的条长度均为2 cm n。

等边三角形，则的最大值为( )1D．B．3 C．2 A．4。

摆成立体图形——正四面体。

解析：答案Axx是正整数，这样的互不全等的三角形84，其中5、已知三角形的三条边长分别8、、x2 ）个。

共有（8．D 7 ．C 6 ．B 5 ．A．由三角形三边关系可得不等式组：x2+8x>84，解析：答案C。

x2-8x<84，解得6<x<14，x=7，8，9，10，11，12，13。

1111??????6、已知）（2222200832008?2?23?1?12008200720091 D．C．A．B．200920082008解析：答案D。

绝密★启用前2011年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（五年级A 卷） 时间：13:30~14:50 满分：150分考生须知： 1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8分，共40分）1. （视听题）杯子中有浓度为5%的盐水150克，那么其中含有______克盐. 【分析】浓度问题求溶质。

浓度＝溶质÷溶液×100 ％。

因此溶质＝浓度×溶液。

1505%7.5⨯=克。

2. （视听题）杯子中有浓度为5%的盐水150克，向杯子中加入100克水，盐水的浓度变为______%. 【分析】浓度＝溶质÷溶液×100 ％。

()7.5150100100%3%÷+⨯=3. （视听题）杯子中有浓度为10%的盐水100克，向杯子中加入浓度为20%的盐水150克，混合均匀.新的盐水的浓度是______%.【分析】溶质总重量为10010%15020%40⨯+⨯=克；溶液总重量为100150250+=克。

因此溶液浓度为：40250100%16%÷⨯=4. 计算：10.253464155⨯+⨯+÷=______.【分析】=0.2(534641)28⨯++=原式5. 2011年3月11日，日本发生里氏9级大地震。

在3月15日，日本本州岛东海岸附近海域再次发生5级地震。

已知里氏地震级数每升2级，地震释放能量扩大到原来的1000倍，那么3月11日的大地震释放能量是3月15日东海岸地震的______倍. 【分析】差了4级，差了1000×1000=1,000,000倍. 二．填空题（每题10分，共50分）1. 横式“+=学理科到学而思学而思杯”中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的汉字，那么四位数“学而思杯”的最大值为______.【分析】确定“学”最大为8，那么到为7，而最大为6，此时有算式：825+7869=8694，那么四位数的最大值为86942.今天是2011年4月9日，20110409这个九位数是9的倍数，则方框里应填入的数字是______.【分析】容易得13.用若干个1×1×1的小立方体堆积成一个立体图形（小立方体不能悬空），它的正视图、左视图、俯视图都是下图的样子，那么堆积成满足条件的小立方体最少需要______个小立方体.【分析】如图，最小的体积为9立方厘米。

1
第一届学而思数理化全国联考
数学卷 二试
注意事项：
1. 考试时间：170分钟.请自觉遵守考试纪律,按时停止作答.
2. 考试内容:本卷共 4 题,满分 180 分.
3. 允许使用尺规,铅笔,橡皮等文具.
4. 请认真考试,细心作答.有任何疑问请与老师联系.
一、（本题满分40分）如图，对任意四边形ABCD 中，取BD 中点E ，取AC 中点F ，在BC 上任取一点G ，设射线GF 与BA 交于点M ，射线EG 和DC 交于点N ，求证：直线EF 将线段MN 平分.
二、（本题满分40分）将1,2,⋯,n 2这n 2个自然数一数一格放到在n ×n 的正方形方格内，对于同一行或同一列中的任意两个数，计算较大数与较小数的商，得到n 2(n −1)个分数. 把最小的分数称之为这种排列的“特征值”. 试求特征值的最大值.
三、（本题满分50分）给定整数a>1. 数列{x n}定义如下：x0=1，x1=4a+1，x n+1=(4a+2)x n−x n−1，n>1. 若x m是素数，证明：2m+1是素数.
四、（本题满分50分）n,k∈N∗，有n个城市，两两之间连有若干条路，任何两个城市之间连有0或1条路. 并且从任何一个城市出发，均无法恰穿过k+1条路，路过k+2个不同的城市，证明：道路总数不超过⌊k
2
·n⌋.
2。

学而思小升初选拔数学真卷(第一套)一、判断题(对的打√,错的打×.,每小题1分,5小题,共5分)1.两个不相等的质数一定互质. ( )2.将一条绳子对折3次之后,然后从中剪1刀,会把这根绳子剪成9段. ( )3.一个三角形的三个内角度数之比为4:7:3,则这是一个直角三角形. ( )4.小强和大强两人分一堆糖果,两人分得的糖果数成反比例关系. ( )5.肥罗比瘦罗胖20%,那么瘦罗比肥罗瘦25% ( )二、选择题(每小题1分,5小题,共5分)1.下列数字中,读出三个零的是( )A. 10101000.1B. 101100.01C. 1010101.101D. 100100.01012. 在右图”学而思培优”的标志中,共有( )个四边形.A.5B. 6C. 7D. 83.现在是北京时间16时,小强从镜子里看到挂在身后墙的4个钟表(如下图),其中最接近16时的是( )A. B. C. D4.（学大教育小升初选拔一模）琦琦跳绳3次,平均每次跳156下,要想跳4次后达到”平均每次跳160下”,他第4次要跳( )下. A. 164 B. 168 C. 172D.1765.下图是西米路小学学生最喜欢的动漫角色统计图,若该校有400名,沸羊羊学生,其中喜欢美羊羊的人数比例被遮住了,那么喜欢乐羊羊的人数比喜欢美羊羊的学生多( )人.A. 100B. 80C. 60D.40三、填空题(每小题2分,10小题,共20分)1. 已知3a=4b,那么a: b= .(最简整数比)喜羊羊25%乐羊羊40%美羊羊沸羊羊15%第2题2.下面左图是2016年4月的日历,将一个正方体纸盒的六个面展开,刚好盖住了日历中的6个数.右图是覆盖的结果.那么盖住5的面积和盖住 的面是原来正方体的一组对面.3. 古希腊科学家毕达哥拉斯把下列图形中小球的数量称为三棱锥数.已知前四个三棱锥数是1,4,10,20.那么下一个三棱锥数是4.在1:1000的学校平面图上,量得教学楼长8厘米,宽2.5厘米,教学楼占地 平方米.5.x=72,y=126,那么x 和y 的最小公倍数是6.含糖率25%的糖水100克,加入25克的糖,糖水的含糖率变为 %.7. 把底面积是36平方厘米,高是5厘米的圆柱体零件削成最大的圆锥,削成的圆锥体积是 立方厘米.8. ••=40317600049.020161,这个循环小数点后第2016位的数字是9.右图阴影部分很像佐助的风魔手里剑,其中正方形ABCD 的边长为1米,分别以A,B,C,D 为圆心,1米为半径作弧BE,弧CF, 弧DG, 弧AH,交AC 于E 和G,交BD 于F 和H.那么,图中阴影部分的面积是 平方米. (π取3.14) 10.在如图的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数字,那么”综合测评”的最大值是第 六 届 学 大 教 +综 合 测 评 2 0 1 6201410四.计算题(34分)1.直接写出得数(每小题1分,6小题,共6分) (1) =-8575.0 (2) ()=-÷008012 (3) 8.8+8.88= (4) 64⨯0.125= (5) =÷323 (6) =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-16325.249 2.解方程(每小题2分,共4分) (1) 22314+=--x x (2) 2532:4x=3.简便运算(请写出解答过程.每小题4分,共24分) (1) 18851958.0÷-++ (2) 161075.625625.038500÷+⨯+⨯+⨯ (3) 315351211151⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯00402595385(5) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷2015201620162016 (6)762652542432322212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯五.实际应用(第1-4题每题5分,第5-6题每题8分,第7-8题每题10分,共56分)1. 两根绳,第一根长64米,第二根长52米,剪去同样长后,第一根是第二根的4倍,求每根绳剪去的同样长度是几米?2. 小晓的手机还有70%的电量,此时打电话给大晓,打了25分钟发现：此时剩下50%的电量.如果小晓用一部充满电的手机给大晓打电话,可以打多长时间?(如果全过程没有充电,且打电话的耗电速度不变)3.某市自来水收费如下:用水不超过27立方米的部分每立方米2元;超过27立方米没有超过34立方米的部分每立方米收费3元;超过34立方米的部分每立方米4元.十一月小宇家共付水费99元,请问这个月他家用水多少立方米?4. 如下图,四边形ABCD 和DEFG 都是正方形,其中正方形DEFG 的面积为49平方厘米,且甲三角形的面积比乙三角形的面积大14平方厘米,求正方形ABCD 的面积是多少平方厘米?5.下图给出了一个立方体图形的主视图、左视图和俯视图,图中单位为厘米. (1) 这个立方体图形的表面积是多少平方厘米?(π取3.14) (2) 这个立方体图形的体积是多少立方厘米? (π取3.14)6.甲、乙、丙三个人共同加工一批零件.如果甲、乙两个人合作,12小时可以完成;如果甲、丙两人合作,15小时可以完成;如果甲单独加工零件,20小时可以完成. (1) 如果甲、乙丙三个人共同加工这批零件,需要几个小时?(2) 现在甲、乙丙三个人合作4小时后,甲有事离开了,乙、丙两个人合作了10小时后,乙也有事离开了,剩余的工作由丙一个人独自完成.整个工程的劳动报酬是2016元,那么丙应该分得多少元?DC BG A FEH甲乙2 俯视图左视图2 主视图217.有一条马路ABCD,马路的长BC=30米,马路的宽AB=8米,猫(P 点)在马路的中间EF 上巡逻(距马路两边4米),速度是2秒米,猫能看到以自已为圆心,半径5米内的异常状态.当猫看到马路两边的顶点A 、B 、C 或D 时立刻返回(见左图). (1) 猫巡逻整条街道一次至少需要多少秒?(2) 马路中间有一条小路MN,其中M 、N 分别为AD,BC 的中点,有一只老鼠要从这条小路过马路(见右图).当老鼠在小路MN 上的整个过程时,猫的视野看不到这条小路,算作一次成功过马路,老鼠成功过马路的速度最慢是多少米/秒?(提示:根据勾股定理可得,直角三角形两直角边为a 和b ,斜边为222,c b a c =+那么)DF PC M 老鼠 N B E A小路E B A CDPF 5米8.将一个数进行如下反复四舍五入的气操作,从最低位开始,直到某次操作后,只剩最高位,且其他位数都是0为止,例如:1002.47 →1002.5→1003→1000,记为A(1002.47)=1000;A(6)=6,利用这种操作解决下列问题:(1) 计算:A(201.6)= , A(1234.5)= (直接写出得数)(2) 使得A(x)=20的整数x有多少个?(3)将一个数直接从第二高位进行一次四舍五入的操作记为B操作,例如B(1487)=1000;B(6)=6.请问:A(1)+A(2)+A(3)+…+A(999)+A(1000)和B(1)+B(2)+B(3)+ …+B(999)+B(1000)作比较,谁更大?大多少?第一套：一、1、√2、√3、√4、×5、×二、1、D 2、D 3、A 4 、 C 5、B 三、1、4:32、203、354、20005、5046、407、608、69、0.57 10、1769四、1、直接写出得数（1）0.125 （2）10 （3）17.68（4）8（5）4.5（6）0 2、解方程（1）x=4 （2）x=150 3、简便计算：（1）910（2）10（3）27（4）52（5）20162015（6）712五、1、48米2、125分钟3、404、95、（1）22.84 （2）6.286、（1）10（2）672元7、（1）3（2）78 8、200,1000、10个、A 大，大4500。

2024年学而思培优中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数，则实数a 的倒数为( )A. 2024B.C.D.2.下列图形中，属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.3.近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm 芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为( )A.B.C.D.4.下列说法中不正确的是( )A. 数据4，9，5，7，5的平均数是6B. 任意画一个多边形，其外角和等于是必然事件C. 了解某市中学生50米跑的成绩，应采用抽样调查D. 某幼树在一定条件下移植成活的概率是，则种植10棵这种树，结果一定有9棵成活5.一副三角板如图所示摆放．若，则的度数是( )A. B. C. D.6.如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、若，，则阴影部分的面积为( )A. B.C. D.7.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程有实数解的概率为( )A. B. C. D.8.的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度.你认为小郑的4种方法中正确的个数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.如图，在正五边形ABCDE中，若，则( )A. 2B.C.D.10.如图，在等腰中，，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.因式分解：______.12.一次函数满足，则它的图象必经过一定点，这定点的坐标是______13.如图菱形ABCD的边长为4，，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，则______.14.规定：表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：，例如：，，则______.15.如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接OB，OC，当OB平分时，AO与AC满足，若的面积为4，则______.三、计算题：本大题共2小题，共12分。

2020年中考数学第一次联考试卷（附答案）一、单选题1.下面每组中的两个数互为相反数的是（）A. ﹣和5B. ﹣2.5和2C. 8和﹣（﹣8）D. 和0. 3332.如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A. B. C. D.3.每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）A. 1.05×105B. 1.05×10﹣5C. 0.105×10﹣5D. 10.5×10﹣44.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.5.如图，下列推理正确的是（）A. ∵∠A＝∠D（已知）∴AB∥DE(同位角相等，两直线平行)B. ∵∠B＝∠DEF(已知) ∴AB∥DE(两直线平行，同位角相等)C. ∵∠A＋∠AOE＝180°（已知）∴AC∥DF(同旁内角互补，两直线平行)D. ∵AC∥DF(已知) ∴∠F＋∠ACF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）6.下列数学表达式中：①﹣2＜0，②2x+3y＞0，③x=2，④x2+2xy+y2，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.某商场举办“迎新春送大礼”的促销活动，全场商品一律打八折销售．王老师买了一件商品，比标价少付了50元，那么他购买这件商品花了（）A. 250元B. 200元C. 150元D. 100元8.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC=BD时，它是正方形C. 当AC⊥BD时，它是菱形D. 当∠ABC=90°时，它是矩形9.如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A. 3B. 4C.D.10.在吴兴区“食品安全知识竞赛”中，有9名学生参加决赛，他们的最终成绩各不相同．其中一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A. 方差B. 众数C. 平均数D. 中位数11.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是( )A. 3B. 2C. 3D. 312.已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB为直径，以弦AC（非直径）为对称轴将弧AC折叠后与AB相交于点D，如果AD=3DB，那么AC的长为（）A. B. C. D. 6二、填空题（共4题；共5分）13.下列因式分解中，①x3+2xy+x=x（x2+2y）②x2+4x+4=（x+2）2③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y），其中正确的是________（填序号）．14.设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是 ________．15.如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC=18，△CDB的周长为28，则BD的长为________．16.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则cosB=________，tanB=________。

2008年第一届“学而思杯”综合素质测评二年级 数学试题（A 卷）1. 计算：1 23456789949596979899100101+−−++−−+++−−++−−+="。

2. 有两个自然数（除外），这两个自然数相乘，把乘积往镜子里一照，镜子里出现的结果恰好是这两个数的和，这两个数分别是 0和 。

3.汉字“奥”，“运”，“会”和数字“”，“”，“”，“8”分别按下列方式变动其次序： 200第3题 2008008208208200""""奥运会运会奥（第一次变动）会奥运（第二次变动）奥运会（第三次变动）问最少经过 次变动后“奥运会”再次出现。

20084.把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第列为，3，4；第3列为，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴。

如图，那么第10列第个数是 2254。

第4题 526137489"""""""5.在图中，包含五角星的三角形一共有 个。

第6题第5题6. 图中线段的条数比三角形的个数多 。

7.树袋熊丫丫在爬一棵10米高的大树，每爬10分钟累了休息分钟再继续爬，在这10分钟里它能向上爬米。

那么丫丫要 22分钟才能爬到树顶。

8. 奥运五福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮在鸟巢奥运场馆见面了，每两个福娃都会握一次手，当贝贝握了4次手，晶晶握了次手，欢欢握了次手，迎迎握了1次手时，妮妮握了 32次手。

9. 古时候某国有两座城，一座“真城”，一座“假城”，真城的人都说真话，假城的人都说假话。

一天，一个国外游客来到其中的一座城，他向遇到的一位该国国民提了一个问题，就明白了自己到的是真城还是假城。

以下（ ）最可能是游客提的问题。

A.你是真城的人吗？ .你是假城的人吗？BC.你是说真话的人吗？D.你是说假话的人吗？E.你是这座城的人吗？10.哈利、约翰、吉姆三人一起逛街，走到一家电影院门口，看见买票的人排成很长的队，约翰提议去看这场电影，哈利和吉姆问道：“为什么？”约翰回答说：“你们没有看到买这场电影票的人很多吗？”下面（ ）比较准确地表达了约翰的话的意思。

学而思班级考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 地球是圆的C. 地球是三角形的D. 地球是多边形的2. 以下哪个国家不是联合国安全理事会常任理事国？A. 中国B. 法国C. 德国D. 俄罗斯3. 以下哪个选项是光合作用的产物？A. 氧气B. 二氧化碳C. 水D. 糖4. 牛顿三大定律中，描述力和加速度关系的是哪一个？A. 第一定律B. 第二定律C. 第三定律D. 以上都不是5. 以下哪个元素的化学符号是“Fe”？A. 铁B. 铜C. 锌D. 银6. 以下哪个选项是正确的？A. 所有的偶数都是4的倍数B. 所有的质数都是奇数C. 所有的奇数都是质数D. 所有的合数都是偶数7. 以下哪个选项是正确的？A. 地球自转的方向是自东向西B. 地球自转的方向是自西向东C. 地球公转的方向是自东向西D. 地球公转的方向是自西向东8. 以下哪个选项是正确的？A. 光年是时间单位B. 光年是长度单位C. 光年是质量单位D. 光年是速度单位9. 以下哪个选项是正确的？A. 所有的植物都是自养生物B. 所有的动物都是异养生物C. 所有的微生物都是自养生物D. 所有的真菌都是异养生物10. 以下哪个选项是正确的？A. 所有的酸都是强酸B. 所有的碱都是强碱C. 所有的盐都是中性的D. 所有的氧化物都是酸性的二、填空题（每题2分，共20分）1. 请填写下列化学方程式中缺失的反应物或生成物：2H2 + O2 →2H2O。

2. 请填写下列数学公式中缺失的部分：圆的面积公式为A = πr^2，其中r代表______。

3. 请填写下列生物分类中缺失的等级：界、门、纲、目、科、______、种。

4. 请填写下列物理公式中缺失的部分：牛顿第二定律公式为F = ma，其中m代表______，a代表______。

5. 请填写下列历史事件中缺失的时间：美国独立战争开始于______年。

6. 请填写下列地理术语中缺失的部分：赤道是地球表面的一个______，它将地球分为北半球和南半球。

绝密★启用前2011 年首届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（二年级A 卷）时间：13:30~14:50 满分：150 分考生须知：1. 请在答题纸上认真填写考生信息；2. 所有答案请填写在答题纸上，否则成绩无效一．填空题（每题8 分，共40 分）1. （视听题）82 - 47 +18 - 53 =2. （视听题）1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 =3. （视听题）5 个小朋友围成一圈。

球从A开始，按照A→B→C →D→E → A 的顺序传球，那么，传20 次后，球在哪个小朋友手里？4. （视听题）把小动物放在篮子里，篮子上面栓气球，让它们飞起来。

1 只猫1 只狗->5 个气球2 只狗1 只兔子->7 只气球2 只猫->4 个气球2 只兔子->几个气球5. （视听题）下面两个图形，可以分割成4 个大小相等，形状相同的图形。

下面A、B、C、D 四个选项中的哪个图形？二．填空题（每题10 分，共50 分）1. 106÷□，余数是7，□表示的数最小是．2. 一箱桔子，小玲第一次拿3 个，第二次拿6 个，以后每次比前一次多拿3 个，10 次拿完，这箱桔子有个．3. 下面的图中共有12 个小图形，每一个不同的小图形表示1 到9 这九个数字中的一个，每行三个小（A）（B）（C）（D）图形都表示一个三位数，这四行表示四个三位数：521，146，658 和692.那么第三行图形表示的三位数是．4. 图中总共包含有各种大小的正方形共个．5. 下图中，从整体上看第一幅图是五边形，第二幅图是五角星，第三幅图是五边形，第四幅图是五角星，……每幅图下方的数字是该图中基本线段的数量．请问，第40 幅图是图形，这个图中共有条基本线段.……5 15 20 30 35 45 50 ……三．填空题（每题12 分，共60 分）1. 康康在喝一杯饮料时做了实验，他将一根吸管垂直插入杯底，他量了一下被水浸湿部分，正好是8 厘米；他又把吸管调个头，将另一端垂直插入杯底，这时他发现现在吸管干的部分正好是整个浸湿部分的一半．这根吸管长有厘米．2. 小华、小俊都有一些玻璃球．如果小华给小俊4 个，小华的玻璃球的个数就和小俊一样多；原来小华的玻璃球的个数就是小俊的5 倍．小华原来有个玻璃球，小俊原来有个玻璃球．3. 农场里所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同．已知3 只大鸭子和2 只小鸭子共重32 千克，4 只大鸭子和3 只小鸭子共重44 千__________克，请问1 只大鸭子共重千克．4. 下面竖式中，“学理科到学而思”的每一个汉字表示0 到9 这10 个数字中的一个，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，四位数“学而思到”的最大值是_____.2 0 1 1学理科到学而思5. 甲、乙、丙、丁四个盒子中依次放：8 个、5 个、3 个、2 个玻璃小球，第一个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3 个小球放到其它盒子中各1 个球；第二个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3 个小球放到其它盒子中各1个球……当第83 个小朋友放完后，甲、乙、丙、丁四个盒子中各有玻璃小球个，个，个，个．2011年北京“学而思杯”二年级数学答案二年级答案第一题第1题第2题第3题第4题第5题答案0 80 A 2 D第二题第1题第2题第3题第4题第5题答案9 165 146 27 五角星、300第三题第1题第2题第3题第4题第5题答案24 10、2 8 1792 3、4、6、5。

2020全国一卷理科数学联考试卷符合题目要求的.1.设集合A={xllog:x<1),B=(x |x²-x-2<0},A.( 一co,2)B.(- 1,0)2.已知,若z ·x=5, 则a= A.1 B.√53.已知A.a>b>>cB.c>b a——甲居……乙门居5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. ”在数学的学习和研究中，我们经常用雨数的图象来研究两数的性质，也经常用两数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOG() 为,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是6.已知函数f(x)=sin(ux+o)(w>0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于,若Vx∈,则正数↵的最小值为 B...7.执行如图所示的程序框图，若输入的m=10227,n=7305, 则输出的结果是A.1461B.2922C.4383D.7305 8.抛物线C:y²=4x 的焦点为F, 过F 且斜率为 √3的直线l 与抛物线C 交于M,N 两点，点P 为 抛物线C 上的动点，且点P 在l 的左侧，则△PMN 面积的最大值为A.√3B.2√③C.D.9.甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5 分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中),比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下(含6环)的概率 ,命中7环的概率,命中8环的概率 ,命中9环的概率为,命中10环的概率 命中各环对应的概率与甲相 同，且甲、乙比赛互不干扰.若第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分.则 三场比赛结東时，乙获胜的概率为 A.B.C. D.10.在矩形ABCD 中，AB=4,BC=3, 沿矩形对角线BD 将△BCD 折起形成四面体ABCD, 在 这个过程中，现在下面四个结论： ①在四面体ABCD 中，当DA ⊥BC 时，BC ⊥AC; ②四面体ABCD 的体积的最大值)③在四面体ABCD 中，BC 与平面ABD 所成角可能)m=dm 二月是再dm ₂>基开始 输人加(mɔn)结来否n=d.C D A④四面体ABCD的外接球的体积为定值，其中所有正确结论的编号为A.①④B.①②C、①②④ D.②③④的两个焦点，双曲线上的点P 到原点的距则该双曲线的渐近线方程为C.y=±√2xD.y=±√3x 12.已知函数 ,则ʃ (x)的最小 值为 A.B.C.D.2√3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量a=(m,1),b=(4,m), 向量a 在b 方向上的投影为 √5.则m=. △ · 14.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b.c, 已知a-2√F,b=4.A=120°, 则 △ABC 的面积为 ▲ 15.,则16.在四棱锥P-ABCD 中 ，P-BCD 是底而边长为2的正三棱锥，E 为PC 的中点，异而直线DE 与 BC 所成角的余弦值,则正三棱锥 P-BCD 的侧枝长为 ▲ ; 若AD ⊥PD.AD⊥AB, 则AC= ▲ . (本题第一空3分，第二空2分)三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步强.第17~21题为必考题，每道 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17. (12分)设(a, 是一个首项为2,公比为q(q≠1)的等比数列，且3n,2azrn:成等差数列.(1)求(a. } 的通项公式；(2)已知数列(b) 的前n 项和为S,,b ₁- 1, 且 √S,-√ S - ₁=1(n≥2), 求数列(a 。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若实数x满足方程x^2 - 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 1 或 3B. -1 或 3C. 1 或 -3D. -1 或 -32. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点的坐标是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，-3）3. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x)的图像向上平移a个单位，则新的函数表达式为（）A. f(x) = 2x + a - 3B. f(x) = 2x - a - 3C. f(x) = 2x + a + 3D. f(x) = 2x - a + 34. 在等腰三角形ABC中，底边BC=4，腰AB=AC=5，则顶角A的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=9，a+c=7，则b的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 在平面直角坐标系中，点P（1，2）到直线x+y=3的距离是（）A. 1B. 2C. √5D. √107. 若正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为a，则体积V为（）A. a^2B. a^3C. 2a^2D. 2a^38. 若等比数列{an}的公比q=2，且a1+a2+a3=24，则数列的第4项a4为（）A. 48B. 96C. 192D. 3849. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°10. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1,3]上的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10的值为______。

12. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点的坐标是______。

2020年（学而思）第一届数理化全国联考数学卷试题一、填空题:本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.将1,2,...,8排成一列，要求相邻两项互质，则共有____种排序方式.2.已知函数2()log ||(0,a f x x ax a a =->≠1)在x ∈[2,3]上递增，则实数a 的取值范围是____.3.椭圆2221(4)16x y a a +=>中弦AB 长为4,设椭圆的左焦点为F,若|AF|·|BF|的最大值为24(1),a -则a 的值为___4.设θ为锐角，则18sin cos θθ+的最小值为___ 5.如图为2*2的矩阵，一只蚂蚁从A 出发，每一步随机向上下左右(若可前进)移动一个单位, 2020 步后回到点A 的概率是___6.各面均为直角三角形且有至少三条棱长为1的非退化（四顶点不共面）的四面体有____种. （旋转、平移、对称后重合记为一种）7.6名同学分成3队进行围棋比赛，每队2人，规则为：首轮比赛抽签选出两队各派一名选手参赛，失败的选手被永久淘汰且该队下轮轮空，胜者与第三队的选手进行次轮比赛，以此类推，每轮失败的选手被永久淘汰，若有三支队伍存活则下轮由。

上轮胜者和上轮轮空的队伍进行比赛，若只有两只队伍存活则他们互相比赛，直至三队中有两队的选手被全部永久淘汰游戏结束。

假设6名同学已经分好组并确定了队内上场顺序，可能出现的不同比赛流程共有______种（只考虑每轮的比赛双方和结果）8.一个多边形剪一刀（截痕不过多边形的项点）分割为2个多边形，再将其中一个多边形剪一刀（截痕不过多边形的顶点）又分割出一个多边形,……如此下去，如果从一个正方形开始，要剪出一个三角形，一个四边形，一个五边形，…….. 一个2020边形，那么，所需要剪的最少刀数为______。

二、解答题：本大题共3小题，满分56分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9. （本题满分16分）空间有n 个平面（n≥4）。

学而思高二第一次习题课立体几何初步部分一.选择题（共5小题）1.已知儿个命题：①若点P不在平面a内，A、B、C三点都在平面a内，则P、A、B、C 四点不在同一平面内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分別相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（）A.0B. 1C. 2D. 32.若M、N分别是AABC边AB、AC的中点,MN与过直线BC的平面P的位置关系是（）A.MN〃|3B. MN 与B 相交或MN£pC. MNZ^p MN£pD. MN〃|3 或MN 与|3 相交或MN^p3.肓线a〃平面a, PGa,那么过P且平行于a的-肓线（）A.只冇一条，不在平面a内B.冇无数条，不一定在平面a内C.只有一条，且在平面a内D.有无数条，一定在平面a内4.己知E,F分别为正方体ABCD-AiBiCjD的棱AB,AAi±的点，且AE二丄AB, AF二丄AA],2 3M, N分别为线段D|E和线段C]F上的点，贝IJ与平jfll ABCD平行的直线MN有（）A. 1条B. 3条C. 6条D.无数条5.平面a与平面卩平行的条件可以是（）A.a内有无穷多条肓线与B平行B.直线a〃a, a〃卩C.直线aua,直线bup,且a〃B，b〃aD.a内的任何直线都与B平行二.填空题（共2小题）6. ______________________________________ 过平面外一点作该平面的平行线有条；平行平面有__________________________________________ 个.7•如图四棱锥S - ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA ±的点，当E满足条件: 时，SC〃面EBD.三.解答题(共3小题)8.如图所示的多面体AiADDjBCCi中，底面ABCD为正方形,AAi〃DD"CCi，2AB=2AAj=CC|=DD|=4,且AAi 丄底面ABCD.(I )求证：AiB〃平面CDDiCi；(II )求多曲体AjADDjBCCi的体积V.9.已知长方体A BCD ・A]BiC]Di，点5为BQi的中点.(1)求证:AB"面AQiD；(2)若AB=^AA|,试问在线段BB|±是否存在点E使得A|C丄AE,若存在求出磐，若3 BB]10.如图，ABCD是正方形，DE丄平血ABCD.(1)求证：AC丄平面BDE；(2)若AF〃DE，DEWAF,点M在线段BD上，且BM遗BD,求证：AM〃平面BEF.2015年11月20日立体几何平行部分的高中数学组卷参考答案与试题解析一.选择题（共5小题）1.（2015*朝阳二模）已知几个命题：①若点P不在平面a内，A、B、C三点都在平面a内，则P、A、B、C四点不在同一平血内；②两两相交的三条直线在同一平面内；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【考点】平面的基本性质及推论.【专题】空间位置关系・距离.【分析】根据平血的基本性质进行判断①的正误共点的三条直线可能不共血，由此能判断② 的正课；将平行四边形沿具对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然相等，但四个点不共面，由此能判断③的正谋.【解答】解：在①中：根据平面的基本性质得直线与直线外一点确定一个平而，若在平面a内，A、B、C三点共线，则P、A、B、C四点在同一平面内.故①不正确；在②中：共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直相交的三条直线就不共面，故②不正确；在③中：将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对-边仍然相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，所以不是平行四边形，故③不正确.故选：A.【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时耍认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用.2.（2014*ffi桥区校级学业考试）若M、N分别是Z\ABC边AB、AC的中点，MN与过肓线BC的平面p的位置关系是（）A. MN〃|3B. MN 与B 相交或MNCpC. MN〃卩或MNQBD. MN〃|3 或MN 与B 相交或MNcp【考点】直线与平面平行的判定.【专题】空间位置关系・距离.【分析】山中位线性质得MN〃BC,山此得到平血过直线MN或MN〃乩【解答】解：TMN是ZXABC的屮位线，・・・MN〃BC,•・•平面B过直线BC,・・・若平面B过直线MN,符合要求；若平面P不过直线MN,由线线平行的判定定理MN〃队故选：C.【点评】本题考查总线与平而的位置关系的判断，是基础题，解题吋要认真审题，注意空间思维能力的培养.3.（2014*鹿城区校级一•模）直线a〃平面a, PGa,那么过P且平行于a的直线（）A.只有一条，不在平面a内B.有无数条，不一定在平面a内C.只冇一条，H.在平面a内D.冇无数条，一定在平面a内【考点】直线与平面平行的性质.【专题】证明题.【分析】直接利用直线与平而平行的性质定理，判断出正确结果.【解答】解：过a与P作一平面B，平而a与平面卩的交线为b,因为直线a〃平面a,所以a〃b,在同一个平面内，过点作己知直线的平行线有且只有一条, 所以选项C正确.故选C.【点评】本题是基础题，考查直线与平面平行的性质定理的应用，考查基本知识的灵活运用. 4.（2014秋•朝阳区期末）已知E, F分别为正方体ABCD-A J B I C I D的棱AB, AA]上的点，且AE」AB, AF」AA], M, N分别为线段D I E和线段C）F ±的点,则与平面ABCD2 3平行的直线”“有（）A. 1条B. 3条C. 6条D.无数条【考点】直线与平面平行的性质.【专题】空间位置关系少距离.【分析】取BH」BBi，连接FH,在DiE上任収一点M,过M在面DiHE中，作MG平行3于HO,其屮O满足线段OE）DiE,再过G作GN〃FH,交©F于N,连接MN,根据线3面平行的判定定理，得到GM〃平面ABCD, NG〃平面ABCD,再根据面面平行的判断定理得到平面MNG〃平血ABCD,山血血平行的性质得至IJ贝lj MN〃平血ABCD,山于M是任意的，故MN有无数条.【解答】解：収BH=」BBi，连接FH,则FH〃C]D3连接HE,在DiE上任取一点M,过M在面DiHE中，作MG〃HO,交D]H于G, 其中O为线段OE」DiE3再过G作GN〃FH,交CiF于N,连接MN,由于GM〃HO, HO〃KB, KBu平面ABCD,GMC平血ABCD,所以GM//平面ABCD,同理由NG〃FH,可推得NG〃平jlri ABCD,由面面平行的判定定理得，平面MNG〃平|Ai ABCD,则MN〃平面ABCD.由于M为D]E上任一点，故这样的直线MN有无数条.故选D.【点评】本题考查空间直线与平血的位置关系，主要是直线与平血平行的判断和面血平行的判定与性质，考査空间想彖能力和简单推理能力.5.（2014春•贵定县校级期末）平面a与平而p平行的条件可以是（）A.a内有无穷多条直线MB平行B.直线a〃a, a〃BC.直线aua,直线bu（3,且a〃B，b〃aD.a内的任何玄线都与B平行【考点】平面与平面平行的判定.【专题】证明题.【分析】当a内冇无穷多条直线与B平行时，a与B可能平行，也可能相交，当直线a〃a, a〃|3时,a与B可能平行,也可能相交，故不选A、B,在两个平行平而内的直线可能平行，也可能是界而直线，故不选C,利用排除法应选D.【解答】解：当a内有无穷多条肓线与B平行时，a与B可能平行，也可能相交，故不选A. 当直线a〃a, 时，。

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一次大联考理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知21()1i a R ai -∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．2 D ．-22.已知集合U R =，函数y =M ，集合{}2|0N x x x =-≤，则下列结论正确的是（ ）A ．M N N =B ．()MC N ⋃=∅C ．M N U =D ．()M C N ⋃⊆4.已知,a b R ∈>log 1a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知tan()24x π+=，则sin 2x =（ ）A ．110B ．15C ．35D ．9106.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8π+B ．82π+C ．83π+D ．84π+7.执行如图所示的程序框图，则该程序运行后输出的i 值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118.已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，则(2)(34)AB BC BC CA -+=（ ） A ．132-B ．112-C ．362--D ．362-+9.已知1()n x x-的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为第（ ）项． A ．5 B ．4 C ．4或5 D ．5或610.已知抛物线2:8C x y =，过点(0,)(0)M t t <可作抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，若直线AB 恰好过抛物线C 的焦点，则MAB ∆的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1611.函数()3sin ln(1)f x x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12.若函数()f x 在定义域内满足：（1）对于任意不相等的12,x x ，有12211122()()()()x f x x f x x f x x f x +>+；（2）存在正数M ，使得()f x M≤，则称函数()f x 为“单通道函数”，给出以下4个函数：①()sin()cos()44f x x x ππ=+++，(0,)x π∈；②()ln x g x x e =+，[]1,2x ∈；③[]32()3,1,2h x x x x =-∈；④122,10()log (1)1,01x x x x x ϕ⎧--≤<⎪=⎨+-<≤⎪⎩，其中，“单通道函数”有（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①③D ．②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知直线:320l x y b +-=过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F ，则双曲线的渐近线方程为________．14.已知实数,x y 满足不等式组24024000x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则92z x y =+的最大值为________．15.已知,,a b c 是ABC ∆的三边，若满足222a b c +=，即22()()1ab cc+=，ABC ∆为直角三角形，类比此结论：若满足(,3)n n n a b c n N n +=∈≥时，ABC ∆的形状为________．（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）． 16.关于x 的方程320x x x m --+=，至少有两个不相等的实数根，则m 的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：1112,92n n n a a a -+=+=⨯．（1）记132n n n b a -=-⨯，求证：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）自1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望． 19.（本小题满分12分）如图，空间几何体ABCDE 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AE ⊥平面ABC ． （1）证明：//AE 平面BCD ；（2）若ABC ∆是边长为2的正三角形，//DE 平面ABC ，且AD 与BD ，CD 所成角的余弦值均为4，试问在CA 上是否存在一点P ，使得二面角P BE A --的余P 的位置；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>，过点(1,1)M -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 的斜率为2． （1）求抛物线的标准方程；（2）与圆22(1)1x y -+=相切的直线l ，与抛物线交于,P Q 两点，若在抛物线上存在点C ，使()(0)OC OP OQ λλ=+>，求λ的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y =-，求()f x 的单调区间； （2）若0x >时，()()2f x f x x '<恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 为其直径，CH AB ⊥于H 延长后交O 于D ，连接DB 并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠．（1）求证：PC 是O 的切线； （2）若4,3AC BC ==，求PCPB的值． 23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩（其中t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4cos 3sin )0m ρθθ+-=（其中m 为常数）．（1）若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； （2）若4m =，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24.（本小题满分10分）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足(0)(1)f f =． （1）若2()f x ax x =+，解不等式3()4f x ax <+；（2）若任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠时，有1212()()f x f x x x -<-，求证：121()()2f x f x -<． 参考答案1．A 2．A 3．C 4．A 5．C 6．B 7．A 8．B 9．A 10．D 11．Ｂ 12．A13．0x = 14．6 15．锐角三角形 16．527- 所以132(1)n n n na n n -=⨯+⨯-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设01221122232(1)22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，①12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，②①–②得012122222212n n n n n T n n --=++++-⨯=--⨯， 所以1(1)2n n T n =+-⨯，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设123(1)n n Q n =-+-++-，即1,2,2n n n Q n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以53(1)2,2363(1)2,2nn n n n n n n S T Q n n n -⎧-⨯-⎪⎪=+=⎨+⎪-⨯+⎪⎩为奇数为偶数, ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种）， 其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得63()105P A ==． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的公布列为所以()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，．．．．．．．．．12分19．（1）证明：如图，过点D 作直线DO BC ⊥交BC 于点O ，连接DO ． 因为平面ABC ⊥平面BCD ，DO ⊂平面BCD ，DO BC ⊥，且平面ABC 平面BCD BC =，所以DO ⊥平面ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为直线AE ⊥平面ABC ， 所以//AE DO ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为DO ⊂平面BCD ，AE ⊄平面BCD ， 所以直线//AE 平面BCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）连接AO ，因为//DE 平面ABC ， 所以AODE 是矩形，所以DE ⊥平面BCD ．因为直线AD 与直线,BD CD 所成角的余弦值均为4，所以BD CD =，所以O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥，且cos ADC ∠=．设DO a =，因为2BC =，所以1,OB OC AO ===，所以CD AD == 在ACD ∆中，2AC =．所以2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-∠，即2243124a a =+++-，223a+=．解得21,1a a==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分以O为坐标原点，,,OA OB OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,1,0),(0,1,0),C B A E-．假设存在点P，连接,EP BP，设AP ACλ=，则,,0)Pλ-．设平面ABE的法向量为{},,m x y z=，则030m AE zm BA x y⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，取1x=，则平面ABE的一个法向量为m=．设平面PBE的法向量为{},,n x y z=，则(33)(1)030n PB x yn BE x y zλλ⎧=-++=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1xλ=+，则平面PBE的一个法向量为(133,)n λλ=+--，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设二面角P BE A--的平面角的大小为θ，由图知θ为锐角，则cos2m nm nθ===⨯,化简得2610λλ+-=，解得12λ=-（舍去），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以在CA上存在一点P，使得二面角P BE A--AC的三等分点(靠近点A )．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．（1）设{}1122,,(,)A x y B x y ，则点A 处抛物线的切线为{}11y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而11(1)y p x =-； 同理，点B 处抛物线的切线为22()y y p x x =+，过点(1,1)M -，因而22(1)y p x =-． 两式结合，说明直线(1)y p x =-过,A B 两点，也就是直线AB 的方程为(1)y p x =-．由已知直线AB 的斜率为2，知2p =， 故所求抛物线的方程为24y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）显然当直线l 的斜率不存在与斜率为0时不合题意．（6分） 故可设直线l 的方程为y kx m =+． 又直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，1=，即221(1)2m km m -=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 与抛物线方程联立，即24y kx my x=+⎧⎨=⎩， 化简消y 得2222(2)0k x km x m +-+=， 设3344(,),(,)P x y Q x y ，则3422(2)km x x k-+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分34344()2y y k x x m k+=++=． 由()(0)OC OP OQ λλ=+>，则22(2)4(,)km OC k k λλ-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又点C 在抛物线上，则222168(2)km k k λλ-=．即2233244km m λ-+==>，由于0km ≠，因而1λ≠． 所以λ的取值范围为3|14λλλ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．（1）由已知得1()(1)f x ax a x '=+-+，则(1)0f '=，而(1)ln1(1)122a a f a =+-+=--，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为12a y =--． 则122a --=-，解得2a =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分那么21()ln 3,()23f x x x x f x x x'=+-=+-，由21231()230x x f x x x x -+'=+-=>，得102x <<或1x >， 因则()f x 的单调递增区间为1(0,)2与(1,)+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由1()230f x x x '=+-<，得112x <<，因而()f x 的单调递减区间为1(,1)2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）若()()2f x f x x '<，得ln 11(1)2222x a ax a x a x x ++-+<+-， 即ln 1122x a x x +-<在区间(0,)+∞上恒成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设ln 1()2x h x x x =-，则2221ln 132ln ()22x x h x x x x --'=+=， 由()0h x '>，得120x e <<，因而()h x 在12(0,)e 上单调递增，由()0h x '<，得12x e >，因而()h x 在12(,)e +∞上单调递减 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()h x 的最大值为1122()h e e -=，因而1212a e -+>， 从而实数a 的取值范围为12|21a a e -⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）连接OC ，由已知AB 为O 的直径，CH AB ⊥，则CAB DCB ∠=∠，且CAO ACO ∠=∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又CB 平分,DCP DCB PCB ∠∠=∠，因而2PCB OCB ACO OCB π∠+∠=∠+∠=，即OC CP ⊥，所以PC 是O 的切线． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）4,3AC BC ==，则12245,,55AC BC AB CH CD AB ====，3BD BC ==， 因为PC 是O 的切线，所以PCB PDC ∠=∠，所以PCD PBC ∆∆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以85PC PD CD PB PC BC ===，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（1）直线l 的极坐标方程可化为直线坐标方程：430x y m +-=，曲线C 的参数方程可化为普通方程：24y x =，由24304x y m y x +-=⎧⎨=⎩，可得230y y m +-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为直线l 和曲线C 恰好有一个公共点，所以940m ∆=+=，所以94m =-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当4m =时，直线:4340l x y +-=恰好过抛物线的焦点(1,0)F ，由243404x y y x+-=⎧⎨=⎩，可得241740x x -+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为1122(,),(,)A x y B x y ， 则12174x x +=，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为1217252244AB x x =++=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（1）(0)(1)f f =，即10a +=，得1a =-， 所以不等式化为234x x x -+≤-+．① 当0x <时，不等式化为234x x x -<-+，所以0x <<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ② 当01x ≤≤时，不等式化为234x x x --<-+，所以102x ≤<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ③ 当1x >时，不等式化为234x x x -<-+，所以x ∈∅．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 综上所述，不等式的解集为1|2x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由已知任意[]12,0,1x x ∈且12x x ≠，则不妨设21x x >，则当2112x x -≤时，12121()()2f x f x x x -<-≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 当2112x x ->时，则112x <,且2112x -<，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 那么1212211()(0)(1)()011()2f x f f f x x x x x -+-<-+-=--<． ．．．．．．．．．．．．．．．10分。

摘要：随着新高考改革的深入推进，学而思作为国内知名的教育机构，对高考数学试卷进行了深入研究，本文将针对学而思新高考数学试卷进行深度解析，以期为考生提供有益的备考指导。

一、试卷结构学而思新高考数学试卷结构主要包括选择题、填空题和解答题三个部分。

选择题和填空题注重基础知识的考察，解答题则侧重于考查考生的综合运用能力和创新思维。

1. 选择题：共20题，每题2分，满分40分。

题型包括单选题、多选题和判断题，主要考察高中数学基础知识，如函数、数列、三角函数、平面向量、不等式等。

2. 填空题：共10题，每题3分，满分30分。

题型包括单选题和填空题，主要考察高中数学基础知识和基本运算能力。

3. 解答题：共5题，每题12分，满分60分。

题型包括应用题和证明题，主要考察考生的综合运用能力和创新思维。

二、试卷特点1. 注重基础知识：试卷内容紧扣高中数学课程标准，全面考查高中数学基础知识，如函数、数列、三角函数、平面向量、不等式等。

2. 考察综合能力：试卷不仅考查基础知识的掌握程度，还注重考查考生的综合运用能力和创新思维。

解答题部分涉及多个知识点，要求考生具备较强的逻辑推理能力和解决问题的能力。

3. 体现时代特色：试卷内容紧跟时代发展，关注我国科技、经济、文化等领域的发展，如信息技术、环境保护、可持续发展等，培养考生的社会责任感和使命感。

4. 体现选拔功能：试卷难度适中，既能选拔出优秀人才，又能确保公平公正。

解答题部分难度梯度明显，有利于区分不同层次的学生。

三、备考建议1. 系统复习基础知识：考生应系统复习高中数学基础知识，熟练掌握各个知识点的概念、性质、公式和定理。

2. 提高解题技巧：考生应注重解题技巧的培养，提高解题速度和准确率。

平时多练习各类题型，熟悉不同题型的解题方法。

3. 培养综合能力：考生应注重培养自己的综合运用能力和创新思维，学会将所学知识应用于实际问题中。

4. 关注时事热点：考生应关注我国科技、经济、文化等领域的发展，了解时代背景，提高自己的综合素质。