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激光原理-(9)-高斯光束

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高斯光束的振幅和强度分布 激光原理及应用 [电子教案]电子

高斯光束的振幅和强度分布 激光原理及应用 [电子教案]电子

高斯光束的振幅和强度分布——激光原理及应用教案章节：一、引言1.1 激光的概念与发展历程1.2 高斯光束的基本特性1.3 激光在现代科技中的应用二、高斯光束的数学描述2.1 高斯函数及其特性2.2 高斯光束的振幅分布2.3 高斯光束的强度分布三、高斯光束的传输规律3.1 自由空间中的光传播3.2 介质中的光传播3.3 高斯光束的聚焦与发散四、激光器的工作原理4.1 激光器的类型与结构4.2 阈值条件与增益介质4.3 激光器的模式匹配与输出特性五、激光应用实例解析5.1 激光通信5.2 激光切割与焊接5.3 激光医疗与生物成像本教案将围绕高斯光束的振幅和强度分布，深入解析激光原理及应用。

从引言部分了解激光的概念、发展历程以及高斯光束的基本特性。

接着，通过数学描述部分，掌握高斯光束的振幅和强度分布公式。

基础上，分析高斯光束在自由空间和介质中的传输规律，探讨激光器的工作原理及其在实际应用中的重要作用。

通过实例解析，了解激光在通信、切割、医疗等领域的应用。

在教学过程中，注重理论联系实际，引导学生从数学描述转向实际应用，提高学生对激光技术及其应用的认识和理解。

结合现代科技发展趋势，展望激光技术在未来的发展前景。

六、高斯光束的衍射与模式转换6.1 衍射的基本概念6.2 高斯光束的夫琅禾费衍射6.3 高斯光束的夫琅禾费-菲涅尔衍射七、高斯光束的聚焦与发散特性7.1 聚焦特性7.2 发散特性7.3 高斯光束聚焦与发散的数学描述八、激光器的工作物质与谐振腔8.1 工作物质的选择8.2 谐振腔的类型与设计8.3 激光器的工作原理与性能评估九、激光的放大与模式锁定9.1 激光的放大原理9.2 模式锁定技术9.3 激光放大器的性能优化十、激光技术在现代科技领域的应用10.1 激光在信息技术中的应用10.2 激光在精密制造中的应用10.3 激光在医疗、生物科学和科研中的应用在的五个章节中，我们将进一步探讨高斯光束的衍射与模式转换、聚焦与发散特性，详细解析激光器的工作物质、谐振腔、放大与模式锁定等关键技术与原理。

第三章--高斯光束及其特性

第三章--高斯光束及其特性

qM
AqM B 1 CqM D qM
D Ai 2B
1 (D A)2 4 B
§3.2 高斯光束与球面谐振腔的自再现模式
1 D A 1 (D A)2 4
i
qM 2B
B
1 q(z)
1 R(z)
i
2 (z)
R(z) 2B (D A)
(z) (
)1 2
B12
1
D
2
A
2
2
0 (z)
z
R(z
)
1
1
2(z) R(z)
R(z) 2
2
(
z
)
§3.1 基模高斯光束
3）基模高斯光束的特征参数：
➢ 用q参数表征高斯光束
u00
(
x
,
y
,
z
)
c00
0 (z
)
exp[
x2
2(
y2 z)
]exp{
i[k
(
z
x2 y2 ) arctg 2R(z)
1 11
q2 q1 F
q2
Aq1 Cq1
B D
复曲率半径q
§3.1 基模高斯光束
出射光束的束腰位置和尺寸： 入射高斯光束的光腰在l处， 出射高斯光束的光腰在l ’处
q q0
if
02
q
q0
if
02
等和式实两部端对的应虚相部等
f l
(l
F2 f F )2
l(l F ) f (l F )2 f
z f
]}
u00 ( x,
y, z) c00
0 exp{ik (z)
x2

激光原理第9讲

激光原理第9讲

若 F < f ，无论 l 为何值, 均可使 0 0
若F > f ，
要使
0
0
要求
F2 F l2 f 2
即 l F F 2 f 2 或 l F F 2 f 2 才能聚焦
否则不能聚焦
①当l <F 时，
l 0
当l =0时，
0
最小为：
0min
0
1
f F
2
变 化 曲 线
1
l' F 1
1 f
F
2
F
0
由上式说明：当l＝0时，不论透镜焦 距F多大，透镜都有一定聚集作用。
②当l >F 时， l 0
a).当 l F 时，(F l )2 l 20lFl 0
1 ( l )2 f
若同时满足 l f
l' F
F越小l越大聚焦效果越好
：入射到透镜表面的光束半径
1 ( l )2 l ff
0
F l
0
b).当 l 时， 0 0 l ' F
③当l =F
时，
0
达最大值：
0max
F f
0
l F
2. l一定时， 0 随F的变化情况
02
02F 2
F l 2 f2
1 1 F l2 f 2
02 02
F2
当F Rl / 2 时, 0 0 当F Rl / 2 时, 0 0 当F Rl / 2 时, 0 0
与望远镜的结构参数M有关，还与高斯光束的共焦参 数f及腰斑与副镜的距离l1有关。
三.总结
要获得良好的聚焦效果：
• 使用短焦距透镜(F<f)
• 光腰远离透镜焦点(l>>F, l>>f)

激光原理-(9)-高斯光束

激光原理-(9)-高斯光束

−
1 F
0
1
R2
=
AR1 CR1
+ +
B D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播
束腰处：
=z 0，q(0=) if=
1 Z
自由空间变换矩阵： TL = 0
1
i πω02 λ
由ABCD法则： q(z=) if + z
11
iλ
z − if
高斯光束的聚焦
F 一定时，ω0′与 l′ 随 l 的变化情况
l
′
F 2(l − F ) = F + (F − l )2 + f 2 ,
ω ′2 0
F 2ω 2
= (F − l )2 0+ f 2
（1） l < F
ω0′随 l 的减小而减小
当 l = 0 时：ω0′(min) =
ω0 =l′
1 + ( f )2 F
i
πω
2 2
=( 1 R1
λ − i πω12 ) −
1 F
=
1 q1
−
1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
ω0′ ωc
A B l′
C
l
lC
q0
qA qB
qC
求：ωC、RC
方法一： z=0 处：q0 = i πω02 λ
A处： q=A q0 + l
ω ( z )
ω0，z
⇒
R(
z)
θ0
2. 任一 坐标 z处的光斑半径 ω (z)及等相面曲率半径 R(z)

激光原理与技术 第7讲 高斯光束的聚焦和准直

激光原理与技术 第7讲 高斯光束的聚焦和准直
激光原理与技术
第七讲 高斯光束的聚焦、准直
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
已知入射高斯光束束腰半径为0，束腰位置与透镜的距离为l，
透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：
z
0处：q 0
q0
i
02
在B面处： q
1
B
q
1
A
1 F
在A面处：q A q0 l 在C面处：q C q B lC
研究其规律：
1
02
1
02
1
l F
2
f2
F
2
d dl
2 0
02
2 F2
l
F
d0
dl
03 02 F
2
F
l
7
7.2 高斯光束的聚焦
A、l F：
d0
dl
03 02 F
2
F
l
0
0 将随着l的减小而减小，
因此当l 0时有最小值：
此时像方高斯光束束腰位置：l
lC
F
F2 0 F 0 F 2 f 2
4
7.1 高斯光束通过薄透镜的变换
当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论。
当l F时，可以求出l F，此时物方、像方高斯光束的束腰都位于 焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。
当l F时，l仍可解出大于零的解。 例如当时l 0，即入射的物方高斯光束的束腰位于透镜上，可以得到：
2
0 F l k 0 l F l
几何光学薄透 镜成像垂轴
放大率公式
束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中
光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜

高斯光束

高斯光束

ω（ｚ）为ｚ 点处的光斑半径，它是距离ｚ 的函数，即
槡 （ ） ω（ｚ）＝ω０
１＋
λｚ πω２０
２
（４５）
·８３·
ω０ 是ｚ＝０处的ω（ｚ）值，即高斯光束的“束腰”半径。
式（４４）中 Ｒ（ｚ）是在ｚ 点处波阵面的曲率半径，它也是ｚ 的函数，即
［ （ ）］ Ｒ（ｚ）＝ｚ １＋
πω２０ λｚ
２
φ（ｚ）是与ｚ 有关的位相因子，且
当ｚ 趋向无穷大时（ｚ→∞），高斯光束的发散角 即 为 双 曲 线 两 条 渐 近 线 之 间 的 夹 角，将 其
定义为高斯激光束的远场发散角，通常用θ０ 来表示，即
θ０＝ｌｚｉ→ｍ∞２ωｚ（ｚ）＝π２ωλ０
（４１１）
如图４５所示。
图４４ 高斯光束等相位面的分布示意图
图４５ 高斯光束的发散角
理论计算表明，基模高斯光束的发散角具有毫弧度的数量级，因此其方向性相当好。由于
高阶模的发散角是随模阶次而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。
４ 瑞利长度 若在ｚ＝ｚＲ 处，高斯光束光斑面积为束腰处最小光斑面积的两倍，则从束腰处算起的这个 长度ｚＲ 称为瑞利长度，如图４６所示。
在瑞利长度ｚＲ 位置处，其光斑半径ω（ｚＲ）为腰斑半径ω０ 的槡２倍，即
１ ｑ（ｚ）
因此，ｑ参数也可以用来表征高斯光束。
将式（４４）改写为如下形式
（４１５）
｛ ［ （ ）］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２２＋ｙ２ Ｒ１（ｚ）－ｋω２２ｉ（ｚ） ＋ｉφ（ｚ）
将式（４１４）代入上式得
｛ ［ ］ ｝ Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ωＡ（ｚ０）ｅｘｐ －ｉｋ ｚ＋ｘ２ｑ２＋（ｚｙ）２ ＋ｉφ（ｚ）

高斯光束的传播特性课件

高斯光束的传播特性课件

加精准，能够实现更高的光束质量和更稳定的传输。
动态调控
02
通过实时监测和反馈系统，实现对高斯光束的动态调控，以满
足不同应用场景的需求。
多光束控制
03
未来将实现多光束的独立控制和协同操作，提高光束的灵活性
和应用范围。
高斯光束在量子通信中的应用
1 2 3
安全性增强 高斯光束在量子通信中能够提供更强的安全性保 障，通过量子纠缠和量子密钥分发等技术，实现 更加安全的通信传输。
传输距离提升 随着量子通信技术的发展，高斯光束的应用将有 助于提高量子通信的传输距离和稳定性。
网络架构优化 高斯光束在量子通信网络架构中能够提供更灵活 和高效的光路设计，优化网络性能和扩展性。
高斯光束在其他领域的应用
生物医学成像
高斯光束在生物医学领域可用于光学显微镜、光谱仪等设备的成像 技术，提高成像质量和分辨率。
在生物医学成像中的应用
光学成像
高斯光束作为照明光源，能够提高光学成像的分辨率和对比度。
荧光成像
利用高斯光束激发荧光标记物，实现生物组织的荧光成像。
光声成像
结合高斯光束与光声效应，实现生物组织的高分辨率、高对比度 的光声成像。
05
高斯光束的未来展
高斯光束控制技术的发展
高精度控制
01
随着光学技术和计算机技术的发展，未来高斯光束的控制将更
高斯光束的强度分布和相位分 布都可以用高斯函数描述，这 使得高斯光束在许多领域都有 广泛的应用。
02
高斯光束的播特性
传播过程中的光强分布变化
01 02
光强分布变化规律
高斯光束在传播过程中，光强分布呈现中间高、两侧低的形态，类似于 钟形曲线。随着传播距离的增加，光强分布逐渐展宽，但中心峰值保持 不变。

第六章高斯光束详解

第六章高斯光束详解

解： （1）
(z) 0
z 2
1
02
1.12m
R(z)
z
1
2 0
z
2
0.5
12 0.5
=
2.5m
（2） 0
F
F 02 1m
z 0.5m q 0.5 i(m )
知识回顾
0
F
F 02
(z) 0
1
z F
2
R(z)
z 1
F z
2
2 =2 0 F
q(z)=q0+z
q参数
q 参数表征高斯光束的优点:
将描述高斯光束的两个参数ω (z)和R(z)统一在 一个表达式中, 便于研究高斯光束通过光学系统的 传输规律.
【例题2】某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径 为ω 0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的 (1)光斑 半径ω与等相位面曲率半径R. (2)q参数
（4） 由
(-z - f ') f '2
0
1
z 02
2
1
2
R
z
1
02 z
2
② 利用公式，由入射波面的R、ω 求得出射波面 ω ′和R′；
1 1 1 R' R f '
'
③ 将上一步计算出的R′和ω′代入公式，求出射 光束的束腰位置和束腰半径。
0
=
2 2 2
1+
R
z
R
1
R' 2
2
【例题3】已知一台He–Ne激光器输出的激光束束腰 半径ω 0为0.5mm，在离束腰100mm处放置一个焦距为 100mm的单透镜，试求经过透镜变换后的束腰大小 以及束腰位置。

第30课：理解高斯光束

第30课：理解高斯光束

第30课：理解高斯光束背景：激光器通常产生直径非常小的光束，经常用作各种光学系统光源。

这种光束的强度是不均匀的，在理想情况下遵循高斯分布，因此而命名为高斯光束，且在大多数实际情况下以特有的方式偏离该分布。

在设计和分析具有这种分布的系统时，必须考虑两个问题：轮廓的形状以及直径非常小的光束在传播时表现出强烈衍射效应。

SYNOPSYS中的高斯光束作为一个适应性强的光学程序，，目标是在尽可能在不那么复杂的情况下获得准确的结果。

因此，该程序以新颖独特的方式分析这种光束的特殊性质。

主要问题是，如果光束直径很小，衍射作用贯穿了整个光束的传输。

另一方面，光线穿过普通透镜，光束直径远大于光的波长，沿着直线进行非常好的近似，然后我们可以处理为光线了。

高斯光束很难传播一段距离后还保持光束直径很小。

光线的路径（波前）是弯曲的，在光线追迹中需要特别注意。

考虑以下系统:RLEID OBG DEMOOBG.152UNI MMWA1.63281TH502RD-2.55TH2GTB SBK72CAO23CAO23RD-55TH1004RD100TH2PIN25TH50UMC4CAO105CAO107AFOCEND按照高斯光束的规则，物面被声明为“OBG”类型，腰在表面1，半径为0.15毫米。

根据OBG线上的第三个词，我们关心的是光线到达的点是1/e*2的两倍。

上图所示的边缘光线来自于光束的那个点。

在这个例子中，我们还包括了两个简单的透镜，用来扩束和准直光束。

如果我们把表面1的波束精确准直，那么表面2上的光束大小等于于表面1的光束大小。

但这是不正确的，因为衍射会在光束到达表面的时候放大光束。

为了解释这种影响，程序认为腰部的光束稍微弯曲，刚好使从表面1追迹到的真实光线与衍射的高斯光束以相同的角度接触到表面2。

从这点出发，我们可以用通常的光线追迹方法来处理衍射光束，前提是此处衍射是由最小孔径引起的。

寻找一个光束追迹，它根据近轴高斯光束理论对光束的任意位置进行评估。

第六章高斯光束详解

第六章高斯光束详解

4.高斯光束的远场发散角
基模远场发散角: Z为无穷大时，强度为中心的 1/e2点所夹角的全宽度。双曲线的两条渐近线之间 的夹角。
lim z
2(z) 2 z 0
1.128
F
腰斑越小， 发散角越大。
z
0 , 0 ,
【例】某共焦腔氦氖激光器，L=30cm,波长 λ =0.6328μ m;某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 波长λ =10.3μ m,求发散角。
本章讨论高斯激光束的传输和通过光学系 统的变换规律。
§1 高斯光束简介
高斯光束不同于点光源所发出的球面波和平 行光束的平面波，是一种特殊形式的光束。
高斯光束与一般光束比较，具有： 光束截面内的强度分布不均匀
波峰
1.1 均匀平行光束
E( x, y, z) A0eikz
k 2
A0
k
k
光束特点：
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值。
高斯光束等相位面的分布以及曲率 中心的移动
曲率半径极小 值
在榜轴近似下，高斯光束可看作是一种曲率中 心与曲率半径都随传播过程而不断改变的非均匀 球面波。等相位面是球形的，但等相位面上的光 场振幅分布却是非均匀的高斯分布。
中心处和无穷远处的波阵面是平面，平面上各 点的相位相同，等相面是一个平面。其它地方 波阵面是球面，球面上各点的相位相同。
波阵面上振幅分布不均匀，即每个平面或球面 上的各点振幅呈高斯分布函数。
对于一个共焦腔，其基模高斯光束解析表达为：
E r, z cz e e E r, z
A0
e e
r
2
2
方形镜共焦腔：镜面上的场分布为厄米-高斯函数。 圆形镜共焦腔：镜面上的场分布为拉盖尔-高斯函数。

高斯光束

高斯光束
物理与光电信息科技学院

《激光原理与技术》
Lasers Principles and Technologies
主讲教师：陈 建 新 、朱莉莉、陈荣
福建师范大学物理与光电信息科技学院
（第三章）
物理与光电信息科技学院

《激光原理与技术》
第三章 高斯光束
赫姆霍兹方程在缓慢振幅近似下的一个特解，对应着具有 圆对称光学谐振腔的振荡模式。
（第三章）
物理与光电信息科技学院

《激光原理与技术》
在垂直于光束的任意一个横截面上，振幅的分布为:
2 r l l 2r 2 r 2 cosl Apl r , , z [ ] L p [ 2 ] exp 2 sin l w( z ) w z w z
（第三章）
物理与光电信息科技学院

《激光原理与技术》
高斯光束的基本性质
波动方程的基模解 在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
u0 k u0 0
2
在z的缓变振幅近似下（忽略 解出上式微分方程的一个特解：
2 z 2
），利用“试探法”
此特解叫做基模高斯光束
光斑半径随z的变化规律为：wz w 0 当
z z 1 w 1 0 z w 2 0 0
2 2
z z0 时 wz0 2w0
从最小光斑面 积增大到它的 二倍的范围是 瑞利范围， 从最小光斑处 算起的这个长 度叫瑞利长度
（第三章）
物理与光电信息科技学院

《激光原理与技术》
w0 r2 z r2 u0 x , y , z { exp i kz arctan( 2 ) exp[i ] w 2 z exp w z 2 R ( z ) w 0

高斯光束

高斯光束
若有解
( x, y, z) 则为一个正确的波束解，这个解与
x, y有关部分完全含于高斯函数中，其他因子仅为z的函数。
解第一式：
1 f ( z) 2i z k
积分常数
2 f 2 ikf 比较 两式 2 fg ikg
因此，得解
g c f
(c const )

g ( z)
讨论内容：
一、高斯光束的定义 二、高斯光束波函数的解（亥姆霍兹方程的波束解）
1.高斯光束的纵向相位因子
三、高斯光束的传播特性
2.高斯光束的等相面曲率半径
3.高斯光束的束宽与远场发射角
高斯光束
定义：在光学中，高斯光束（Gaussian
分布近似满足高斯函数的电磁波光束。 beam）是横向电场以及辐照度
基本应用：许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况里，激光
在光谐振腔里以TEM00波模传播。当它在镜片发生衍射，高斯光束会变换成 另一种高斯光束，这时若干参数会发生变化。这解释了高斯光束是激光光学 里一种方便、广泛应用的原因。
描述：高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角
近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，表示电磁场的复振幅。电磁波 的传播包括电场和磁场两部分。研究其中任一个场，就可以描述波在传播时 的性质。
2 0
2i (1 z) k
令
4z 2 2z 2 2 ( z ) (1 2 2 ) 0 [1 ( 2 ) ] k k0
2
f ( z)
同理，可得
1 2iz (1 ) 2 2 ( z) k0
g ( z)
0
2z 1 ( 2 ) k0
e

第四讲-高斯光束

第四讲-高斯光束

18
二、共焦腔中的高斯光束
2.3 高斯光束的发散角
dW ( z ) 2z 2 W02 2 2 2 2 [z ( ) ] dz W0
1
19
二、共焦腔中的高斯光束
光束的发散角在z=0处为0，光斑半径W(z0)最小，称之为高斯光束的 腰，又叫腰粗。 W(z)随z值的增大而增大，这表示光束逐渐发散. 当z →∞时，
内容目录
一、激光器及光学谐振腔概述 二、共焦腔中的高斯光束 三 高斯光束的扩束准直 三、高斯光束的扩束准直 四、高斯光束的应用——超小光纤探针
2
一、激光器及光学谐振腔概述
1.1 激光器的基本组成
激励能源
方向性好、亮度高 单色性好、相干性好

工作物质 全反射镜 激光输出 部分反射镜
L
光学谐振腔
Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 受激辐射式光频放大器
例如，

共焦腔CO2激光器，波长λ=10.6μm，腔长L=1m，计算得远场半发散角为
3rad θ=2.59 2 59×10-3 d。

共焦腔He-Ne激光器，波长λ=0.6328μm，腔长L=30cm，可计算得到 θ=1.15 =1 15×10-3rad 可见，共焦腔基模半发散角具有毫弧度数量级，具有优良的方向性。
W02 通常称z=0到z=f=
20
二、共焦腔中的高斯光束
w(z) w0 θ0 O
R(f) )=2 2f
w(z)
2W0
R(z)
z
f
计算表明： 2 0 内含86.5%的光束总功率
21
二、共焦腔中的高斯光束

高斯光束

高斯光束

为光波波前的曲率半径 ；
束宽： 对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个 最小值 ，这个最小值被称为束腰。波长为 的光波的腰斑位置在轴上的分 布为 这里将 定为束腰位置。 被称为瑞利长度。
瑞利距离和共Байду номын сангаас参数：与束腰轴向距离等于瑞利距离 处的束宽为 这两点之间的距离称作是共焦参数或光束的焦深
高斯光束
钱朝阳
在光学中，高斯光束（Gaussian beam）是 横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数 的电磁波光束，所以称为高斯光束。是激光 在光学谐振腔里基模条件下发出的光，许多 激光都近似满足高斯光束的条件。
麦克斯韦方程组 （1）
物质方程 （5）
（2）
（3） （4）
（6）
（7）
对光频电磁场, 主要关心电场E,我们所讲的光场均指电 磁场的电场分量。
谢谢观赏
曲率半径： 光束偏移：当
是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数 ，参数 趋于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为 光束的偏移，即远场发散角。
综上所述，可知高斯光束在其轴线附近可以看做是一种非均匀高 斯球面波，周期传输过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面 内为一高斯函数，强度集中在轴线及其附近，且等相面为球面 （特殊范围内为平面）。
（13）
式（13）为在近轴近似下的波动方程，高斯光束就是缓变振幅 近似下的一个特解。
高斯光束作为电磁波，其电场的振幅为：
r为场点距离光轴中的径向距离；z为光轴上光波最狭窄位置束腰的位置坐标 为激光的束腰宽度 为波数 ； 为电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径 为轴对称光波的Gouy相位，对高斯光束的相位 也有影响，在近轴条件下可以忽略。

第二章 高斯光束

第二章 高斯光束

– 在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：
(x,
y)
0(T 0)
n T
D 4K
(x2
y2)
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。
21
2.1光线的传播
• 3. 光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播
–
程函(eikonal)方程：
x
2
y
2
x y
0 0
d 2r dz 2
k k
2 0
r
0
23
2.1光线的传播
–
（1）k2>0
微分方程的解为 r(z) c1cos
k k
2 0
z
c
2
sin
k k
2 0
z
若考虑光线入射初始条件
为
r0
r
0
'
，则可以求出
c1
r 0; c2
k，因此微分方程的解可以写成：
r
z
r
0
cos
– 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超 前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达
焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位
变换器。
AB AO BO
f 2 x2 y2 f f 1 x2 y2 f
k k
2 0
z
k k
0 2
r
'
0
sin
k k
2 0
z
r ' z
k k
2 0
r

第5讲 高斯光束

第5讲 高斯光束
激光原理与技术·原理部分
第5讲 高斯光束---激光器基本光束
重复5.4 波动方程=数学基础+物理概念
• 类透镜介质中的波动方程---博士生考试
– 在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：

H


E t
(1)
对2式求旋度：
E u H u 2E


E0
exp
i

p(z)

k 2q(z)
r2

• 可得到简化的波动方程：

1 q(z)
2


1 q(z)

'

k2 k

0

p
'(
z)


i q(z)
5.1 均匀介质中的高斯光束
– 均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化 波动方程为：
t
t 2
E E 2E 且由3式：


E

u
H t
(2)
E 0
(3)


E E E 0 E 1 E

在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即
的瑞利长度，通常记作 f 。
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式
z
0


2 0

/

可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。

第5讲-高斯光束

第5讲-高斯光束

5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束基本特性
– 振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：
EE0(z0)exp2r(2z)
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离 r (z)定义为该
处的光斑半径。
由
(
z
)
2(z)
的定义可以得到：
q
z
b a
z
q0
– 由p与q的关系得到
p' i i q zq0
– C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。
piln1qz0C1
E0exp ip(z)2qk(z)r2
piln1qz0
C1
b qza zq0
E 0ex p i iln 1 q z0 2 (q K 0z)r2 (1 )
把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式 z020/ 可以得
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
–
则其光强分布为：
I(r)
I0exp2r22
A(r)
A0expr22
2 2 r z22 r2 21 r r z22
波动方程
• 我们假设 2 ，其中a为集中大部分能量的横截面半
径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于 单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：
E(x,y,z)eikz
其中e-ikz表示波数为k的严格平面波；
• 为了研究修正平面波，我们引入了修正因子 (x, y, z) ，
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ω ( z ) ω 0，z ⇒ R( z ) θ 0 2. 任一 坐标 z 处的光斑半径 ω ( z )及等相面曲率半径 R( z )
ω 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
ω ( z )
ω 0 ⇒ R( z ) z
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
x2 + y2 ω0 x2 + y2 exp − 2 ) − ϕ ( z ) u00 ( x , = y, z ) c exp − i k ( z + 2 R( z ) ω(z) ω (z)
第4章 高斯光束
NJUPT
高斯光束
高斯光束：所有可能存在的激光波型的概称。 理论和实践已证明，在可能存在的激光束形式中， 最重要且最具典型意义的就是基模高斯光束。 无论是方形镜腔还是圆形镜腔，基模在横截面上的光 强分布为一圆斑，中心处光强最强，向边缘方向光强 逐渐减弱，呈高斯型分布。因此，将基模激光束称为 “高斯光束”。
1 A B TF = = 1 C D − F 0 1
F
AR1 + B R2 = CR1 + D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
在自由空间的传播 束腰处：
1 自由空间变换矩阵： TL = 0
πω 0 2 = = if = i z 0，q(0) λ
πω λ
2
1
B A+ R 1 R2 = B A+ C + R1
πω1 2 B + λ 2 2 D πω1 + BD R1 λ
2
2
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
2 πω 2 2 2 0 A B + ( ) 2 πωC λ = = 2 πω λ 0 λ
A B l′
ω 0′ ω c
已知：
C
ω 0、l、F
q0
l
q A qB
lC
qC
求：ωC、RC 方法一： z=0 处：q = i πω 2 0 0
λ
q0 + l A处： q= A
qB 1 q A − 1 F B处：1= q= q B + lC C处： C
1 1 = Re RC qC 1 π 1 ω 2 = − λ Im q C C
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
方法二：
Aq1 + B q2 = Cq1 + D
πω λ
1 = q2
D C+ q1 = B A+ q1
2
D iλ D (C + )− πω1 2 R1 B iλ B (A+ )− πω1 2 R1
2 2
B πω1 2 2 2 A B + + λ R 1 = 2
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
A B l′
ω 0′ ω c
C
q0
l
q A qB
lC
qC
若出射面在薄透镜面上，
lC ： =0
1 1 1 ωB = ω A , = − RB RA F
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程 求： l ′、ω 0 ′
R1 = R2 = ∞
2 ′ = ω0 2 πω ( F − l )2 + ( 0 ) λ 变换前后的束腰大小关系
F
R2
ω1 = ω 2
1 1 λ 1 1 λ = −i = ( − )− i 2 2 πω 2 πω 2 q2 R2 R1 F
λ 1 1 1 1 =( −i )− = − 2 πω1 R1 F q1 F
结论：高斯光束q参数经薄透镜的变换规律满足ABCD法则
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
r=
2 2 x y + x2 + y2 + z2 ≈ z + 2R
A0 x2 + y2 exp[− ik ( z + )] E ( x, y, z ) ≈ 2R R
NJUPT
高斯光束
3、高斯光束 激光束，既不是均匀的平面光波，也不是均匀的 球面光波，而是一种比较特殊的高斯球面波。
A0 x2 + y2 − ( x2 + y2 ) E ( x, y, z ) = exp[ ] × exp − ik[ + z ] + iϕ ( z ) 2 ω(z) ω (z) 2 R( z )
E ( x , y= , z)
R=
A0 x2 + y2 + z2
exp[− ik x 2 + y 2 + = z2 ]
A0 exp( − ikr ) R
x 2 + y 2 + z 2 ，光源到点 ( x , y , z ) 的距离
与坐标原点距离为常数 ，是以原点为球心的一个球面，在 这个球面上各点的位相相等，即该球面是一个等相位面。 近轴（ x , y << z ，z ≈ R ）：
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
2 2 ω x y + u 00 ( x , = y, z ) c exp − i k (z + ) − ϕ (z) ω (z) 2q(z)
0
均匀球面波：
2 2 u0 + x y exp − i k ( z + ) − ϕ0 = u( x , y , 波面曲率半径的球面波光束
2014/5/7
NJUPT
讨论: 高斯光束的q参数
1 1 iλ = − 2 q(z) R(z) πω (z)
1 1 = Re R( z ) q( z ) 1 = −π I 1 m ω 2 (z) λ q( z )
R( z2= ) R( z1 ) + z2 − z1
A B 1 L TL = = C D 0 1
AR1 + B R2 = CR1 + D
（遵循ABCD变换法则） NJUPT
普通球面波的传播规律
通过焦距为F的薄透镜
R1 ( z ) R2 ( z )
O1
O2
1 1 1 = − R2 R1 F
2 2 πω 0 πω 0 z= ±f = ± | R( z ) |= 2 （极小值） λ λ 2 2 2 πω 0 πω 0 πω 0 | R( z ) | 逐渐增加，曲率中心在 ( −∞ , − λ λ , +∞ ) | z |≤ λ 2 2 2 πω 0 πω 0 πω 0 | R( z ) | 逐渐增加，曲率中心在 ( − , ) | z |> λ λ λ
ω0
z
− ω0
F
毫弧度量级
2ω ( z ) λ λ λ λ =2 = 0.6367 =2 = 1.128 θ 0 = lim πω 0 ω0 πf z f
NJUPT
总结: 基模高斯光束特点
光波面
ω ( z)
F
ω0
− ω0
F
λ θB = πω0
z
高斯光束
非均匀球面波
等相位面为球面； 其曲率中心和曲率半径随传播过程而改变； 振幅和强度在横截面内为高斯分布。
x2 + y2 1 ω0 iλ , y, z ) c exp {− ik z + ( = − 2 ) + iϕ (z) u00 ( x 2 ω (z) R(z) kω ( z )
q( z )复曲率半径
1 1 iλ = − 2 q(z) R(z) πω (z)
NJUPT
Z 1
= 由ABCD法则： q(z)
1 q(z) 1 iλ = － 2 R(z) πω (z)
if + z
z − if f 2 + z2
结论：高斯光束q参数在自由空间的变换规律满足ABCD法则
高斯光束q参数的变换规律——ABCD公式
通过焦距为F的薄透镜
M1 M2
R1
1 1 1 = − R2 R1 F
光能主要分布在双锥体内
λ
NJUPT
高斯光束的基本性质
光波面
ω ( z)
F
波面曲率半径
ω0
z
f 2 πω 0 2 2 R( z ) = z 1 + = z 1 + ( ) λz z
− ω0
F
Z=0（束腰处）
R(z) → ∞ z=0，ω 0 (束腰处等相面为平面）
λz z 1 + =ω 0 1 + 2 f πω 0
P67
πω 0 2 1 = = f L 共焦腔反射镜的焦距 2 λ
NJUPT
高斯光束的基本性质
振幅分布及光斑半径
ω ( z)
F
ω0
z
− ω0
F
ω ( z ) 随z以双曲线函数变化 πω 0 2 ) 双曲线顶点坐为 ±ω ， 焦点坐标为F (0, ± 0
lC 2 πω 0 2 2 llC 2 (1 − ) ( ) + ( l + lC − ) λ F F πω0 2 2 ( ) λ
lC 2 πω0 2 2 llC 2 (1 − ) ( ) + ( l + lC − ) A2q0 2 + B 2 λ F F RC = = 2 2 l llC 2 πω 1 l ACq0 + BD 2 C 2 0 ) + ( l + lC − ) (1 − ) − (1 − ) ( λ F F F F