坐标系伸缩变换(张亚宾)

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

伸缩变换
1．伸缩变换
【知识点的知识】
将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，（k1、k2 均不为 0），这样的几何变换为伸缩变换．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
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（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
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二维坐标轴的伸缩,反射及旋转变换的复合函数-回复二维坐标轴的伸缩，反射及旋转变换的复合函数在数学中，二维坐标轴的伸缩，反射及旋转变换是常见的线性变换。

本文将一步一步地回答这个问题，详细介绍这些变换的概念、特点以及复合函数的应用。

一、二维坐标轴的伸缩变换伸缩变换是指在二维平面上通过拉伸或压缩坐标轴，改变图形的形状和大小。

它是一种线性变换，可以表达为如下的矩阵形式：\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\]其中，(x, y)为原坐标，(x', y')为变换后的坐标，sx和sy分别为x和y方向的伸缩比例。

特点：1. 坐标原点保持不变，只有形状和大小发生变化。

2. 若sx=1且sy=1，则表示不发生伸缩。

示例：假设有一个图形在坐标轴上，其顶点坐标分别为(1, 1)，(2, 3)，(4, 2)。

考虑沿着x轴伸缩1.5倍，y轴伸缩0.5倍后的图形。

将原坐标代入伸缩变换矩阵中，得到新的坐标：\[\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 1.5 & 6 \\ 0.5 & 1.5 & 1\end{bmatrix}\]所以，变换后的顶点坐标为(1.5, 0.5)，(1.5, 1.5)，(6, 1)。

伸缩变换的概念伸缩变换是计算机图形学中的一种基本变换，它通过改变对象的尺寸来实现对目标图形的变换。

伸缩变换可以分为两个方向：水平方向的伸缩和垂直方向的伸缩。

伸缩变换的定义是：对平面上的任意一点P进行伸缩变换后得到的新点P'的坐标满足下面的关系式：P' = (Sx * x, Sy * y)其中，x和y分别为点P的平面坐标，Sx和Sy分别为水平和垂直方向的缩放因子。

如此，通过改变缩放因子可以达到对象的放大或缩小效果。

具体而言，伸缩变换可以通过下面的步骤来实现：1. 根据需要，确定变换中心。

伸缩变换是以某一点为中心进行的变换，该点可以是对象自身的中心，也可以是指定的其他点。

2. 计算伸缩因子。

伸缩因子是控制伸缩变换程度的参数，它可以是一个常数，也可以是一个变量。

决定了伸缩因子后，可以根据变换的中心点和伸缩因子来计算出变换矩阵。

3. 将变换矩阵应用于需要进行伸缩变换的对象。

具体操作是将对象的每个顶点坐标按照变换矩阵进行计算得到新的坐标，从而实现对象的伸缩。

伸缩变换可以实现对象的放缩效果，既可以实现对对象的放大，也可以实现对对象的缩小。

如果缩放因子大于1，则对象会放大；如果缩放因子小于1，则对象会缩小；当缩放因子等于1时，对象的尺寸不发生改变。

伸缩变换的应用非常广泛。

在计算机图形学中，伸缩变换常用于实现对象的移动、旋转和缩放等操作。

在计算机动画中，伸缩变换可以通过改变对象的尺寸来实现对象的形变效果，如物体的变形和拉伸等。

在图像处理中，伸缩变换也常用于图像的压缩和放大等操作。

总之，伸缩变换是一种基本的图形变换，通过改变对象的尺寸来实现对目标图形的变换。

它可以通过改变缩放因子来实现对对象的放大或缩小，具有广泛的应用领域。

在实际应用中，伸缩变换常常与平移和旋转等变换相结合，形成复杂的图形变换效果。

坐标系的缩放变换
概述
本文档将探讨坐标系的缩放变换。

我们将介绍什么是坐标系，
以及如何对坐标系进行缩放变换。

坐标系
在数学和计算机科学中，坐标系是一种用于描述位置和方向的
系统。

常见的坐标系有二维和三维坐标系。

二维坐标系包括了x轴
和y轴，而三维坐标系则额外包括了z轴。

缩放变换
缩放变换是一种对坐标系进行调整的变换。

通过缩放变换，我
们可以改变坐标系中物体的大小。

在二维坐标系中，缩放因子可以分别应用于x轴和y轴。

当缩
放因子大于1时，物体会放大；当缩放因子小于1时，物体会缩小。

在三维坐标系中，我们可以通过对x轴、y轴和z轴分别应用缩放因子来实现缩放变换。

实例
假设我们有一个二维坐标系，其中x轴的长度为100，y轴的长度为200。

我们希望将该坐标系按照2倍的缩放因子放大。

首先，我们需要将x轴的长度乘以缩放因子2，得到新的x轴长度200。

然后，我们需要将y轴的长度也乘以缩放因子2，得到新的y轴长度400。

通过这样的缩放变换，坐标系中的物体也会按照相同的比例放大。

结论
坐标系的缩放变换是一种对坐标系进行调整的方式，可以改变物体的大小。

通过对坐标轴分别应用缩放因子，我们可以实现对坐标系的缩放变换。

希望本文可以帮助您理解坐标系的缩放变换。

谢谢阅读！。

平面直角坐标系中的伸缩变换-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1平面直角坐标系中的伸缩变换（1）内容安排的意图平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。

将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换。

因此，本小节内容可以让学生从一个新的角度体会坐标法思想。

“坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。

（2）概念引出方式1、 从代数角度研究“伸缩变换”比较抽象，学生一般不容易理解。

因此，教科书以学生熟悉的正弦型曲线的图形伸缩变换为例，通过讨论由正弦曲线y ＝sin χ得到曲线y ＝sin ωχ和y ＝Asin χ的过程中曲线上点的坐标的变化规律，从具体到一般、从直观到抽象地引出伸缩变化的概念，并概括出“伸缩变换”的表示，给出伸缩变换的定义。

建立伸缩变化与函数图像变换之间的联系，可以是伸缩变换概念的学习建立在学生已有经验基础上，使得平面直角坐标中的坐标伸缩变换的学习具有坚实的基础。

坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。

应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。

【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。

【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。

分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。

坐标伸缩变换的基本性质设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换，简称伸缩变换.当时，伸缩变换后，点的横坐标、纵坐标的绝对值减小，即曲线被压缩了；当时，伸缩变换后，点的横坐标、纵坐标未增大，也未减小，仍为原来的点，即曲线仍然为原来的曲线；当时，伸缩变换后，点的横坐标、纵坐标的绝对值增大，即曲线被拉伸了.通过伸缩变换后，点的坐标发生了改变，那么图形的形状，长度，面积是否发生改变，如果发生改变，发生了什么样的改变.对图形面积的计算，我们大致分为两类，一类是多边形，另一类是曲边形.多边形面积的计算，我们最终都可以拆分成若干个三角形面积之和，所以，这里，我们着重讨论变换前后三角形面积的变化.而曲边形面积的计算，我们会借助积分的思想进行简要分析，这里会用到导数以及定积分的知识.下面，我们首先来看，三角形在变换前后面积之间的关系.1.1坐标伸缩变换中三角形面积的变化在平面直角坐标系中，设的三个顶点的坐标分别为，，，，那么，，，如果令，，那么，，，此时， .通过变换作用后，得，且，，，设的面积为 ,那么，，，.即，变换后得的面积是原来的倍.1.2坐标伸缩变换中函数曲线围成封闭图形面积的变化1.2.1第一类曲线—型曲线围成封闭图形的面积设曲线，与直线，，以及围成的面积为，那么， .设曲线通过变换后得到的曲线记为 .图像上任意点，，代入，可得，，即的解析式为，，习惯上记为， .此时，，也变换为， .设函数，，且满足，， .又微积分基本定理知，……①设函数图像通过变换后得到的函数，，且满足 .那么，与，，所围成的图形面积记为，.因为，所以，的原函数 ,其中为常数.从而，，即，……②由①②两式可知， .即，第一类曲线变换后得到曲线围成封闭图形的面积是原来的倍.这里假设，事实上当不成立时.根据定积分的几何意义，也可以证明上述结论成立.1.2.2第二类曲线—型曲线围成封闭图形的面积设曲线的方程为，且是的隐函数，曲线与直线，，以及围成的面积为 .理论上，仍然可以根据定积分的几何意义，表示出来，但是的隐函数，那么，不一定能求解出的关系式.因此，这里，我们用参数方程的思想，表示出的关系.设的参数方程为，，其中，是可导函数，并且可积，且 .那么，此时面积就可以表示为， .，这样积分变量就转化为 .当然，我们还要对积分上下限也进行转换，因为原来的积分限是的范围.假设是一个单调增函数，，设是的解，即，那么积分下限就由变为 .同理，我们可以把积分上限就由变为 .由于，那么就可以得到 .所以，……①设曲线通过变换得到曲线的图像上任意点记为 .易得， ,结合可知，的参数方程为，.此时，，也变换为，， .，这样积分变量就转化为 .，由前面的假设论证可知，是的解，即，那么积分下限就由变为 .同理，我们可以把积分上限就由变为 .这样，.即，第二类曲线变换后得到曲线围成封闭图形的面积是原来的倍.事实上，当是一个单调减函数时，和上述证明过程相同.如果是一个不单调函数，原则上，我们可以分别求出在各个单调区间上的面积，再把它们累加，即可得到整个图形的面积.结合上述三种情况，事实上，我们说明了，平面封闭图形在坐标伸缩变换前后的面积关系.设平面封闭图形的面积为，通过变换后得到封闭图形的面积为为，那么，这里，我们通过举例，说明上述定理在数学中的应用.例1已知椭圆，设椭圆的面积为 .求证： .证明：对椭圆作变换得曲线 .，并代入可得的方程为， .当时，即时，的方程为或，此时，曲线表示以原点为圆心，半径的圆.设圆的面积为，那么，……①再根据变换前后封闭图形的面积关系，……②曲线表示圆时，……③由①②③得，，证毕.在这里，说明一下，其实变换后得到的圆，半径的大小，可以根据我们计算推理方便任取为宜，半径的改变事实上，改变的是变换系数，而不会改变椭圆面积的大小.例如，上面的例子中，如果让变换后的圆为单位圆，只需令，即，可得到， .再由， .当然，如果让变换后圆的半径，即，可得到， .再由， .例2已知点，椭圆，是椭圆的右焦点，过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．解：对椭圆作变换得曲线 .，并代入可得的方程为， .当时，即，时，的方程为，此时，曲线表示以原点为圆心，半径的单位圆.设直线与交点， .变换后的对应分别为，，设直线的斜率分别为 .那么，，，……①设直线的直线方程为，，则直线的直线方程为， .根据定理可知，，要使的面积最大，那么也最大.设圆的圆心到直线的距离为，…②.因为直线与圆相交，则 .……③因为，则，由均值不等式得，.当且仅当，，即时，等号成立.而此时，.由，且知， .所以，当的面积最大时，直线的方程为， .上述两个例题，利用中学数学的方法，结合坐标伸缩变换的变化特征，进一步把与椭圆有关的问题转化为与圆有关的问题，问题更加的常规，熟悉.当然，在转化过程中，坐标伸缩的过程，事实上要求整个平面直角坐标系中的所有涉及元素都进行同种伸缩变换，这样构成的才是变换前后的一个一一映射.坐标伸缩变换过程中，是从搞清楚点到点的伸缩变换，再搞清楚曲线到曲线的伸缩变换，最后研究曲线的一些几何性质的过程，例如可以是伸缩变换前后的面积，长度等问题.变换的目的是把非常规问题常规化，很多时候，简化了运算，提升了思维的高度.第 5 页共 5 页。

平面向量的坐标伸缩变换与伸缩变换矩阵在数学和物理学中，平面向量的坐标伸缩变换是一种常见的操作。

它可以由矩阵运算来表示和计算。

本文将介绍平面向量的坐标伸缩变换以及与之相关的伸缩变换矩阵。

一、平面向量的坐标伸缩变换平面向量是指在平面上具有大小和方向的箭头。

它可以由坐标来描述，通常使用横纵坐标表示。

平面向量的坐标伸缩变换是指改变向量在坐标平面上的大小和方向。

假设有一个平面向量V，其坐标表示为(Vx, Vy)。

我们希望对该向量进行伸缩变换，使其大小变为k倍。

那么伸缩后的向量V'可以表示为：V' = (kVx, kVy)这就是平面向量的坐标伸缩变换公式。

二、伸缩变换矩阵伸缩变换矩阵是用来表示和计算平面向量坐标伸缩变换的工具。

它是一个二维矩阵，通常记为S。

对于一个平面向量V，其坐标表示为(Vx, Vy)，它的伸缩变换矩阵可以表示为：S = | kx 0 || 0 ky|其中，kx和ky分别为在x和y方向上的伸缩倍数。

伸缩变换矩阵S乘以平面向量V，可以得到伸缩后的向量V'，即：V' = S * V具体地，对于一个平面向量V(x, y)和伸缩变换矩阵S(kx, 0; 0, ky)，其伸缩计算如下：V' = S * V= | kx 0 | * | x || y |= | kx*x || ky*y|可以看出，伸缩变换矩阵的作用是将向量的横纵坐标分别乘以对应的伸缩倍数，从而实现坐标的伸缩变换。

三、示例分析为了更好地理解平面向量的坐标伸缩变换和伸缩变换矩阵的概念，以下举例进行分析。

假设有一个平面向量V(3, 4)，我们希望将其坐标在x轴方向上伸缩2倍，在y轴方向上伸缩3倍。

那么伸缩变换前后的向量分别为V'和S。

首先，根据坐标伸缩变换公式，我们可以得到V'的坐标表示为：V' = (2 * 3, 3 * 4)= (6, 12)其次，根据伸缩变换矩阵的定义，我们可以得到伸缩变换矩阵S的表示为：S = | 2 0 || 0 3 |最后，将伸缩变换矩阵S乘以平面向量V，可以计算得到伸缩后的向量V'：V' = S * V= | 2 0 | * | 3 || 4 |= | 2*3 || 3*4|= (6, 12)与前面使用坐标伸缩变换公式得到的结果相同。

2.平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标：1、理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 3、学会应用平面直角坐标系的伸缩变换解决一些简单问题； 学习重点难点：伸缩变换在解题中的应用预 习 案一、复习回顾：1、在三角函数中，什么是振幅变换、周期变换、相位变换？2、你会把函数y=sinx 变为y=3sin(2x+6π)吗？二、学习新课：问题1、怎样由正弦曲线y=sinx 得到y=sin2x 的图像？ 以上问题的实质是什么？设P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持纵坐标y 新点'P ('',y x ),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.问题2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?以上问题的实质是什么？设P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标x 得到新点'P ('',y x ),那么，你能写出这两个点坐标间的关系吗？上式叫做平面直角坐标系中的一个___________________.问题3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x 的图像？P(x,y)经过上述变换后变为新点'P ('',y x )，它们坐标间的关____________________ ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换ϕ：____________________的作对应到新点'P ('',y x )，称ϕ为________________________________,简称探 究 案的图形。

1)2(;032)1(22=+=+y x y x后的图形；2211812x y -=③22y x =变式2：在同一坐标平面直角坐标系中，经过伸缩变换 3x x '=y y '=后，曲线C 变为曲线229x y ''+=，求曲线C 的方程并画出图象。

2021高考数学考点突破鸭系列坐标系学案202108166119【考点梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，如此就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M 的位置能够由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝yx(x ≠0)4．圆的极坐标方程曲线图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤0＜π) (1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．【考点突破】考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2通过φ变换所得点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 通过φ变换后所得直线l ′的方程. [解析] (1)设点A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2，∴x ′＝13×3＝1，y ′＝－22＝－1.∴点A ′的坐标为(1，－1).(2)设P ′(x ′，y ′)是直线l ′上任意一点．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入y ＝6x ，得2y ′＝6·x ′3＝2x ′，∴y ′＝x ′为所求直线l ′的方程. 【类题通法】1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求. 2.解答该类问题应明确两点：一是依照平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解. 【对点训练】1．求双曲线C ：x 2－y 264＝1通过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标.[解析] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1， 因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0).2．求直线l ：y ＝6x 通过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得到的直线l ′的方程．[解析] 设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，因此y ′＝x ′，即直线l ′的方程为y ＝x .考点二、极坐标与直角坐标的互化【例2】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． [解析] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，因此C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，因此△C 2MN 的面积为12.【类题通法】1．直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x ，y 分别用ρcos θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．2．求直角坐标系中的点(x ，y )对应的极坐标的一样步骤：【对点训练】把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，因此C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.【例3】在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标.[解析] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【类题通法】极坐标方程化为直角坐标方程的步骤(1)判定极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程能够互化．(2)通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要显现增解或漏解．(3)依照极坐标方程与直角坐标方程的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ及ρ2＝x 2＋y 2将极坐标方程转化为直角坐标方程． 【对点训练】在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ-3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ. (1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判定两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两交点间的距离. [解析] (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. 因此C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上， 因此直线C 1过圆C 2的圆心.因此两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径. 因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2.考点三、直线与圆的极坐标方程的应用【例4】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解析] (1)消去参数t 得到C 1的一般方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的一般方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 因此a ＝1. 【类题通法】1．第(1)问将曲线C 1的参数方程先化为一般方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是明白得极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，假如不能直截了当用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解． 【对点训练】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.[解析] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，因此△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.因此△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。