4 函数图象的割线斜率与切线斜率的关系

第3讲 导数中八大切线问题题型总结【考点预测】 1.在点的切线方程切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩．2.过点的切线方程设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，，所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ） 题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围） 题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题 题型八：与切线相关的最值问题 【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【解析】 【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得()2f '表示切线1l 斜率10k >，()3f '表示切线3l 斜率30k >， 又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--，表示割线2l 的斜率2k ，结合图象，可得3210k k k <<<，即()()()()03322f f f f <<-<''. 故选：C.【例2】函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()()244222f f f f '<-<'B ．()()()()224224f f f f '<-<'C ．()()()()242242f f f f '<'<-D ．()()()()422422f f f f -<'<'【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义判断由图象可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，12AB k k k <<， 故(4)(2)(2)(4)42f f f f -'<<'-，即()()()()224224f f f f '<-<'故选：B 【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【详解】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数()y f x =的图象如图所示，f x 是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A【分析】由()y f x =图象的变化趋势，结合导函数的定义有(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即可得答案.【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==-【答案】D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++ 1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（ ）A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】求导数得出(1)f '，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算(2)f '-即可． 【详解】()f x 是奇函数，3232()23(1)()23(1)f x x ax f x f x x ax f x ''-=++=-=-+恒成立，所以0a =，3()2(1)f x x f x '=--，2()6(1)f x x f ''=--，所以(1)6(1)f f ''=--，(1)3f '=-，即2()63f x x '=-+， 2(2)6(2)321f '-=-⨯-+=-．故选：A ．【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（ ） A ．4x －y +8＝0 B ．4x +y +8＝0 C ．3x －y +6＝0 D ．3x +y +6＝0【答案】B 【解析】将2x =-代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】解：因为ln(25)y x x =+，所以()()2ln 25ln 2525x y x x x x ''=+=++⎡⎤⎣⎦+，所以24x y =-=-'． 又当2x =-时，ln10y x ==，故切点坐标为(2,0)-，所以切线方程为480x y ++=． 故选：B.【例4】过函数21()2xf x e x =-图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得2()1x f x e '=-，根据指数函数的性质，得到211x e ->-，即切线的斜率1k >-，进而得到tan 1θ>-，即可求解. 【详解】由题意，函数21()2xf x e x =-，可得2()1x f x e '=-，因为20x e >，所以211x e ->-，即切线的斜率1k >-， 设切线的倾斜角为θ，则tan 1θ>- 又因为0θπ≤<，所以02πθ≤<或34πθπ<<， 即切线的倾斜角的范围为30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B.【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x ay x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（ ） A ．1- B ．23-C ．12D ．1【答案】A 【解析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值 【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23ab +=①； 由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②； 对曲线求导得()242ay x -'=+，∴2143x ay k ='-==，即49a k -=③， 联立①②③236049a b k b a k+⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0,0,322x x g x x x f x f 图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（ ） A ．320x y -+= B ．320x y --= C ．340x y ++= D ．340x y +-=【答案】A【分析】令2x =先求出(2)f 的值，再利用函数关于原点对称可求出()g x ,再利用导函数的几何意义即可求出()f x 在1x =-处的切线方程. 【详解】由题意知：2(2)(2)22(2)63f f f =⨯-⇒=. 所以22,0()(),0x x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩; 令0x <，则0x ->. 所以2()2x x f x -=+.又函数()f x 图像关于原点对称，即()()f x f x -=-. 所以当0x <时，2()2f x x x =--. 所以当0x <时，)4(1x f x '=--.(14)13f '-=-=,(1)211f -=-+=-;所以()f x 在1x =-处的切线方程为：13(1)320y x x y +=+⇒-+=. 故选：A. 【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 2.【2021年甲卷理科】曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 【答案】520x y -+= 【解析】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上． 求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=． 故答案为：520x y -+=．3．【2019年新课标1卷理科】曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【解析】 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．4．【2018年新课标2卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 【答案】2y x = 【解析】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】 2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.5．【2018年新课标3卷理科】曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________． 【答案】3- 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1x xae ax e =++'则()f 012a =+=-' 所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）【例1】【2022年新高考2卷】曲线y =ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】 y =1ex y =−1ex【解析】 【分析】分x >0和x <0两种情况，当x >0时设切点为(x 0,lnx 0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x 0，即可求出切线方程，当x <0时同理可得； 【详解】解： 因为y =ln |x |，当x >0时y =lnx ，设切点为(x 0,lnx 0)，由y ′=1x ，所以y ′|x=x 0=1x 0，所以切线方程为y −lnx 0=1x 0(x −x 0)，又切线过坐标原点，所以−lnx 0=1x 0(−x 0)，解得x 0=e ，所以切线方程为y −1=1e(x −e )，即y =1ex ；当x <0时y =ln (−x )，设切点为(x 1,ln (−x 1))，由y ′=1x ，所以y ′|x=x 1=1x 1，所以切线方程为y −ln (−x 1)=1x 1(x −x 1)，又切线过坐标原点，所以−ln (−x 1)=1x 1(−x 1)，解得x 1=−e ，所以切线方程为y −1=1−e(x+e )，即y =−1ex ；故答案为：y =1ex ；y =−1ex【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e xf x x =过点()0,0的切线方程为（ ）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=【答案】C 【解析】 【分析】设切点2(,e )m m m ，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过()0,0代入求参数m ，即可得切线方程. 【详解】由题设2()(2)e x f x x x '=+，若切点为2(,e )m m m ，则2()(2)e m f m m m '=+， 所以切线方程为22(2))e e (m m y m m m x m +-=-，又切线过()0,0，则22(2e )e m m m m m +=，可得0m =或1m =-，当0m =时，切线为0y =；当1m =-时，切线为e 1(1)y x --=+，整理得e 0x y +=. 故选：C【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ） A ．e 1+ B ．12-C ．1D ．12【答案】D 【解析】 【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e xf x x =+'，设切点为000(,e )x x x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x xy x x x x -=-，将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-，即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =，所以切点横坐标之和为11122-+=故选：D.【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【答案】D【分析】求出112y x '=-+，设切点()00,x y ，由()012'=y x 求出()00,x y ，代入12y x b =-可得答案.【详解】112y x'=-+，设切点()00,x y ，由()0011122y x x '=-+=，所以0011,2x y ==-，代入12y x b =-，得1b =．故选：D.【题型专练】1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（ ）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程. 【详解】由题意可得点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭不在曲线2ln 3y x x =+上，设切点为()00,x y ，因为2ln 2y x '=+， 所以所求切线的斜率0000022ln 21212y y k x x x =+==++，所以000002ln 2ln 1y x x x x =+++.因为点()00,x y 是切点，所以0002ln 3y x x =+，所以0000002ln 2ln 12ln 3x x x x x x +++=+，即002ln 20x x +-=. 设()2ln 2f x x x =+-，明显()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =， 所以002ln 20x x +-=有唯一解01x =，则所求切线的斜率2k =， 故所求切线方程为12212y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.故选：B.2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（ ） A ．e B ．1CD ．1e【答案】B 【解析】 【分析】设出切点()()000,ln 0P x x x >，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可. 【详解】解：设切点()()000,ln 0P x x x >，由ln y x =，得1y x'=，所以001x x y x ='=，∴曲线在点P 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-， 又l 过（0，0），∴()0001ln x x x -=-，解得0x e =， ∴切点(),1P e ，纵坐标为1． 故选：B ．3.过点(0，-1)作曲线()ln f x x x =的切线，则切线方程为 A ．x +y +1=0 B ．x -y -1=0 C ．x +2y +2=0 D ．2x -y -1=0【答案】B 【解析】设切点为00(,)x y ，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解. 【详解】 ()'f x =ln x +1，设切点为00(,)x y ，∴000ln y x x =, ∴001y x +=ln x 0+1， ∴x 0ln x 0+1=x 0ln x 0+x 0，∴x 0=1，∴y 0=0， 所以k =0()f x '=1，∴切线方程为y =x -1，即x -y -1=0， 故选：B . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（ ） A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C 【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程. 【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(,-∞【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可. 【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=+， 因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'=0x >恒成立，即12x a x+≥对任意0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即x =a ≤所以a 的取值范围是(,-∞． 故选：D ．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线1ln 2y kx =+-是曲线ln 2y x =+的切线，则k =________． 【答案】2【分析】设切点()111,P x y ，根据导数的几何意义列式求解即可. 【详解】对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，设直线1ln 2y kx =+-与曲线ln 2y x =+相切于点()111,P x y ，则11ln 2y x =+，由点()111,P x y 在切线上得()()1111ln 2y x x x x -+=-，即111ln 1y x x x =++，所以1111ln 1ln 2k x x ⎧=⎪⎨⎪+=-⎩，解得112x =，2k =． 故答案为：2【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+，则b =_____ 【答案】1-【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出1e a -=，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为e ln x y a x x =+的导数为e ln 1x y a x '=++， 又函数e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=， 又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-. 故答案为：1-.【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（ ） A ．1-或1 B．C ．2-或2 D．【答案】D 【解析】 【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解. 【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =a =，所以b =故选：D【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线()()e x f x x a =+在点(1,(1))f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为_________．【答案】e 2【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可．【详解】因为()(1)e x f x x a '=++，所以切线的斜率为()1'1k f ae -=-=，而切线与直线210x y +-=垂直，所以12)1ae -⋅-=-（，解得e2a =， 故答案为：e2．2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（ ）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+ D ．32a =，1ln 4b =+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求出结果. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x x'=， 由题意可得(4)1(4)4f f b =⎧⎨=+'⎩，即114ln 44a b+==+⎩，解得32ln 4a b =⎧⎨=+⎩，故选：A3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（ ）A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】D 【解析】 【分析】设曲线1C 的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n 值. 【详解】设直线l ：20x y m -+=与曲线1C 相切，切点为()()000,1ln x x x +，因为()1ln y x x =+的导数为2ln y x '=+，由02ln 2x +=，解得01x =，所以切点为()1,1，代入20x y m -+=得1m =-，所以切线方程为210x y --=.将2260xy x n +-+=化为标准方程为()()22399x y n n -+=-<，因为l 与圆2C =4n =.故选：D题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条【答案】C 【解析】 【分析】设切点为()300,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代入切线方程，解得0x ，即可得解； 【详解】解：设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =， 所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条， 故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln a b < B ．ln b a <C ．ln b a <D ．ln a b <【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得. 【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln a b x x +=+， 设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x =+有两个不同的交点，221()a x af x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >. 故选：D.【例3】【2021年新高考1卷】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b <<【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-， 令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()0,∞+ C ．()0,1 D ．{}0,1【答案】C 【解析】 【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y t =与23()32g x x x =-，借助导数研究函数()g x 的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解. 【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=， 设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线， 可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点， 又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=， 如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点. 故选：C.【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（ ）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】本题为过点P 的切线，切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得切线方程()000001e e x x x x y x x --=-， 代入点P 坐标整理为02001e x x x m -+=，即y m =与21()e xx x f x -+=有三个交点． 【详解】 由e x x y =，则1e x x y -'=，设切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则切线斜率001e x x k -=则在点000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标得()0000011e ex x x x m x --=- 整理为02001e x x x m -+=，即这个方程有三个不等式实根，令21()e x x x f x -+=，则 232()e x x x f x '-+-=，令()0f x '>则12x <<函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 故得(1)(2)f m f <<，即213,e e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ）A ．01t <<B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11t e<<【答案】C【分析】根据导数的几何意义得出切线方程，再将方程0002ln t x x x =-的根的个数问题转化为函数y t =与函数()2ln g x x x x =-的图象的交点个数问题，结合图象，即可得出答案. 【详解】解：由题意得(,1)P t t -，设切点为()00,A x y ，00x >， 1()1f x x '=-，()000111x f x x x -'=-=， 则过点P 的切线方程为()000001ln x y x x x x x --+=-，整理得0001ln 1x y x x x -=-+， 由点P 在切线上，则00011ln 1x t t x x --=-+，即0002ln t x x x =-， 因为过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-两条切线， 所以关于0x 的方程0002ln t x x x =-有两个不等的实数根， 即函数y t =与函数()2ln g x x x x =-的图象有两个交点， ()2ln 11ln g x x x '=--=-，()()00e,0e g x x g x x >⇒<<⇒''，则函数()g x 在()0e ，上单调递增，在()e,∞+上单调递减，且(e)e g =，0x →时，()0g x →；x →+∞时，()g x →-∞，则函数y t =与函数()ln 2g x x x x =-+的图象如下图所示：由图可知，0e t <<， 【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（ ） A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解. 【详解】设切点为()00,x y ,过点P 的切线方程为()()000001e e xxy x x x x =+-+,代入点P 坐标，化简为()02001e x m x x =---，即这个方程有三个不等根即可.令()()21e x f x x x =---,求导得：()()()12e xf x x x '=--+.令()0f x '>，解得：21x -<<-，所以()f x 在()2,1--上递增；令()0f x '<，解得：2x <-或1x >-，所以()f x 在(),2-∞-和()1,-+∞上递增.要使方程()02001e x m x x =---有三个不等根即可.只需()()21f m f -<<-,即231e ex -<<-. 故选：D2.（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（ ） A ．0b < B ．30b a << C ．3b a >D ．()30b b a -=【答案】B 【解析】 【分析】设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，求出函数的导函数，即可得到()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意()g x 有三个零点，即可得到不等式组，从而得解； 【详解】解：设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，则()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以3200230x ax b -+=， 令()3223g x x ax b =-+，则()()2666x ax g x x x a '=-=-，因为0a >，所以当0x <或x a >时()0g x '>，当0x a <<时()0g x '<， 所以()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以当0x =时()g x 取得极大值，当x a =时()g x 取得极小值，即()()0g x g b ==极大值，()()3g x g a b a ==-极小值，依题意()3223g x x ax b =-+有三个零点，所以()()00g x g b ==>极大值且()()30g x g a b a ==-<极小值，即30b a <<；故选：B3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（） A ．0e b a b << B ．e 0a a b -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<【答案】D【分析】设切点为()000,e xx x ，利用导数的几何意义及条件可得关于0x 的方程()0200e x xax a b --=-有三个不同的解，构造函数()()2e x f x x ax a =--，利用导数研究函数的性质利用数形结合即得. 【详解】由题可得()1e xy x '=+，设切点()00,ex x x ，则()00000e 1e x x x b x x a-+=-，整理得()0200e x x ax a b --=-，由题意知关于0x 的方程()0200e x x ax a b --=-有三个不同的解，设()()2e x f x x ax a =--，()()()2e xx x f x a '=+-，由0f x ，得2x =-或x a =，又0a >，所以当2x <-时，0fx，()f x 单调递增，当2x a -<<时，0fx，()f x 单调递减，当x a >时0f x，()f x 单调递增，当x →-∞时()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞，且()242eaf +-=，()e 0a f a a =-<， 函数()f x 的大致图像如图所示，因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点， 所以240ea b +<-<，即()24e 0a b -+<<. 故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：∴利用最值或极值研究；∴利用数形结合思想研究；∴构造辅助函数研究.4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】设切点为(,(1)e )a a a +，利用导数的几何意义求出切线的斜率()k f a '=，利用点斜式写出切线方程，将点M 的坐标代入切线方程，可得关于a 的方程有三个不同的解，利用参变分离可得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，利用导数求出()g x 的单调性和极值，则根据()y g x =与y t =有三个不同的交点，即可求出实数t 的取值范围【详解】设切点为(,(1)e )a a a +，由()()1e x f x x =+，得()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+，所以切线的斜率为()()2e ak f a a '==+，所以切线方程为(1)e (2)e ()a a y a a x a -+=+-， 因为点M （1，t ）在切线上， 所以(1)e (2)e (1)a a t a a a -+=+-， 化简整理得2(3)e a t a =-，令2()(3)e x g x x =-，则2()(32)e (1)(3)e x x g x x x x x '=--=--+， 所以当3x <-或1x >时，()0g x '<，当31x -<<时，()0g x '>， 所以()g x 在(,3)-∞-和(1,)+∞上递减，在(3,1)-上递增，所以()g x 的极小值为336(3)(39)e eg --=-=-，极大值为(1)2e g =， 当3x <-时，()0g x <， 所以()g x 的图象如图所示，因为过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线， 所以()y g x =的图象与直线y t =有三个不同的交点， 所以由图象可得360e t -<<， 故选：D5.（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B 【解析】 【分析】求导分析()e xf x x =的图象可得3n =，再设切点坐标为()00,x y ，由题可得()02001e x m x x =-++⋅有三根，再构造函数()()2e 1x g x x x =-++⋅求导分析图象单调性与最值即可 【详解】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()xf x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e xk x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x x y x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2xg x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题 题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线y kx b =+是曲线1e x y +=的切线，也是e 2x y =+的切线，则k =（ ） A ．ln 2 B ．ln 2- C ．2 D ．2-【答案】C【分析】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到k 的值.【详解】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，则切线方程分别为，()()1112e e x x y x x +--=，()22112e e x x y x x ++--=，化简得，11112e e e x x x y x x -=++ 2221112e e +e x x x y x x +++-=依题意上述两直线与y kx b =+是同一条直线，所以，12112211112e e e 2e e +e x x x x x x x x +++⎧=⎨+-=-⎩，解得1ln 2x =， 所以1ln 22e e x k ===． 故选：C ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞【答案】B 【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a 关于一个变量1x 的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解. 【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，， ()1f x x'=，切线的斜率为11x ，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，即111ln 1y x x x =+-设公切线与函数2()g x x x a =++切于点22222()(),0B x x x a x ++<，()21g x x '=+，切线的斜率为221x +，则切线方程为22222()(21)()y x x a x x x -++=+-，即222(21)y x x x a =+-+所以有21212121ln 1x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩ 因为1>0x ，所以2210x +>，可得2102x -<<，21210x <+<，即1101x <<， 由21121x x =+可得：211122x x -=， 所以22112111211111ln ln 1ln 111224a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-=， 令11t x =，则()0,1t ∈，()22111311ln ln 4424a t t t t t =---=---， 设()()2113ln 01424h t t t t t =---<<，则22192111()0222242h t t t t tt t t =--==⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'<-， 所以()h t 在()0,1上为减函数， 则()()11311424h t h >=--=-，所以1a >-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞， 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求曲线过点(),A a b 的切线的方程的一般步骤是： （1）设切点P 00(,())x f x（2）求出()y f x =在0x x =处的导数()0f x '，即()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线斜率； （3）构建关系()000()f x bf x x a-'=-解得0x ；（4）由点斜式求得切线方程0()()y b f x x a '-=⋅-.【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（ ） A ．1.2 B ．4 C ．5.6 D ．2e【答案】ABD【分析】分别设切点分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出()2224ln 1a x x =--，设()2244ln g x x x x =-由导数求出其值域即可.【详解】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则a y x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =-- ∴设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ， 则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，∴ 根据题意方程∴，∴表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.故答案为：ABD【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（ ） A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b 与a 的关系式，再。

百度文库 - 让每个人平等地提升自我1高二数学选修 2-2 §一、学习任务1. 借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义； 2．通过经历从平均速度到瞬时速度的过渡,抽象出导数的概念,认识导数的内涵与意义,体会无限逼近、以直代曲和从特殊到一般的思想.3．了解割线斜率与切线斜率的关系；4.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题； 二、新课探究问题 1. 在高台跳水中，假设运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h ,计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度______=v ，并思考： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （3）能否用平均变化率更加准确地描述运动员某时刻的运动状态? （4）那如何求运动员在2s 时的瞬时速度呢?先观察下表： 运动员在2s 附近的平均速度：0<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内01.0-=∆t ， 01.0=∆t ， 001.0-=∆t ， 001.0=∆t ， 0001.0-=∆t ， 0001.0=∆t ， 00001.0-=∆t ， 00001.0=∆t ， 000001.0-=∆t ，000001.0=∆t ，…… ……1.用导数的定义求函数22+=x y 在1=x 处的导数.【总结】你能归纳总结出求函数)(x f y =在0x x =处的导数的方法吗？【思考】由导数定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.导数就是事物的________变化率,它反映的是函数)(x f y =在点0x 处变化的_____程度.你能举出生活中的关于瞬时变化率的实际问题吗？变式反馈1. 1. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．12.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为3.若2')1(2)(x xf x f +=，则=)0('f ________问题1. 如右图,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, (1)割线n PP 的变化趋势是什么？(2)割线n PP 的斜率n k =______.观察上图我们发现：当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,割线n PP 等同于哪条线? 这条直线PT 称为曲线在点P 处的什么线?(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？切线PT 的斜率k 为多少？ (4)切线PT 的斜率k 与函数)(x f 在0x x =处的导数()f x '的关系是什么？ (5)这里学习的切线和我们之前学过的圆的切线有何不同？ 技能提炼1.已知曲线34313+=x y （1）求函数在点p （2,4）处的切线方程.（2）求曲线过点p （2,4）的切线方程.【思考】(1)在曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线方程为______________________.(2)求曲线的切线方程，看清到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有多条.【总结】从求函数)(x f y =在0x x =处导数的过程可以发现：当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, )('x f 便是关于x 的一个函数,我们称它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆，导函数也简称导数.1．求函数12++=x x y 的导函数，及在（2，7）处的切线方程.*2.在抛物线2y x =上依次取M(1,1)，N(3,9)两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程通过观察左边表格,你发现平均速度有怎样的变化趋势?(5)运动员在某一时刻0t 的瞬时速度怎样表示? 若从气球膨胀率与瞬时速度两个实际问题中抽象出函数关系式)(x f y =，那么函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率怎样表示？。

函数切线的知识点总结1. 切线的概念在数学中，给定曲线上一点P，通过这一点能够作出唯一的直线L，它与曲线相交于此点，并且在此点处与曲线的切线相切，这样的直线L称为曲线的切线，点P叫做切点。

任何一条曲线，在它的每一点上都存在切线。

2. 切线的定义设曲线L是可导的，点P(a,f(a))在L上，若直线L通过点P，且曲线L和直线L在点P处的切线重合，则直线L称为曲线L在点P处的切线。

3. 曲线的切线方程对于曲线y=f(x)，在点P(x0,y0)处的切线方程可以表示为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数。

4. 切线的斜率切线的斜率就是曲线在某一点的导数值，即切线的斜率等于曲线在该点处的导数值。

5. 切线的求解为了求得曲线在某一点的切线方程，我们需要进行以下步骤：a. 求出点(x0,y0)的横坐标和纵坐标；b. 求出函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)；c. 将这些信息带入切线方程y - y0 = f'(x0)(x - x0)中，即可得到曲线在点(x0,y0)处的切线方程。

6. 切线的图像曲线的切线可以通过函数图像来形象地描述，当我们观察曲线上不同点处的切线时，可以得到这些切线的整体情况。

通过图像，我们可以看到切线在曲线上的变化情况，以及曲线在不同点处的斜率和变化趋势。

7. 切线的应用函数的切线在数学中有诸多应用，例如在微积分中的微分、函数极值点的判断、曲线的切线综合问题等。

在工程、物理、经济等领域，函数的切线也有广泛的应用，例如在物理中的速度、加速度的研究，经济学中的边际利润等。

8. 切线的性质曲线上任意一点的切线斜率恒等于函数在该点的导数。

通过切线方程可以得到曲线在某点处的局部变化情况，比如曲线在该点处的导数值、函数值等。

9. 切线和割线在数学中，除了切线外，还有一个相关的概念叫做割线。

割线是曲线上的两点A、B之间的直线，而切线则是曲线上的一点。

导数的概念及几何意义一、学习目标：1.从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养.2.通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.3.通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.二、重难点：教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.三、教学过程设计引言：前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．情景1：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0()f x x +∆．x 的变化量为x ∆，y 的变化量为00()()y f x x f x ∆=+∆-．我们把比值y x∆∆，即 y x ∆=∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的 ．问题1：更一般的对于函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率如何表示？练习：重温两个情境，如何用导数表示运动员在2t =时的瞬时速度(2)v ？如何用导数表示抛物线2()f x x =在点(0,0)P 处的切线的斜率k ？思考：它们的意义是什么？导数可以描述任何运动变化事物的小结：导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个唯一确定的数．这样，当x 变化时，y ＝f ′(x )就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的 (简称导数)．y ＝f (x )的导函数记作 或 ，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx . 例1设1()f x x=，求(1)f '．例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第h x 时，原油的温度(单位：C )为2715(08)y x x x =-+≤≤．计算第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设s t 时汽车的速度(单位：m/s)为2()660y v t t t ==-++，求汽车在第2 s 与第6 s 时的瞬时加速度，并说明它们的意义．引言：我们知道，导数0()f x '表示函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数()y f x =在0x x =附近的变化情况．那么导数0()f x '的几何意义是什么？情景：观察函数()y f x =的图象（图5.13），思考：平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆表示什么？思考：瞬时变化率00000()()()=limlim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆表示什么？追问：如图5.14，在曲线()y f x =上任取一点(,())P x f x ，如果当点(,())P x f x 沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(,())P x f x 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线0P T 称为曲线()y f x =在点0P 处的切线（tangent line ）．此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？小结：1．割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是 .当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝ .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．例 4 图 5.16是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象．根据图象，请描述，比较曲线()h t 在0t t =，1t ，2t 附近的变化情况．四、课堂检测 1.函数2()e e x x f x a =-的图象存在与直线0x y -=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,22⎤-∞⎦B ．(],0-∞C ．)22,⎡+∞⎣D ．()0,∞+2.函数()y f x =的图象如图所示，()'f x 是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）A ．()()''2(3)(2)3f f f f <-<B ．()()''32(3)(2)f f f f <<-C ．()()''23(3)(2)f f f f <<-D ．()()''(3)(2)23f f f f -<<3.函数2ln y x x 的图象在点()1,0处的切线方程为（ ）A ．21y x =-B ．22y x =-C ．1y x =-D ．1y x =+五、习题重现1.设()f x x =，求(1)f '．2.设函数2()1f x x =-．求：（1）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率；（2）函数在1x =处的导数．3．求曲线221y x =-+在点(1,1)-处的切线方程．。

5.1.1变化率问题教学设计一、课时教学内容1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．二、课时教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.三、教学重点、难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．5.1.1变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--一般地，在12t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9() 4.8h t h t v t t t t -==-++-．环节二 观察分析，感知概念 思考:计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在049t ≤≤这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态． 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity ）．探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在1s t =s 时的瞬时速度吗？设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度． 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．为了求运动员在1t =时的瞬时速度，我们在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当0t ∆>时，1t +∆在1之后，当0t ∆<时，1t +∆在1之前．当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度．当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）．表5.1-1当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内当0t ∆>时，在时间段[1,1]t +∆内t ∆2(1)(1)1(1)4.9()5 4.95h h t v t t tt t-+∆=-+∆∆+∆==-∆--∆t ∆2(1)(1)(1)14.9()5 4.95h t h v t t tt t+∆-=+∆--∆-∆==-∆-∆－0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001－4.9999951 0.000001－5.0000049……观察:给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值．当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？1时，平均速度v 都无限趋近于5-．事实上，由(1)(1)4.95(1)1h t h v t t +∆-==-∆-+∆-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9t -∆也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为0(1)(1)lim5t h t h t ∆→+∆-=-∆．从物理的角度看，当时间间隔t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度．因此，运动员在1s t =时的瞬时速度(1)5m /s v =-． 思考:（1）求运动员在2s t =时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度？ 解：（1）运动员在2s t =时的瞬时速度2200(2)(2)[ 4.9(2) 4.8()11][ 4.92 4.8211](2)lim lim (2)2t t h t h t t t v t t ∆→∆→+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+==+∆-∆lim( 4.914.8)14.8t t ∆→=-∆+=．（2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度2200000000000()()[ 4.9() 4.8()11][ 4.9 4.811]()lim lim()t t h t t h t t t t t t t v t t t t t∆→∆→+∆--+∆++∆+--++==+∆-∆000lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t t t ∆→=-∆-+=-+．1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1．【解析】22(0.5)(0.5)[ 4.9(0.5) 4.8(0.5)11]( 4.90.5 4.80.511)h t h t t +∆-=-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9()0.1t t =-∆-∆，所以，00(0.5)(0.5)(0.5)limlim(0.1 4.9)0.1(m /s)t t h t h v t t∆→∆→+∆-==--∆=-∆．所以，高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度为0.1m /s -． 2．火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为2()0.9h t t =，求： （1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度． 2．【解析】（1）因为22(2)(1)0.920.91 2.7(m /s)21h h v -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m /s ；（2）因为222000(10)(10)0.9(10)0.9100.9()18lim lim lim (10)10t t t h t h t t t t t t ∆→∆→∆→+∆-⨯+∆-⨯∆+∆==+∆-∆∆ 0lim(0.11898)t t ∆→=∆+=．所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m /s ．3．一个小球从5 m 的高处自由下落，其位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.9y t t =-．求1s t =时小球的瞬时速度．3．【解析】由题意知：222000()() 4.9() 4.99.8 4.9()lim lim limt t t y t t y t t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆--+∆+-⋅∆-∆==∆∆∆ 0lim(9.8 4.9)9.8t t t t ∆→=--∆=-，当1s t =时，小球的瞬时速度为s 9.8m /-．环节四 辨析理解，深化概念 问题2抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究． 探究：你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况．观察：如图5.1-1，当点2(,)P x x 沿着抛物线2()f x x =趋近于点0(1,1)P 时，割线0P P 有什么变化趋势？我们发现，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线． 环节五 概念应用，巩固内化探究我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k 呢？从上述切线的定义可见，抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系．记1x x ∆=-①，则点P 的坐标是2(1,(1))x x +∆+∆．于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-．①x ∆可以是正值，也可以是负值，但不为0．我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）．表5.1-20x ∆< 0x ∆>x ∆ 2k x =∆+ x ∆ 2k x =∆+ －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.00011.99990.00012.0001OxyP 0PT2()f x x =－0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.0000011.9999990.0000012.000001……观察：利用计算工具计算更多割线0P P 的斜率k 的值，当x ∆无限趋近于0时，割线0P P 的斜率k 有什么变化趋势？近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2．事实上，由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，2x ∆+无限趋近于2．我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆．从几何图形上看，当横坐标间隔x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ．这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ．因此，切线0P T 的斜率02k =．思考：观察问题1中的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象（图5.1-2），平均速度(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆-的几何意义是什么？瞬时速度(1)v 呢？环节六 归纳总结,反思提升问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？2() 4.9 4.811h t t t =-++(1,(1))h (1,(1))t h t +∆+∆图5.1-2(1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。

图像法本专题主要讲述图像法在物理学中的应用。

解决物理问题的依据主要是利用相应的物理规律，定量给出物理量间的函数关系式，而采用数、形转换这一手段将给出的函数关系式以图像的形式表现出来就称为函数的图像，它和用公式的形式给出的物理规律本质是一致的。

但表现的形式不同，图像能够直观、形象、动态地表达物理过程和物理规律。

有时候，在解决一些复杂问题时用图像法解题更为明了、简捷。

图像包含的信息内容非常丰富，可考查学生的数形结合能力和信息提取的能力。

图像的识别（2020·重庆模拟）如图所示，有一边长为L的正方形线框abcd，由距匀强磁场上边界H处静止释放，其下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动。

匀强磁场区域宽度也为L，ab边开始进入磁场时记为t1，cd边出磁场时记为t2，忽略空气阻力，从线框开始下落到cd边刚出磁场的过程中，线框的速度大小v、加速度大小a、ab两点的电压大小U ab、线框中产生的焦耳热Q随时间t的变化图像可能正确的是（）A．B．C．D．关键信息：边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动→线框所受安培力与重力平衡→分析出cd边出磁场之前线框也做匀速直线运动ab边开始进入磁场→ab边相当于电源，ab两点间电压对应的是路端电压，U ab＝34Ecd边出磁场前→ab两点间电压对应的是ab两点间这段导线电阻的电压，U ab＝14E线框中产生的焦耳热Q→因线框进入磁场之后的下落是做匀速直线运动，所以线框中的电流大小不变，可结合法拉第电磁感应定律以及焦耳定律进行计算解题思路：由右手定则判断出感应电流的方向，由法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小，进而得到安培力，再根据平衡条件、牛顿第二定律、电路知识、焦耳定律等进行相关计算、判断。

AB．线框从磁场上方H处开始下落到下边刚进入磁场过程中线框做自由落体运动；因线框下边刚进入匀强磁场区域时恰好能做匀速直线运动，可知线框直到cd边出磁场时也做匀速直线运动，可知A、B错误；CD．线框ab边进入磁场的过程：E＝BLv，ab边相当于电源，则U ab＝34BLv；cd边进入磁场的过程：E＝BLv，cd边相当于电源，ab边相当于外电路中的一个电阻，其电阻为线框电阻的14，则U ab＝14BLv；线框进入磁场和出磁场过程中电动势相同，均为E＝BLv，时间相同，则线框中产生的热量Q＝2EtR相同；故C项正确，D错误。