高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 3.2双曲线的简单性质》

§ 双曲线的简单性质

教材版本：

北师大版（选修2-1）

教材分析：

双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。

双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。

学情分析：

必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。

三维目标：

1、知识与技能

（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。

（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。

（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

2、过程与方法

利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。

3、情感、态度与价值观

培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。

教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。

教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。

教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。

教学设想：

新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生有追求过程的体验。

基于以上原因，在设计本节课时， 采用自主探究，类比分析法。通过 复习椭圆的简单性质 类比 双曲线的简单性质 特有的性质（从特殊到一般的规律探索） 双曲线的渐近线的发现及直观感受 加强应用 深化知识、巩固提高 。 引导学生观察双曲线的图形再结合双曲线的标准方程去联想、探索、类比，得出双曲线的简单性质。在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的发展和形成过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。

课时安排：2课时

教学用具：多媒体、三角板。

教学过程：

教学

环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图

复

习

回

顾 双曲线

定义

图像

方程

焦点

a,b,c的关系 大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：播放PPT，让学生填表

回答

对学习的旧知识加以复习巩固，同时为新知识的学习做准备。

类

比

设

疑 椭圆的简单性质有哪些 ？

对称性；范围；顶点；离心率。

回想：我们是怎样研究上述性质的？

结合图形利用椭圆的标准方程来研究其性质。

双曲线是否具有类似的性质呢？

设疑提问

及时引导

这就是我们今天要共同探究的内容：双曲线的简单性质（板书课题）

集体回答

为了引起同学们对旧知识的联想，有助于类比。

探

究

新

课 一、探究双曲线22221(0,0)xyabab

的简单性质。

（1）对称性

对称轴是轴、轴。对称中心是原点，

又叫做双曲线的中心。

（2）范围

y的范围呢？Ry

（3）顶点

如图（PPT演示）

（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

顶点A1（-a，0）A2（a，0）

注：顶点与焦点在同一个对称轴上。

（2）线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，

实轴长为2a, a叫做实半轴长；

线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴， 我们先来研究一下焦点坐标在轴上的双曲线的简单性质。

类比椭圆我们首先研究对称性（播放PPT）再引导学生用方程研究。

接下来我们研究什么呢？

师生共同研究

提问：类比椭圆顶点的定义，怎样给双曲线的顶点下定义呢？

启发提问：椭圆积极参与

在老师的引导下用方程验证。

学生回答：

范围。

师生共同研究

迷惑

回答

师生共同推到双曲线与轴的交点。

让学生学会分类讨论、类比的数学思想方法。

让学生充分暴露问题，共同探讨，发挥学生主动性。

012222axby2222,1axax即axax或虚轴长为2b, b叫做虚半轴长。

根据椭圆的以上性质能够较准确地画出椭圆的图形。

问: 根据以上性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？

（4）渐近线

图1：初中学过，双曲线xy1的图像与轴和轴无限接近但不相交，那么轴和轴就是双曲线xy1的渐近线，只不过双曲线xy1不在标准位置。

图2：标准位置下的双曲线的渐近线应该是什么呢？通过操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是xaby

结论： 双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线方程是xaby

双曲线上的点与这两条直线有什么顶点的定义。

引导得出双曲线顶点的定义。

师生共同推到双曲线与轴的交点。再推到双曲线与轴的交点，老师引导方程无实数解。因此顶点坐标是？(,0)a

虽然与轴无交点，但我们仍然把(0,)b标在图形上。

引导并播放PPT

最后确定要准确地画出双曲线的图形需引进渐近线。

由初中学过，双曲线xy1的图像入手，只不过双曲线xy1不在标准位置。然后通过旋转45度得此时学生疑惑

集体回答

认真观察并积极参与课堂。

学生定了双曲线的对称轴，范围，顶点尝试画双曲线。

仔细观察

回答

师生共同探究

回答：不是。

思考

动态演示让学生直观感受渐近线及渐近线的作用。

位置关系呢

如何记忆双曲线的渐近线方程？

注：通过变形，对比双曲线方程与渐近线方程，可以发现：将双曲线方程22221(0,0)xyabab中的1改为0后得到新的方程22220(0,0)xyabab，它的解就是两条渐近线方程。

追问：有了渐近线方程怎样求双曲线方程呢？是不是就把0改为1呢？

启发提问：能不能举个反例？

结论：

22222222(0)0.xyxyabab双曲线渐近线方程渐近线对双曲线开口的影响

（5）离心率

类比椭圆，我们把双曲线的焦距与实轴长的比ace，叫做双曲线的离心率。

那么，双曲线的离心率的范围是什么呢？10eca

利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图

e对双曲线的形状有何影响呢？

e是表示双曲线开口大小的一个到标准的双曲线。操作确认，发现渐近线是双曲线特征矩形的对角线，其方程是xaby

播放动画让学生直观感受渐近线及渐近线的作用。

提问

师生共同探究

追问：有了渐近线方程怎样求双曲线方程呢？是不是就把0改为1呢？

启发提问：能不能举个反例？

找一生回答

点评，得出结论。

某生回答

在老师的引导下积极参与并回答。

分小组进行研究

小组代表回答

提供了一种求双曲线的渐近线方程的方法，避免记忆公式。

使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系。