平面直角坐标系 伸缩变换

1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．（1）若P （x ,y ）为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的错误!,得到点P ′（x ′，y ′），坐标对应为错误!通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．（2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍,得到P ″（x ″，y ″）．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝2x ，，y ″＝y 通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( ）．A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中,分别作出f (x ，y ）＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；（3）x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的错误!.第（1）种坐标系中的意思是x 轴与y轴上的单位长度一样,f（x，y)＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f（x，y)＝0的图形；第（2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，此时f（x,y)＝0表示的图形与第(1）种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!,此时f(x，y）＝0表示的图形与第（1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x轴和y轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案:单位长度【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中,分别作出椭圆错误!＋错误!＝1的图形：（1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的错误!.分析：(1)常规描点法画椭圆；（2)改变y轴上的单位长度；(3）改变x轴上的单位长度．反思：改变x轴或y轴的单位长度,导致了椭圆错误!＋错误!＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x29－错误!＝1的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的3倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1 3 .反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化．【例1】解:(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，错误!＋错误!＝1的图形如下：（2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下：（3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!＋错误!＝1的图形如下图:【例2】解：（1)建立平面直角坐标系,使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－错误!＝1的图形如下图:（2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的错误!，错误!－错误!＝1的图形如下:（3）如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的错误!,错误!－错误!＝1的图形如下图：1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,其图形可能是( )．A ．双曲线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线2已知一椭圆的方程为22=1164x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( ）．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中,分别作出抛物线y2＝－4x的图形：（1）x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；（3）x轴上的单位长度为y轴上单位长度的1.2答案：1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B 如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的错误!，则该椭圆的形状为选项B中所示．3．平行四边形4．解：（1）建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，抛物线y2＝－4x的图形如下：(2）如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的错误!,抛物线y2＝－4x的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y2＝－4x的图形如下：。

平面直角坐标系中的伸缩变换学习目标：1、理解平面直角坐标系中的伸缩变换 2、会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 教学过程：一、基础感知： 阅读教材P6—P7问题探究1：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =？问题探究2：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =？ 问题探究3：怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =？ 二、深入学习：定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换注 （1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x xy y ⎧=⎨=⎩后的图形。

（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。

三、当堂检测：1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21B .2 C.3 D.312、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 35后，曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则曲线C 的方程为（ ）A ．2225361x y += B. 2291001x y += C ．2210241x y += D.22281259x y += 四、课后作业： 1、抛物线24yx =经过伸缩变换1413x xy y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后得到2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，曲线C 变为221640x y x '''--=，则曲线C 的方程5、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 3121后的图形。

2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。

数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。

通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。

计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。

通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。

例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。

例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。

例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。

距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。

平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。

一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。

在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。

再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。

如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。

平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。

平面直角坐标系中的伸缩变换【知识要点归纳】（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。

（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。

（3） 设点P （x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,:μμλλϕy y x x 的作用下，点P(x,y)对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。

（1） 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，（2） 曲线0222=--x y x 变成曲线0416/22=-'-'x y x【解题能力测试】1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==（)0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为（ ） A ．21 B .2 C.3 D.312.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 35后，曲线C 变为曲线18222='+'y x 则曲线C 的方程为（ ）A ．1725022=+y x B.1100922=+y x C ．12410=+y x D.19825222=+y x 3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。

4.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 3121后的图形。

求： （1）;025=+y x （2）122=+y x 。

平面直角坐标系中的伸缩变换
【例1】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆
x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.
【解】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)， 由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，
得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3，μ＝2， 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，
再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.
若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.。