二阶张量与四阶张量双点积的结果

第四章 张量代数§4.1 张量的基本运算一、加法阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。

张量的代数和，就是将对应的同名分量相加。

1、 张量加法满足交换律和结合律。

2、 张量加法对坐标变换是不变的。

二、乘法对任何阶与结构的张量都可施行乘法。

用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。

由这些乘积所组成的集合仍是一个张量，即两个张量的乘积。

j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 mkl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。

1、 张量乘法是不可交换的。

2、 张量乘法对坐标变换是不变的。

3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。

三、连并与缩并连并：当两个张量相乘时，如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同，则按哑标求和，结果仍为一个张量。

这种乘积运算称为连并。

缩并：对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号，则对哑标求和，其结果仍为张量，称为缩并。

缩并只能对二阶以上的混变张量进行。

四、指标的上升与下降指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。

度量张量的逆变分量可以提升指标。

度量张量的协变分量可以下降指标。

kij ijl klT T g ⋅⋅= i j km likl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化1、对称化对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化，就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和，并除以!r 的算术平均值的运算。

其结果关于所参与的r 个指标对称，也即所得张量与对称化指标的位置元素，称为关于该r 个指标的对称张量。

一般把参与对称化的指标用（ ）括起来，未参与对称化的指标用一对竖线分开。

)(!21)(ji ij ij T T T +=)(!31)(ilkjm ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=2、反对称化反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标，通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。

二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量双点积的结果导语：在数学和物理学中，张量是一种用于描述物理量或几何概念的数学工具。

而二阶张量和四阶张量则是最常见的两种形式。

本文将探讨二阶张量与四阶张量之间的双点积运算，以及该运算的结果。

一、什么是二阶张量和四阶张量1. 二阶张量：二阶张量是一种具有两个索引的张量。

它的表达式通常为 Tij，其中i和j是两个索引的取值范围。

二阶张量可以表示为一个二维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

应力张量、应变张量和惯性张量都是二阶张量的实例。

2. 四阶张量：四阶张量是一种具有四个索引的张量。

它的表达式通常为Tijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

四阶张量可以表示为一个四维矩阵，其中每个元素代表了对应位置上的物理量或几何概念的值。

弹性张量、扭转刚度张量和应力-应变敏感度张量都是四阶张量的实例。

二、二阶张量与四阶张量双点积的定义1. 双点积的定义：双点积是一种张量之间的运算，用于将两个张量相互作用。

对于二阶张量与四阶张量的双点积，其定义如下：Bijkl = Aijmn * Cmnkl其中，Bijkl、Aijmn和Cmnkl分别表示双点积的结果、二阶张量和四阶张量的元素。

2. 双点积的运算规则：二阶张量与四阶张量的双点积运算规则如下：- 对于二阶张量Aijmn的第i和j索引与四阶张量Cmnkl的第m和n 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第i和j索引。

- 对于二阶张量Aijmn的第m和n索引与四阶张量Cmnkl的第k和l 索引，进行求和运算。

- 将运算结果放入双点积的结果张量Bijkl的第k和l索引。

三、二阶张量与四阶张量双点积的结果二阶张量与四阶张量的双点积的结果是一个四阶张量。

它的表达式为Bijkl，其中i、j、k和l是四个索引的取值范围。

该四阶张量的元素代表了二阶张量和四阶张量相互作用后得到的物理量或几何概念的值。

笛卡尔张量（1）指标表示法和符号约定指标表示法x 、y 、z 分别计作x 1、x 2、x 3，a x 、a y 、a z 分别计作a 1、a 2、a 3，而三个单位矢量e e e rr r rr r 332211e a e a e a k a j a i a a z y x vv v r r r v ++=++=而个单位矢量分别计作,,,321,,i j k 也可表示为，ia i 是自由指标，可取1、2、3。

克罗内克(Kronecker)符号⎧0ji ≠⎩⎨=1ij δji =ijδ符号具有以下重要性质：jiij δδ=a a =δ13312112,δδδδ==a a a a a a a a ====δδδδi j ij 3=ii δij ij j j j j j j ,,,3322113332211=++=δδδδii ikjk ij δδδ=3==ii ij ij δδδj jijkε置换符号⎧⎪⎨=10ijkεi 、j 、k 偶排列，123，231，312i 、j 、k 中有两个以上指标相同时⎪⎩−1i, j, k 奇排列，213，321，132kk k −有以下重要性质：ijk εks jt kt js ist ijk δδδδεε=ktijt ijk δεε2=ktkt kt kj jt kt jj ijt ijk δδδδδδδεε23=−=−=62==kk ijk ijk δεε0=ij ijk δε矢量和张量的运算举例ji ij e e v v ⋅=δkijk i e e e r r r ε=×12312332132133, e e e e e e e e εε×==×=−=r r r r r r r r j j 1231112313211132()1, ()()1e e e e e e e e e e εε⋅×=⋅==⋅×=⋅−=−=r r r r r r r r r r ()kj i ijk e e e v v v ×⋅=ε()ijkjki il jkl l jkl i k j i e e e e e εεδεε===⋅=×⋅r vv v v例题1.展开下列求和式，).1a a a a a a a a ++=.).2(;).1(kj jk i i a a a a 解：332211)(i i 332211).2(a a a a a a a a k k k k k k kj jk ++=333323321331322322221221311321121111a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=3rr r r r r r r r 例题3. 证明:)()()(v u w w u v w v u ⋅−⋅=××r r r r r 证明: ml j lmk ijk m l klm j ijk kj ijk w v u w v u w v u w v u εεεεε==×=××)()()(w v u m l j jl im jm il −=δδδδ)()(v u w w u v v u w w u v jj i j j i r r r r r r ⋅−⋅=−=又证：()u v w u e v w e ε××=×r r r r r ()j j klm l m k j klm l m ijk i u v w e εε=rijk lmk j l mu v w εε=上述结果已经和上页第三步相同。

晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。

《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。

3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。

二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。

张量补充对称张量：ji ij TT →→→→=反对称张量：ji ij T T→→→→-=，必有0332211===T T T 1.张量代数1.1张量的加减：两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分别相加或相减，并服从交换律和结合律。

1.2张量与标量的乘积：标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一个分量。

即j i e e T ∑∑==→→=3131i j ij T ϕϕ1.3张量与矢量的乘积1.3.1矢量与张量的标积：当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘，运算结果为一个矢量。

即→→→→→→→→→⋅=⋅=⋅b a f b a f T f )()(，把并矢本身消掉了。

同理：)()(→→→→→→→→→∙=∙=∙f b a f b a f T ，所以→→→→→→∙≠∙f T T f 1.3.2矢量与并矢的矢积：矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。

即→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯b a f b a f T f )()(，同理：)()(→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯f b a f b a f T ，所以→→→→→→⨯≠⨯f T T f 由此可知，张量与矢量的乘积不满足交换律。

当然，如果对象是单位张量，就未必如此了。

因为单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。

即→→→→=⋅f I f ，所以任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律，即f I I f ⋅=⋅→→→→1.4张量与张量的乘积1.4.1张量与张量的点积：当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶张量的点积为一个新的二阶张量：→→→→→→→→→→→→⋅=⋅='⋅da cb dc b a T T )()()(1.4.2张量与张量的双点积：当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。

第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。

如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。

R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。

例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。

例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。

设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。

3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。

基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。

于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。

设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。

② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。

二阶张量的双点积计算在matlab中是一个重要且复杂的主题。

让我们简要回顾一下二阶张量和双点积的基本概念，然后逐步深入探讨如何在matlab中进行这一计算。

1. 二阶张量在数学和物理学中，张量是一个非常重要的概念。

二阶张量是指一个具有两个指标的张量，通常可表示为一个矩阵。

二阶张量在描述物质的性质、力学中的作用等方面有着广泛的应用。

2. 双点积双点积是指两个张量的相乘并对其中一个张量的指标求和。

在物理学和工程中，双点积的计算经常出现在力学模型、应变分析等领域。

深入探讨二阶张量的双点积计算，我们需要先了解在matlab中如何表示和计算二阶张量。

在matlab中，二阶张量可以使用矩阵来表示。

假设我们有两个二阶张量A和B，它们分别表示为：A = [a11 a12; a21 a22]B = [b11 b12; b21 b22]其中，a11、a12等表示张量A的元素。

那么，A和B的双点积可以表示为：C = A:B = a11*b11 + a12*b21 + a21*b12 + a22*b22在matlab中，我们可以使用循环和逐元素相乘的方式来实现双点积的计算。

但是，这种方法在处理大型张量时效率较低，因此我们需要探讨更高效的方法。

一种更高效的方法是使用matlab中的张量运算函数。

在matlab的Tensor Toolbox中，有专门用于张量运算的函数，包括对二阶张量的双点积计算。

通过调用这些函数，我们可以更高效地进行二阶张量的双点积计算。

总结而言，二阶张量的双点积计算是一个重要且复杂的主题。

在matlab中，我们可以通过使用张量表示和张量运算函数来高效地进行这一计算。

通过深入学习和实践，我们可以更好地理解和运用二阶张量的双点积计算。

个人观点和理解：二阶张量的双点积计算在matlab中虽然复杂，但通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握这一技术，并将其应用于实际问题中。

掌握高效的计算方法，可以提高工作效率并解决复杂的工程和科学问题。

第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。

2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。

多相材料有效性能预测的高精度方法朱合华;陈庆【摘要】有效介质方法是常用的细观力学方法之一。

其可用于计算多相材料的有效性能，并建立材料微细观结构和宏观性能的定量关系；有助于指导新材料设计，减少试验工作量等。

然而，当夹杂含量升高时，传统有效介质方法的计算精度下降。

本文以两相材料为研究对象，提出一种新的参考介质，即：为更合理考虑不同夹杂颗粒间的相互作用，假定参考介质的应变是基体相平均应变和某一修正张量的双点积。

在此基础上，推导了新参考介质下两相材料的有效模量表达式，并给出该修正张量的近似计算方法；通过反复更新参考介质，采用多层次均匀化思路，将本文方法进一步用于多相材料性能的预测。

为验证方法的有效性，将预测结果与已有模型结果和试验数据进行对比。

结果表明本文方法较已有方法更为合理、有效。

当夹杂含量升高时，本文方法较传统有效介质方法的计算精度有所提升。

%The effective medium approach is one of the common micromechanical methods, which can be utilized to predict the material’s effective properties and set up the qu antitative relationship between the material’s microstructures and macroscopic properties. It is helpful and meaningfulfor the new material design and reducing the (experimental) workload to use these micromechanical estimations of the material’s properti es. However, the calculation accuracy will decline when the effective medium method is adopted to estimate the effective properties of the composite with high volume fraction of inclusions. Therefore, in this paper the two-phase composite is taken as the example firstly and the strain of the reference medium is assumed to be the product of the average strain ofthe matrix and a modifying tensor. Then the expressions of the effective modulus are derived with the proposed reference medium. What’s more, the solutions for modifying tensor are reached by using the achievement we obtained recently. Further, through optimizing thereference medium repeatedly, with the help of multi-level homogenization scheme, the proposed modified method is extended to predict the properties of the multiphase composite with many types of inclusions. To verify our proposed framework, the predictions are compared with the experimental data and the results of existing models. The comparisons show that the estimations of the presented method are more reasonable and acceptable. When the volume fraction of inclusions is higher, the calculation accuracy of the presented method in this paper is better than those of the existing effective medium methods.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2017(049)001【总页数】7页(P41-47)【关键词】高精度方法;高夹杂含量;多夹杂;多层次均匀化;细观力学【作者】朱合华;陈庆【作者单位】同济大学土木工程防灾国家重点实验室、岩土及地下工程教育部重点实验室，上海200092;同济大学先进土木工程材料教育部重点实验室，上海200092【正文语种】中文【中图分类】O343.7细观力学常采用有效介质方法预测复合材料的有效模量，如Eshelby法、Mori-Tanaka(M-T)法、自洽法和微分法等[1-2].文献[3-9]将有效介质方法应用于岩石和混凝土有效模量的预测，文献[10-15]则将该方法应用于饱和与非饱和混凝土电化学沉积修复的细观力学模型.然而，有效介质方法在计算高夹杂含量复合材料有效模量时较难获得满意的结果.比如，Eshelby法要求夹杂极其稀疏；随着夹杂含量的增大，当夹杂刚度低于(或高于)基体刚度时，M-T方法会高估(或低估)复合材料的有效模量，而自洽法会低估(或高估)复合材料的有效性能，并且自洽法不具备显式表达，需要进行迭代求解；应用微分法预测有效模量时，需要求解非线性微分方程组，给工程应用带来不便[1-2].Ju等[16-19]近期通过假设夹杂在基体中的分布形式，基于Eshelby理论，直接计算了不同夹杂颗粒间的相互作用，得到高夹杂含量(达50%)复合材料性能高精度预测方法[16-19].可是，由于很难直接计算多相材料中不同颗粒之间的相互影响，该方法目前还仅限于两相材料的性能预测，无法用于计算多相材料的有效性能.为了解决传统有效介质法因夹杂含量增大导致计算精度下降的问题，本文提出一种多相材料性能的高精度预测方法.具体而言：首先以两相材料为对象，定义参考介质的刚度和基体相相同，参考介质的应变为基体相平均应变和待定修正四阶张量的双点积；然后，结合Ju等近期提出的两相材料性能高精度预测方法，求解该四阶张量的解析表达式，获得高精度预测方法的参考介质性能；最后，通过不断更新参考介质应变修正张量，采用多层次均匀化的方法，获得多相材料有效模量的高精度预测方法.1.1 有效模量的定义由于复合材料的微细观结构复杂，常采用代表性体积单元(representative volume element,RVE)的方法进行表征.所谓代表性体积单元是基于细观尺度定义的，一般其尺寸远大于夹杂相的尺寸，而远小于宏观尺寸.以两相材料为例，其有效刚度C∗定义如下[1]式中,V是代表性体积单元的体积,V0是基体的体积;V1是夹杂相的体积,为平均应变，为平均应力.1.2 有效介质法简介Eshelby求解了载荷作用下无限大弹性体中含单个椭球型夹杂的应力和应变问题[20-22].而工程材料常含有不同的夹杂相，并且同一夹杂相也有不同颗粒.在载荷作用下，不同夹杂颗粒将相互影响，使得工程材料内部的应变分布很难精确求解.为简化这一求解过程，有效介质法试图基于Eshelby的成果并通过引入参考介质的方式来近似处理夹杂颗粒之间的相互影响.具体而言如下[1].(1)Eshelby法假设参考介质的刚度C为基体的刚度C0，参考介质的应变ε为复合材料的平均应变，即假设(2)M-T法假设参考介质的刚度C为基体的刚度C0，参考介质的应变ε为基体的平均应变即假设(3)自洽法假定参考介质的刚度C为复合材料的有效刚度C∗，参考介质的应变ε为复合材料的应变即当基体相和夹杂相都是各向同性、且夹杂相的形状为球形时，由M-T法预测的两相材料的体积模量和剪切模量如下式中分别是采用M-T法计算的两相材料的有效体积模量和剪切模量；K1和K0(µ1和µ0)分别是复合材料夹杂相和基体相的体积模量(剪切模量)；φ1是夹杂相的体积含量，详见文献[1].由式(7)和式(8)可知，M-T法计算简单，且在较低夹杂含量下，M-T法计算精度较高[23-24].鉴于这两点，M-T法成为应用最广泛的细观力学方法之一[6-15].2.1 新参考介质定义借鉴传统有效介质方法的假设，为了获得有效模量的显式表达，一般假设参考介质的刚度为基体刚度.为此：(1)借鉴Eshelby法和M-T法的假定，本文新参考介质的刚度假定为基体的刚度C0式中，C是参考介质的刚度张量.(2)为了更合理考虑不同夹杂间的影响程度，参考介质的应变取待定修正张量和基体相材料平均应变的双点积式中，U和ε分别是修正四阶张量和参考介质的应变.如果U=I(I是四阶单位张量)，那么本文方法就和M-T方法相同.因此，不妨认为本文方法是一种改进的M-T方法.2.2 新参考介质下两相材料有效模量求解根据Eshelby的成果，在新参考介质作用下，有下式成立[1]式中是夹杂相产生的扰动应变，是本征应变，S是Eshelby张量，C1是夹杂相的刚度，C0是基体相的刚度.联合式(11)和式(12)，可以求得ε′和如下式中，T是关联基体平均应变和夹杂平均应变的转换张量.假设基体相和夹杂相符合胡克定律，并根据代表性体积单元平均应变和平均应力的定义有式中φ0和φ1是代表性体积单元中基体和夹杂的体积含量；是代表性体积单元中基体、夹杂和复合材料的平均应变(应力).将式(14)代入式(16)可以得到联合式(14),式(17)和式(18)可以得到所以，本文参考介质下两相材料的有效模量C∗可由式(20)表示2.3 待定的四阶张量的近似求解通过直接考虑夹杂颗粒间相互作用，笔者近期提出了一种高夹杂含量下(达到50%)两相材料性能预测的高精度细观力学方法[16-19].该方法的应变集中张量表达式如下式中K0,G0,ν0是基体的体积模量,剪切模量和泊松比；K1,G1是夹杂的体积模量和剪切模量.另外，根据文献[1]可得本文方法的应变集中张量为如果基体和夹杂都是各向同性，且夹杂的形状为球形，假设式(21)和式(27)相等，经过推导，可以得到待定的四阶张量为式(28)等号右边各张量的分量如下式中δij克罗内克符号.那么，张量U的分量可表达如下3.1 多层次均匀化的思路第2节关于修正张量U的求解，是借鉴了笔者近期两相材料有效性能预测的结果，因此，该张量U尚无法直接用于多相复合材料的性能预测.为此，本节将进一步借鉴有效介质法的思路，通过反复更新参考介质的性能，采用多层次均匀化思路将第二节提出方法用于多相材料性能预测[10-15,25-27].假设有n+1相材料，其含有第1,2,··,n种夹杂.为获取其有效性能，可采用多层次均匀化思路如下：先通过第1层均匀化获取基体和第1种夹杂组成的等效材料，然后以此为新基体，通过第2层次均匀化，获得新基体和第2种夹杂组成的等效材料，接着，又以此作为新的基体，依此类推，通过n层均匀化即可得到n+1相复合材料材料的有效性能[10-15,25-27].3.2 多相材料性能预测以n+1相材料为例，即除基体相外，还有第1,2,··,n相夹杂.其中基体相的体积为V0，刚度为C0；第1,2,··,n相夹杂的体积分别为V1，V2，··,Vn;刚度分别为C1,C2,··,Cn.首先，采用本文改进的有效介质方法进行第一层次均匀化处理，获得基体和第一种夹杂组成的等效材料的有效性能.具体如下接着，采用本文方法进行第二层次均匀化处理，获取由基体和第一、二两种夹杂组成的三相材料的有效性能.具体如下所示依此类推，可以得到n+1相材料的有效性能如下式中，S0，S1和Sn-1是分别对应于基体相(更新前的基体)，第一次均匀化后的等效材料(更新一次后的基体)，第n-1次均匀化后的等效材料(更新n-1次后的基体)含球形夹杂时的Eshelby张量；U0，U1和分别是基体和第一相夹杂，第一次均匀化后等效材料(更新一次后的基体)和第二相夹杂，以及第n-1次均匀化后等效材料(更新n-1次后的基体)和第n相夹杂组成的两相材料的参考介质应变修正张量. 为了验证本章提出的模型，本文采用文献[28-29]的试验数据进行对比分析.其中，文献 [28]的材料参数是E0=3.0GPa,ν0=0.4,E1=76GPa，ν1=0.23.文献[29]的材料参数是E0=0.75×106bars和ν0=0.23.材料的体积模量K和剪切模量G按如下关系式换算将以上材料参数代入式(7)和式(8)可获得M-T方法的计算结果；对于本文方法，首先将以上材料参数带入式(37)和式(38)可以获得修正张量U；然后根据式(14)可求得张量T，最后根据式(20)计算本文结果.图1表示传统M-T法与本文法预测的杨氏模量和文献[28]的试验数据对比情况.从图1中可以看出，本文方法预测的有效杨氏模量和试验数据吻合的很好，在夹杂含量较低时，传统M-T方法预测结果也可较好地反应该试验的结果.随着颗粒含量的提升，本文方法的精度更高.图2表示传统M-T法与本文方法预测的剪切模量和文献[28]的试验数据对比情况.从图2可知，在低夹杂含量下，传统M-T方法和本文方法的结果相近，且都与试验结果吻合较好；当高夹杂含量增加时，本文方法预测的有效剪切模量依然与试验数据吻合的很好，而传统M-T方法预测结果偏离试验结果较多.图3表示M-T法与本文方法预测的体积模量及文献[29]的试验数据对比情况.同样，无论是低孔隙率还是高孔隙率(50%)，本文方法都可以很好地预测试验结果；而传统的M-T方法预测的有效体积模量随着孔隙率的增加精度呈下降趋势.从上面的3个例子可以看出，对于两相材料有效模量的预测(含杨氏模量、剪切模量和体积模量)，当夹杂含量增加时，本文方法的计算精度要高于传统的M-T方法. 为进一步验证本文方法在多相材料性能预测中的可行性，取文献[30]的试验结果作为对比对数.该试验材料是由基体相孔隙相和增强相组成，其中基体相的性能为E0=2.2GPa，ν0=0.3；孔隙相的模量取为0；增强相的性能为E1=75GPa，ν1=0.25.随着孔隙含量和增强相的变化，三相材料的整体性能也将随之变化.表1是不同细观力学模型预测结果和试验结果的对比情况.从表1中可以看出，本文方法与M-T方法预测结果相近.但是，本文方法预测结果(平均误差8.6%)比M-T方法(平均误差11.8%)更接近试验结果.当夹杂含量较高时，传统有效介质方法的计算精度会下降.本文通过改变传统有效介质法中参考介质的应变来提升其计算精度，即：假设参考介质的应变是基体相平均应变和某一修正张量的双点积；并基于笔者近期的成果给出了两相材料该修正张量的近似计算方法；进一步，通过不断更新修正张量，采用多层次均匀化思路，预测了多相材料的性能.经对比验证，本文方法计算结果较传统有效介质方法(以Mori-Tanaka为例)更合理、有效.致谢感谢美国UCLA的朱建文教授在论文写作过程中给予的指导.【相关文献】1 Qu JM,Cherkaoui M.Fundamentals of Micromechanics of Solids. 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