第八章 连续系统的复频域分析

实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。

（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。

二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。

在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。

例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。

2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。

MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。

实验八 连续系统复频域分析1实验目的(1) 掌握拉普拉斯变换的物理意义及应用。

(2) 掌握用MA TLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。

(3) 理解拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系。

(4) 掌握系统函数的概念，掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性、时域特性等之间的相互关系。

(5) 拉普拉斯逆变换的MA TLAB 计算。

2 实验原理及方法2.1连续时间L TI 系统的复频域描述拉普拉斯变换主要用于连续时间LTI 系统分析。

描述系统的另一种数学模型是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数”—H(s)：[][])()()()()(t x L s X t y L s Y s H 换系统激励信号的拉氏变换系统冲击响应的拉氏变→→= 8-1 系统函数H(s)的实质就是系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。

因此，系统函数可以定义为：⎰∞∞--=dt e t h s H st )()( 8-2 系统函数H(s)的一些特点是和系统时域响应h(t)的特点相对应。

求H(s)的方法，除了按照定义之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程，经拉氏变换后得到H(s)。

假设描述一个连续LTI 系统的线性常系数微分方程为：∑∑===M k k k k Nk k k k dt t x d b dt t y d a 00)()( 8-3 对式8-3两边做拉普拉斯变换，则有∑∑===M k k k N k k k s X s b s Y s a 00)()( 即：∑∑====N k kk M k k k s as b s X s Y s H 00)()()( 8-4 式8-4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间L TI 系统，它的系统函数是一个关于复变量s 的有理多项式的分式，其分子和分母多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。

根据这一特点，可以很容易根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统微分方程。

实验三 连系统的时域及复频域分析一、实验目的1、熟悉LTI 连续时间系统的时域及复频域分析方法；2、熟悉系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应的求解步骤；3、熟悉拉普拉斯变换的原理及性质，熟悉常见信号的拉氏变换。

3、学会用MA TLAB 进行部分分式展开，学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。

4、学会用MA TLAB 分析LTI 系统的特性。

二、实验环境计算机，Matlab 软件三、实验原理（一）连续系统的时域分析LTI 连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。

MATLAB 提供了专门用于求解零初始状态微分方程数值解的函数以及专门用于求连续系统冲激响应及阶跃响应并绘制其时域波形的函数，利用其可以方便的计算系统的响应。

1、连续时间系统零状态响应的求解LTI 连续时间以常系数微分方程描述,系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到.在MATLAB 的控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始状态微分方程数值解的函数lsim.其调用方式为： y=lsim(sys,f,t)式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量；f 是系统输入信号向量；sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程、差分方程、状态方程。

在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助tf 函数获得（Create transfer function model ），其调用方式为：sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。

（注意：微分方程中为零的系数一定要写入向量a 和b 中。

）例1：系统的微分方程为：)()(100)('2)(''t x t y t y t y =++，已知输入信号)π2sin(10)(t t x =。

ts=0;te=5;dt=0.01;sys=tf([1],[1 2 100]);%注意系数与微分方程系数的对应关系t=ts:dt:te;f=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t); %LSIM Simulate time response of dynamic systems toarbitrary inputs. 注意调用格式。

信号与系统实验报告——连续时间系统的复频域分析班级：05911101学号：**********姓名：***实验五连续时间系统的复频域分析——1120111487 信息工程（实验班）蒋志科一、实验目的①掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MA TLAB 实现方法 ②学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及其复频域分析方法③掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法 1、拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为：X s =x (t )e −st dt +∞−∞拉普拉斯反变换为：x t =12πj X (s )e st ds σ+j ∞σ−j ∞在MA TLAB 中可以采用符号数学工具箱中的laplace 函数和ilaplace 函数进行拉氏变换和拉氏反变换。

L=laplace(F)符号表达式F 的拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。

L=laplace(F,t)用t 替换结果中的变量s 。

F=ilaplace(L)以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量t 的结果表达式。

F=ilaplace(L,x)用x 替换结果中的变量t 。

2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换H s =ℎ(t )e −st dt +∞−∞此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的拉氏变换之比得到H s =Y(s)/X(s) 单位冲激响应h(t)反映了系统的固有性质，而H(s)从复频域反映了系统的固有性质。

对于H(s)描述的连续时间系统，其系统函数s 的有理函数H s =b M s M +b M−1s M−1+⋯+b 0a n s n +a n −1s M−1+⋯+a 03、连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式H s 的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统函数的值无穷大。

信号与系统实验报告实验题目： 实验三：连续时间系统的复频域分析实验仪器： 计算机，MATLAB 软件101b s b a s a ++++++称为系统的特征多项式，征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。

为将个特征根，这些特征根称为()F s 极点。

根据求函数21()(1)F s s s =-的拉氏逆变换。

源代码：num = [1]; 结果为：r ＝-1 1 1 a=conv([1 -1],[1 -1]);den = conv([1 0], a); p ＝1 1 0 [r,p,k] = residue(num, den); k=03.示例3：求函数2224()(4)s F s s -=+的拉氏逆变换源代码：num = [1 0 -4];den = conv([1 0 4], [1 0 4]); [r,p,k] = residue(num, den);结果为：r ＝-0.0000-0.0000i 0.5000+0.0000i -0.0000+0.0000i 0.5000-0.0000ip ＝-0.0000+2.0000i -0.0000+2.0000i -0.0000-2.0000i -0.0000-2.0000i k=04.示例4：已知系统函数为：321()221H s s s s =+++，利用Matlab 画出该系统的零极点分布图，分析系统的稳定性，并求出该系统的单位冲激响应和幅频响应。

源代码： num=[1];den=[1 2 2 1]; sys=tf(num,den); poles=roots(den); figure(1);pzmap(sys);xlabel('Re(s)');ylabel(' Im(s)');title('zero-pole map'); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h);xlabel('t(s)');ylabel('h(t)');title('Impulse Response'); [H,w]=freqs(num,den);figure(3);plot(w,abs(H));xlabel('\omega(rad/s)');ylabel('|H(j\omega)|');title('Magenitude Response'); 结果为：poles =-1.0000 -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i (2) 已知象函数，试调用residue 函数完成部分分式分解，并写出逆变换。

【关键字】系统西南科技大学课程设计报告课程名称：信号与系统课程设计设计名称：连续时间系统的复频域分析姓名：林强学号:班级：电子0502指导教师：老师起止日期：--课程设计任务书学生班级：电子0502 学生姓名：林强学号：设计名称：连续时间系统的复频域分析起止日期：-- 指导教师：老师课程设计学生日志课程设计考勤表课程设计评语表连续时间系统的复频域分析一、设计目的和意义通过对连续时间系统的复频域分析的Matlab实现，进一步理解掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念；学会利用Matlab绘制系统零极点图;调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析而得出系统冲激响应的时域特性、系统的稳定性、系统的频率特性等。

实现在实验环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件帮助我们完成数值的计算、信号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养我们学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业打下坚实的基础。

二、设计原理1、拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号的拉普拉斯变换定义为:（1）其中，若以为横坐标（实轴），为纵坐标（虚轴），复变量就构成了一个复平面，称为平面。

显然，是复变量的复函数，为了便于理解和分析随的变化规律，可以将写成：（2）其中，称为复信号的模，而则为的幅角。

2、连续系统零极点图的绘制线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述：（3）其中，为系统输出信号，为输入信号。

将上式两边进行拉普拉斯变换，则该系统的系统函数为：（4）将式（4）因式分解后有：（5）其中为常数为系统的零点，为系统的极点。

可见，若连续系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下来。

即系统函数的零极点分布完全决定了系统的特性3、零极点分布与系统稳定性根据系统函数的零极点分布来分析连续系统能够的稳定性是零极点分析的重要应用之一。

稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。