切线与割线斜率关系的深度探析.docx

切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x xλ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则min ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x '，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I上，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。

切线与割线斜率关系的深度探析1.问题提出文【1】得出了如下的结论：设()y f x =是定义在(,)a b 上的可导函数，曲线:()C y f x =上任意两个不同点的连线(称为割线)斜率的取值区间为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围为Q ，则P Q ⊆，而且Q 中元素比P 中元素至多多了区间P 的端点值. 并指出，求解1212()()f x f x x x -∨-的恒成立问题，可将1212()()f x f x x x --转化为()f x '，用导数法求解.设用导数法求得参数取值区间为D ，然后再检验区间D 的端点值是否符合题意. 例如，已知21()2ln (0)f x x x x xλ=++>，对于任意两个不等的正数12,x x ，恒有1212()()f x f x x x ''->-，求λ的取值范围(四川2006高考题变式). 【解】设21()()4g x f x x x x λ'==-+，322()4g x x xλ'=+-，依条件1212()()1g x g x x x ->-，由()1g x '>得32241x x λ+->，以1x 替换x ，则有32241x x λ-+>对任意0x >恒成立.①当0λ≤时，显然成立；②当0λ>时，令32()24(0)h x x x x λ=-+>，2()62h x x x λ'=-，令()03h x x λ'=⇒=.min ()()4327h x h λλ∴==-+. 若min ()0h x ≤，则m in ()0h x =，此时32241x xλ-+>对任意0x >不能恒成立，故必有min ()0h x >，此时3min min ()()427h x h x λ==-+，依条件有33412704027λλλ⎧-+>⎪⎪⇒<<⎨⎪-+>⎪⎩. 综上得λ<.下面检验端点λ=是否符合题意.当λ=时，1212()()f x f x x x ''->-12221241x x x x +⇔+>1212123x x x x x x +⇔+>或1212125x x x x x x ++<. 由于1212121212333x x x x x x x x x x ++>=≥(当12x x =时取等号)，故λ=符合题意，因而λ=反思上述解法，总感到美中不足.因为在检验λ=验过程不轻松，且不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要回答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何时曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P Q =？何时P Q Ø，且Q 比P 多了区间P 的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理 设()y f x =是定义在连通开区间()I I R ⊆上的二阶可导函数，其对应曲线C 上任意两点的连线斜率的取值集合为P ，曲线C 上任意一点处的切线斜率取值集合为Q ，则(1)P Q ⊆；(2)当曲线C 不存在拐点时，P Q =；(3)P Q ⇔Ø曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的任意直线与曲线C 至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S ，则Q P S =ð. 引理1 函数()y f x =在(,)a b 内二阶可导，则曲线()y f x =在(,)a b 内上凸(或下凸)的(,)x a b ⇔∀∈，()0f x ''≤(或0≥)，且在(,)a b 的任何子区间上()f x ''不恒为0.引理2 曲线的向上凸与向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若()y f x =在一个连通开区间I 上二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =拐点的必要条件是0()0f x ''=.下面给出定理的证明.(1)12,x x I ∀∈，设12x x <，由于()f x 在[]12,x x 上连续，在12(,)x x 内可导，由拉格朗日中值定理可得，在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-，故P Q ⊆. (2) 由于曲线C 不存在拐点，故曲线C 的凸性确定.不妨设下凸.设l 是曲线C 的任意一条切线，则C 必在l 的上方，将l 向上平移很小一段距离至直线m ，则m 必与C 交于两个不同的点,E F ，割线EF 的斜率等于l 的斜率，故Q P ⊆，但由(1)知P Q ⊆，故P Q =.(3)一方面，因曲线C 存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C 至多有一个交点，故曲线C 上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，P Q ∴Ø，充分性得证.另一方面，由于P Q Ø，故k Q ∃∈，但k P ∉，令曲线在点00(,())x f x 处的切线为l ，其斜率为k ，若00(,())x f x 不是拐点，则必存在开区间0I I ⊆，使 得00x I ∈，且曲线在0I 上凸性确定.由(2)的证明知，曲线在0I 上必存在某两点的割线斜率等于k ，故k P ∈与k P ∉矛盾，故00(,())x f x 一定是拐点，又k P ∉，故曲线C 不存在与l 平行的割线，也即平行于拐点00(,())x f x 处切线的任意直线与曲线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3) 的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线:()C y f x =，有①当且仅当曲线C 不存在拐点，或对曲线C 的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切EF l E m线的直线与曲线C 至少有两个交点时，P Q =.②可导曲线C 的切线斜率的取值区间Q 至多比割线斜率的取值区间P 多了区间P 的端点值.这些端点值就是定理结论(3)条件中的拐点处切线的斜率.对于只有一个拐点的二阶可导函数，有如下的推论 当曲线C 只有一个拐点A 00(,())x f x 时，必有P Q Ø，而且{}0()Q P f x '=ð.证明：根据定理结论(3)，只需要证明斜率为0()k f x '=的任意直线与曲线C 至多有一个交点即可.设斜率为0()k f x '=的任意一条直线为()g x kx b =+.考察方程()()0f x g x -=在I 上解的个数.令()()()()h x f x g x f x kx b =-=--，0()()()()h x f x k f x f x ''''=-=-.因为曲线C 只有一个拐点00(,())A x f x ，故在拐点的两侧曲线C 的凸性相反.不妨设左侧上凸，右侧下凸.则当0x x <时，()0f x ''<，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->；当0x x >时，()0f x ''>，故()f x ' ，0()()()0h x f x f x '''=->.故()h x 在I 上 ，故()()0f x g x -=至多有一解，即直线()g x kx b =+与曲线C 的交点至多一个，根据定理(3)(4)推论得证.定理及推论反映了曲线切线斜率与割线斜率之间的具体关系，为借助切线斜率求解割线斜率范围问题提供了一种新方法.【例】已知曲线2:3()x x C y e e x R =-∈任意不同两点的连线斜率为k ，求k 的取值范围. 解 22399232()488xx x y e e e '=-=--≥-，又243(43)x x x x y e e e e ''=-=-. 当3ln 4x <时0y ''<，曲线上凸；当3ln 4x >时0y ''>，曲线下凸，故曲线在3ln 4x =处是一个拐点，而3498x y ='=-，根据推论，k 的取值范围为9(,)8-+∞. 曹军，《中学数学杂志》2010年11月.【附】文【1】主要结论1212()()f x f x x x -∨-定理 设()y f x =在(,)a b 内可导，连结其图象上任意两点,A B 的割线斜率为AB k ，图象上任意一点处的切线斜率为k ，则(1) 若k m >，则AB k m >；若k m ≥，则AB k m >或AB k m ≥.(2)若AB k m >，则k m >或k m ≥；若AB k m ≥，则k m ≥.证明：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =图象上任意不同的两点.(1)不妨设12x x <，由拉格朗日中值定理可知，在12(,)x x 内至少存在一点ξ，使1212()()()f x f x f x x ξ-'=-. 由于k m >，故()f m ξ'>，故AB k m >.其余类似.(2)设21(0)x x x x =+∆∆≠，211121()()()()AB f x f x f x x f x k m x x x-+∆-==>-∆，则1100()()lim lim x x f x x f x m m x ∆→∆→+∆-≥=∆，即()f x m '≥.其余类似. A。

函数图象的割线斜率与切线斜率的关系题 1 (2010年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,1ln )1()(2-<+++=a ax x a x f .如果对任意2121214)()(),,0(,x x x f x f x x -≥-+∞∈，求a 的取值范围.(答案：2-≤a .)题2(2009年高考辽宁卷理科第21(2)题)已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f .证明：若5<a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有1)()(2121->--x x x f x f .题3 (2009年高考浙江卷理科第10题)对于正实数α，记αM 为满足下述条件的函数)(x f 构成的集合：∈∀21,x x R 且12x x >，有)()()()(121212x x x f x f x x -<-<--αα.下列结论中正确的是( )(答案：C.)A.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x fB.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈C.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x fD.若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f题4(2006年高考四川卷理科第22(2)题)已知函数)(),0(ln 2)(2x f x x a xx x f >++=的导函数是)(x f '，21,,4x x a ≤是不相等的正数，求证：2121)()(x x x f x f ->'-'.深入研究这四道高考题(除题8是选择压轴题外，其余三道都是解答压轴题的最后一问)，可得函数图象的割线斜率与切线斜率的关系：定理 设∈a R ，函数)(x f 在区间I 上可导，则 (1)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(2)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(3)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(4)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(不能恒成立；(5)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔≤--)(,)()(2121；(6)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≤'∈∀⇔<--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立；(7)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔≥--)(,)()(2121；(8)2121,,x x I x x ≠∈∀有a x f I x a x x x f x f ≥'∈∀⇔>--)(,)()(2121且∀区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立.为证明定理，须介绍两个引理，它们在《数学分析》中均可找到(比如文献[1],[2])： 引理 1 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上单调不减(不增)的充要条件是0)()(≤≥'x f 在I x ∈时恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ≥≤，则称)(x f 在区间I 上单调不减(不增).)引理 2 若函数)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上严格递增(递减)⇔在I 上0)()(≤≥'x f 且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时0)(='x f 不能恒成立.(注：若2121,,x x I x x <∈∀有)()()(21x f x f ><，则称)(x f 在区间I 上严格递增(递减).)定理的证明 设ax x f x h ax x f x g +=-=)()(,)()(. (1)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔≤----有0)()(2121≤--x x x g x g )(x g ⇔在I上单调不增0)()(≤-'='⇔a x f x g ⇔右边.(2)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有2121212211,,0])([])([x x I x x x x ax x f ax x f ≠∈∀⇔<----有0)()(2121<--x x x g x g )(x g ⇔在I 上严格递减0)()(≤-'='⇔a x f x g (用引理2，这里省去了一些文字的叙述，下同)⇔右边.(3)同(1)可证. (4)同(2)可证.(5)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔≤--≤-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 减上在上在单调不)(单调不增)(I x h I x g 右边. (6)左边2121,,x x I x x ≠∈∀⇔有21212121,,)()(x x I x x a x x x f x f a ≠∈∀⇔<--<-有⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<--0)()(0)()(21212121x x x h x h x x x g x g ⇔⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧ 上严格递增在上严格递减在I x h I x g )()(右边. (7) 2121,,x x I x x ≠∈∀有⇔≥--a x x x f x f 2121)()(2121,,x x I x x <∈∀有a x x x f x f ≥--1212)()(或⇔-≤--a x x x f x f 1212)()(2121,,x x I x x <∈∀有)()(21x g x g ≤或⇔≥)()(21x h x h0)(,≥'∈∀x g I x 或⇔≤'0)(x h a x f I x ≥'∈∀)(,或⇔-≤'a x f )(a x f I x ≥'∈∀)(,(8)同(7)可证.题5 已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )的图象上任意不同的两点连线的斜率小于1，求a 的取值范围.解 由定理9(2)，得123)(2≤+-='ax x x f 在∈x R 时恒成立，即01232≥+-ax x 恒成立，所以]3,3[,012)2(2-∈≤-=∆a a .所以所求a 的取值范围是]3,3[-.注 由定理9(1)知，若把例1中的“小于”改成“不大于”，所得答案不变.还可验证：当0,3==b a 时，233)(x x x f +-=的图象上任一割线的斜率小于1，但图象在拐点(即凹凸性的分界点，其二阶导数值为0，参见文献[2]或[3])31处切线的斜率为1(图1).图1题6 (2013年福建省厦门一中月考试题)已知函数∈++-=b a b ax x x f ,()(23R )(1)若函数)(x f y =的图象上任意两个不同的点连线斜率小于1，求证：33<<-a ；(2)若]1,0[∈x ，且函数)(x f 的图象上任意一点处的切线斜率为k ，试证明1≤k 的充要条件为31≤≤a .由题5的结论可知，题6的第(1)问是错题(可得第(2)问是正确的). 下面用定理给出题1~4的简解.题3的简解 αM 即满足条件“∈∀21,x x R ，有α<--2121)()(x x x f x f ”的函数)(x f 构成的集合.由定理(6)，得αM 即满足条件“∈≤'x x f ()(αR )且对于任意的区间I I ⊂0，当0I x ∈时a x f =')(及a x f -=')(均不能恒成立”的函数)(x f 的集合.由此及绝对值不等式可证得选项C 成立(且可排除选项A 、B 、D)，所以选C.题2的简解 由定理(4)知只需证明“当0>x 时1)(-≥'x f 且1)(-='x f 只能在一些孤立点上成立”：11)12(1121)(->----=--≥--+='a a a a a xa x x f所以要证结论成立.(并且还可得：当51≤≤a 时，结论也成立.)题1的简解)0(21)(>++='x ax xa x f .由定理(7)知题设即421)(≥---='ax xa x f 在0>x 时恒成立，由1-<a 及均值不等式可得所求a 的取值范围是]2,(--∞.注 下面把题1中的题设“1-<a ”改成“∈a R ”，再来求解： 此时题意即“421≥++ax xa 在0>x 时恒成立，求a 的取值范围”.当1-<a 时，已得2-≤a ；当01≤≤-a 时，可得函数)0(21)(>++=x ax xa x g 是单调减函数，可得此时不满足题设；当0>a 时，由均值不等式可得1≥a .所以所求a 的取值范围是),1[]2,(+∞⋃--∞. 题4的简解 设xax x x f x g +-='=222)()(，即证1)()(2121>--x x x g x g . 由定理(8)知，只需证明：当0>x 时1)(≥'x g ，即)0(14223>>-+x xax 只需证 )0(14223>>-+x x a x 即 )0(222>>++x a xx x这由均值不等式及题设可证：a xx x ≥>⋅≥++4432232 所以欲证成立.注 由以上简解知，把题4中的“4≤a ”改成“343⋅≤a ”后所得结论也成立.参考文献1 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，19922 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。