2018年高中数学北师大版选修4-4课件：平面直角坐标系中的伸缩变换

选修4-4 §1.2平面直角坐标系中的伸缩变换〖知识网络建构〗1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

〖典例剖析〗【例1】：求下列点经过横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍后的点的坐标： （1） （1，2）； （2） （-2，-1）. 【例1】解：（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【变式与拓展1】．点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；解：变式1．（1，-1）；【变式与拓展2】．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ；解：变式2．2,4=-=y x【例2】：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的图形：（1）032=+y x ；（2）122=+y x .【例2】解：（1）0''=+y x ；（2）19'4'22=+y x 〖能力训练〗1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 2．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，=y 2y =-.3．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .4．曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是1''22=-y x .5．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（B ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32' B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x6．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .7．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x ；8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ；10．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .11.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。

1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换课后篇巩固探究A组1.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.已知一椭圆的方程为=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,那么该椭圆的形状为( )x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,那么该椭圆的形状为选项D中所示.3.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的倍,那么一条线段经过变换后的图形是( )A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段4.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=cos 2x经过伸缩变换后为( )A.y=cos xB.y=3cos xC.y=2cos xD.y=cos 3x代入y=cos 2x,得cos x'.∴y'=cos x',即曲线y=cos x.5.导学号73144005若点P(-2 016,2 017)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=( )A.1B.-1C.2 016D.-2 016P(-2 016,2 017),∴x=-2 016,y=2 017,∴代入y'=,得k=x'y'=-1.6.将圆x2+y2=1经过伸缩变换后所得的曲线方程为.代入x2+y2=1中,得=1.所以变换后所得的曲线方程为=1.=17.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4为半径的圆的图形变为.x轴的单位长度不变,y轴的单位长度缩小为原来的,圆x2+y2=16的图形变为中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆.8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线+4y'2=1,求曲线C的方程并画出图像.代入+4y'2=1中,得+4×y2=1,即x2+y2=4.其图像如图所示.。

第一章坐标系1.1 直芹坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1 直芹坐标系1. 1. 2 平面上的伸缩变换1^嘗L知匚新知初探TJ1.直角坐标系⑴直线上点的坐标①点0,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系, 简称数轴.②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系.1.直角坐标系(2)平面直角坐标系①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy,有序数组上丿—为点M的坐标.②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系.1.直角坐标系(3)空间直角坐标系①过空间中一个定点0,作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系.②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(” ％ N) 之间建立了一一对应关系.2.平面上的伸缩变换把点P(x, y)变为平而上新的点Q(x宀,伸缩变换的坐标X=cix表达式为:其中〃＞0, feO.y=by特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示.(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X,厂是变换后的点的坐标，P(x, y)是变换前的点的坐标.思考1:如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?［提示］①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴;③若题目有己知长度的线段，以线段所在的直线为兀轴，以端点或中点为原点.建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.思考2：如何理解点的坐标的伸缩变换？［提示］在平面直角坐标系中，点P(x, y)变换到点Q(X, K)・当。

＞1时，是横向拉伸变换，当时，是横向压缩变换；当b＞l 时，是纵向拉伸变换，当0动＜1时，是纵向压缩变换.1.点P(—1,2)关于点A(l, —2)的对称点坐标为(A.(3,6)B. (3, -6)C. (2, -4)D. (—2,4) ［解析］设对称点的坐标为a，y),则x—1=2,且『+2=-4,・：兀=3,且y=~6.嗒案］B2•为了得到曲线y=3shu,只需把曲线）-2sinx怎样变换（A.纵坐标不变，横坐标变为原来的扌倍B.横坐标不变，纵坐标变为原来的扌倍2 C.纵坐标不变，横坐标变为原来的寸咅2 D.横坐标不变，纵坐标变为原来的［倍［答案］B3.将点P(—2,2)变换为点2(-64)的伸缩变换公式为([ _6二〃・(_2), [x~cix '有[1M2, 嗒案］cA \Y=by 中B.1 X=i xX~3xD.X =3xF=2y\X=~6 Y=\代入到公式a=3. V=1xY ＞，=3-•»,Y 2+g=l.2 2= 1经过伸［I:［解析】由 后的曲线方； 为 1Y=3y.彳［代入到x 2+y 2=l,［・：变换后的曲线方程为盒+^=L1 ［答案1話+$F严严护运用坐标法解决平面几何问题【例1】已知MBCD,求证：L4CP+IBD卩=2（IAB卩+肋|2）.［思路探究］从要证的结论，联想到两点间的距离公式（或向量模的平方），因此首先建立坐标系，设岀A, B, C, D点的坐标，通过计算，证明几何结论.［解］法一(坐标法)以A为坐标原点0,AB所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0), 设B(o,0),C(b, c), 则AC的中点E(f, *),由对称性知D(b~a, c),所以IAB|2=『，L4D|2=(方一O)2+C2,\AC\2=b2 c2,\BD\2=(b~2d)2-\~c2,L4C卩+IBD卩二仿+2『+2『—4处=2（2^?+肚+『一2nb）, IABI2+L4PI2=2fl2+/?2+c2—・・・14倂+ |劝|2二2（仙|2 + |俎）|2）.法二（向量法）在口ABCD 中，AC=AB+AZ）,两边平方=L4C12 = AB2+AD2+2A5-AI）, 同理得丽$二应）|2二臥2十就2*2麻就，以上两式相加，得L4CI2+I5DI2=2（L4BI2+麻）F）+2 肚.（血+BA）=2（励F+麻）|2）,即IACP+|BD|2=2（IAB卩+L4DF）.规律方ii7、— _ _ a 'X%—_一一塞v- * 匚・ 2 J ・■ ■/1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.2.证法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一•证法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感.1.己知正三角形ABC 的边长为a,在平面上求一点P,使刚卩 +IPB P+IPC F 最小，并求岀此最小值.［解］如图，以BC所在直线为龙轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则4(0, £), B(-* 0), C§, 0).设P* y).A则曲+昭阳2*旷歸+(卄卅2+(工_卅2心. =3x2+3j2—3x2+3（y— oF+oOoS当且仅当x=o, y二春时，等号成立，・・・所求最小值为『，此时P点坐标为P（0,于。