高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 3.1双曲线及其标准方程》1

第二单元 双曲线

一、内容和内容解析

（一）内容

双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质

本单元内容结构图如下：

（二）内容解析

1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.

2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.

3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用. 4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.

5.教学重点： 解析法研究双曲线的几何特征与性质

二、目标及其解析

（一）单元目标

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．

2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．

3．了解双曲线的简单应用．

4．理解数形结合思想．

（二）目标解析

达成上述目标的标志是:

1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．

2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．

3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．

三、教学问题诊断分析

1 高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21

【本讲教育信息】

一.

教学内容：

双曲线的标准方程及简单的几何性质。（3.1双曲线及标准方程+3.2双曲线的简单的几何性质）

二. 教学目标：

（1）熟练地掌握双曲线的定义及标准方程的形式。会求双曲线标准方程。

（2）掌握双曲线的简单的几何性质及其应用。理解渐近线的意义。

（3）体会用方程的数学思想、等价转化的数学思想及待定系数法等数学思想方法解决双曲线的问题。

三. 知识要点分析：

1. 双曲线定义：

第一定义：平面内到两定点21,FF距离之差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的集合叫做双曲线。定点21,FF叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。

M=|}FF|a2,a2||PF||PF|||P{2121

第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

M=}1,|||{eedPFP

注意：（1）在第一定义中：若2a=||21FF，则点的集合是以21,FF为端点的射线，若2a>||21FF，点的集合是空集。

（2）在第一定义中：当aPFPF2||||21，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当aPFPF2||||12，点的集合是双曲线的左支（如图2）。

（3）在定义二中定点F不在定直线L上。

2. 双曲线的标准方程

（1）)0,0(,12222babyax，焦点在x轴上（实轴在x轴上），222cba

（2）)0,0(,12222babxay，焦点在y轴上（实轴在y轴上），222cba

3. 双曲线几何性质 2 图

形

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

范围 ax或ax ay或ay

顶点 A1（－a，0）A2（a，0）实轴：2a，

1.2-1 集合的基本关系

教学目的：了解集合之间的包含、相等关系的含义；理解子集、真子集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系；了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；

课 型：新授课

教学过程：

一、 引入课题

1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：

（1）0 N；（2） Q；（3）-1.5 R

2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题）

二、 新课教学

1、 集合与集合之间的“包含”关系；

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：

读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A

当集合A不包含于集合B时，记作A B

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系

2、集合与集合之间的 “相等”关系；

，则中的元素是一样的，因此

即

练习

3、结论：任何一个集合是它本身的子集

4、真子集的概念

若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper

subset）。

记作：A B（或B A）

读作：A真包含于B（或B真包含A）

举例（由学生举例，共同辨析）

5、 规定： 2)(ABBA或)(ABBA或ABBA且BABAABBABAAABAAxBx且

B

A

A(B)

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

6、结论：，且，则

三、 例题讲解

例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x5}，并表示A、B的关系；

北师大选修1-1数学教案

【篇一：北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识归纳：双曲线】

2.2 双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

1、定义：平面内与两个定点f1、f2的距离的差的绝对值等于常数（小于|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.

x2y2y2x2

2、标准方程：2?2?1(a＞0,b＞0)或2?2?1(a＞0,b＞0) abab

3、a、b、c三者之间的关系：a2+b2=c2

4、与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？

两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.

5、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？

只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.

6、双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|f1f2|呢？

如果差的绝对值即常数等于|f1f2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|f1f2|，那么无轨迹.

2.2.2 双曲线的简单几何性质

1、范围：双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内；

2、对称

性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

x2y2

4、实（虚）轴：双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)与y轴没ab

有交点，但我们也把b1（0，-b),b2（0，b）画在y轴上. 线段

a1a2叫做双曲线的实轴，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，实轴

的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，

焦点始终在实轴上. cc

5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a叫做双曲线的离心率.e=a且e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0.