直角坐标系、伸缩变换(最终)

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1， 比较系数得λ＝13，μ＝12. 所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1. 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2. 【评析】求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式．将椭圆伸缩变换之后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x .解：将变换后的曲线y ＝3sin2x 改写为y ′＝3sin2x ′，设伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 代入得μy ＝3sin2(λx )，即y ＝3μsin2λx ，与曲线y ＝2sin3x 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝32，μ＝32. 所以伸缩变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .类型二 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化(1)将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①⎝⎛⎭⎫4，143π； ②(4，－43)(ρ≥0，0≤θ<2π)． 解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23， ∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫8，5π3.(2)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ; ②θ＝π3(ρ∈R )； ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ. 解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝y x＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x . ③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4.④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此 2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.【评析】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点津”栏．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M 点的极坐标为(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。

课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ；10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?实用文档1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。

4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换【教学目标】通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。

【教学重点】平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。

【教学过程】一、问题情境圆 x 2 +y 2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？函数y = sin(3x) 是由y = sin x 经过怎样的变换得到的？二、讲授新课伸缩变换1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。

当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。

这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。

2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。

3．由⎩⎨⎧k 1x = x'，k 2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？ 若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。

三、例题选讲【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k = 1 4。

⑴2x +3y −6 = 0；⑵ x2 +y2 =16。

【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。

【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。

【例4】将椭圆x2 + y24= 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；若向着x 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式。

【例5】双曲线4x2−9y2 = 1经过伸缩变换为等轴双曲线x2−y2 = 1吗？若能，写出变换过程，若不能，请说明理由。

五、课堂小结：伸缩变换和三角函数y =Asin ωx的伸缩变换是统一的，要体会坐标的变换在平面图形的变换中的作用。

课前案知识梳理：( 一 ) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中随意一点，在变换x 'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y) 对应 P’(x ’,y称’).为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,01xx'例 2、在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是 4x'29 y'236 ，1y'y2求曲线 C 的方程。

x '3x例 3. （1）在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换后的曲线方程是y 'y29 y '2x '9，求曲线 C的方程。

（2）把图形当作点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换获得；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同向来角坐标系下进行伸缩变换。

（ 2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变为直线2 x' y ' 4 的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（ 1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'3x(3 , 4) ，则x=， y= .y'后的点的坐标是2y1 xx'例 4. 曲线 C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236 ，求曲线C的方程。

1 y1y'（ 2）、已知点 (x,y) 经过伸缩变换x'x后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x=， y=；2 2y'3y课后案1．将点（ 2， 3）变为点（ 3， 2）的伸缩变换是（）x'2x'3x xx'y x'x1A.3B.2C.D.y' 3 y y' 2 y y'x y'y1 232.将点P ( x , y )的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标压缩为本来的 1 ，获得点P的坐标为3x, 3y)y y x（） A.(2 B. (2x,3)C. (3x,2)D. (3, 2y)x xlog2 (x 2)3.曲线C经过伸缩变换y 1 y后获得曲线C的方程为 y,则曲线C的3y1( x2)y 3 log 2 ( x2)方程为（） A.3 log 2 B.C. y1D. y log2 (3x2) log 2 (3x2 )4. 把函数y sin 2x 的图像作如何的变换能获得y sin(2 x) 的图像（）3A．向左平移B．向右平移C．向左平移3D．向右平移663 5. 将y f ( x) 的图像横坐标伸长到本来的 3 倍，纵坐标缩短到本来的1，则所得函数的分析式为3（）A．y 3 f (3x) B.y 1f (3 x) C.y 3 f (1x) D.y1f (1x) 3333x'1x后的点的坐标是（-2， 6），则x， y6．点(x, y)经过伸缩变换2；y'3y7．将直线x 2 y 2 变为直线 2x'y' 4 的伸缩变换是.8．为了获得函数y x), x R 的图像，只要将函数y 2 sin x, x R 的图像上全部的点2sin(36A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）69. 曲线y sin(xx'3x) 经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10. 曲线x2y 22x0变为曲线 x'216 y' 24x' 0 的伸缩变换是.x' 1 x11. 曲线9x2 4 y236 经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312. 将直线x 2 y2变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.13. 函数y1cos2 x3sin x cos x1, x R .22（ 1）当函数y获得最大值时，求自变量x 的会合；（ 2）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过如何的平移和伸缩变换获得?（）3．在伸缩变换x' 2 x x' 2 xy21 分别变为什么图形？y'与y' 的作用下，单位圆 x2y2y4. 函数 yxy1，经过如何的平移变换与伸缩变换才能获得函数？3x 1x1．点 ( x, y) 经过伸缩变换x' 3x 4) ，则 x， y .y' 后的点的坐标是 (3 ,2 y2．将直线 x 2y 2 变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.3．为获得函数 y2 sin(x6), x R 的图像，需将 y2 sin x, x R 的图像上全部的点（）31倍（纵坐标不变）A. 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）64．曲线y sin( x) 经过伸缩变换 x' 3xy'后的曲线方程是；62 y5．将曲线 x 2 y 22x 0变为曲线 x'216 y'2 4x' 0的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数 log 2 ( x 1) 的图像上各点的横坐标变为本来的1，纵坐标变为本来的 1而获得的，则与3f ( x) 的图像对于原点对称的图像的分析式是。