高中数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(二)》教案 新人教版选修2-1-新人教版高二选修2-1数学

★ 济宁市实验中学第五届教学能手比赛讲课教案

人 教 A 版 数 学 选 修 2-1 P56—58

高二数学组 陈 辉

2011年12月

1 双曲线的简单几何性质

陈 辉

教学目标：

（1） 知识目标

能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等，熟练掌握双曲线的几何性质.

（2）能力目标

通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师的指导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强学生的自信心.

(3） 情感目标

通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神.

教学重点：双曲线的几何性质.

教学难点：双曲线的渐近线.

教学方法：启发诱导、练讲结合

教学用具：多媒体

教学过程：

一、复习回顾，问题引入：

问题1：双曲线的定义及其标准方程？

问题2：椭圆的简单几何性质有哪些？我们是如何研究的？双曲线是否也有 2 类似性质？又该怎样研究？

二、合作交流，探究性质：

1.范围：

双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.

2.对称性：

双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.

3.顶点：

（1）双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.

（2）线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.

（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，其方程为：

4.渐近线

（1）概念：双曲线)0,0(12222babyax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近！故把这两条直线叫做双曲线的渐近线！

（2）双曲线12222byax的渐近线方程为：xaby ,即0byax

选修 2-1 】§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质

（第一课时）

一、课标要求

掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，理解其简单的几何性质；

了解圆锥曲线的简单应用。

二、教材分析

本节教学内容是普通高中课程标准实验教科书 （人民教育出版社） 数学选修 2-1 第二章圆锥曲线与 方程第三节第二部分：

双曲线的简单几何性质。 由曲线方程研究曲线的几何性质， 是高中阶段解析几何 所研究的主要问题之一。学生已经学习了椭圆及其标准方程、椭圆的简单几何性质，从而探究、归纳出 双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率） ；并且进一步探究出双曲线独有的几何 性质（实轴、虚轴、渐近线） ；也为后续研究抛物线的几何性质打下了基础。因此这节课在教材中起承 上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力 和逻辑思维能力的重要内容，同时本节内容也是高考的高频考点。

三、学情分析

本班学生是平行班的学生， 因此教师在引导的基础上还需要适当的讲解。 在此之前， 学生已经学习 了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研 究、归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的 几何性质（实轴、虚轴、渐近线） 。通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础 上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的 认识。

四、教学目标

一、知识与技能

1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。

2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。

二、过程与方法

通过观察、类比、探究来认识双曲线的简单几何性质。

三、情感态度与价值观

通过类比旧知识，探索新知识，培养我们学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇

于创新的精神。

第2课时

教学目标

知识与技能

1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；

2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题.

过程与方法

培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．

情感、态度与价值观

激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．

重点难点

教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程．

教学难点：由渐近线求双曲线方程．

教学过程

引入新课

复习回顾

(1)9y2－16x2＝144；(2) y225－x2144＝－1.

方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．

活动设计：学生独立完成．

活动成果：10 6 y＝±43x (±13,0) 12 y＝±512x

设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率． 例题研讨，变式精析

1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．

解：如图，建立直角坐标系xOy，使小圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.

设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，令点C的坐标为(13，y)，则点B的坐标为(25，y－55)．

因为点B，C在双曲线上，所以

由方程②得y＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得

252122－5b12－552b2＝1，

教学设计

2．3.2 双曲线的简单几何性质

整体设计

教材分析

学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．

课时分配

本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．

第1课时

教学目标

知识与技能

1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．

2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义．

过程与方法

通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．

情感、态度与价值观

使学生在合作探究活动中体验成功， 激发学习热情，感受曲线美、数学美．

重点难点

教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．

教学难点：渐近线的性质．

教学过程 引入新课

提问：(1)双曲线是如何定义的？

(2)双曲线的标准方程是什么？

(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？

椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)

图形

范围 －a≤x≤a －b≤y≤b

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

顶点 (±a,0)，(0，±b)

离心率 e＝ca，0

设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决．

探究新知

探究1.类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：