从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读

函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用切线斜率即为图形在垂直方向变化量与水平方向变化量上的比值，这和数学概念当中的斜率存在一定的差异性。

此斜率并非倾角正切值。

在这一方面往往理解起来较为困难，由于过程相同，出于不同时刻的物理量便是明确的，但是每个人所画出的图像却不尽相同，相应的斜率也便有所不同。

因此就加强对函数图像中“切线斜率”的理解将具有十分重要的作用与价值，可在进行物理习题的解答时能够更好的应用“切线斜率”这一解题方法，提高对解题技巧的有效掌握。

一、理解函数图像“切线斜率”的意义要想促使学生能够对于函数图像当中某一切线位置的斜率做出准确的理解，首先便要能够理解函数的增量改变、平均变化率、变化率，同时还能够由函数的增量改变到函数平均变化率，直至函数在某一具体位置的变化率动态改变过程予以准确的理解，这些将会促进学生加强对于物理概念及规律的理解，并促使学生能够更加有效的解决物理难题，这将对于提升学生的解题技巧，促进物理学习效率的提升将具有极其重要的作用与价值。

二、物理图像“切线斜率”的物理意义三、无理函数图像“切线斜率”的具体应用在物理函数图像当中运用“切线斜率”之时，应先明确物理量会因为哪一个量的改变而产生出相应的函数图像，进而基于相应的物理量改变再进一步发展到平均变化率之时最终到达某一点的变化率予以动态化的了解，同时根据已经掌握的相关物理学概念、规律等内容来就其中所蕴含的内涵意义做到准确的理解。

依据图像“切线斜率”所具备的物理学概念内涵和切线斜率的改变规律来尽快获得相应的函数变化规律。

例题1，在某一空间当中其静电场电力势能？于x轴当中的分布情况如下图1所示，其中x轴于BC两点电场的强度于x位置上的分量依次为EBx与ECx，在以下选项当中正确的选项是（）A EBx的电场强度势能>ECxB EBx的分量方向为x轴正方向C O?c位置所存在的电荷强度在x轴方向当中的分量最大D x当中的负电荷在由B转移到C之时，电场力先做正功，后做负功。

高中数学利用化归与转化为斜率求解问题策略培养摘要：化归与转化的思想方法是中学数学的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化就是研究和解决数学问题时采用某种方式：如借助某种函数性质、图象、公式,将问题由抽象转化为具体、复杂转化为简单、未知转化为已知，进而达到解决问题的途径和方法.笔者就分析和解决问题能力的组成及培养谈几点刍见．关键词：斜率，化归与转化，培养，策略一、转化为直线的斜率问题1.转化为直线与线段有解的斜率问题案例1 平面上有两点 ,直线与线段恒有交点，求的取值范围？解析：∵直线过定点，要使直线与线段恒有交点，只需将直线绕着点按照逆时针方向从点旋转到点，此时直线与线段恒有交点，∵∴ .点评：直线过定点，本题把直线与线段恒有交点转化为，当倾斜角为时，直线斜率不存在，所以 .2.转化为直线与曲线有解的斜率问题案例2 已知实数满足，试求的最大值与最小值解析：把转化为，即转化为曲线上任意一点与点连线的斜率问题，令，由图可知：由可得∴故的最大值为8，最小值为 .点评：利用的几何意义：它表示曲线上任意一点与定点连线的斜率，由图可知，进而求解.二、转化为直线与曲线中的斜率问题1.转化为圆上的点与定点连线的斜率问题案例1 设实数x、y满足，求的取值范围解析：把转化为即圆上任意一点与定点连线的斜率问题，而点M在圆上运动，令，即，利用圆心C到该直线的距离等于1，即得又∵直线垂直于X轴，∴范围是［，）．点评：本题把转化为 ,即转化为圆上任意一点与平面上一定点连线的斜率问题．2.转化为曲线上的点与定点连线的斜率问题案例2 已知点在曲线上，求的取值范围？解析：由两边平方整理得就可以看着曲线上任意一点与点连线的斜率问题，点在运动，又∴的取值范围是点评：本题给的是曲线，首先对曲线进行化简得，就可以看着曲上任意一点与平面上一定点连线的斜率问题．二、培养和提高分析转化能力的策略1．引导转化与化归数学方法教学化归与转化的方式有很多种，本文主要讲述了转化为直线的斜率、转化为直线与曲线中的斜率这两类题型，而这两类题型体现了等价转化、形与数的转化这两种思想，通过以上例子可知在处理问题时，换一种角度观察、换一种方式思考、换一种处理思路就会给我们解决问题带来很大方便．转化思想蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段．只有领悟了数学转化思想与方法，别人的知识技巧才会变成自已的能力，从而培养和提高学生合理、正确地应用转化思想与解决问题的能力．2．加强和提高学生的化归模式识别能力数学是充满模式的，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力，这从新课程版的《考试说明》与原来的《考试说明》中对能力的要求的区别可见一斑．（新课程版将“分析和解决问题的能力”改为“解决实际问题的能力”），要分析和解决问题，必先理解题意，才能进一步运用化归思想和方法解决问题．近年来，随着新技术革命的飞速发展，要求数学教育培养出更高数学素质、具有更强的创造能力的人才，这一点体现在高考上就是一些新背景题、开放题的出现，更加注重了能力的考查．因此，在高中数学教学中适当进行开放题和新型题的训练，拓宽学生的知识面是提高学生分析和解决问题能力的必要的补充．在数学解题过程中，解决问题以后，再回过头来对自己的解题活动加以回顾与探讨、分析与研究，是非常必要的一个重要环节．这是数学解题过程的最后阶段，也是对提高学生分析和解决问题能力最有意义的阶段．解题教学的目的并不单纯为了求得问题的结果，真正的目的是为了培养学生的创造精神，而这一教学目的恰恰对解题的主要思想、关键因素和同一类型问题的解法进行概括，可以帮助学生从解题中总结出数学的基本思想和方法加以掌握，并将它们用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的有力武器．参考文献：1．简洪权．高中数学运算能力的组成及培养策略．《中学数学教学参考》2000．1-22．张卫国．例谈高考应用对能力的考查．《中学数学研究》2001．3作者简介：吴玉章，新沂市第一中学，1977年12月出生，大学本科，江苏新沂，中高，数学教育课题论文：本文获徐州市”十三五“规划课题”农村高中生数学化能力培养的行动研究（GH-13-18-L334）"项目支持3。

例析充分性和必要性思想在导数中的应用作者：童益民来源：《中学教学参考·理科版》2012年第11期充分性和必要性思想是一个很重要的数学思想，给数学解题提供了一个很好的手段和方法.在导数这一章节的教学中，涉及导数的几何意义与函数的单调性、极值、最值等内容，它们都可以运用充分性和必要性思想进行命题的等价转化，如果不善于分析和应用，如只考虑充分性，会导致所求结果范围缩小；或只考虑必要性，就会导致所求结果放大.下面通过几个例子，来说明充分性和必要性思想在导数中的误用与妙用.一、在导数几何意义中的应用【例1】已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）.若函数y=f（x）的图像上任意不同的两点P、Q连线的斜率都小于2，求a的取值范围.错解：对于任意割线PQ，总存在与它平行的切线，于是只要使得切线的斜率恒小于2，即f′（x）错解分析：上述解法错误地把割线的斜率与切线的斜率等价.根据拉格朗日定理：若函数f （x）在区间，上连续，在（，）内可导，必∈（，），使f′（ξ）=f（）-f（）-.也就是说，对于任意的割线PQ，总存在切线的斜率等于割线的斜率；但反之不成立，即对所有的切线，不一定存在与它平行的割线.所以上面只考虑了割线PQ斜率小于2的充分条件，导致所求结果范围缩小.（正确的解法详见文[1]）.二、在函数单调性中的应用【例2】已知函数f（x）=13x3-12（a+1）x2-4（a+5）x，g（x）-x+5，其中a∈R.（1）若函数f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值；（2）若存在两个整数m，n，使得函数f（x），g（x）在区间（m，n）上都是减函数，求n的最大值，及n取得最大值时a的取值范围.正解：（1）略.（2）f′（x）=x2-（a+1）x-4（a+5）=（x+4）（x-a-5），∵f（x）在（m，n）上是减函数，根据图像得n≤a+5.又g（x）在（m，n）上也是减函数，∴g′（n）≤0，即an2-n+5≤0，∴a≤n-5n2.∴a≥n-5，a≤n-5n2，∴n-5≤n-5n2，∴1≤n≤5.检验：当n=5时，a=0，经检验不成立；当n=4时，a≥-1，a≤-116，又需g′（3）≤0，即a≤-29，∴-1≤a≤-29，经检验成立.分析：上述解法先利用了函数f（x）、g（x）在区间（m，n）上是减函数的必要条件，即n≤a+5（根据图像得到）与g′（n）≤0，得到1≤n≤5，使n的范围有效地缩小.因为只研究了必要性，所以得到的结果范围是放大的，再通过逐一检验，来验证充分性，就能很好地解决了这一问题.三、在函数极值中的应用【例3】已知函数f（x）=x3+ax2+（a2-6）x.（1）若f（x）在x=-1处取到极值，求实数a的值；（2）若f（x）在[-1，1]内有极值，求实数a的取值范围.错解：（1）f′（x）=3x2+2ax+（a2-6），∴f′（-1）=3-2a+a2-6=0，∴a=3或a=-1.（2）若f（x）在[-1，1]内有极值，则f′（x）=0在[-1，1]内有解.根据图像法得Δ=4a2-4×3×（a2-6）≥0，-1≤-a3≤1，f′（-1）≥0，f′（1）≥0，或f′（-1）·f′（1）≤0，∴-3≤a≤-1或1≤a≤3.综上，-3≤a≤-1或`1≤a≤3.错解分析：根据极值的定义，若f（x）在处取到极值，则f′（）=0；反过来，由f′（）=0，则不能推出f（x）在x处取到极值，即f′（）=0是f（x）在处取到极值的必要不充分条件.如果只考虑必要性，则所求结果的范围会放大.所以第（1）小题，经检验，当a=3时，f′（x）=3x2+6x+3=3（x-1）2≥0，不符合.第（2）小题，若f（x）在[-1，1]内有极值，则f′（x）=0在[-1，1]内有解，且无重根，这是等价的.所以可先求充分条件Δ=4a2-4×3×（a2-6）>0，-1或f′（-1）·f′（1）四、在函数最值中的应用【例4】设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2.（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，2]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围.正解：（1）略；（2）f′（x）=3ax2-6x，g（x）=ax3-3x2+3ax2-6x，当g（x）在[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），即0≥20a-24，∴a≤65.检验：当a≤65时，对任意x∈[0，2]，g（x）≤65x3-3x2+185x2-6x=3x5（2x2+x-10）=3x5（2x+5）（x-2）≤0.而g（0）=0，故g（x）在[0，2]上的最大值为g（0）.综上，实数a的取值范围为（-∞，65].分析：已知函数f（x）在[a，b]内连续，若f（x）在x=a处取到最大值，则f（a）≥f（b）恒成立；反之，由f（a）≥f（b）恒成立不能推出f（x）在x=a处取到最大值，即f（a）≥f （b）是f（x）在x=a处取到最大值的必要不充分条件.上述解法先根据函数g（x）在x=0处取得最大值的必要条件，求出实数a的取值范围，再来证明a≥65是函数g（x）在x=0处取得最大值的充分条件，灵活地利用了充分性和必要性，解题的思路比较独特.当然该题还可用其他的方法，如用数形结合与分类的思想，对实数a进行讨论，根据三次函数的图像可求出实数a 的取值范围，或用g（x）≤g（0）对x∈[0，2]恒成立，求出实数a的取值范围.从以上几个例子中，我们发现，为了解决某一个问题，需要进行等价的转化，变成可以解决的问题，写出其充要条件；而当等价转化遇到困难时，也需要利用充分性和必要性思想，可先考虑充分性或先考虑必要性，逐步去突破难点，从而解决问题.在应用时，我们要注意充分性和必要性的数学逻辑与书写的严密性，厘清其中的逻辑关系，避免不等价的错误，同时也可使解题的思路更加灵活多样.参考文献孙四周.从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读[J].数学通报，2011（6）.。

浅析高中物理图像中斜率的意义及应用作者：秦绪健来源：《课程教育研究》2018年第20期在高中物理学习中，物理图像中斜率的应用非常广泛，有不少同学对此缺乏正确的分析，常常混淆斜率的应用或者忽略有关限制条件。

如果对这类问题模棱两可，领会不深刻，会导致物理学习出现较大困难，做题时有会而不对，对而不全的情况，甚至对有些题目无从下手。

下面对斜率的有关问题进行讨论。

一、割线斜率与切线斜率的比较从数学知识可知，斜率是表示一条直线对横坐标轴的倾斜程度，通常是用直线和水平线的夹角的正切来表示。

如图1所示，Ⅰ线为P点与坐标原点相连接的割线，其斜率k=，即过原点的割线斜率为相应的y与x瞬时值的比值；Ⅱ直线为P点的切线，其斜率k1=，即切线斜率为相应的y与x微小变化量的比值。

显然，在图线为曲线时，某点的切线斜率与过该点和原点的割线斜率一般并不相等，只有在图线为过原点的直线时，两者的斜率才一定相等。

因此，在物理图像中，两种斜率所反映的问题是不同的，用切线的斜率来表示的是用微小变化量的比值来反映的物理量，如：1.速度v=，在x-t图像中，切线斜率表示速度的瞬时值。

2.加速度a=，在v-t图像中，切线斜率表示加速度的瞬时值。

3.电流强度I=，在q-t图像中，切线斜率表示电流强度的瞬时值。

4.电动势E=n，在Ф-t图像中，切线斜率表示电动势的瞬时值。

用过原点的割线来表示的是相应瞬时值的比值来反映的物理量，如：1.电阻R=，在U-I图像中，过原点的割线斜率表示电阻值。

2.质量倒数=，在a-F图像中，过原点的割线斜率表示质量的倒数值。

下面探讨运用斜率法解题：例1：列车在恒定功率机车牵引下，从车站出发行驶5min，使速度达到20m/s，那么在这段时间内，列车行驶的路程（）A.一定小于3kmB.一定等于3kmC.一定大于3kmD.不能确定解析列车在恒定功率下行驶，牵引力随速度增加而减小。

因此，列车做初速度为零的加速度不断减小的加速运动。