1坐标系伸缩变换

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

高二数学导学案§1.1平面直角坐标系与伸缩变换一、三维目标1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2、能力与与方法：体会坐标系的作用3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、学习重点难点1、教学重点：体会直角坐标系的作用2、教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题三、学法指导：自主、合作、探究四、知识链接问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何研究曲线与方程间的关系？五、学习过程一．平面直角坐标系的建立某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。

已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）问题1:思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？问题2：还可以怎样描述点P的位置？B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？小结：选择适当坐标系的一些规则：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

伸缩变换
1．伸缩变换
【知识点的知识】
将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，（k1、k2 均不为 0），这样的几何变换为伸缩变换．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
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（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
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课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。

例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x xy y=⎧⎨=⎩后的曲线方程是2299''y x +=，求曲线C 的方程。

（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。

'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,s i n 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6s i n (π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ； 10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1c o s s i n 23c o s 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(s i n R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。

这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。

它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。

这样我们就建立了平面直角坐标系。

它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。

这样我们就建立了空间直角坐标系。

它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.二.平面直角坐标系中图形的平移变换 1.平移变换在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a平移．在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a =，平移后的对应点为),(y x P '''.则有：),(),(),(y x k h y x ''=+即有：⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x .因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由⎩⎨⎧'=+'=+y k y x h x 所确定的变换是一个平移变换。

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

坐标系与参数方程第1课时坐标系1.伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ′＝λ·x ，λ>0，′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ.2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：＝ρcos θ，＝ρsin θ2＝x 2＋y 2，θ＝y x(x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.概念方法微思考由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P)(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()(4)tanθ＝1与θ＝π4表示同一条曲线.()题组二教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π43.2sinθ的圆心的极坐标是()C.(1,0)D.(1，π)题组三易错自纠4.在极坐标系中，已知点P且平行于极轴的直线方程是()A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝3C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝35.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为.6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a 的值.极坐标与直角坐标的互化例1将直角坐标方程与极坐标方程互化．(1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)θ＝π3(ρ∈R )．跟踪训练1在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－π31，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程.求曲线的极坐标方程例2圆心C 2，π4C 经过极点.(1)求圆C (2)求过圆心C 和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.跟踪训练2已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l ＝－1＋t ，＝t(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．极坐标方程的应用例3(·江西师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1＝2＋r cos φ，＝φ(r >0，φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1经过点23C 2的极坐标方程为ρ2(2＋cos 2θ)＝6.(1)C 1(2)若1，αB 2，αC 2上两点，求1|OA |2＋1|OB |2的值．跟踪训练3(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区高三联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1＝cos t，＝1(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρ33.(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)已知点M(2,0)，直线l的极坐标方程为θ＝π6，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．1．在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sinθ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－23)2＋(y＋1)2＝16，直线l的参数方程为＝3t，＝t (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值.3．(辽宁省朝阳市重点高中模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C ＝2＋2cosθ，(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ 1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)已知射线m：θ＝α，αm与圆C交于点A(异于点O)，m与直线l交于点B，求|OA||OB|的最大值．4.如图，在直角坐标系xOy 中，曲线C 1x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为C 2上的动点，求△PAB 面积的最大值.5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2.已知曲线C 1上的点M1，22φ＝π4，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D 1π3.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 1上的两个点且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值.第2课时参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )＝f (t )，＝g (t )就是曲线的参数方程.2.概念方法微思考1.在直线的参数方程＝x 0＋t cos α，＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示(1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量.(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？提示θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一思考辨析1.(请在括号中打“√”或“×”)(1)＝f (t )，＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.()(2)＝θ，＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.()(3)＝2cos t ，＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.()(4)＝2cos θ，＝5sin θ为参数且θ∈0.()题组二教材改编2.＝－1＋cos θ，＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心()A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上3.＝t ＋1，＝t(t 为参数)＝2＋cos θ，＝sin θ(θ为参数)的位置关系为()A. B.相切C.相交且直线过圆心D.相交但直线不过圆心题组三易错自纠4.(2019·北京市西城区模拟)下列直线中，与曲线C ＝1＋2t ，＝－2＋4t(t 为参数)没有公共点的是()A.2x ＋y ＝0B.2x ＋y 0C.2x －y ＝0D.2x －y －4＝05.已知直线l ＝t cos α，＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为.6.设P (x ，y )是曲线C ＝－2＋cos θ，＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx的取值范围.参数方程与普通方程的互化例1在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ＝－8＋t ，＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为＝2s 2，＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.跟踪训练1在平面直角坐标系xOy 中，直线l＝－5＋22t ，＝5＋22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值.参数方程的应用例2(南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1＝5cos α，＝2＋5sin α(α为参数).以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值.跟踪训练2(河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy中，曲线C ＝cosα＋3sinα，＝sinα－3cosα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ 2.(1)和直线l的直角坐标方程；(2)直线l与y轴交点为P，经过点P的直线与曲线C交于A，B两点，证明：|PA|·|PB|为定值．极坐标方程和参数方程的例3(淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l ＝3＋t cosα，＝2＋t sinα(t为参数).在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝21＋3cos2θ，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B.(1)若α＝π6，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|OP|为|PA|与|PB|的等比中项，其中P(3，2)，求直线l的斜率.跟踪训练3(1)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθsin2θ，C2＝2＋22t，＝2－22t(t为参数).①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.(2)已知直线l＝5＋32t，＝3＋12t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.1.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数).(1)求曲线(2)经过点P 1，12平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.2.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x23＋y24＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ－sinθ)＝6.(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；(2)在曲线C1上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值.3．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(1,0)，倾斜角为π6.以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋π3(1)写出直线l的参数方程和曲线C(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点A (－2,1).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1ρ＝ρ＋2sin θ3.(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|AM |＋|AN |的取值范围.5.已知曲线C 1x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值.等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m ，…构成等差数列．(7)若{a n }{a n }的首项相同，公差为12d .5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 21.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．概念方法微思考1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？提示充要条件．2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．()(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()题组二教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于()A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是()A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1960m 的高空降落，如果第1秒降落4.90m ，以后每秒比前一秒多降落9.80m ，那么经过________秒落到地面．等差数列1．(全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于()A ．－12B ．－10C ．10D ．122．(·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n3．(·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．4．(全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.等差数列的判定与证明例1(·日照模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.求证：数列{b n }是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式．跟踪训练1在数列{a n}中，a1＝2，a n是1与a n a n＋1的等差中项．(1){a n}的通项公式；(2)n项和S n.等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(江西省南昌江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7等于()A．2B．7C．14D．28命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(漳州质检)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A．35B．42C．49D．63(2)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＝－2018，S20192019－S20132013＝6，则S2020＝________.跟踪训练2(1)(2019·遵义联考)已知数列{a n}，{b n}均为等差数列，且前n项和分别为S n和T n，若S nT n＝3n＋2n＋1，则a5b5等于()A.29 5B.2910C.285D.2810(2)(·莆田质检)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13>0，S14<0，则S n取最大值时n的值为() A．6B．7C．8D．13由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例1设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则a n＝________.命题点2累乘法例2设数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝nn＋1a n，则a n＝________.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n＝a n－1＋f(n)时，用累加法求解．(2)当出现a na n－1＝f(n)时，用累乘法求解．跟踪训练(1)(·龙岩质检)若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n＝________.(2)已知数列{a n}满足a1＝23，a n＋1＝nn＋2a n，求通项公式a n.1．(·四川省成都市石室中学模拟)在等差数列{a n}中，a1＝2，a5＝3a3，则a3等于()A．－2B．0C．3D．62．(晋城模拟)记等差数列{a n}的前n项和为S n.若a6＝16，S5＝35，则{a n}的公差为()A．3B．2C．－2D．－33．(·贵州省凯里第一中学模拟)在等差数列{a n}中，已知a1011＝1，则该数列前2021项的和S2021等于() A．2020B．2021C．4040D．40424．(江西省名校学术联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则()A．S3＝S4B．S4＝S5C．S5＝S6D．S6＝S75．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A．65B．176C．183D．1846．在等差数列{a n}中，若a9a8<－1，且它的前n项和S n有最小值，则当S n>0时，n的最小值为()A ．14B ．15C ．16D ．177．(北京)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为____________．8．(三明质检)在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝________.9．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________.10．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________.11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于()A ．90B ．100C ．110D ．12014．已知数列{a n }a 2nn (n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________.15．(黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为()A ．210 B.1210 C.10 D.3210答案D16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a nn，若{d n }是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”；若{d n }是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1等比均值”为3.记c n ＝2a n ＋k log 3b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围．等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝a 1－a n q 1－q(q ≠1).3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }2n }，{a n ·b n }λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．()(2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．()(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.()(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．()题组二教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为()A ．8B ．9C ．10D ．11题组三易错自纠4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值为________．5．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB＝210MB)等比数列基本量的运算1．(·晋城模拟)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于()A．5B．4C．3D．22．(全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于()A．16B．8C．4D．2＝________.3．(全国Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，S3＝34，则S44．(·全国Ⅲ)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和，若S m＝63，求m.等比数列的判定与证明例1(·四川省名校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)a n －12(2)求数列{a n n 项和T n .跟踪训练1设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．等比数列性质的应用例2(1)(黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2019－a 22020＋2a 2021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2020＝a 2020，则log 2(b 2019·b 2021)的值为()A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知等比数列{a n }的首项a 1＝－1，其前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.跟踪训练2(1)(安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于()A ．8B ．16C ．32D ．64(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型(1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列.(2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ，与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1)，所以a n ＋d＝n －1n ≥2)，n a 1＋dc －1为首项，以c 为公比的等比数列．例1在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.构造法2形如a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a npn ＝q 例2(1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于()A ．n ·2n －1B ．(n ＋1)·2nC ．n ·2n ＋1D ．(n －1)·2n(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项a n 等于()A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n ＋3×2n －1D ．5n －3×2n －1构造法3相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型)可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根．例3数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．构造法4倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s 型)例4已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．1．(·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于()A.34B.38C ．12D ．242．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为()A.13B ．－13 C.19D ．－193．(天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于()A ．93B ．189 C.18916D ．3785．(·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是()A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C a n ＋1}是公比为q 的等比数列D 是公比为1q 的等比数列6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是()A.2B ．－162C ．2D ．1627．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 2a 3＝16，则数列{log 2a n }的前四项和等于________．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2021＝________.9.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．10．(呼伦贝尔模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a n ＝1n (n ＋1)，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，则正整数n 的值为________．11．(全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．12．淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．13．(山西省太原第五中学月考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．14．(·江西省上饶横峰中学模拟)已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2020的个位数字是________．15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n 3，公差为2的等差数列，若b n ＝a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n高考专题突破三高考中的数列问题等差数列、等比数列基本量命题点1数列与数学文化例1(1)(乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？()A.1631 B.1629 C.12 D.815(2)(淄博模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，则第三天走了()A ．192里B ．48里C ．24里D ．96里跟踪训练1(1)(·潮州模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重()A ．6斤B ．7斤C ．9斤D ．15斤(2)(江西省抚州市临川第一中学模拟)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还粟()A.253升 B.503升 C.507升 D.1007升命题点2等差数列、等比数列的交汇例2记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．跟踪训练2(桂林模拟)已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若S4，S6，S n成等比数列，求n及此等比数列的公比．数列的求和命题点1分组求和与并项求和例3(湖南省张家界慈利县期中)已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和．命题点2错位相减法求和例4记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＋a4＝6，S4＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n·2n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.命题点3裂项相消法求和例5(三明质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1n 项和T n .跟踪训练3(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12na n (n ∈N *)．②求数列{a n }n 项和S n .(2)(天津市南开区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n a n .①求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }②设c n ＝n (n ＋1)2n (n －a n )(n ＋1－a n ＋1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求满足T n <12463(n ∈N *)的n 的最大值．例(12分)(全国Ⅱ)已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0,4a n＋1＝3a n－b n＋4,4b n＋1＝3b n－a n－4.(1)证明：{a n＋b n}是等比数列，{a n－b n}是等差数列；(2)求{a n}和{b n}的通项公式．1．在数列{a n}和{b n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋2，b1＝3，b2＝7，等比数列{c n}满足c n＝b n－a n.(1)求数列{a n}和{c n}的通项公式；(2)若b6＝a m，求m的值．2．(重庆西南大学附属中学月考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n.若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝12.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)求数列{a n＋b n}的前n项和．。